книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

Исследуем вторую точку. Полагаем х2—/г= 0,5, х2 + /г= 1,5:

в точке х2=1 наша функция имеет минимум. Вычисляем умип= /(1 ) = 2 —3= — 1.

5)Чтобы построить график данной функции, найдем еще точк

пересечения кривой с осью Ох. Полагаем у = 0, т. е. 2х3—3х2=0:

х 2 (2х—3)=0, х = 0 , х ~ .

Кривая пересекает ось Ох в начале координат и в точке с абс­

Ответ: умакс=17 при х = — 1;

Умин=-47 при х~3.

3.Найти экстремумы функции

у= х |/2—х 2.

Решение: 1) Эта функция определена (выражается веществен­ ным числом) только при 2—х2> 0. Решаем это неравенство отно­ сительно х.

Областью определения данной функции является замкнутый

— точки «подозрительные» на экстремум.

В нашем случае у' выражается дробью, а дробь обращается в оз, если ее знаменатель равен нулю (а числитель не равен нулю). _____

Положим 1/2 —х 2=0, -х = ± ]/2 . В этих точках у '= оо, но экстремума в них быть не может, так как они являются концами области определения, а экстремум возможен только во внутрен­ них точках области определения функции.

4) Исследуем знак производной при переходе через критические точки *1 = — 1 и * 2= + 1:

1,1) = 2 [1 — ( — 1,1)а1 < 0 ; К 2 — (— 1,1)2

У„акс=/(1) = 1 -К 2 = ! = 1.

5)Находим точки пересечения графика функции с осью Ох:

у =0, если х У 2 —х-=0, х=0, х —± У 2 .

Строим график (рис. 103).

ция является нечетной. Действительно,

мер на [0, У 2], и, построив график на этом полупромежутке, продолжить его на левый полупромежуток симметрично относи­ тельно начала координат.

4(самостоятельно). Исследовать на экстремум функцию

у= у г х 3— Зх2 + 8 .

212

3)у' в нуль не обращается и у'— со при х=0.

4)Исследуем знак первой 'производной при переходе через единственную критическую точку х, = 0:

/'( * , —А )= /'( —i ) = - f < 0 ;

/'( * !+ * ) = /' О ) = у > 0 ;

знак меняется с «—» на « + », т. е. имеем минимум. Так как }'(0) =

— со, ТО это минимум с вертикальной касательной; ymm=f(Q) =0.

Из уравнения видно, что функция f ( x ) = y/rx* четная ( f ( ~ x ) = =/(х)). Примерный вид графика изображен на рис. 104.

6 (самостоятельно). Исследовать на

7 (самостоятельно). Исследовать на экстремум функцию

у —х — In (1 + х 2).

Ответ : Функция монотонно возрастает и экстремумов не имеет.

Для самостоятельного решения. Исследовать на экстремум:

213

ЗАНЯТИЕ 25

МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИЙ (ПРОДОЛЖЕНИЕ). ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА (ВТОРОЕ ПРАВИЛО). НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ В ЗАМКНУТОМ ПРОМЕЖУТКЕ

§61. Достаточное условие экстремума (второе правило)

Впредыдущем занятии было изложено правило отыскания экстремумов с помощью первой производной. В некоторых случаях вместо указанного правила можно пользоваться другим, в котором применяется вторая производная. Это правило сформулируем в виде теоремы.

/" С*о) f 0:

I. Если /"(х о)< 0 , то в точке х = х 0 функция имеет максимум.

II. Если if"(x0) >0, то в точке х = х 0 функция имеет минимум. Доказательство. Пусть f"(x0) <0, f'(x0) =0. По определению вто­

няет знак с « + » на «—», значит, в точке х0 имеется максимум, что и требовалось доказать.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично (рекомендуется это доказательство проделать самостоятельно).

Замечание. Второе правило имеет более узкий круг применения, чем первое. Как это видно из формулировки теоремы, его можно применять только к стационарным точкам, т. е. таким, где f (хо) =0,

•и при условии, что f"(x0) Ф 0.

215

Если f'(xQ) — <х>, это значит, что f'(x) имеет разрыв в точке х0, т. е. не может быть и речи о существовании второй производной. Если же в стационарной точке f"(x0) =0, то правило просто ничего не дает и задачу можно решить при помощи первого правила.

Схема отыскания экстремумов функции у=1(х) при помощи второго правила

1.Найти область определения функции /(х).

2.Вычислить производные f'(x) и /" (х) .

3.Найти стационарные точки, т. е. те, которые являются кор­

нями уравнения f'(x) =0. Пусть х = х 0— корень этого уравнения.

4.Подставить корень первой производной во вторую, т. е. най­ ти /"(-Vo).

Если ["(х0) <0, то в точке х0 имеем максимум. Если f"(x0) > 0, то в точке х0 имеем минимум.

5.Вычислить экстремальное значение функции, т. е. /(хо). Аналогично поступаем с остальными корнями уравнения }'(х) =

=0, если эти корни существуют.

Как видно из приведенной схемы, применение второго правила может несколько ускорить процесс определения типа экстремума, существующего в стационарной точке, если, конечно, само вычис­ ление второй производной не очень громоздко.

Замечание. Техника отыскания экстремумов может упроститься, если отметить, что:

1 ) / ( а ), / ( а )4-с, 1 имеют одноименные экстремумы в одних / (а- ) -г Vf (-v) I и тех же точках;

2) / ( а ) и c - f ( x ) имеют в одних н тех же точках одноимен­ ные экстремумы при с > 0 и разноименные при с < 0.

Пример. Найти экстремумы функции /(х )= х 3—3x4-1.

Для построения графика необходимо еще знать точки пересече­ ния кривой с осями координат и поведение /(х) на концах области определения.

При х = 0: у —1; (0, 1) — точки пересечения с осью Оу.

216

При у —0: л'3-—3jc+ 1 = 0 — кубическое уравнение, которое невоз­ можно точно решить. Один его корень лежит в промежутке (—2У

— 1), второй ,в (0, 1) и третий в (1, 2), так как на концах этих про­

межутков функция f(x) имеет разные знаки. Значит, кривая пере­ секает ось в промежутках (—2, — 1), (0, 1) и (1, 2). Вычислим:

§62. Наибольшее и наименьшее значения функции

взамкнутом промежутке

Пусть f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, 6]. По известному свойству непрерывных функций, функция f(x) принимает в этом промежутке свое наибольшее и наименьшее значения.

Если наибольшее (наименьшее) значение достигается во внутренней точке промежутка, то оно одновремен­ но будет одним из максимумов (ми­ нимумов) функции. Но наибольшее (или наименьшее) значение может

достигаться и на одном из концов про­

Рис. 106.

межутка. Например, на рис. 106 функ­

ция f(x) наименьшее значение принимает внутри промежутка при х = х 2, а наибольшее — на правом конце при х = Ь.

Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции в данном промежутке требуется сравнить между собой все макси­ мумы (минимумы) и значения на концах промежутка и выбрать из них наибольшее (наименьшее).

В двух случаях вопрос об отыскании наибольших и наименьших значений решается совсем просто:

а) Если функция монотонная, то наибольшее и наименьшее зна­ чения функции достигаются на концах промежутка (рис. 107).

217'

б) Если функция имеет один экстремум в промежутке [а, Ь], например максимум, то наибольшее значение совпадает с макси­ мумом. Если единственный экстремум — минимум, то он будет наи­ меньшим значением функции в этом промежутке (рис. 108).

Найдем значения функции на концах промежутка:

Умакс= У (0) —5.

•Сравнивая значения функции на концах промежутка и экстремумы,

Х5 м. Требуется срезать по углам листа такие одинаковые квад­ раты, чтобы после загибания оставшихся кромок получилась откры­ тая сверху коробка наибольшего объема (рис. ПО).

218

Решение. Обозначим сторону квадрата через х (0 < х < 2,5ш). Тогда объем коробки И =(8—2х) •(5—2х)-х.

Задача 'Сводится к отысканию тех значений х, при которых функция V достигает наибольшего значения.

Вычислим производные первого и второго порядка:

7'=12л:а—52д:+40;

V"=24х—52.

1. Найти экстремумы функции y = xs—4х2 + 4х.

Решение. В этом занятии будем находить экстремумы при по­ мощи второй производной, т. е. пользуясь вторым правилом.

(корни нумеруются в порядке возрастания).

219

4) Подставляем найденные стационарные точки в / " ( а):

/"(*> ) = б~“- - 8 = - 4 < 0 ,

9

значит, при а, — ~ имеем максимум;

/ " (а.3)=6-2—8 = 4 > О,

следовательно, при а 2 = 2 имеем минимум.

5) Вычисляем экстремальные значения функции:

/ ( а,) = 23—4-22+ 4 -2 = 8 —16+8 = 0;

у= 0, а3—4а 2+ 4 а = 0 ;

х( а 2 — 4а + 4 )= 0 ;

220