книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

З А Н Я Т И Е 4

КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИ. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ. СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ

§ 6. Классификация функций, заданных аналитически

Функции, заданные одной формулой или, как говорят, одним уравнением, можно подразделить:

1)по способу выражения — на явные и неявные;

2)по числу значений функции, соответствующих одному значе­ нию аргумента,— на однозначные и многозначные;

3)по характеру действий, которые проводятся над переменны­ ми, входящими в функции,— на алгебраические и трансцендентные.

О п р е д е л е н и е 1. Если зависимость между х н у выражена уравнением, разрешенным относительно у, то у называют явной функцией от х. Так, например:

или в общем виде y —f(x) — различные явные функции от перемен­ ной х.

Функцию у от аргумента х называют неявной, если она задана уравнением

Г(х, у) = О,

не разрешенным относительно у. Уравнения:

х 2+ у2 = Ах, 3ху + Ау2 — 5х = О

определяют у как неявную функцию от х; если решить уравнение относительно у, то можно получить явную функцию.

Например, приведенные уравнения эквивалентны следующим:

определяющим у как явную функцию. Однако разрешение уравне­ ния F(х, у) =0 относительно у не всегда возможно в форме простой функциональной зависимости.

Функцию, заданную уравнением

lg V х 1+ У2 — arctg ,

21

нельзя представить в явной форме, так как уравнение не разре­ шимо относительно у.

бое рациональное число. Например:

у= Ьх3; у = 7л:5/3.

Вобщем случае алгебраической функцией называется неявная функция у, определяемая уравнением

Р (х , у) = О,

где Р(х, у) есть многочлен относительно х и у. Например:

х 5 ф- у5+ 3а2ху = 0.

22

Алгебраические функции, не являющиеся рациональными, назы­ вают иррациональными. Это, например, функции:

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. Простейшими трансцендентными функциями (так называемыми элементарными трансцендентными) являются:

1)Показательная функция у = а х, где а — положительное чис­

ло, не равное единице. Например, у = 2х, у =

и т. д.

Все перечисленные выше как алгебраические, так и трансцен­ дентные функции, а также функции, получающиеся из них с по­ мощью четырех арифметических действий и суперпозиций, обра­ зуют класс элементарных функций. Этот класс функций хорошо изучен и часто применяется в математике.

§ 7. Область определения функции

При аналитическом способе задания функции особенно важно знать, какова область определения этой функции, потому что она, как правило, не указана.

О п р е д е л е н и е . Множество всех значений аргумента, при которых функция, заданная аналитически, имеет определенный смысл (если оставаться в действительной области), будем назы­ вать областью определения функции. -

Заметим, что вместо термина «область определения» часто употребляют термин «область-существования», подчеркивая этим, что речь идет о тех х, для которых соответствующие значения функ­ ции существуют.

Наиболее часто область определения функции представляет со­ бой или открытый промежуток (а, Ь), или отрезок [аЬ]. В некото­ рых случаях областью определения функции является полуинтер­ вал [а, Ь) или (а, Ь]. При установлении области определения той или иной функции, заданной аналитически, необходимо помнить следующее:

1.Функция, заданная в виде дроби, теряет смысл для тех зна­ чений х, для которых знаменатель обращается в нуль.

2.Функция, заданная в виде корня четной степени, теряет смысл, если подкоренное выражение становится отрицательным (значения функции должны быть вещественными).

23

3. Функция, представленная в виде логарифма, теряет смысл, как только выражение, стоящее под знаком логарифма, станет отрицательным.

4. Функции вида arcsinf(x) или arccos/(x) теряют смысл, как только f(x) делается больше 1 или меньше — 1.

Функция у, как всякая переменная, наряду с областью опреде­ ления (существования) имеет область изменения.

Областью изменения функции называется совокупность значе­ ний функции у, которые она принимает для всех значений аргу­ мента х из области определения.

§ 8. Сложная функция

Во многих случаях приходится рассматривать функции, кото­ рые получаются в результате наложения (суперпозиции) функций. Это наложение состоит в том, что вместо аргумента данной функ­ ции подставляется другая функция от другого аргумента. Так, на­ пример, имея функции sinx и х2, можно образовать с их помощью новые функции:

sinx2, sin (sinx), (х2)2, (sinx)2.

В результате получили функции от функции или, как говорят, сложные функции.

Пусть даны две функции « = ср(х) и г/=/(ы), причем множество всех значений первой функции входит в область определения вто­ рой. Тогда каждому значению х из области определения функции и= ср(х) соответствует некоторое значение переменной и, а этому значению и функция y —f{u) ставит в соответствие определенное значение у, т. е. переменная у является функцией от х:

У = /[< ? И 1 -

Полученная функция от функции называется сложной функ­ цией переменной х. Функцию м = ф(х) называют при этом проме­ жуточным аргументом.

Сложную фушщию всегда можно представить в виде цепочки функций. Поясним на примерах, что это означает и как это делается.

Пример 1. Функцию t/= lgcosx можно рассматривать как сложную функцию, потому что она представима в виде цепочки функций:

24

Легко заметить, что областью определения сложной функции является либо вся область определения внутренней функции,

ции. Здесь и есть аргумент функции у, но и, очевидно, не будет независимой переменной.

Обычно принято и называть промежуточным аргументом, а х — основным.

Практическое занятие № 4

Контрольные вопросы

1.Какие функции называются явными? Какие функции называются неяв­

ными?

2.Приведите примеры двузначных функций, многозначных функций.

3.Какие функции называются алгебраическими? Приведите примеры.

4.Какие функции называются трансцендентными? Примеры.

сложной функцией?

Примеры и задачи

1 (самостоятельно). Найти явное выражение функции у из урав­ нений:

2х + Зу — 6 = 0; л'2 + 2х + у2 - 4у - 76 = 0; х = 2*.

2. Можно ли найти явное выражение для функции у из урав­ нения у = 2Х+У?

3. Найти область определения функций:

Рис. 9.

функция. Она определена при всех значениях х, кроме тех, которые обращают в нуль ее знаменатель, т. е. в данном случае

25-

б) <р(л:) = ]/5 + х + Y 2 — х. Эта формула имеет смысл, если:

5 + х > 0 и 2 — л' > 0.

Из первого неравенства следует, что х —5, а из второго — что Общей частью найденных двух областей будет участок от —5 до +2. Значит, областью определения служит отрезок [—5, 2]

(рис. 10).

Рис. 10.

в) F(x) =\gx(x—2). Формула имеет смысл лишь тогда, когда

х (х — 2) > 0.

Известно, что произведение двух сомножителей будет положитель­ ным, если они одного знака. Следовательно, либо:

Таким образом, областью определения будут два бесконечных промежутка (— оо , 0) и (2, + оо ) (рис. 11).

Рис. 11.

При большом числе сомножителей поступают иначе.

Зд-__g

чае, когда:

— 1 < -----g-----<. 1, или — 1 -< -у х —4 < 1.

Прибавляя ко всем частям этих неравенств по 4, получаем

3 < 4 j c < 5 - ‘

■26

откуда уже очевидно, что функция существует для значений

27

З А Н Я Т И Е 5

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ. ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКОВ. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКИ. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

§ 9. Геометрическое изображение функции, заданной аналитически

Рассмотрим функцию, заданную формулой

У = / ( * ) .

Давая аргументу х ряд произвольных значений (из области определения) и вычисляя соответствующие значения у, составим таблицу пар значений х и у:

Каждой паре чисел х и у из таблицы будет соответствовать на координатной плоскости хОу определенная точка:

М0[х0, /(* „ )]; Мj [xv / ( * 1)]; М2[х2, / ( * 2)] ...

м3

взято точек и чем ближе они расположены друг к другу (рис. 13а).

29

(х, у), для каждой из которых абсцисса х является значением аргумента, а ордината у —соответствующим значением данной функции.

Графики часто встречающихся функций представляют собой некоторые сплошные кривые или, в частности, прямые линии. Однако график может состоять и из отдельных изолированных точек или из ряда горизонтальных отрезков, лишенных своих пра­ вых концов (рис. 136).

одном значении х получим два и более значений функции или две и более точек на плоскости. Следовательно, график многозначной функции пересекается с прямой, параллельной оси Оу не менее чем в двух точках (рис. 14).

смещения графика функции f(x) в вертикальном направлении на |Ь| единиц масштаба — вверх при 6>0 и вниз при 6<0.

График второй функции получается из графика функции t/= f(x), если сместить последний в горизонтальном направлении на |я| единиц масштаба — вправо при а<0, влево при а>0.

30