Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 225 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

где ц.1 (

ц 2 ,

. . ., (^—произвольные

числа,

называют

линейной

оболочкой

системы 93 и

обозначают

как

L [23],

или

[ b l

b 2 ,

. . ., b,] . Запись d Є L

[23] означает, что имеются

значения

пере

менных

fx2 , . . ., lit, с которыми

для данного

выполняется

условие (34). Систему векторов 23,

записанную в

условленном

порядке, назовем каркасом оболочки L

[23] (или просто

каркасом)

порядка I і .

Рассмотрим произвольное подпространство К,п

L n .

Пусть

каркас

23 =

{ Ьх , Ь2 ,

. . . ,

b m } составлен из базисных векторов

Кт.

Тогда

всякий

вектор

£ Кт

можно

представить

виде

= x-jbx

+ x2bz-\-

. . . +

хтЪт.

Поэтому

любое

подпространство

К,„ является линейной оболочкой

L [23] векторов b x ,

Ь2 ,

. . .,

Ь„,

из L n .

и обратное: всякая

линейная

оболочка

L [231

Справедливо

с каркасом

23 =

{ Ъг,

Ь2 , . . .,

Ь; } , элементами

которого

служат

произвольные

(не обязательно

линейно

независимые)

векторы

пространства L„, является линейным подпространством

L n .

Ведь если Ьц Ь2 ,

. . .,

Ъ[ £ L n ,

то и всякая их линейная комбина

ция х принадлежит L„.

Поэтому из х

£ L

[23] следует,

что

Кроме

того,

L [23] — пространство,

так

как

из

£ L

[23]

6 L

[23]

по

свойству

1 линейных

комбинаций

следует,

что

Яа

6 £

[23]

а + b

£ L

[23].

Свойства

же

1—8

операций

над

векторами

x f L

[23]

удовлетворяются,

так как х £ Д,.

Если векторы каркаса 23 =

{Ь^

Ь2 , . . .,

Ь;}

линейно

неза

висимы, то по теореме 3 о размерности пространств L

[23]

Z-мерна

и b x , Ь2 ,

. . .,

Ь/ — ее базис. Поэтому в таком случае 23 называют

базисным

каркасом.

Рассмотрим

вопрос

размерности

L [23],

если векторы

каркаса 23 линейно

зависимы.

Теорема

(о

линейных оболочках).

Еслн

векторы

каркаса

23 = [Ъг,

Ь2 , • • •, b,}

Z-ro порядка линейно

зависимы, то

исклю

чение из него любого Ъ£, выражающегося линейно через другие

векторы,

приводит

новому

каркасу

23'

= { b l t

. . .,

Ь,_х ,

Ьі + 1 ,

. . .,

b/} (I — 1)-го

порядка, линейная оболочка

которого

совпадает с линейной оболочкой исходного

каркаса.

Пусть і

= 1, т. е. Ьх выражается линейно через другие век

торы исходной

системы,

т. е.

b 1

= v 2 b 2 +

. . . +vtblt

(35)

и пусть вектор d 6 L

[23], т. е.

[ d = р.1Ь1

fx2 b2

. . . +

U/b,.

Тогда, по

свойству

линейных

комбинаций,

d =

т 2 Ь 2 + . . . +

-\-'Х[Ьі, а

это значит,

что d £ L

[23'].

1 Понятие «каркасы» и «действия над ними» введено в работе [36]. Там оно обозначено термином «банахян», так как работа написана на языко алгебры краковянов Банахевггча. Термин «каркас» здесь вводится впервые в применении к матричному языку.

Наоборот, пусть d £ L [58'], т. е.

d = x B b B + . . . + т , Ь ,

(36)

и имеет место выражение

(35). Представив в (36) каждое xt

в виде

— Ч +

л,,

т. е. приняв

я,- =

T- — v

получим

d = (v2

tt2)b2-j-

. . . +

(vj +

Я/)

- — ( v 2 b 2 +

. . . •Jrvlb1)

+ n2b2+

. . . + ntb[

b x +

it2 b 2

. . .

- f - tybj,

т. e. d

£ L

133]. Итак, при

условии

(35)

из

[23]

следует

£ L

[23']

и, наоборот,

из

Є L [23']

следует

d f

[23]. Это

означает,

что линейные оболочки L

[23] и £

[23'] совпадают.

Если оставшиеся

векторы b 2 , Ь3 ,

. . .,

снова линейно зави

симые, к ним еще раз можно применить эту теорему и получить

каркас 23" (I — 2)-го порядка, линейная оболочка которого

снова

совпадает с L

[23]. Этот

процесс можно

продолжать

такое

число

к раз, пока оставшиеся р =

I — к векторов не окажутся линейно

независимыми.

Их

линейная

оболочка

по-прежнему

совпадает

с L

[23],

а оставшийся каркас порядка р =

I — к будет

базисным

в этом пространстве L [23].

Итак,

размерность

пространства

[Ъ\ удовлетворяет

неравенству

где I — порядок 23.

Все сказанное о линейных подпро

странствах и оболочках полезно иллю

стрировать

геометрически

простран

стве

V3.

Уже

было

замечено

(стр.

31).

что

множество

У 2

всех

векторов

V3,

лежащих в данной плоскости, образуют

пространство. По самому построению оно

является подпространством Vs.

Можно

показать, что

У 2

[а, Ь], где а и Ь — любые

неколлинеарные

векторы

плоскости

У 2 .

Для

этого

достаточно

убедиться, что

-у

~>-

всякий х

g У 3

можно представить в виде х =

ка +

1Ь. Но постро-

ение, выполненное

на

рис. 2

(проводятся

СА || Ь

СВ \\ а до

встречи

соответственно

с линиями

действия

->-

показывает,

Ь),

что

->-

—>-

->-

ов

Ь. Так

как

- » - - » -

линейно

х =

OA +

OB =

-^г- а

—

а и

независимы (иначе было бы а =

КЪ или Ь =

р,а, что

противоречит

их неколлинеарности), то У 2

двумерно. Если рассмотреть, напри-

мер,

четыре вектора

->-->--»-->•

-*-->-

неколлинеарны,

а, Ь, с, d, из которых

а и b

то

геометрически

ясно,

что

всякий

вектор

вида

- +

•

- »

->-

Яа +

|ib +

vc +

пі

лежит в

плоскости

векторов

а,

Ь,

что

иллюстрирует

теорему

Возвратимся снова к произвольным пространствам и рассмот

рим еще несколько важных

понятий.

Если в пространстве L n векторы каркаса {Ь1,							Ь2 ,	. . .,	b m )	=
= 53 образуют	базис 771-мерного			подпространства			Кт	cz L n	(пусть
тг = 7?г + г), то	в	L n	найдется	еще	7-	векторов	d„s + 1 , . .		.,	d„,
таких, что система		Ьг ,	Ь2 , . . .,	Ь„г ,	d m +	1 , . . ., d„ линейно			неза

висима. Из свойства 2 линейной зависимости следует, что векторы

{d„ + 1 )	. . ., dn} = S) линейно независимы,	так	что		они	могут
служить базисом r-мерного подпространства		Kr	=	L	[Ъ]	в L„,
где г = п — т. Так построенное подпространство				Кг	называется
линейным дополнением подпространства Кт		до	всего		простран
ства	L , n . Символически это записывают как	Кг	=	Кт .

Проиллюстрировать сказанное о линейных дополнениях под пространств на моделях в Va предлагается самостоятельно. Рассмотрим еще множество векторов вида

	у =	^	+ р,2 а2 + . .	. + [ i m a m + Ь,		(37)
где	її2, . . ., \im	— переменные		коэффициенты,	а а1г а 2 ,	. . .,
а,„,	b — фиксированные		векторы.	Сумма векторов	такого	вида

Рпс. 3

илп произведение их на произвольное число может уже не иметь такой же вид, так как коэффициент при b может измениться. Поэтому векторы вида (37) в общем случае не образуют линейного пространства. Исключение составляет тот случай, когда b линейно выражается через а,, а 2 , . . ., а т и, в частности, когда b = 0. Множество всех векторов, описываемых выражением(37), называют

линейным многообразием. Вектор b называют вектором сдвига.

Важно отметить, что когда у — векторы линейного многообра зия, a b — его сдвиг, векторы у — b образуют линейное подпро странство. Это видно из (37). Размерность этого подпространства будем называть размерностью исходного линейного многообразия.

В пространстве V3 одномерные или двумерные линейные много образия представляют собой множества всех векторов, которые, будучи перенесены в общую точку 0, «упираются» своими концами соответственно в некоторую прямую или некоторую плоскость (рис. 3, а и б). Векторы же, лежащие на такой прямой или плоскости, выражаются в виде у—b и образуют линейное подпространство.

По образцу действий над матрицами можно установить неко торые алгебраические действия и над каркасами, заданными в L n .

Так, если	произведение		каркаса	1-го	порядка на столбец х =
= \\хх, х2,	. . .,	того же		порядка		определить	по правилу
2 3 x = { b 1 , Ь2 ,		. . .,	Ь,}	: х1Ъ1	- f	ж2Ь2 + . . .	+х1Ь1

(в результате, как видим, получается вектор), то подпространство

L [531 определяется как множество всех	векторов
х = 93я,	(38)

где каркас 53 фиксирован в L n , ax — переменное, значениями которого являются все столбцы соответствующего порядка. Ли нейное же многообразие определится как множество всех векторов

у = %х + й,

(39)

где х — такое же переменное, как в (38), а вектор d, как и каркас 33, фиксирован.

Более подробно алгебра каркасов будет рассмотрена ниже (см. § 27 и 30).

§15*. ПРОСТРАНСТВА УСЛОВНЫХ УРАВНЕНИЙ

Функции вида

/ =

+ a2v2 + • • •. + anvn,

(40)

где а1, а2, . . ., ап — заданные числа, называют линейными функ циями п переменных y l t v2, . . ., vn. Легко проверить, что множество всех таких функций образует линейное векторное пространство, так как если

f1	= a11v1	+ a12v2+	. . .	+alnvn,
f2	= a21v1	+ a22vi+	. . .	+aznvn,

то

/і + h = К і + a21) vx - f (a1 2 + a22) v2 + . . . - f (aln + a2 „) vn =

— Ъ&х + b2V2 + . . . - r bnVn

V l = ( ^ l l ) Vl + (*-Яи)У 2 + • • • + ( Ц л ) vn = с-р-у + C2V2 + . . . + cnvn

являются снова линейными функциями. Свойства 1—8 удовлет воряются, как и для всех функций.

Эти же подсчеты показывают, что если с каждой линейной функцией (40) сопоставить столбец а = \\ах, а2, . . ., ап\\ * коэф фициентов этой функции, а с каждым столбцом д-го порядка сопоставить линейную функцию, коэффициенты ai при переменных v£ в которой равны г-ым элементам этого столбца, то это приведет к изоморфизму пространств линейных функций л переменных и Rn. Поэтому пространство таких функций 7г-мерно. Обозначим его

символом	Wn.
Условные уравнения в сетях		(см. § 7 *) имеют вид
anv1	+ atZv2 + . . . +alnvn=	(i = 1, 2, . . ., m).

Их левые части, как видим, являются линейными функциями. Но не всякие линейные функции могут служить левыми частями условных уравнений для данной сети, а лишь те, которые входят в условные соотношения, т. е. для которых известны значения — wx при Vj = —А/, где Aj — ошибка измерений. Легко убедиться, что множество U всех левых частей условных уравнений в данной сети является линейным пространством, которое по самому по строению является подпространством пространства Wn. Назовем

U пространством условных уравнений. В этом случае договоримся не делать терминологического различия в названиях условных уравнений и их левых частей. Также не будем оговаривать от личие этих левых частей от их значений при v, = —Д,-.

Ясно, что система условных уравнений (22) из § 7* должна содержать в себе максимальное число линейно независимых условных уравнений из пространства U, так как иначе она не отразит все имеющиеся в результатах измерений сведения об их ошибках. Докажем, что это максимальное число (размерность пространства U) равно числу избыточных измерений т.

По второму пункту определения сети (см. § 5*), если 1Х, . . ., 1Г — необходимые измерения, то остальные измеряемые величины

функционально выражаются	через них, т. е.
= ФІ (^it hi • • ч	Iг) (i = l , 2, . . ., m = n — r).

Поэтому фактически соотношения (14) из § 5* можно записать

так:
аххкх	+ ах2к2+		. . . +	ax,Ar—Ar+X		=	wv
я 2іАі	+ а2 2 Д2	+	. . .	аггАг	— Д г + 2	=	w.->,	(41)
ffimiAi	+ ат2А2	+	. . . +	amrAr	~Ап	=	шт.

Убедимся, во-первых, что система (41) т условных соотношений линейно независима, а во-вторых, что любое условное соотноше ние для данной сети можно выразить как линейную комбинацию соотношений (41). Этим согласно теореме 3 о размерности и будет доказано, что т — размерность пространства условных уравнений.

I . В силу изоморфизма между Wn и пространством Rn строк коэффициентов линейных функций достаточно доказать линейную независимость строк

« i = I K i . %s» • • •.а\п - і . о , . . . , оп

d<i = \| Й21ї ^22) •			• * 1 ^2ГЇ ^*		—' -^-ї * " * » ^ 1
a m	= flaml. °W»	• • •> Яшм 0, 0,			. . . ,	—1\|\|,
что предлагается	сделать самостоятельно.
П. Рассмотрим произвольное условное соотношение
					+	. . . + 6 А -	(42)
Составим теперь из (41) и (42) следующую линейную комбина
цию:
W = br+xwi + br+iw2			+	. . . +	bnwm	+ w,	(43)
которая в развернутом виде запишется так:
	W = сА	+ < А +		• • • + сА			(44)

(комбинация (43) составлена с расчетом, чтобы в ней коэффициенты

при	Ar +	i,	. . ., Д „ равнялись		нулю).
Если бы оказалось, что сг				=	с 2 = . . . =	сг = 0 и потому W =
= 0,	то	по	(43)
			W= —	br+2w2— . . .		—bnwm,

что и доказало бы наше утверждение. Осталось только убедиться, что ненулевые с х , с 2 , . . ., сг в (44) невозможны. Действительно, в противном случае, например, при сх Ф О получилось бы

т. е. h = h — Аі не является необходимой величиной — она выражается через Z2 = Z2 — А2 . . . . lr = lr — Аг. Это противо речит определению сети.

§16*. ПРОСТРАНСТВА УРАВНЕНИЙ ПОПРАВОК

Рассмотрим теперь уравнения поправок (15)

vt = 6/13:!+ Ь,2а:2 + . . . + b{rxr + di

(і = 1, 2, . . ., п),

где, как указывалось, величинам хх, ж2 , . . ., хг можно придавать произвольные значения. Поэтому столбцы v образуют линейное многообразие, натянутое на столбцы Ьг, Ь.2, . . ., Ъг и сдвинутое на столбец d. Это значит, что столбцы


v — d = ЬхХг + b2x2 +		: . . +		bjcr
образуют линейную оболочку L[bx,		b2,	. . .,	br],	которую	и на
зывают пространством	F, уравнений		поправок.		Можно	пока
зать, что столбцы blt b2,	. . ., br линейно независимы, т. е. что Fr
r-мерно, где г — число необходимых величии в					сети.
В самом деле, если предположить, что b1}				Ь2,	. . ., Ьг линейно

зависимы, то это будет означать, что какой-либо из них выражается

линейно	через	остальные.	Например,
А так как		Ьг=Х1Ь1-±-\2Ь2-\-			. . . -\-^г-Фг-х-
А так как
то	— А; = Ьп8кх + bi28k2 +				• • •	+bir8krJrdi,
то
- А(- = Ьп		(8кх + %х8кг)	+ ...+ЬііГ.г			(8кг.х + К-іЬК) +	dt.
Это означает, что в данной сети можно взять не г,							а г — 1
определяемых		величин	(8кх	+	%x8kr),	. . ., (6/cr _1 -f-	кг_х8кг).
Это противоречит условию,				что	число необходимых		величин
в сети	г.

Г л а в а З

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

§17. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Теоремы 4, 5 и 6 предыдущей главы показывают, что любая система п уравнений с п неизвестными

а и х і ~Ь й\2х2 + • • • + аыхп ~
а2іхі	+	^22^2 +	. . • + а2пхп	— Ъ2,	(45)
flWEi	+	«„2^2 +	• • • +аппхп	= Ьп

имеет и притом единственное решение тогда и только тогда, когда столбцы матрицы коэффициентов этой системы линейно незави симы. Попробуем найти явное выражение такого решения через коэффициенты и свободные члены системы.

Начнем с рассмотрения системы двух уравнений с двумя неизвестными

а11Х1 ~Ь &12х2 = І>х,

CltyyX-y -|— CL22X2 3 = 1 ^2*

Пусть (сх с2 ) * — их единственный столбец-решение, так что справедливы числовые равенства 1

а11С1 + а 1 2 С 2 =	°1,
^21^1 ~Т~ # 2 2 С 2 =	Ьй.

Умножая первое из них на а 2 2 , а второе на — а 1 2 , и складывая результаты, получим

(апа22 — а21а12) сх = (Ь^ — Ъ2ах2).

Аналогично умножение первого равенства на — а 2 1 , а второго на аХ1 приводит к выражению

(а1га22 — а21а12) с 2 = ( 6 2 о ц — bta21).

1 Нужно отличать уравнения от числовых равенств. В первых знак « = »

выражает условия на переменные ц	уравнений. Во вторых этот знак свя
зывает не переменные, а конкретные	числа.

Если выражения в скобках в левой части этих равенств не равны нулю, то эти равенства можно разрешить относительно сх и с*. Принимая во внимание обозначение

	ad— cb =		(46')
получим	^12		"и bi
	^12		"и bi
1ц	а22	с, =	«21
1ц	ац		11
I ^21	^22

Задача выражения решения системы двух уравнений через коэффициенты и свободные члены оказывается решенной.

Для системы трех уравнений вида (45) с единственным столб цом-решением (с,, с 2 , с3 )* получим числовые равенства

^и^1

~г ^іг'-а ~f" а 1 3 С 3

~ h,

^21^1

^"22^2 Н~ а 2 3 С 3

а 3 1 С 1 ~Ь

а 3 2 С 2

"Т" а ЗЗ С 3

Если

первое из

них

умножить на

Н1±

А-22

#23

второе —

І а 1 9

Я 3 2

Я 3 3

1 2

1 3

на # 2

•42

" 1 3

третье

— на # 3 1

резуль-

а 3 2

азз

а,«

таты

'22

" 2 3

сложить, то получим

(а1гНп

— а21Еп

+ а31Н31)

сх +

{а12Нг1

— а22Н21

+ аз2Н31)

с2

" Г ( Д і З # 1 1 — Я 2 3 # 2 1 + Я 3 3 # 3 1 ) С 3 =

— & 2 # 2 1 +

Ь3Н31).

Непосредственным подсчетом с использованием (46') можно

убедиться,

что

(апН11

— а22Н21

+ а32Н31) — ( а 1 3 Я п — a2SH21

-f- a33ff31) = 0.

Если

теперь по типу (46') ввести

обозначение

а2

с2

— а2

"і

а3

* i

(46")

а3

*>з

с з

С 2

то в результате проделанных выкладок получим

[ bi

а1 3

о22

о2з

а3а

а3 3

°11

°12

а13

а21

а22

а23

а3і

а32

а3 3

Так же можно найти с 2 и с3. Но, как видим, уже для п = 3 подобные рассуждения становятся весьма громоздкими. Поэтому имеет смысл изменить тактику исследования.

Проведенные рассуждения выделяют в решении поставленной

задачи	особую роль	величин, получаемых по правилам (46')
и (46").	Их называют	определителями соответственно второго

и третьего порядков. Экстраполируя правила (46') и (46") на боль

шие ?г,	сформулируем		понятие		определителей			тг-го	порядка,
а затем докажем, что это понятие решает							поставленную задачу
при любом п.
Итак, если дана квадратная матрица 1-го порядка, т. е. просто
число а,	то определителем			det а	такой	матрицы		называем само
это число:				det а —а.
				det а —а.
Если же дана произвольная квадратная матрица п-то порядка
		ї ї	42		П,	П-1	аin
	А	=	А 2 2		* 2 ,	п-1	0-2П
							0-2П

		п - 1,1	А П - 1 , 2		•*л-і, П-1		л П - 1 ,	п
			аП2
и установлено		понятие		определителя		квадратной			матрицы

(п — 1)-го порядка, то определителем заданной матрицы А гс-го порядка назовем число, получаемое по правилу, обобщающему

(46') и	(46"):
det А =	а11Н11-апН21+	. . . + (-l)nan_ltlHn_1,1	+	(-l)n+1anlHnl,
				(46)

где величины Hix являются определителями матриц (п — 1)-го порядка, полученными из данной матрицы А вычеркиванием пер вого столбца и г-й строки. Так, например,

	я 2 2		а2,	п-1	а.2Л
Я її •	*П-1, 2	г п - 1 , П-1			ап-Х, п
			°п,	П-1	а„„
	а12	П . п-1			Чп
нп1 =	я 2 2	* 2 , П-1			И Т. Д.
нп1 =		* 2 , П-1			И Т. Д.
а,п-1, 2		апП--1, п-1		х Л - 1, П
Эти множители	Hix называются		минорами элементов				ап ма
трицы А. Каждое слагаемое		atlHn	выражения			(46) умножается
на ( — l ) i + 1 , т. е. берется со		своим	знаком, если			сумма	индексов

4 Закав 2041

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 225 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20232.59 Mб6Дринфельд, Г. И. Квадратура круга и трансцендентность числа.pdf
#
30.10.202337.67 Mб15Дробление и грохочение углей И. В. Пономарев. 1960- 36 Мб.pdf
#
25.10.202315.96 Mб12Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины.pdf
#
30.10.202318.94 Mб8Дроздов Е.А. Основы вычислительной техники, 1961. - 426 с.pdf
#
25.10.202314.65 Mб7Дроздов Е.А. Основы построения и функционирования вычислительных систем.pdf
#
24.10.20239.33 Mб2Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений.pdf
#
19.10.20232.57 Mб1Дроздов, Б. М. Нормативная информация в АСУ лекции.pdf
#
30.10.202328.35 Mб17Дроздовский Б.А. Влияние трещин на механические свойства конструкционных сталей.pdf
#
29.10.20231.76 Mб8Дрочнев Я.Г. Подготовительные работы на подсочке.pdf
#
29.10.20236.06 Mб26Дружинин Г.В. Надежность электрических схем авиационных систем.pdf
#
21.10.20239.99 Mб9Дружинин, В. В. Магнитные свойства электротехнической стали.pdf