книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]
.pdfПроверяем второе условие — существование конечной производ ной во всех внутренних точках промежутка.
Наша функция при .г= 0 не имеет производной!
Действительно, если к нулю подходить справа, то у' = 1 (при
х > 0), если к нулю подходить слева, то у' = — 1 (при х < 0), |
т. е. по |
||
лучается, |
что единственного значения у' при х = 0 не имеет, |
а это и |
|
означает, |
что при х = 0 производная не существует. |
|
|
4 (самостоятельно). Функция у = - |
принимает равные зна |
||
чения на концах промежутка [ — 1 , 1 ].
Убедиться в том, что производная от этой функции нигде внутри промежутка (— 1, 1 ) в нуль не обращается, и объяснить, почему
не выполняется теорема Ролля. |
|
5 (самостоятельно). Функция / ( * ) = - /" (х—2)2 на концах |
про |
межутка [0, 4] принимает равные значения: /( 0 ) = / ( 4 ) = |
т/~4 . |
Справедлива ли для этой функции теорема Ролля на промежут ке [0, 4]?
6 (самостоятельно). Выполнены ли условия теоремы Ролля для функции if(x) = tg х в промежутке [0, я]?
7 (самостоятельно). Дан отрезок параболы у — хг, заключенный между точками А (1; 1) и В (3; 9). Доказать, что на этом отрезке параболы существует точка, касательная в которой параллельна хорде /1 В, и найти эту точку.
З А Н Я Т И Е 22
ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К РАСКРЫТИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ, ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
Выведенная в предыдущем занятии формула Коши может быть использована для доказательства теоремы, которая дает простое и удобное правило для раскрытия неопределенностей. Хотя с раскры тием неопределенностей мы уже встречались, следует отметить, что раскрытие неопределенностей при помощи теорем теории пределов требует подчас большой изобретательности.
Покажем, как можно раскрывать неопределенности при помощи производных, и убедимся в том, что использование производной, как правило, значительно облегчает задачу.
§. 54. Правило Лопиталя
а) Неопределенность вида
К неопределенности
ношения двух функций пример, при л-—а).
Теорема. Пусть:
1 ) функции ф(д') и ф(д) в ее окрестности;
2) Ifm ® (а ) = ? (t?)= 0 ;
Л'—П
о приводит задача о пределе от
и6 ( a ) , стремящихся к нулю (на
определены и непрерывны в точке а и
3) существуют в указанной окрестности конечные производ ные ?' (а-) и 'У (а ), причем У (а ) Ф 0 (при д у а);
4) существует (конечный или бесконечный) предел
Пт ¥ (х) = К.
л* - а Г ( х )
Тогда и
П т |
<?(•*) |
= К. |
д*—а |
-На ) |
|
Доказательство. Рассмотрим промежуток [а, х], где д — любая точка из окрестности точки а. В этом промежутке функции ср(д) и
182
•ф(х) удовлетворяют условиям теоремы Коши. Применяя ее, по лучим
ср (х)—у (а) _ ср' (с)
а<с<л\
'М *)-'М а ) “ f ( c ) ’
Но так как ф(а) = ф(а) =0. т0
?(-у) _ ф' (g) ф(л) 4- '(с)
Если теперь х устремить к а, то с, находясь между а и л, тоже устремится к а (рис. 88):
lim т-уДг = |
Ит тгт^г =АГ (в СИЛУ условия 4), |
л -й 4>(-*) |
c-a ФЧс) |
что и требовалось доказать.
На основании доказанной теоремы можно сформулировать
следующее правило |
раскрытия неопределенности вида 0 |
: |
|||
Пр ави ло . При |
|
разыскании пре- |
|
|
|
дела частного Ч>(х) , |
в случае |
неопре- |
с ■ |
» ■» |
|
0 |
|
|
заменить |
|
|
деленности вида —гг , можно |
Рис. 88. |
|
|||
и , |
„ |
пределом |
|
||
предел отношения |
функций |
|
|
||
отношения их производных, если последний предел существует:
Нш ч ( х )
х-*-а п х ) ■
Э то правило называется правилом Лопиталя *).
Если отношение |
производных тоже приводит к неопределен |
|
ности вида |
то |
и к нему можно применять это же правило |
и, таким образом, в некоторых случаях для раскрытия неопре деленности приходится правило Лопиталя применить несколько раз.
Замечание 1. При доказательстве теоремы мы (взяли промежуток [а, х], т. е. полагали х>а. Точно так же можно было брать проме жуток [х, а], т. е. х<а.
Замечание 2. Эта теорема распространяется и на случай, когда
х стремится к бесконечному пределу, т. е. |
при а = ± со. |
|
|||||
П р и м е р |
|
|
/[I г\П_1 |
|
|
|
|
1. Найти lim - |
--------- .Подставляя х=0, получаем |
||||||
|
|
л--0 |
х |
|
|
|
|
неопределенность |
применим правило Лопиталя: |
|
|||||
.. (1+х)л-1 |
|
[(1+х)«-1]' |
.. л (1-М)*-1 |
||||
lim -—1— ---------=lim |
|
1— ---- — =lim ——у—;— = |
n. |
||||
x-+0 |
X |
дг-^О |
X |
x-Q |
1 |
|
|
*) Лоллталь (1661—1704) — французский математик.
183
П р и м е р 2: |
|
|
|
|
||
lim |
X—sin X |
£ |
= lim (X—Sin A-)7 |
==lim 1 —cos X |
||
X-U |
x s ~ |
0 |
Л--0 |
( x * y |
.r-0 |
3x2 |
|
— lim ( 1 —cosxV |
-lim |
sin x |
= lim |
(sinx)7 |
|
|
л’-О |
(3X2T ’ |
д-O |
6x |
.v-0 |
(6x)7 |
=Jim cosx J-*0 6
Здесь мы три раза применили правило Лопиталн.
6) Неопределенность вида
Пусть при х->а функции <э(х)-,-ао и ф(х)-*оо. Тогда предел
отношения -Т-ттс" при.х'-а представляет собой неопределенность |
||||||||
оо |
V \х ' |
|
|
|
|
|
|
|
вида — . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для раскрытия такой неопределенности тоже применяется |
||||||||
правило Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
||
П р а в и л о ; При разыскании предела частного |
в случае |
|||||||
неопределенности |
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
вида --- можно заменить предел отношения |
||||||||
функций пределом отношения |
их производных: |
|
|
|||||
|
|
нп. Щ = |
\ со |
—lim ? '(* ) |
|
|
|
|
|
|
.г-* ,<Ь(X) |
х-*а V (■*) ‘ |
|
|
|||
Примем это правило без доказательства. |
|
|
|
|||||
Замечание I. |
Правило справедливо |
и при <z= + co. |
|
|
||||
Прим е р’. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Нт |
inx |
= Ит (in х)' |
Нт |
1 |
= Нт- 1 |
= |
0. |
|
х |
||||||||
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
СО |
Хт |
оо J-f-bCD (хт)7 |
+оо |
пгхт - 1 |
.с-++аз т,х |
|
|
|
|
т> О |
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 2, |
При раскрытии неопределенности вида — |
пра |
||||||
вило Лопиталя можно применять несколько раз подряд.
в) Другие виды неопределенностей
Приведенное выше правило Лопиталя можно |
применять |
||
только |
в том случае, когда имеется |
отношение двух |
функций, |
дающее |
О |
оо |
|
неопределенность вида -д- или ~ . |
|
||
184.
Если |
же |
имеем |
неопределенность |
другого вида, |
например |
||||||||||||
О-со, |
оо— оо и т. п., то прежде, чем применять правило Лопиталя, |
||||||||||||||||
эту |
|
неопределенность |
следует |
привести |
к |
неопределенностям |
|||||||||||
|
|
О |
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вида -тг или — . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1. |
U |
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть: |
|
|
Нш «р ( х ) = 0 , |
П т /( л ') = оэ. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда |
|
|
|
л‘«>д |
|
|
|
х —а |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Iim ? (л) •/ (х) = (0 •оо). |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
х-*а |
|
|
|
в дробь: |
|
|
|
|||
|
Обратим произведение <o{x)-f{x) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/(■*) |
|
|
|
|
|
|
при /(л:)->оо |
обратная |
величина |
I |
-> 0 : |
|
|
|
|
|||||||||
f(x) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Jim |
|
?,(•*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
o r |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Х~*П |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f i x ) |
|
|
|
|
|
|
|
и теперь можно применять правило Лопиталя. |
|
|
|
||||||||||||||
|
Превращая произведение в дробь, следует помнить, что обычно |
||||||||||||||||
лучше всего |
более |
сложный |
множитель |
оставлять |
в |
числителе, |
|||||||||||
а более |
простой переводить в знаменатель. |
|
|
|
|
||||||||||||
Пример-. |
|
|
|
|
|
|
|
Хг |
I СО\ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
П т хг-е~х= (со -0) = Пш — — (— ) = |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
.V-*© |
|
|
|
|
|
Л'-*-СО& |
I |
I |
|
|
||
|
|
|
|
|
.. (х'2У |
|
|
2х |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= Нш -т- |
) |
= lim —- |
00/ |
.1—00 [р ) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
.Г-^OD |
|
.Г-*-СО |
& ' |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= Нш |
= |
0 . |
|
|
|
|
|
||
|
2, |
Пусть: |
|
|
|
|
|
л'--- со Сл |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
lim»(j:) = -i-oo; |
И ш /(х)=: + оо. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Тогда |
|
|
х-*а |
|
|
|
|
л*-* а |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim [fix) |
— о (jc)] = (00 —со). |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Неопределенность |
вида |
оо —со можно |
привести |
к |
неойреде- |
|||||||||||
■лепиости вида |
0 |
следующим ооразом: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1__ |
|
|
/ |
(*) -- * (*) |
= |
|
|
|
|
|
|
?(■*) |
f i x ) |
|
|
|||||
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
f i x ) |
|
<?(х) |
|
f i x ) |
<?(х) |
|
|
|||||
так |
как |
9(х) |
|
О и |
~дуу -*-0 |
при х-+а. |
|
|
|
|
|
||||||
185
Пример-. limlctgA------г |
|
( о о — о о ) |
= П ш ( ----------- |
|
|
|||
,*-*о \ |
л |
|
1 |
|
*-о\ *гд' |
А* |
|
|
|
'Л—tgA |
т |
|
(А- - |
t g x ) ' |
|
|
|
= lmr— г-2— |
) = lim |
(A tg X)' |
|
|
||||
.«■ -о |
* tg |
и |
/ |
.гч-О |
|
|
|
|
= Нш ______ COS2 А' |
|
|
1 |
— 2 c o s |
A-Sin А |
= |
0. |
|
1%х+х -Щ?-х |
|
|
|
1 |
2х COS-3 A Sin А |
|
||
|
COS3 А |
c o s |
2а |
|
||||
3. В случае неопределенных |
выражений |
вида I00, |
0°, оо° |
ре |
||||
комендуется эти выражения предварительно прологарифмиро вать. Пусть
у = [/( л - )Г д>,
где
/ ( а ) - * 1 , |
» ( Л ' ) - М » . |
|
х-*-я |
х -* а |
|
.Логарифмируем данную функцию: |
In у = »(А ) •1п/ ( а ). Пере |
|
ходим к пределу: |
|
|
lim In y = lim [з (a ) - In/ ( |
а ) ] = ( о з -0 ) |
|
—неопределенность уже изученного типа. |
||
Допустим, что найдено |
|
|
lim In у —/<'. |
|
|
х -*а |
|
|
Символы lim и In можно менять местами: |
||
In limy — К. |
|
|
Следовательно, |
|
|
limy = eA. |
|
|
П р и м е р : lim Asin v = ? jcsin-1'^ -(0°); |
y = AGinA; In у = sin a -In a ; |
|
,v-0 |
,r-0 |
|
lim In y = lim sin a -In x = |
(0 - oo) = iim - *n.x ■= (— W lim — —— — |
|||
л*-*-0 |
л*-*0 |
.v-*0 1 |
у ^ j |
л'-*-0 COS JC |
|
|
Sin A |
|
Sin2A |
= lim |
— S i n 2 A |
1 |
.V—0 |
A |
C O S A |
= lim —Sin A •lim tg a ==0; lim In у = In lim y = 0; |
|||
.V-bO A |
A--vO |
.Г—О |
A--0 |
l i m y = < ? ° = l ; |
l i m A s i n A — 1. |
|
|
.v-0 |
JT->0 |
' |
|
186
Практическое занятие № 22
Контрольные вопросы "
1. Сформулируйте правило Лопиталя для раскрытия неопределенности
вида -Q -.
2. Можно ли применять правило Лопиталя к раскрытию неопределенностей
ОО
вида——, 0 -со, оо— со, Iго, =оо? Если можно, то кик?
Примеры и задачи
Пользуясь правилом Лопиталя, найти предельные значения функций.
а) Неопределенность вида -(j-
1. |
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нт |
у х |
—у а |
|
|
|
|
|
|
|
Л'-ьЛ V x - |
1Га |
|
|
||
если |
в числитель |
и знаменатель |
|
подставить х=а. то полмчим |
|||||
неопределенность |
вида |
О . |
|
|
|
|
|
||
Применим правило Лопиталя: |
|
|
|
о |
|||||
|
3.— |
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
{ f a - f a ) ' |
|
3" |
|||||
|
У х — у а |
= lim |
= lim |
|
|||||
|
lim “7 |
= — —7=г |
|
|
|
1 |
|||
|
х-*а у |
X — у а |
Х-+<1 |
{ У х |
— |
} / а ) ' |
|
||
|
|
|
—-С- Нш х |
|
2 |
1 |
|
||
|
|
|
|
3 |
в.— • |
|
|||
|
|
|
|
О х - |
а |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
У а |
|
Напомним, что, применяя правило Лопиталя, следует брать про
изводную не от дроби, а от числителя и знаменателя отдельно.
е.Г_|
2 (самостоятельно). Вычислить lim —— .
.г -о sln
Ответ: 1.
3. Вычислить |
|
х —arctg х |
|
|
|
|
lim |
|
|
||
|
д--0 |
хг |
|
|
|
При х = 0 имеем неопределенность |
Применяем правило |
||||
Лопиталя: |
|
|
|
|
|
lim х — arctg л~ |
=llm (х —arctg xY |
1 |
1 |
||
\+xi |
|||||
lim - |
|||||
.v->0 |
•г-0 |
(х*У |
л-^О |
За:2 |
|
187
После подстановки .с—0 опятьполучаем неопределенность -jj- .
Следовательно, |
правило Лопиталя |
необходимо |
применить еще |
|||
раз: |
|
|
|
|
|
|
1 - |
1 |
/, |
I |
У |
■ 2л- |
|
1 + а2 |
|
|
|
|
|
|
lim |
=lim |
(3Х'У |
|
д-0 |
6л |
|
д-0 |
За'2 |
д-0 |
|
|||
|
|
= Иш |
+ а 2)2 |
3 • |
|
|
|
|
,-.о 3 ( 1 |
|
|||
Прежде чем подставить предельное значение х, нужно произвести возможные упрощения, в данном случае сократить на х.
4 (самостоятельно). Вычислить
|
|
|
|
lim |
a — s i n л |
|
|
|
|
|
|
|
A — tg A |
|
|
||
|
|
|
|
д-0 |
|
|
||
Ответ : |
— |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Найти |
|
|
.. |
е * — \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
lim----------- г- . |
|
|
||
|
|
|
|
д-0 |
cos х |
—1 |
|
|
Подставляя |
л = 0, |
получаем |
неопределенность вида - Q- . |
|||||
Применяем |
правило Лопиталя: |
|
|
2а • е Д3 |
||||
|
-НтЛ... |
-------;— = lim 7-------— |
4im |
|||||
|
д-0 COS А — 1 |
д—о |
(COS X |
—1 у |
JC_,0 |
—Sin А |
||
|
|
|
(а ■ехУ |
п „ е*’+ 2 хг-е-'-7 |
||||
|
= —2 Ьт ~ — |
+ = |
—2 lim ----- 1-------------= —2 . |
|||||
|
|
.г |
,0 (sin а) |
д- о |
cos а |
|
||
б |
(самостоятельно). |
Найти |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
naYX |
|
|
|
|
|
|
|
l i m — |
|
|
|
|
|
|
|
|
х-о |
У sin Ьх |
|
|
|
Ответ: |
У b ' |
|
|
|
|
|
||
7. |
|
|
|
|
|
|
||
Найти |
|
|
|
|
|
|
||
|
ех— |
|
А |
- А —1 |
|
ех— хл |
А —1 |
|
Нт |
|
|
|
|
-lim • |
Т |
|
|
д-0 |
COS А + |
• |
|
д-0 |
|
COS А + 4-У |
||
|
|
|
|
|||||
неопределекиость онда О
=Иш---------:------;------- = lim -----;--- -7------:--- r^— |
-a — 1 |
|
|||||||
= ilm |
|
|
|||||||
л-,0 |
—sinA-|-A |
.r- 0 |
(—siriA'-f-A') |
.t^-o —cos A-f-1 |
|
||||
неопределенность вида — |
|
|
|
|
|
неопределенность |
|
||
|
|
|
|
|
пила - i |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e-‘ —x —1 ) |
.. |
ex— 1 |
(j |
(eA—l |
ex |
- 1 |
• |
|
;И т ^ ---------- —-rrj = 11m —:------ |
—....lim —.,-----.rr =lim --------- |
||||||||
л--о(—COS ДГ+ ])' |
.r->0 |
Sin X |
.r-0 |
(sin a ) |
д-*П - COS X |
|
|
||
псопрсделен*n
В этом примере нам пришлось применять правило Лопиталя четыре раза.
8 (самостоятельно). Найти пределы:
|
|
|
|
|
|
ечх—ех |
; |
« |
Нт |
|
- 1 - А п |
|
|
|
|
|
а) |
|
|
е |
|
б) |
|
|
|
||
|
|
|
|
11т . |
|
|
|
л'-О |
sin6 2л' |
|
|||
|
|
|
|
|
.«•-о |
t g A —а |
|
|
|
||||
Ответ: |
а) |
|
1 ; б) |
ps ■ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
б) |
Неопределенность вида |
|
||||||
9'. |
Вычислить |
|
|
,. |
In sin 2а |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
— ;----- . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х—0 In Sin А |
|
|
|
|||
При а = 0 |
имеем |
неопределенность |
вида |
00 |
потому что |
||||||||
СО |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
In0 = — со |
|
(In 0 = lim In х). |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДГч-0 |
|
|
|
К раскрытию |
этой |
неопределенности правило Лопиталя приме- |
|||||||||||
няется так же, как и к раскрытию |
неопределенности вида 0 : |
||||||||||||
|
|
1 |
• л |
|
|
,, , |
|
п |
|
—— —-2 -cos2а |
|||
|
|
In sin |
2а |
|
(In sin |
2а ) |
|
sin |
2а |
|
|||
|
lim—;— |
;------ =lim- 7-— ;----r. = lim -------------------------- — |
|||||||||||
|
r-0 |
InSinA |
.v_o (1П Sin A) |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
•COS JC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin X |
|
|
|
неопределенность |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
вяла ---- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 В |
т - ^ |
= |
2 П ш Д У и .2 Нш. « g j a l - 2 1 lm, i ° g £ . |
||||||||||
.v *■ 0 |
ctg X |
|
|
Д--.0 |
tg 2a |
|
.r-o |
(tg2x)' |
.r-0 |
cos2 2 а |
|||
неопределенность |
неопределенность |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
oo |
|
|
|
.вида |
О |
|
|
|
|
|
|
|
виде -— |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
со |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
189
10 (самостоятельно). Вычислить пределы: |
|
|
||||||||||
|
а) |
Нш |
In X |
|
б) |
llm |
tg Зх |
*) |
iim |
ex |
||
|
,1'-П |
In sin х |
|
|
|
tg 5x |
.r-1-CO |
x“ |
||||
О тве т : |
a) |
1; |
б) |
-у-; |
в) -j-co. |
|
|
|
||||
|
в) |
Неопределенности вида |
со—а- и 0 •со |
|||||||||
Правило . |
Чтобы |
раскрыть |
|
неопределенность |
вида со — сс |
|||||||
„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
о |
|
или 0 |
-оо, ее следует привести к виду -у - или - у . |
|
||||||||||
11. |
Найти Иш |
(-г ------------ У~У При х -cl-rfl |
(т. е. справа) |
|||||||||
|
|
.г—1+0 |
\ In X |
|
X |
1 |
/ |
|
|
|
||
— ------+СО. и |
— —г |
- — or |
(х —1 > 0, |
если |
х —•>1 |
справа, от |
||||||
1п х |
|
|
х —1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
больших значений). Значит, имеем разность двух бесконечно больших величин, т. е. неопределенность вида со — ос. Преоб разуем эту разность в дробь:
|
.. |
/ |
I |
|
1 |
\ |
= |
lim |
х — 1 —In л* |
|
|
Urn |
|
-г--------------------г |
) |
|
;-------г г - = |
||||
.r-i+o\ |
In л- |
х —1 |
л_ 1+0 |
In Х ‘ ( Х — 1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
неопределенность вида |
||
= |
, |
|
(х—1 —1пх) |
|
— lim |
|
X |
|||
lim |
|
П------ 7----- rtv |
|
|
||||||
|
.г-*1+0 |
[In х - ( х - 1 ) |
' |
|
.f-1-1+0 |
|
-f- In X |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неопределенность пода T |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
--lim |
|
|
x — 1 |
|
]jm |
|
( x - 1 )' |
|||
|
X — 1 j - X |
In X |
|
Д--.1+0 ( X — 1 -{-x In x )/ |
||||||
.г-1+0 |
|
|
||||||||
|
|
|
= |
lim |
———-----—:— |
— ~cr- |
||||
|
|
|
|
д-_,1+о l-(-lnx-f-l |
|
2 |
||||
12 (самостоятельно). Вычислить: |
|
|
||||||||
“ > Й ( н Г Г “ ' Е т ) : 5) |
|
|
||||||||
О тве т : а) —1 ; |
б) 0. |
|
|
|
|
|
||||
13. Вычислить limx-lnx. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
.г-*+0 |
|
|
|
|
|
|
||
При хнь-j-O функция |
Inх —величина |
бесконечно большая, а |
||||||||
х — бесконечно |
малая. Поэтому |
имеем |
неопределенность вида |
|||||||
190