книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

И обратно, уравнение кривой y = f(x) всегда можно и не един­ ственным способом записать в параметрическом виде. В частности, положив x — t, получим:

X — t

У =/(*)■

Приведем примеры параметрического задания кривых.

— каноническое уравнение окружности.

2.Параметрические уравнения эллипса

Эллипс может быть задан уравнениями:

В том, что эта кривая действительно есть эллипс, убедимся, исклю­ чив /:

§ 45. Производная функции, заданной параметрически

Имеем функцию у от х, заданную параметрическими урав­ нениями:

151

Дадим аргументу t приращение At, тогда получат приращения и функции х и у — Ах и Ду.

В таком случае, деля числитель и знаменатель дроби ^ на At(At^=0), получим следующее выражение для производной:

( х —а cos t, \ у = а sin t.

Находим xt и у/ и полученные значения подставляем в фор­ мулу (84):

Пример 2. Найти yx' от функции, заданной параметрически:

х -■ 2 cos t— cos 21,

у= 2 sin t — sin 21

§46. Гиперболические функции и их производные

Впрактике, при решении разнообразных задач весьма часто встречается показательная функция ех. Мало того, кроме самой этой функции, используются различные комбинации ее с функцией

152

е~х. Поэтому для некоторых комбинаций вводятся специальныеназвания и обозначения.

Так, с помощью определений вводятся гиперболические функ­ ции, представляющие комбинации функций ех и е~х.

Гиперболическим синусом, косинусом и тангенсом соответствен­ но называются функции:

Во всех трех функциях х изменяется от — оо до + со. Эти на­ звания могут сначала показаться несколько странными и их смысл (что здесь от синуса? что от гиперболы?) будет ясен, если опреде­ лить гиперболические функции опираясь на равноосную гиперболу х2—у2 = 1, подобно тому как тригонометрические функции опреде­ ляются исходя из окружности с уравнением х2+ у 2 = 1. Это хорошо видно на рис. 78, 79.

Кроме этого, некоторые формулы, связывающие гиперболиче­ ские функции друг с другом, указывают на значительную аналогию между гиперболическими и тригонометрическими функциями. Так, например:

5.Sh 2x = 2 Sh л Ch x;

6.Sh (—x) = — Sh л: (гиперболический синус—нечетная функция);,

7. Ch(—x) = Chx (гиперболический косинус—четная функция) и т. д.

153

Проверьте эти формулы. Графики функций приведены на рис. 80, 81.

Рис. 81.

Найдем производные гиперболических функций:

Практическое занятие № 18

Контрольные вопросы

1.Какие функции называются неявными?

2.Приведите примеры неявных функций.

3.Как найти производную от функции, заданной неявно?

4.Какие функции называются гиперболическими?

5.Постройте графики функций sh х, chx, th х (приняв е=2,7).

6.Какой способ задания функции называется параметрическим?

7.Как найти производную от функции, заданной параметрически?

Примеры и задачи

1. Найти производную от неявной функции 10х2—Зу + 8х—5 = 0.

Решение. Дифференцируем по х обе части равенства и, учиты­ вая, что производная от у по х равна у получим

20х—3 / + 8 = 0 ,

154

откуда

,20л- -f 8

>'= — 3— '

2.Найти производную у' от неявной функции

х- — у- — еху = а.

Решение. Дифференцируя по х обе части равенства, мы должны рассматривать у2 и exv как сложные функции:

1)(х2)'= 2 х .

2)(у2),'= 2 у -у '.

3)(ехУ)/~ехУ(ху)' —ex-v(1 -y-f х-у').

4)(а)' = 0.

Витоге получаем

2л—2уу'—ехУ (у+ху') =0.

Отсюда

2х~уе'У

У2у + х е хУ‘

у нас нет. Формулы для ах и хп здесь неприменимы, так как в на­ шем случае и основание и показатель степени — переменные.

Поэтому предварительно прологарифмируем это равенство: lny=T>(x)ln«(x).

Теперь имеем уже неявную функцию.

Дифференцируя обе части равенства по х, получим

(Рассмотрите правую часть, а формулу полезно занести в таблицу.)

155

5. Напишите уравнение кривой в форме г/= /(х ), если известны ее параметрические уравнения:

у= 3 t*-t\

ивыясните, какую линию определяет уравнение.

Решение. Из первого уравнения находим t2 как функцию от х:

и подставляем во второе. В итоге получим

Линия, определяемая этим уравнением,— парабола, симметричная относительно прямой, параллельной оси Оу.

6. Напишите уравнение кривой в форме F(x, у) =0, если извест­ ны ее параметрические уравнения:

х = а cos31,

у = а sin3t.

Решение. Перепишем эти уравнения так:

7 (самостоятельно). Напишите уравнения кривых в форме F(x, У) =0. если их параметрические уравнения имеют вид:

156

Решение: а) Прежде всего определяем значение t в указанной точке, для чего достаточно подставить значения координат в урав­ нение:

Стало быть, и производная в этой точке должна иметь два значе­ ния (кривая пересекается сама с собой).

157

в) Находим x't и y't:

10 (самостоятельно). Используя правило дифференцирования сложной функции и формулы (85), найти производные следующих функций:

ЗАНЯТИЕ 19

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛА. ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ

§ 47. Дифференциал функции. Дифференциал как главная часть приращения функции

Дифференциалом dy функции y —f(x) в точке х называется произведение значения производной f'(x) на произвольное прира­ щение Ах аргумента х, т. е.

Очевидно, что для получения дифференциала функции необхо­ димо знать два числа: начальное значение аргумента х и его при­ ращение Ах.

Пример. Вычислить дифференциал функции у = х3 при изме­ нении значения аргумента х от 2 до 2,1.

Найдем dy сначала для произвольных значений х и Ах:

159

т. е. дифференциал функции y = f(x) в точке х равен произведению производной функции в этой точке на дифференциал независимой переменной.

Из соотношения (88) производную f'(x) можно определить как отношение дифференциалов:

dy

Поэтому введенный ранее символ производной dx можно рас­

сматривать как реальную дробь.

Определение дифференциала функции носит формальный харак­ тер. Выясним содержание этого понятия.

По определению,

Ду

/ ' (х) = Пт А.Г--0 Дх ■

Отсюда, в силу формулы (32), находим:

Таким образом, приращение функции записано в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое / ' (х) Дх является при Дх^-0

нию с первым.

Поэтому дифференциал функции dy=if/(x)dx называют глав­ ной, линейной относительно бесконечно малой Дх, частью прира­ щения функции Ду.

Если теперь в (89) вместо f'(x) Дх подставить dy, то получим Ду = dy аДх.

Стало быть, приращение функции и ее дифференциал отличаются друг от друга на величину бесконечно малую более высокого порядка:

Ду — dy —аДх.

При достаточно малых Дх можем написать приближенное ра­ венство:

ДУ — dy,

которое широко используется в приближенных вычислениях.

160