книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]
.pdf
|
|
Примеры н задачи |
|
|
||
I. |
Найти производные и дифференциалы |
трех |
первых по |
|||
рядков функции у — Ух. |
|
|
|
|
||
Решение. Находим последовательно первую, вторую и третью |
||||||
производные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 У х |
У х |
2 |
|
|
|
|
|
W ~ т у = з_ f |
__ 3 _ = |
3 |
|
||
|
4 \Х- |
' |
8 А |
~ 8 Ух* ~ 8л3 У' х |
|
|
Теперь легко написать и дифференциалы функции, умножая произ |
||||||
водные на dx, dx2, dx:] соответственно: |
|
|
|
|||
dy ^ |
- dx; |
drу -- |
^ |
dx2; d:ty — -—у; |
dx[> |
|
|
2 у х |
|
4x V x |
8х* \/ x |
|
|
2 |
(самостоятельно). Найти производные и дифференциалы трех |
|||||
первых порядков функций: |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
у — sin ах; y - l n t g x . |
|
|
|
|
v — —— |
|
|
|||
VX
3.Найти у("> функции у — — .
Решение. Находим последовательно первую, вторую, третью и четвертую производные:
уЧ> = ( _ 1)з.1-2-3 |
.4х3 = ( - l)i |
1-2-3-4 |
Л ' 8 |
|
х5 |
Здесь хорошо видна закономерность, по которой составлена каж дая из производных:
!) все производные содержат множителем число — I в степени, совпадающей с порядком производной;
2 ) числитель дроби есть произведение натуральных чисел от единицы до числа, равного порядку производной;
171
3) знаменатель дроби есть х в степени, на единицу выше поряд ка производной.
Предполагая, что эта закономерность сохраняется для произ водной любого порядка, получаем
у‘"> = ( _ ! ) " |
1-2-3.. .а |
я! |
х '1+ 1 |
( - 1) " х п+1 |
(строгое доказательство основано на методе полной индукции). 4 (самостоятельно). Вычислить у функций:
а) у — и (х) + v (х); б) у — и {x)-v (jc); в) у = (а + Ьх)т.
5. Доказать, что функция у = с ^ -2* + c2e~3x(ct и ^ — посто янные) удовлетворяет уравнению у'' + 5у' -{- 6у = 0.
Решение. Для доказательства достаточно найти у' и у" и под ставить в уравнение. Если в результате подстановки получим тож дество, значит функция удовлетворяет уравнению:
у' ,= с,е -2г ( - 2) + Ъе~3х( - 3);
у" — схе~2х-4 4- с2е~зг- 9.
Подставляя, получим
4с,е~2х -г 9с.,е~3х — \0сле~-х — 15с2е~3х — 6с^е~2х + 6с^е~3х —0,
или
0 = 0.
6 (самостоятельно). Показать, что функция у = с 1.т +I с2~* удов летворяет уравнению
4 - у = о.
/ (самостоятельно). Показать, что функция у = С\cos Зл:4-с2 sin Зх удовлетворяет уравнению у" + 9у = 0.
8 (самостоятельно). Найти производные второго порядка от сле дующих функций:
а) у — arcsinx; и) |
у = -Ц-(е |
|
в) У = |
от sin X |
|
|
1 - f COS X ' |
||||
О т в е т: а) (1 —д-Д1,2 |
> б) |
I |
+ е |
в) (1 |
т sin х |
2а |
-j- cos х )2 ‘ |
||||
3 А Н Я T H E 21
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Как известно, многие физические и технические задачи приводят к функциональной зависимости вида y=f(x) между двумя перемен ными величинами х и у. Очень важно уметь по виду функции f(x) установить характер изменения у в зависимости от х. Вопрос об изучении хода изменения функции или, более кратко, вопрос об исследовании функции имеет для практики фундаментальное значение: С некоторыми элементами исследования функций мы уже ознакомились выше.
В этом разделе будет показано, как знание производной от функции позволяет делать заключения о поведении самой функции.
Некоторые простые особенности функции (возрастание или убы вание, наибольшее или наименьшее значение) удается обнаружить с помощью первой производной. Применение второй производной позволит уточнить исследование.
Предварительно докажем некоторые важные теоремы о произ водной, имеющие большое теоретическое значение, которые позво лят нам применить производную к исследованию функций.
§ 53. Основные теоремы дифференциального исчисления
а) Теорема Ферма*)
Если функция f(x) **) определена в некотором промежутке, во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее или наименьшее значение и имеет в этой точке конечную производную У{с), то эта производная равна нулю: /'(с) = 0.
При доказательстве теоремы для определенности положим, что в точке с функция принимает наибольшее значение.
Дано: |
1) |
/ ( с ) > / ( * ) при любом .с из рассматриваемого |
||
промежутка; |
|
|
||
2 ) f'ip) — конечная. |
||||
Д о к а з а т ь : |
|
f (с)—0. |
||
*) |
Пьер Ферма |
(1601— 1665)— выдающийся французский математик. |
||
*'") |
Здесь, |
как |
и |
в дальнейшем, будем рассматривать только однозначные |
функции.
173
Доказательство. |
Рассмотрим отношение |
|
||
|
f ( x ) ~ f j c ) _ |
|
||
|
X —с |
|
|
|
при х > £ имеем |
f i x ) - / (с) ■-«55 ' |
|
||
|
|
|||
так как х —с > 0, а / ( л ) - / ( с ) < 0 |
по условию |
( 1 ). |
||
При х < с будет |
> 0. |
поскольку |
теперь х — с < 0, |
|
а /(•*)—/ ( с ) < 0. |
производной, |
|
|
|
По определению |
|
|
|
|
|
Л*W |
л |
<* |
|
причем этот предел не зависит от того, будет ли х прибли жаться к с справа или слева.
Но при х > с
|
f i x ) - f j c) ,;п |
|||
отсюда |
|
х - г |
''' |
’ |
|
|
|
|
|
Ifm |
/ Л 'й - Л й . = |
f |
(С) < 0 . |
|
.«г-r+B |
х |
с |
|
|
Если же х < с , то |
|
|
|
|
|
/ ( * ) f(°) |
■ |
о |
|
следовательно, |
|
х —с |
|
|
f i x ) |
—f ( c ) |
|
|
|
Игл |
|
0. |
||
,-f-0 |
X ....С |
|
|
|
Таким образом, имеем: |
|
|
|
|
Г (с) С 0 и f (с) |
- 0, |
|||
но одновременно быть и неположительным и неотрицательным мо жет только нуль, значит, /'(с) = 0, что и требовалось доказать.
Если в точке с функция 'принимает наименьшее значение, то до казательство аналогично.
б) Теорема Рояля*)
Если функция y = f(x):
1 ) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ь],
*) Мишель Ролль (1652— 1719) — французский математик.
174
2 ) имеет конечную производную в каждой точке открытого про
межутка (а, Ь), |
|
|
|
концах промежутка: /(а) = |
||||
3) принимает равные значения на |
||||||||
4 ( b ) , |
|
b найдется |
по крайней |
мере |
одна |
такая точка |
||
то между а и |
||||||||
с (а < с< Ь ), что f'(c) = 0. |
|
|
|
|
|
|
||
Дано : условия 1, 2 , 3. |
|
|
|
|
|
|
||
Д о к а з а т ь : |
существует |
точка с, а<с<Ь, |
такая, |
что /'(<:)= 0. |
||||
Доказательство. При условии f ( a ) = f ( b ) |
возможны два слу |
|||||||
чая: либо f { x ) |
постоянна |
в [а, й], |
т. |
е. /(.*)==const=/(<i) = |
||||
= /(й ), |
либо f ( x ) не постоянна в [а, |
й]. |
|
|
|
|||
Если |
у=/(д-)== const |
в |
[а, й], то f ( x ) |
— 0 во |
всех точках |
|||
этого промежутка, т. е. |
точек с существует |
бесчисленное мно |
||||||
жество. |
Теорема в этом |
случае доказана. |
|
|
||||
Если f(x) ф const в [а, й], то, будучи непрерывной в замк нутом промежутке, функция f (х) примет в этом промежутке свое наибольшее и наименьшее значения (см. свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке).
Пусть т — наименьшее, а М — наибольшее значение функ ции /(*). По крайней мере одно из этих значений функция примет внутри промежутка, так как т<М, а значения функции на концах промежутка равны между собой (f(a)-f(b)).
Итак, функция [(х) в некоторой внутренней точке с (а<с<Ь) принимает свое наибольшее или наименьшее значение. По усло вию 2 доказываемой теоремы, в этой точке существует конечная производная f'(c).
Но если функция f(x) во внутренней точке с промежутка прини мает свое наибольшее или наименьшее значение и имеет в точке с конечную производную, то по теореме Фер ма эта производная должна равняться ну
лю: f'(c)= 0, что и требовалось доказать.
Геометрическое толкование. Условие 2
теоремы Ролля, т. е. существование в каж дой точке открытого промежутка (а, Ь) ко нечной производной, означает, что в каж дой точке графика функции f(x) (исключая концы) можно построить касательную, не параллельную оси ординат.
L— I----1______! |
_ |
||
О а |
с |
S |
х |
|
Рис. |
83. |
|
Условие 3 означает, что ординаты конечных точек этого графика /(а) и f(b) равны между собой. Теорема говорит, что при этих условиях найдется точка с, а<с<Ь, в которой касательная к гра фику будет параллельна оси Ох, так как ее угловой коэффициент f'(c) =0 (рис. 83).
Замечание. Каждое из условий теоремы Ролля существенно. Если отказаться хотя бы от одного из них, то заключение теоремы
175
нарушится. Ни на одном из чертежей, приведенных на рис. 84, функция не имеет горизонтальной касательной ни в одной из внут ренних точек. На рис. 84а и 84в функция удовлетворяет условию
f(a)=f(b), но функция, |
изображенная |
на |
рис. 846, в точке х0 |
не имеет конечной производной (в этой |
точке касательная верти |
||
кальна, f'(x) =tg90°=oo), |
следовательно, |
нарушено условие 2, |
|
а функция, изображенная на рис. 84в, в точке х0 терпит разрыв непрерывности — нарушено условие 1 и, следовательно, условие 2 .
Функция, изображенная |
на рис. S4б, удовлетворяет условиям |
1 и 2 , но не удовлетворяет |
условию 3: /(а) ===/ (ft). |
в) Теорема Лагранжа *)
Если функция[(х):
1 ) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, 6], 2 ) имеет конечную производную в открытом промежутке (а, Ь),
то найдется по крайней мере одна точка с, а < с < 6 , для которой
т ^ - п о . |
<■> |
Дано: условия 1 и 2 .
Д о к а з а т ь : существует точка с, а<с<Ь, в которой
A bl J (a] = / ' (С).
Доказательство. Левую часть формулы (I) обозначим через А:
I lZl- =А, |
A = const. |
(II) |
о—а |
|
|
Тогда имеет место равенство |
|
|
— А {b -а)= 0. |
|
|
Введем вспомогательную функцию, заменив в левой части пре |
||
дыдущей формулы букву Ьбуквой х: |
|
|
?М = / ( х) ~ / (■а) |
- А (х - а ). |
|
*) Жозеф Луи Лагранж (1736— 1813) — знаменитый французский |
математик |
|
и механик. |
|
|
176
Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:
1 ) ф(х) непрерывна в [а, Ь] как разность непрерывных функций; 1(х) непрерывна по условию теоремы, А(х—я) непрерывна как линейная функция;
2 ) ф(*) имеет конечную производную во всех точках промежут ка (а, Ь) \
?' (-*) = / '( * ) " Л .
}'(х) существует н конечна в (а, Ь) по условию теоремы;
3)ф(сг) =ф(А) = 0, что легко проверить:
ф(°) =f(a)—}(a)—A(a—a) = 0;
ф(Р)=/(Р)—f(ci)—А(Ь—а) = 0 (по условию (II)).
Следовательно, существует такая точка с, а<с<Ь, <в которой
Но (р'(с) =!'(с)—А, значит, f ( c ) —А = 0, т. е.
A —f (с).
Подставляя это в (II), получим равенство (I):
/ W - / H |
- Г {с). |
Ь—а |
Теорема доказана.
Формула (I) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений, так как она дает связь между приращением функции f(b)—'f(a) на конечном промежутке [а, Ь] и приращением аргумента b—а:
fib) —f { a ) = f { c ) ’ {b—a).
Если положить а = х , b= x + Ах, b—а=Ах, тогда |
|
|
||
|
fib) - f { a ) = f i x + Ах) - f ( x ) |
= Д /(х) |
|
|
и формула Лагранжа примет вид: |
|
|
|
|
где |
А/( * ) =f( c) - Ax , |
|
|
|
а:< с< л*+Дл:. |
х+Вйх С |
|
|
|
|
Х*АХ |
vT |
||
Из рис. 85 видно, что абсцисса точки с О |
|
у ---- |
||
может |
быть представлена как х + |
|
лх |
|
-г часть Ах: |
Рис. |
85. |
|
|
|
с=л:-(-часть &х. |
|
|
|
Вместо «часть Ах» принято писать ЭДл:, где под 0 понимаем пра |
||||
вильную дробь: 0< 9< 1, тогда |
|
|
|
|
|
с=»л:-|-0Дл . |
|
|
|
12 Зэк. |
212 |
|
|
17t |
Теперь формулу Лагранжа можно переписать следующим обра зом:
Дf { x ) = /'(л :-1- 6Дл:)-Д;с. |
(III) |
Формула Лагранжа довольно часто применяется именно в фор ме (III).
Геометрическое толкование. Из рис. 86 видно, что:
|
|
|
B B ,= f(b); |
АА^/( а ), |
|
|
|
|
tgP |
КВ, |
/( b) - / ( а ) |
|
|
|
|
А,К |
Ь-а |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
Значит, левая часть формулы (I) есть |
||||
|
|
угловой коэффициент хорды А\В\, стяги |
||||
|
|
вающей |
концы графика функции |
}(х)\ |
||
|
|
Г (с), как известно, есть угловой коэффи |
||||
|
|
циент касательной |
к графику в |
точке |
||
|
|
с абсциссой с. |
|
|
||
Формула |
= / ' (с) означает, что |
на графике функции |
||||
y = f { x ) , |
удовлетворяющей условиям теоремы Лагранжа, найдет |
|||||
ся такая |
точка |
(с абсциссой с), |
в которой |
касательная |
будет |
|
параллельна хорде A,BV
Замечание. Легко видеть, что теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. Если к условиям теоремы Лагранжа добавить, что /(а ) =/(&), тогда из формулы (I) следует f'(c)—О, т. е. заключение теоремы Ролля.
|
г) |
Теорема Коши*) |
Если две функции if(x) |
и g(x) : |
|
1 ) |
определены и непрерывны в замкнутом промежутке [а, Ь], |
|
2 ) |
имеют конечные производные в открытом промежутке (я, Ь), |
|
3) |
g' (•*) Ф 0 в (а, Ь), |
|
то найдется хотя бы одна точка с внутри промежутка (я, Ь) такая, что имеет место равенство
/(b) ~ / ( g ) |
^ / ( < 0 |
{т |
g(b) — g(a) |
g'(c) ■ |
к |
Дано: условия 1, 2, 3. Д о к а з а т ь: формулу (IV).
Доказательство. Функция g(x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, значит:
: |
g (b) — g (а) = g' (с,) (Ь--а), •я < яг< 6. |
*) Огюстен Лун Кошн (1789— 1857)— выдающийся французский математик.
178
По условию 3, g'(ct) ФО, |
так как она отлична от нуля во |
всех точках промежутка (а, |
b). Следовательно, g(b) — g ( a ) ^ 0 |
и на эту разность можно делить.
Обозначим левую часть формулы (IV) через А:
f (b) f (а) |
л |
A = const, |
g ( b ) - g ( a ) |
|
|
|
|
f{b) - / ( л ) = Л [ g ( b ) - g ( a ) }.
Составим вспомогательную функцию
«(<*)=/(■*) / ( « ) А [g(x)—g ( a ) l
Функция ср(л') удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля; двум первым потому, что им удовлетворяют функции f(x) и g(x); легко увидеть, что третье условие тоже выполняется, т. е. что Ф(а) =ф (Ь):
» ( а ) = /( п ) - /( а ) —Л [g(a) - g { a ) ] = 0 ;
?(6) = f ( b ) - f ( a ) - A [ g ( b ) - g ( a ) ] ---
= А |
[?■(*)— (о)] = 0 . |
Применяя теорему Ролля к функции ф(х), заключаем о суще ствовании такой точки с, что ф'(с) = 0, а<с<Ь:
i { x ) = f ix)—Ag' {х), ®' ( с ) - / ' (с) -Ag' (с)=0,
т. с.
По ) (о)
подставляя значение Л, имеем |
|
f(b)~X(a) |
. / ( g ) |
g ( b ) - g ( a ) |
g'{c) ’ |
что и требовалось доказать.
Формула (IV) называется формулой Коши.
Замечание. Формула Лагранжа является частным случаем фор мулы Коши при g(x) ~ х .
Практическое занятие N° 21
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте теорему Ролля.
2.Что геометрически означает существование конечной производной в каж
дой точке промежутка (а, 6)?
3.Сформулируйте теорему Лагранжа.
4.Каков геометрический смысл теоремы Лагранжа?
5.Сформулируйте теорему Коши.
6.Можно ли рассматривать теорему Ролля как частный случай теоремы
Лагранжа?
7. Можно ли считать справедливым, что формулу Коши легче всего получить • как отношение двух формул Лагранжа для функций /(*) и g{x) соответственно?
12"= |
179 |
Примеры и задачи |
|
1 . Проверить справедливость теоремы Ролля для |
функции // = |
= х3+4х2—1х— 10 в промежутке [— 1, 2]. |
|
Решение: |
|
1 ) Эта функция, будучи полиномом, определена |
и непрерывна |
в данном замкнутом промежутке. Первое условие теоремы Ролля выполнено.
2) Производная у' —3х2 + 8х—7 существует и является конечной в каждой точке открытого промежутка (— 1, 2). Второе условие тоже выполнено.
3) Вычисляем значения функции на концах промежутка:
У!*__] = (—I)34-4- (— I)2 —7 (— 1) —10= —1-|-4-|-7—10=0;
у|.^ 2 = 23+ 4 - 22— 7-2—10= 8+ 13 —14—10=0.
Таким образом, третье условие теоремы Ролля тоже выполне но— функция принимает равные значения на концах промежутка.
Итак, данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля в промежутке [— 1, 2]. Тогда внутри этого промежутка най дется по крайней мере одна точка, в которой у '—О.
2 (самостоятельно). Проверить справедливость теоремы Ролля
для функции у = 1п sin х |
в промежутке |
5 я ‘ |
|
б ’ "6 |
|||
|
|
3. Функция у=|-х| непрерывна и принимает равные значе ния на концах промежутка [—а, а]. Убедиться в том, что про изводная от этой функции нигде внутри промежутка [—а, а] в нуль не обращается, и объяснить, почему здесь не выпол няется теорема Ролля.
Решение. Функция у=|л'| может быть записана так:
х при л:>0,
У - (—X при х<_0\
ееграфик см. на рис. 87. Найдем производную
/ = |
при |
■*>0, |
|
при |
л<0. |
||
|
Действительно, эта производная .в нуль в промежутке (- а, а) не обращается, хотя третье условие теоремы Ролля явно выполнено:
У \х=а— х\х=а— &i У|.г— а— х\х=-а— ( &)—П.
•-Первое"условие теоремы Ролля тоже выполнено — функция у — \х\, как это видно из чертежа, непрерывна на замкнутом промежутке.’[—а, а]. .
180