книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

8, Обратные тригонометрические функции:

а) Функции p=Arcsinx и y = arcsin;c. Функция t/= sin л: опре делена при всех х и имеет область изменения [— 1, 1]. Если взять

какое-лноо зачение у из этого промежутка н провести прямую, параллельную Ох, то она пересечет синусоиду в бесконечном мно­ жестве точек. Следовательно, каждому значению у соответ­ ствует бесконечное множество значений х, поэтому обратная функция

л’ -- Aresin у

обозначаемую

x=arcsin у,

главным значением арксинуса, будет однозначной.

График функции // = Arcsinx можно получить из графика сину­ са, путем поворота около биссектрисы первого и третьего коорди­ натных углов (рис. 37). Главная ветвь на графике показана сплош­

41

Обратной для функции y=cosx. Она также многозначна. Её ветвь, выделяемая неравенствами

О < arccos л- < к,

называется главной ветвью арккосинуса.

График y=Arccos,v получается из графика косинуса путем по­ порота вокруг биссектрисы первого координатного угла (рис. 38).

О < arcctg х < я.

Практическое занятие Ns 6

Контрольные вопросы

1. К а к у ю к р и в у ю п р е д с т а в л я е т у р а в н е н и е у=кх? и к а к о н а р а с п о л о ж е н а

о т н о с и т е л ь н о о с е й к о о р д и н а т ?

2 . К а к у ю к р и в у ю п р е д с т а в л я е т у р а в н е н и е х —ау2+ Ь у + с ?

3 . К а к о в г р а ф и к о б р а т н о й п р о п о р ц и о н а л ь н о й з а в и с и м о с т и ?

4 . К а к и е о с о б е н н о с т и и м е е т г р а ф и к ф у н к ц и и у—а'« при п ч е т н о м ( п > 0 ) ? при п н е ч е т н о м ( п > 0 ) ?

42

З А Н Я Т И Е 7

ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ. ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ПЕРЕМЕННОЙ. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

§ 13. Характер изменения переменней

До сих пор, когда говорилось о переменной величине, для нас было важно лишь множество тех значений, которые она может принимать. Например, это могло быть множество значений, удов­ летворяющих неравенству а ^ х ^ Ъ или а<х<Ь. Теперь же важ­ ным является не только множество значений, но и характер самого процесса изменения переменной величины.

Процесс изменения любой переменной величины предполагает определенный порядок в совокупности значений ею принимаемых, т. е. дает возможность для всякого х различить значения пред­ шествующие ему н значения следующие за ним:

Процесс изменения переменной величины может иметь различ­ ный характер. Однако два типа таких процессов играют в мате­ матике главную роль: случай дискретного изменения и случай непрерывного изменения.

При дискретном (скачкообразном) изменении переменная про­ бегает последовательно числа, в определенном порядке следующие друг за другом; при этом каждое число отделено от предыдущего определенным интервалом, как, например, у переменных:

л 0; 1; 2; 3 ...

у1; 1,7; 1,73; 1,732...

Сюда же можно отнести и переменные величины, пробегающиепоследовательно бесконечное множество изолированных числовых значений, которые можно занумеровать: Х\, х2, . . . , х п... В этом случае говорят, что совокупность значений такой переменной обра­ зует числовую последовательность. Очевидно, что переход от одного значения к другому совершается скачком.

Если изобразить значения переменной величины точками оси (рис. 43), то процесс изменения переменной выражается движением точки М, последовательно перескакивающей из положения Мь в положение M/l+1 (k—1 , 2 , 3...).

44

При непрерывном (сплошном) изменении переход от одного чис­ ленного значения .к другому проходит через все промежуточные числа и, следовательно, точка М при переходе из положения А в другое положение В должна пройти через все точки промежутка

(АВ) (рис. 44).

В дальнейшем придется часто пользоваться переменными вели­ чинами дискретного типа, поэтому необходимо более подробно рас­ смотреть числовые последовательности.

§14. Числовые последовательности

Оп р е д е л е н и е 1. Если по некоторому закону каждому нату­ ральному числу п соответствует определенное число х„, то говорят, что задана последовательность чисел:

Числа xt, Х2 , . . . , х п... называются членами последовательности.

Вчастности, хп называется общим членом последовательности. Последовательность с общим членом лг„ обычно обозначается

кратко через \хп) .

Последовательность может быть задана различными способами, например:

а) Заданием формулы общего члена:

б) Рекуррентным способом. Он заключается в том, что дается первый член и указывается способ вычисления п-го члена при по­ мощи предыдущих:

1 ) х, =0, х л=2х„_Н -5; тогда

45

О п р е д е л е н и е 2. Последовательность (*„} называется воз­ растающей (строго возрастающей), если каждый ее последующий член больше предшествующего, т. е.

—Ь

убывающей (строго убывающей), если

неубывающей, если

-^л Хп~1,

невозрастающей, если

-*•/1^5-^п-1*

Каждая такая последовательность называется монотонной.

Геометрически это означает, что все члены последовательности лежат в определенном конечном интервале (—М, М) (рис. 45).

Рассмотрим последовательность

-*■!> •1 -'-И••■

Общий член этой последовательности, т. е. величину хп, конкрет­ ными значениями которой являются числа хи Х2 , х3. .. и т. д., бу­ дем называть переменной величиной, или просто переменной, про­ бегающей эту последовательность.

46

Поэтому в дальнейшем, вместо того чтобы говорить— дана по­ следовательность

*1, *2, *3, •••» ■'■л•■•,

будем говорить — дана переменная *„, пробегающая последова­

тельность значений *ь *2.......х^ ...

Практическое занятие № 7

Контрольные вопросы

сать ее первые пять членов.

Решение. Давая п значения I, 2, 3, 4, 5, получим:

-«1

2 (самостоятельно). Написать первые пять членов последова тельностей:

4 (самостоятельно). Написать первые пять членов последова­ тельности, если известно, что первый член равен единице, а каж­ дый следующий равен сумме всех предшествующих ему.

О твет : *| = 1; *2= 1 ; *з —2; *4 = 1 + 14-2=4; *5= 1 + 1 + 2 + 4= 8.

47

взятая по абсолютной величине, может стать меньше любого задан­ ного числа, как бы мало оно ни было:

|jc„ — 3 1= 12,99.. .95—3 1=0,00.; .05.

п раз

Если возьмем какое-либо малое положительное число, напри­ мер 0,0001, то абсолютная величина разности между значением переменной хп и числом 3, равная

0,00...05,

п раз

будет во всяком случае меньше 0,0001, как только п>- 4. Задавая другое число, например 0,000001, аналогичным образом найдем, что

|х я — 3 1< 0,000001,

начиная с п^, 6. Очевидно, и вообще какое бы положительное число в мы ни задали и как бы мало оно ни было, найдется такое значение п, начиная с которого при всех последующих будет выпол­ няться неравенство:

\х п 3 j < е.

Отсюда следует, что число 3 можно считать пределом переменной величины хп.

Приведем еще примеры, которые поясняют понятие предела переменной.

Пример 2. Переменная хп принимает следующий ряд после­ довательных значений:

Покажем, что эта переменная имеет своим пределом единицу:

Рассматривая абсолютные разности:

|^1-11=

2 ’

50