
книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]
.pdfИ обратно, уравнение кривой y = f(x) всегда можно и не един ственным способом записать в параметрическом виде. В частности, положив x — t, получим:
X — t
У =/(*)■
Приведем примеры параметрического задания кривых.
1. |
Параметрические уравнения окружности |
|||||
Если примем за параметр центральный |
|
|||||
угол t, то из графика |
(рис. 77) |
следует: |
|
|||
X = |
/?cos t |
|
|
|
|
|
у — R sin t |
v |
' |
. |
! |
|
|
Это будут |
параметрические |
уравнения |
|
|||
окружности радиуса R. Возводя эти равен |
|
|||||
ства в квадрат и складывая, получим |
|
|||||
.х2 + / - = |
П1sin21+ |
Я 2 cos21= /?* |
Рис. 77. |
— каноническое уравнение окружности.
2.Параметрические уравнения эллипса
Эллипс может быть задан уравнениями:
х = a cos t |
|
, . < (0 < * < 2 w ). |
|
y = osin^ |
^ |
В том, что эта кривая действительно есть эллипс, убедимся, исклю чив /:
— = cos t, |
— = |
sin t -> ~ |
~ = sin21-f- cos21= 1 . |
a |
a |
a* |
b- |
§ 45. Производная функции, заданной параметрически
Имеем функцию у от х, заданную параметрическими урав нениями:
|
х — <э(О, |
(83) |
|
|
у |
= Ф(0 |
|
|
|
||
на некотором интервале изменения t. |
|
||
Предполагая, что x=v{t) и |
у = 'Н 0 имеют производные по |
||
t и |
в рассматриваемом |
интервале, |
найдем производную |
от у по х. |
Иначе говоря, требуется найти |
предел |
151
Дадим аргументу t приращение At, тогда получат приращения и функции х и у — Ах и Ду.
В таком случае, деля числитель и знаменатель дроби ^ на At(At^=0), получим следующее выражение для производной:
/ |
Ду |
|
Ду_ |
У±_ |
|
Иш |
At |
(84> |
|||
Ух = |
Игп ТТГ = |
Ах |
х.‘ |
||
|
ДД--.0 “ Л |
д< О |
|
||
|
|
|
~±Г |
|
|
(замена Ах-+ 0 на At |
0 закономерна |
вследствие непрерывности |
|||
функции ф(0 и ф (/)). |
|
|
|
|
|
Пр им ер 1. Найти у /д л я функции |
|
|
|
( х —а cos t, \ у = а sin t.
Находим xt и у/ и полученные значения подставляем в фор мулу (84):
/ |
. , |
, |
, |
, |
a cos t |
ctg^. |
x t = — с sin г!; |
y /= a c o s r ; |
y r = |
--------:— |
|||
' |
|
|
|
|
asin^ |
b |
Пример 2. Найти yx' от функции, заданной параметрически:
х -■ 2 cos t— cos 21,
у= 2 sin t — sin 21
в точке, где t = . |
|
|
Находим сначала xt и у { |
в некоторой точке t: |
|
х / = — 2 sin t + |
3^ |
t |
2 sin 21 —4 cos -g - sin |
; |
Затем:
V '= y j _ :
Ух /
yt'= |
2 cos t — 2 cos 2t = |
4 sin sin -4- ■ |
||
|
|
|
|
9 |
< . |
3 1 |
t |
з |
|
4 sm -r sm-2- |
* , 1 , - 4 = ' в т = 1. |
|||
,------------------it . |
Г |
= |
||
4 cos ~2“ Sin |
2 |
|
|
§46. Гиперболические функции и их производные
Впрактике, при решении разнообразных задач весьма часто встречается показательная функция ех. Мало того, кроме самой этой функции, используются различные комбинации ее с функцией
152
е~х. Поэтому для некоторых комбинаций вводятся специальныеназвания и обозначения.
Так, с помощью определений вводятся гиперболические функ ции, представляющие комбинации функций ех и е~х.
Гиперболическим синусом, косинусом и тангенсом соответствен но называются функции:
sh х |
ех — е~ |
til х |
|
(85> |
cli х |
с.'■+ е~ |
|||
|
|
|
|
|
(читаются |
так: синус гнперболикум х, |
косинус |
гиперболикум г |
|
и т. д.). |
|
|
|
|
Во всех трех функциях х изменяется от — оо до + со. Эти на звания могут сначала показаться несколько странными и их смысл (что здесь от синуса? что от гиперболы?) будет ясен, если опреде лить гиперболические функции опираясь на равноосную гиперболу х2—у2 = 1, подобно тому как тригонометрические функции опреде ляются исходя из окружности с уравнением х2+ у 2 = 1. Это хорошо видно на рис. 78, 79.
КМ—линия синуса |
КМ—линия гиперболического синуса |
ОК—линия косинуса |
ОК—линия гиперболического косинуса |
АТ —линия тангенса |
АТ—линия гиперболического тангенса |
Рис. 78. |
Рис. 79. |
Кроме этого, некоторые формулы, связывающие гиперболиче ские функции друг с другом, указывают на значительную аналогию между гиперболическими и тригонометрическими функциями. Так, например:
1. |
Sh 0=0, Ch 0 = 1; |
|
|
2. |
Ch3* —Sh2* = l ; |
|
|
3. |
Sh (x + y ) = |
Sh x Ch у ± |
Shy Ch x; |
4. |
Ch (x ± y) = |
Ch x Ch у ± |
Sh x Sh y; |
5.Sh 2x = 2 Sh л Ch x;
6.Sh (—x) = — Sh л: (гиперболический синус—нечетная функция);,
7. Ch(—x) = Chx (гиперболический косинус—четная функция) и т. д.
153
Проверьте эти формулы. Графики функций приведены на рис. 80, 81.
Рис. 81.
Найдем производные гиперболических функций:
1 |
. . v |
/ ех—е~х V |
|
ех+е~х |
= |
ch х. |
|
|||
1. |
(shx) = |
( ----------- |
|
|
= — g |
|
|
|||
■о |
/ t, |
jex+ e - x Y |
|
ех—е~х |
= |
shx. |
|
|||
2. |
(c h x )'= [ -----^-----) |
) |
= |
----- 2------ |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
3. |
(th x )' = |
sh x V |
|
|
|
(sh x)' ch x — (ch x)' sh x |
||||
chx j |
|
|
|
|
(ch x)2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ch x ch x — sh xsh x |
ch2x — sh2x |
|
|||||||
|
|
(ch x )2 |
|
|
|
|
|
(ch x )2 |
ch2x ' |
Практическое занятие № 18
Контрольные вопросы
1.Какие функции называются неявными?
2.Приведите примеры неявных функций.
3.Как найти производную от функции, заданной неявно?
4.Какие функции называются гиперболическими?
5.Постройте графики функций sh х, chx, th х (приняв е=2,7).
6.Какой способ задания функции называется параметрическим?
7.Как найти производную от функции, заданной параметрически?
Примеры и задачи
1. Найти производную от неявной функции 10х2—Зу + 8х—5 = 0.
Решение. Дифференцируем по х обе части равенства и, учиты вая, что производная от у по х равна у получим
20х—3 / + 8 = 0 ,
154
откуда
,20л- -f 8
>'= — 3— '
2.Найти производную у' от неявной функции
х- — у- — еху = а.
Решение. Дифференцируя по х обе части равенства, мы должны рассматривать у2 и exv как сложные функции:
1)(х2)'= 2 х .
2)(у2),'= 2 у -у '.
3)(ехУ)/~ехУ(ху)' —ex-v(1 -y-f х-у').
4)(а)' = 0.
Витоге получаем
2л—2уу'—ехУ (у+ху') =0.
Отсюда
2х~уе'У
У2у + х е хУ‘
3. Найти производную от |
функции у = [а (х )]!'<-г), |
где и (л) |
и v (л) — дифференцируемые функции. |
|
|
Решение. Формулы для |
дифференцирования такой |
функции |
у нас нет. Формулы для ах и хп здесь неприменимы, так как в на шем случае и основание и показатель степени — переменные.
Поэтому предварительно прологарифмируем это равенство: lny=T>(x)ln«(x).
Теперь имеем уже неявную функцию.
Дифференцируя обе части равенства по х, получим
1 |
, ,. |
In |
. и ' |
— у |
—V |
и 4------- V, |
|
у J |
|
|
и |
откуда |
|
|
|
У =У v' In и 4------- V |
— u:'v' In u4-vuv~1u'. |
||
|
и |
|
|
(Рассмотрите правую часть, а формулу полезно занести в таблицу.)
4 (самостоятельно). |
Найти |
производные |
следующих функций: |
|||
|
а) л3—л у + у 3= 0 ; б) у2= 4 ах; в) у —хх; |
|||||
г) у — | ^ |
/ " Л ^ — Л (предварительно |
прологарифмировать). |
||||
О т в е т : |
а) |
~ ; |
б) у - ; |
в) л-1(1пл + |
1); |
|
г) |
|
(* + |
1)(х*~ 2) |
|
|
|
|
|
t>— х |
Х+\ |
Х“—2 ^ 5—х |
||
|
|
|
155
5. Напишите уравнение кривой в форме г/= /(х ), если известны ее параметрические уравнения:
у= 3 t*-t\
ивыясните, какую линию определяет уравнение.
Решение. Из первого уравнения находим t2 как функцию от х:
и подставляем во второе. В итоге получим
х 1 |
х |
у = - 9 |
з • |
Линия, определяемая этим уравнением,— парабола, симметричная относительно прямой, параллельной оси Оу.
6. Напишите уравнение кривой в форме F(x, у) =0, если извест ны ее параметрические уравнения:
х = а cos31,
у = а sin3t.
Решение. Перепишем эти уравнения так:
|
— = |
|
cos31, |
— = sin37. |
|
о |
а |
|
|
а |
|
обе |
части равенств и складывая, получим |
||||
Возводя в степень у |
|||||
х |
|
|
cosЧ + sin2zf = 1, |
||
а |
|
|
|||
|
|
|
|
||
или окончательно |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
л 3 |
+ у 3 |
= а 3 |
(астроида). |
7 (самостоятельно). Напишите уравнения кривых в форме F(x, У) =0. если их параметрические уравнения имеют вид:
.x = |
5 s i n - ^ , |
|
. |
г> |
01. |
, |
0 , |
||
а) |
|
4 |
|
j х = |
2 cos-t, |
j х — |
31, |
||
о |
* 4- |
^ |
I у = |
2 sin2*; |
6^ { у = |
6t — tz.: |
|||
|
|||||||||
у = 3 co s -r -1\ |
|
y |
|
|
w |
|
|||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
О тве т : а) |
Эллипс ~ |
+ |
-y- = |
1; 6) |
-^ + |
-^-=1; в) y = 2x—y . |
156
8. |
Найти |
производную |
у'х от |
функций, заданных параметр |
||
чески: |
|
|
|
|
|
|
fjc= 3 cos ^ |
( я i/ " 2 |
|
|
x — t — P |
||
а) (у = 4 sin t в то,ке Н 2 |
~ |
; 2 1/2 ) ; |
б) у = f- - е в точке № 0): |
|||
|
|
X = 1 + |
t |
|
|
|
|
в) |
t3 |
|
|
в произвольной точке. |
|
|
2 |
|
2 |
|||
|
|
У ~ 2 * 2 + |
t |
|
|
Решение: а) Прежде всего определяем значение t в указанной точке, для чего достаточно подставить значения координат в урав нение:
|
3 V2 |
Зсos t |
|
cos t = |
/ 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
*= т • |
|
||
|
2 } / 2 = 4sin* |
|
sint = |
1/2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теперь находим л:' и у^ |
и |
полученные значения |
подставляем |
||||||||
в формулу (84): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
„ , |
, . . |
. |
, |
У< |
|
4 cos £ |
= - |
4 |
, , |
|
,v, = -3 sin * ; |
у, = 4 cos*; |
уд.= ^ |
|
^ |
— |
ctgt. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
-3 sin t |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
4_ |
|
|
|
|
|
|
|
У*\. |
|
« = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ‘ |
|
|
|
|
||
|
|
|
*-т |
|
|
|
|
|
|
||
б) |
Снова определяем t для точки |
(0, 0): |
|
|
|
||||||
|
|
|
0 = t — t* |
1 |
t |
(1 — t3) = 0 , |
|
|
|
||
|
|
|
0 = ** — *3 ) *а(1 — *) = 0 , |
|
|
|
|||||
откуда |
следует, |
что в точке |
(0, 0) |
t |
имеет два |
значения — 0 и 1. |
Стало быть, и производная в этой точке должна иметь два значе ния (кривая пересекается сама с собой).
Находим х/ и у{ |
и по формуле (84) |
получаем |
||
|
-V |
21- |
З*2 |
|
|
1 — 4*3 |
|
||
Для точки, где (= 0 |
и * = 1, имеем: |
|
|
|
Ух I<=о = |
Ух I |
— |
- 1 |
|
3 ‘ |
157
в) Находим x't и y't:
Ы 3— 3**(1 + f) _ |
* — 3 — 3* |
3 |
+ 21 |
|||||
x t = |
|
i* |
|
|
|
|
|
|
y |
, I |
9 |
2£ |
|
2 |
3_ |
2 |
|
yt |
|
г;4 |
|
<2' |
<8 |
г+' |
|
|
Тогда |
|
|
_3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У.Г = |
|
t3 |
t-Г |
(3 + |
2*)< |
|
|
|
|
3 + 2£ ~ 3 + 2£ |
|
|
|||||
9 (самостоятельно). |
Найти |
производные |
функций, заданных |
параметрически:
<?)
б)
d)
О тве т : а) -
, x = 2cost |
_______ |
^ |
1, |
( |
] / з ' |
|
у = |
. |
в точке |
\ |
+ |
0 |
|
sin г! |
|
|
|
2 |
||
-х = |
cos t + |
t sin t |
в точке |
y к |
||
у — sin t — t cos t |
£ = — ; |
|||||
|
|
|
4 |
JC= In (1 + **),
У = t — arctgt-
л- = |
|
e‘ sin t, |
e) |
|
у = |
|
|
. |
|
<?+os t\ |
|
|||
_ ! |
. |
Л) |
1 . |
, 1 |
2 j / + |
’ |
' |
’ |
' |
■?. |
|
cos t — sin t |
г)
X — <p(1— S i n (p),
у = щcos t?; _ JLi/oTa
|
1 |
|
* = r'1- |
||
1 . 1 |
c o s ? — « s i n ? . |
|
2 ’ |
' |
1— sin <a — у COS <3 ’ |
ч |
т f |
t |
ъ ш т+ >ёю Г : |
Г г |
10 (самостоятельно). Используя правило дифференцирования сложной функции и формулы (85), найти производные следующих функций:
а) |
y = |
lnthjc; |
б) у = sh (cos jc); в) |
y = |
th3(jc5). |
|
О тв ет : |
а) |
|
б) — ch (cosA+sinjc; |
в) |
15 thajgs |
■х\ |
sh 2х |
ch2 хьъ |
ЗАНЯТИЕ 19
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛА. ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ
§ 47. Дифференциал функции. Дифференциал как главная часть приращения функции
Дифференциалом dy функции y —f(x) в точке х называется произведение значения производной f'(x) на произвольное прира щение Ах аргумента х, т. е.
dy = / ' (л;) Длг. |
(86) |
Очевидно, что для получения дифференциала функции необхо димо знать два числа: начальное значение аргумента х и его при ращение Ах.
Пример. Вычислить дифференциал функции у = х3 при изме нении значения аргумента х от 2 до 2,1.
Найдем dy сначала для произвольных значений х и Ах:
f (х) |
= (х 3)' = Зх2. |
|
Поэтому |
|
|
dy = Зх2Ах. |
|
|
Начальное значение аргумента х=2, приращение его Дх= 2,1— |
||
—2 = 0,1. Подставляя эти значения, получим |
|
|
dy = |
3-22-0,1 = 1,2. |
|
Пользуясь формулой (86), |
найдем дифференциал такой простой |
|
функции, как у = х: |
|
|
d x — 1 •Ах |
|
|
или |
dx = Ах, |
(87) |
|
||
т. е. дифференциал независимой переменной (аргумента) |
равен |
|
произвольному приращению этой переменной. |
|
|
Внося в формулу (86) значение Ax=dx, получаем |
|
|
dy = f (х) dx, |
( 88) |
159
т. е. дифференциал функции y = f(x) в точке х равен произведению производной функции в этой точке на дифференциал независимой переменной.
Из соотношения (88) производную f'(x) можно определить как отношение дифференциалов:
dy
Поэтому введенный ранее символ производной dx можно рас
сматривать как реальную дробь.
Определение дифференциала функции носит формальный харак тер. Выясним содержание этого понятия.
По определению,
Ду
/ ' (х) = Пт А.Г--0 Дх ■
Отсюда, в силу формулы (32), находим:
Ду |
= /'(•*) + |
а |
|
Д х |
|
|
|
или |
|
а•Дх, |
(89) |
Ду = / ' (х) Дх + |
|||
где а 0 при Дх ->- 0. |
|
|
|
Таким образом, приращение функции записано в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое / ' (х) Дх является при Дх^-0
бесконечно малой одного порядка с Дх, если / ' (х) |
*f=0 (так как |
|||||
■fr(jc) Ajc |
(x) |
0). |
Это слагаемое |
линейно от- |
||
Iim |
. — = lim / ' (x) = f |
|||||
А х ^ -0 |
Ах-<-0 |
|
|
|
|
|
носительно Дх. |
при |
Дх |
0 |
бесконечно |
малая более |
|
Второе слагаемое аДх |
||||||
высокого порядка, чем Дх |
|
= а |
0 |
при Дх |
Иными сло |
|
вами, |
при Дх-> 0 второе слагаемое неизмеримо мало по сравне |
нию с первым.
Поэтому дифференциал функции dy=if/(x)dx называют глав ной, линейной относительно бесконечно малой Дх, частью прира щения функции Ду.
Если теперь в (89) вместо f'(x) Дх подставить dy, то получим Ду = dy аДх.
Стало быть, приращение функции и ее дифференциал отличаются друг от друга на величину бесконечно малую более высокого порядка:
Ду — dy —аДх.
При достаточно малых Дх можем написать приближенное ра венство:
ДУ — dy,
которое широко используется в приближенных вычислениях.
160