Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
24.10.2023
Размер:
8.99 Mб
Скачать

И обратно, уравнение кривой y = f(x) всегда можно и не един­ ственным способом записать в параметрическом виде. В частности, положив x — t, получим:

X — t

У =/(*)■

Приведем примеры параметрического задания кривых.

1.

Параметрические уравнения окружности

Если примем за параметр центральный

 

угол t, то из графика

(рис. 77)

следует:

 

X =

/?cos t

 

 

 

 

 

у — R sin t

v

'

.

!

 

Это будут

параметрические

уравнения

 

окружности радиуса R. Возводя эти равен­

 

ства в квадрат и складывая, получим

 

.х2 + / - =

П1sin21+

Я 2 cos21= /?*

Рис. 77.

— каноническое уравнение окружности.

2.Параметрические уравнения эллипса

Эллипс может быть задан уравнениями:

х = a cos t

 

, . < (0 < * < 2 w ).

y = osin^

^

В том, что эта кривая действительно есть эллипс, убедимся, исклю­ чив /:

— = cos t,

— =

sin t -> ~

~ = sin21-f- cos21= 1 .

a

a

a*

b-

§ 45. Производная функции, заданной параметрически

Имеем функцию у от х, заданную параметрическими урав­ нениями:

 

х — <э(О,

(83)

 

у

= Ф(0

 

 

на некотором интервале изменения t.

 

Предполагая, что x=v{t) и

у = 'Н 0 имеют производные по

t и

в рассматриваемом

интервале,

найдем производную

от у по х.

Иначе говоря, требуется найти

предел

151

Дадим аргументу t приращение At, тогда получат приращения и функции х и у Ах и Ду.

В таком случае, деля числитель и знаменатель дроби ^ на At(At^=0), получим следующее выражение для производной:

/

Ду

 

Ду_

У±_

 

Иш

At

(84>

Ух =

Игп ТТГ =

Ах

х.‘

 

ДД--.0 “ Л

д< О

 

 

 

 

~±Г

 

 

(замена Ах-+ 0 на At

0 закономерна

вследствие непрерывности

функции ф(0 и ф (/)).

 

 

 

 

 

Пр им ер 1. Найти у /д л я функции

 

 

 

( х —а cos t, \ у = а sin t.

Находим xt и у/ и полученные значения подставляем в фор­ мулу (84):

/

. ,

,

,

,

a cos t

ctg^.

x t = — с sin г!;

y /= a c o s r ;

y r =

--------:—

'

 

 

 

 

asin^

b

Пример 2. Найти yx' от функции, заданной параметрически:

х -■ 2 cos t— cos 21,

у= 2 sin t — sin 21

в точке, где t = .

 

 

Находим сначала xt и у {

в некоторой точке t:

 

х / = — 2 sin t +

3^

t

2 sin 21 4 cos -g - sin

;

Затем:

V '= y j _ :

Ух /

yt'=

2 cos t — 2 cos 2t =

4 sin sin -4-

 

 

 

 

9

< .

3 1

t

з

 

4 sm -r sm-2-

* , 1 , - 4 = ' в т = 1.

,------------------it .

Г

=

4 cos ~2“ Sin

2

 

 

§46. Гиперболические функции и их производные

Впрактике, при решении разнообразных задач весьма часто встречается показательная функция ех. Мало того, кроме самой этой функции, используются различные комбинации ее с функцией

152

е~х. Поэтому для некоторых комбинаций вводятся специальныеназвания и обозначения.

Так, с помощью определений вводятся гиперболические функ­ ции, представляющие комбинации функций ех и е~х.

Гиперболическим синусом, косинусом и тангенсом соответствен­ но называются функции:

sh х

ех е~

til х

 

(85>

cli х

с.'■+ е~

 

 

 

 

(читаются

так: синус гнперболикум х,

косинус

гиперболикум г

и т. д.).

 

 

 

 

Во всех трех функциях х изменяется от — оо до + со. Эти на­ звания могут сначала показаться несколько странными и их смысл (что здесь от синуса? что от гиперболы?) будет ясен, если опреде­ лить гиперболические функции опираясь на равноосную гиперболу х2—у2 = 1, подобно тому как тригонометрические функции опреде­ ляются исходя из окружности с уравнением х2+ у 2 = 1. Это хорошо видно на рис. 78, 79.

КМ—линия синуса

КМ—линия гиперболического синуса

ОК—линия косинуса

ОК—линия гиперболического косинуса

АТ —линия тангенса

АТ—линия гиперболического тангенса

Рис. 78.

Рис. 79.

Кроме этого, некоторые формулы, связывающие гиперболиче­ ские функции друг с другом, указывают на значительную аналогию между гиперболическими и тригонометрическими функциями. Так, например:

1.

Sh 0=0, Ch 0 = 1;

 

2.

Ch3* —Sh2* = l ;

 

3.

Sh (x + y ) =

Sh x Ch у ±

Shy Ch x;

4.

Ch (x ± y) =

Ch x Ch у ±

Sh x Sh y;

5.Sh 2x = 2 Sh л Ch x;

6.Sh (—x) = — Sh л: (гиперболический синус—нечетная функция);,

7. Ch(—x) = Chx (гиперболический косинус—четная функция) и т. д.

153

Проверьте эти формулы. Графики функций приведены на рис. 80, 81.

Рис. 81.

Найдем производные гиперболических функций:

1

. . v

/ ех—е~х V

 

ех+е~х

=

ch х.

 

1.

(shx) =

( -----------

 

 

= — g

 

 

■о

/ t,

jex+ e - x Y

 

ех—е~х

=

shx.

 

2.

(c h x )'= [ -----^-----)

)

=

----- 2------

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3.

(th x )' =

sh x V

 

 

 

(sh x)' ch x — (ch x)' sh x

chx j

 

 

 

 

(ch x)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch x ch x — sh xsh x

ch2x — sh2x

 

 

 

(ch x )2

 

 

 

 

 

(ch x )2

ch2x '

Практическое занятие № 18

Контрольные вопросы

1.Какие функции называются неявными?

2.Приведите примеры неявных функций.

3.Как найти производную от функции, заданной неявно?

4.Какие функции называются гиперболическими?

5.Постройте графики функций sh х, chx, th х (приняв е=2,7).

6.Какой способ задания функции называется параметрическим?

7.Как найти производную от функции, заданной параметрически?

Примеры и задачи

1. Найти производную от неявной функции 10х2—Зу + —5 = 0.

Решение. Дифференцируем по х обе части равенства и, учиты­ вая, что производная от у по х равна у получим

20х—3 / + 8 = 0 ,

154

откуда

,20л- -f 8

>'= — 3— '

2.Найти производную у' от неявной функции

х- — у- — еху = а.

Решение. Дифференцируя по х обе части равенства, мы должны рассматривать у2 и exv как сложные функции:

1)(х2)'= 2 х .

2)(у2),'= 2 у -у '.

3)(ехУ)/~ехУ(ху)' —ex-v(1 -y-f х-у').

4)(а)' = 0.

Витоге получаем

2л—2уу'—ехУ (у+ху') =0.

Отсюда

2х~уе'У

У2у + х е хУ

3. Найти производную от

функции у = (х )]!'<-г),

где и (л)

и v (л) — дифференцируемые функции.

 

Решение. Формулы для

дифференцирования такой

функции

у нас нет. Формулы для ах и хп здесь неприменимы, так как в на­ шем случае и основание и показатель степени — переменные.

Поэтому предварительно прологарифмируем это равенство: lny=T>(x)ln«(x).

Теперь имеем уже неявную функцию.

Дифференцируя обе части равенства по х, получим

1

, ,.

In

. и '

у

—V

и 4------- V,

у J

 

 

и

откуда

 

 

 

У v' In и 4------- V

— u:'v' In u4-vuv~1u'.

 

и

 

 

(Рассмотрите правую часть, а формулу полезно занести в таблицу.)

4 (самостоятельно).

Найти

производные

следующих функций:

 

а) л3—л у + у 3= 0 ; б) у2= 4 ах; в) у —хх;

г) у — | ^

/ " Л ^ — Л (предварительно

прологарифмировать).

О т в е т :

а)

~ ;

б) у - ;

в) л-1(1пл +

1);

г)

 

(* +

1)(х*~ 2)

 

 

 

 

t>— х

Х+\

Х“—2 ^ 5—х

 

 

 

155

5. Напишите уравнение кривой в форме г/= /(х ), если известны ее параметрические уравнения:

у= 3 t*-t\

ивыясните, какую линию определяет уравнение.

Решение. Из первого уравнения находим t2 как функцию от х:

и подставляем во второе. В итоге получим

х 1

х

у = - 9

з •

Линия, определяемая этим уравнением,— парабола, симметричная относительно прямой, параллельной оси Оу.

6. Напишите уравнение кривой в форме F(x, у) =0, если извест­ ны ее параметрические уравнения:

х = а cos31,

у = а sin3t.

Решение. Перепишем эти уравнения так:

 

— =

 

cos31,

= sin37.

о

а

 

 

а

обе

части равенств и складывая, получим

Возводя в степень у

х

 

 

cosЧ + sin2zf = 1,

а

 

 

 

 

 

 

или окончательно

 

 

 

 

2

 

2

2

 

л 3

+ у 3

= а 3

(астроида).

7 (самостоятельно). Напишите уравнения кривых в форме F(x, У) =0. если их параметрические уравнения имеют вид:

.x =

5 s i n - ^ ,

 

.

г>

01.

,

0 ,

а)

 

4

 

j х =

2 cos-t,

j х —

31,

о

* 4-

^

I у =

2 sin2*;

6^ { у =

6t tz.:

 

у = 3 co s -r -1\

 

y

 

 

w

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

О тве т : а)

Эллипс ~

+

-y- =

1; 6)

-^ +

-^-=1; в) y = 2x—y .

156

8.

Найти

производную

у'х от

функций, заданных параметр

чески:

 

 

 

 

 

 

fjc= 3 cos ^

( я i/ " 2

 

 

x — t — P

а) (у = 4 sin t в то,ке Н 2

~

; 2 1/2 ) ;

б) у = f- - е в точке № 0):

 

 

X = 1 +

t

 

 

 

 

в)

t3

 

 

в произвольной точке.

 

2

 

2

 

 

У ~ 2 * 2 +

t

 

 

Решение: а) Прежде всего определяем значение t в указанной точке, для чего достаточно подставить значения координат в урав­ нение:

 

3 V2

Зсos t

 

cos t =

/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

*= т •

 

 

2 } / 2 = 4sin*

 

sint =

1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь находим л:' и у^

и

полученные значения

подставляем

в формулу (84):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

„ ,

, . .

.

,

У<

 

4 cos £

= -

4

, ,

,v, = -3 sin * ;

у, = 4 cos*;

уд.= ^

 

^

ctgt.

 

 

 

 

 

 

 

 

-3 sin t

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

4_

 

 

 

 

 

 

 

У*\.

 

« =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 ‘

 

 

 

 

 

 

 

*-т

 

 

 

 

 

 

б)

Снова определяем t для точки

(0, 0):

 

 

 

 

 

 

0 = t — t*

1

t

(1 — t3) = 0 ,

 

 

 

 

 

 

0 = ** — *3 ) *а(1 — *) = 0 ,

 

 

 

откуда

следует,

что в точке

(0, 0)

t

имеет два

значения — 0 и 1.

Стало быть, и производная в этой точке должна иметь два значе­ ния (кривая пересекается сама с собой).

Находим х/ и у{

и по формуле (84)

получаем

 

-V

21-

З*2

 

 

1 — 4*3

 

Для точки, где (= 0

и * = 1, имеем:

 

 

Ух I<=о =

Ух I

- 1

3 ‘

157

в) Находим x't и y't:

Ы 3— 3**(1 + f) _

* — 3 — 3*

3

+ 21

x t =

 

i*

 

 

 

 

 

 

y

, I

9

 

2

3_

2

 

yt

 

г;4

 

<2'

<8

г+'

 

Тогда

 

 

_3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У.Г =

 

t3

t

(3 +

2*)<

 

 

 

3 + 2£ ~ 3 + 2£

 

 

9 (самостоятельно).

Найти

производные

функций, заданных

параметрически:

<?)

б)

d)

О тве т : а) -

, x = 2cost

_______

^

1,

(

] / з '

у =

.

в точке

\

+

0

sin г!

 

 

 

2

-х =

cos t +

t sin t

в точке

y к

у — sin t — t cos t

£ = — ;

 

 

 

4

JC= In (1 + **),

У = t — arctgt-

л- =

 

e‘ sin t,

e)

у =

 

 

.

<?+os t\

 

_ !

.

Л)

1 .

, 1

2 j / +

'

'

■?.

 

cos t — sin t

г)

X — <p(1— S i n (p),

у = щcos t?; _ JLi/oTa

 

1

 

* = r'1-

1 . 1

c o s ? — « s i n ? .

2 ’

'

1sin <a у COS <3

ч

т f

t

ъ ш т+ >ёю Г :

Г г

10 (самостоятельно). Используя правило дифференцирования сложной функции и формулы (85), найти производные следующих функций:

а)

y =

lnthjc;

б) у = sh (cos jc); в)

y =

th3(jc5).

 

О тв ет :

а)

 

б) — ch (cosA+sinjc;

в)

15 thajgs

■х\

sh

ch2 хьъ

ЗАНЯТИЕ 19

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛА. ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ

§ 47. Дифференциал функции. Дифференциал как главная часть приращения функции

Дифференциалом dy функции y —f(x) в точке х называется произведение значения производной f'(x) на произвольное прира­ щение Ах аргумента х, т. е.

dy = / ' (л;) Длг.

(86)

Очевидно, что для получения дифференциала функции необхо­ димо знать два числа: начальное значение аргумента х и его при­ ращение Ах.

Пример. Вычислить дифференциал функции у = х3 при изме­ нении значения аргумента х от 2 до 2,1.

Найдем dy сначала для произвольных значений х и Ах:

f (х)

= (х 3)' = Зх2.

 

Поэтому

 

 

dy = Зх2Ах.

 

Начальное значение аргумента х=2, приращение его Дх= 2,1—

—2 = 0,1. Подставляя эти значения, получим

 

dy =

3-22-0,1 = 1,2.

 

Пользуясь формулой (86),

найдем дифференциал такой простой

функции, как у = х:

 

 

d x — 1 •Ах

 

или

dx = Ах,

(87)

 

т. е. дифференциал независимой переменной (аргумента)

равен

произвольному приращению этой переменной.

 

Внося в формулу (86) значение Ax=dx, получаем

 

dy = f (х) dx,

( 88)

159

т. е. дифференциал функции y = f(x) в точке х равен произведению производной функции в этой точке на дифференциал независимой переменной.

Из соотношения (88) производную f'(x) можно определить как отношение дифференциалов:

dy

Поэтому введенный ранее символ производной dx можно рас­

сматривать как реальную дробь.

Определение дифференциала функции носит формальный харак­ тер. Выясним содержание этого понятия.

По определению,

Ду

/ ' (х) = Пт А.Г--0 Дх ■

Отсюда, в силу формулы (32), находим:

Ду

= /'(•*) +

а

 

Д х

 

 

 

или

 

а•Дх,

(89)

Ду = / ' (х) Дх +

где а 0 при Дх ->- 0.

 

 

 

Таким образом, приращение функции записано в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое / ' (х) Дх является при Дх^-0

бесконечно малой одного порядка с Дх, если / ' (х)

*f=0 (так как

■fr(jc) Ajc

(x)

0).

Это слагаемое

линейно от-

Iim

. — = lim / ' (x) = f

А х ^ -0

Ах-<-0

 

 

 

 

 

носительно Дх.

при

Дх

0

бесконечно

малая более

Второе слагаемое аДх

высокого порядка, чем Дх

 

= а

0

при Дх

Иными сло­

вами,

при Дх-> 0 второе слагаемое неизмеримо мало по сравне­

нию с первым.

Поэтому дифференциал функции dy=if/(x)dx называют глав­ ной, линейной относительно бесконечно малой Дх, частью прира­ щения функции Ду.

Если теперь в (89) вместо f'(x) Дх подставить dy, то получим Ду = dy аДх.

Стало быть, приращение функции и ее дифференциал отличаются друг от друга на величину бесконечно малую более высокого порядка:

Ду — dy аДх.

При достаточно малых Дх можем написать приближенное ра­ венство:

ДУ — dy,

которое широко используется в приближенных вычислениях.

160

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ