книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

Равенства (12) выражают соотношения поправок в данной сети г . Выражение (12') — их матричное представление. При этом стол­ бец — Д называют столбцом поправок в измерения, так как со­ гласно (11) его прибавление к столбцу I измеренных величин привело бы к столбцу I искомых значений. Таким образом, соот­ ношения (12) или (12') связывают поправки в измерения с поправ­ ками в приближенные значения определяемых величин.

С любой сетью можно связать не только соотношения поправок, но и еще одну систему соотношений. Функции (8), число которых т — п — г, можно записать в неявном виде как

обычно достаточно ограничиться линейными членами этих разло­

свободные члены уравнений системы (14). Система (14) равно­

визмерения.

§6*. УРАВНЕНИЯ ПОПРАВОК И ИХ РЕШЕНИЕ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Рассмотрим начальные задачи теории уравнивания измерений. При этом стоит иметь в виду, что изложенные сведения о матрицах еще слишком скромны, чтобы уже теперь дать строгое решение или даже просто четкое изложение этих задач. Поэтому многое

1Соотношения поправок и появляющиеся далее условные соотношения

всетях нужно отличать от уравнений иоправок и условных уравнений, ко­

торые будут рассмотрены в § 6* и § 7*.

2 Wk и aki значения соответственно функпий Fk{l%, 1-і,---, In) и их частных производных dFk/dli при изморенных значениях переменных.

придется пока излагать догматически, часто ссылаясь на факты, которые будут изучены только в последующих главах. Но не будем считать это недостатком изложения, так как выяснение недостаточ­ ности уже развитой теории для решения поставленных задач стимулирует дальнейшее ее развитие.

Итак, рассмотрим соотношения поправок (12):

—A = B8k + d.

Вних столбцы А и дк неизвестны. Система (12) содержит п + г неизвестных чисел. Всего же равенств в этой системе п. Позже будет доказано, что по этой причине система (12), если ее рассма­ тривать как систему уравнений с неизвестными — А и 8к, не имеет единственного решения. Поэтому вместо равенств (12) будем рассматривать неопределенную систему уравнений

называемых уравнениями поправок1. Чтобы получить все возмож­ ные ее решения, нужно придавать все возможные значения столбцу х. При этом согласно (12') только, когда х = дк, будем иметь v = —А. При всех же других значениях х (а 8к нам неиз­ вестно) элементы столбца v могут быть лишь менее или более близки к элементам столбца —А.

Основная задача теории уравнивания измерений состоит в вы­ боре такого столбца х, при котором столбец

взятый в качестве оценки столбца—Д, приводит к наименьшему риску сильно ошибиться по сравнению с любым другим столбцом (15). Разумеется, такая постановка задачи пока расплывчата, так как не определено еще, что следует понимать под «риском

1Эти уравнения называют также уравнениями ошибок (погрешностей).

2Здесь терминология пока не установилась. В других работах весовой называют матрицу весовых коэффициентов, а это не то же, что G . Здесь мат­ рица G называется весовой потому, что она всюду в дальнейшем играет в точ­ ности ту же роль, что и матрица весов независимых измерений, хотя в случае зависимых измерений на диагонали матрицы G стоят не веса.

обычным методом дифференциального исчисления: в выражение

(элементам столбца х) и приравниваются нулю. В результате с уче­ том обозначений

и притом единственное. Оно и служит искомым X.

А Легко видеть, что формально систему (20) можно получить, умножив обе части системы (15) слева на Н* = B*G

B * G y = B * G B x + B * G d

и приняв B*Gy = 0. V

Этот результат принято выражать в виде теоремы.

Теорема 2. Принцип решения уравнения ошибок (16) под

1 Исторически первым появился элементарный принцип наименьших квадратов (Лежандр, 1806), затем он был расширен на перавноточные измере­ ния (Гаусс, 1809) и значительно позже был обоснован общий принцип на­ именьших квадратов (Эйткен, 1935), учитывающий зависимость между ошиб­ ками измерений.

—Д(-. По этой причине, если их рассматривать как уравнения с не­

Систему уравнений (22) называют условными уравнениями сети. Задача теории уравнивания измерений и в этом случае состоит в выборе такого столбца v, для которого риск сильно ошибиться,

приняв его в качестве оценки для —Д, наименьший. Не имея

в матричном виде. Рассмотрим, например, систему нормальных уравнений коррелат (24):

Bk + w = 0.

Обе части умножим слева на матрицу

— 1]) = 0, то в матрице получившегося уравнения с неизвестным столбцом кх

все элементы первой строки, кроме первого, становятся нулевыми. Далее можно сделать замену к± — Qlk2. При этом все элементы (кроме второго) второй строки становятся нулевыми. Так что

Сравнение (27) с (28) показывает, что во втором случае в обрат­ ном ходе используются уже вычисленные в прямом ходе матрицы Qt, тогда как в первом — вновь вычисляемые элиминационные матрицы В.[ (для сравнения см. [30, 31]).

Стоит отметить, что вычислителю или программисту, конечно, нет необходимости строить программу счета так, чтобы в ней фигурировали полностью матрицы и (D • і) со всей массой нуле­ вых и единичных элементов. Иначе говоря, матричную алгебру не стоит воспринимать буквально как вычислительный аппарат. Скорее — это аппарат качественного анализа, некий плодотворный строй мышления, который, в частности, может подсказать и эф­ фективные вычислительные пути.