Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2216 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

потому что А — вещественная матрица. Так как Ь*АЬ —число и А = А*, то Ь*АЬ = (Ъ*АЬ)* = 6*А*6 = Т*АЬ. Итак, Ь*АЪ =

= 6*Ао, что и означает вещественность числа Ь*АЬ. Поэтому А,0

вещественно,

Теперь можно доказать центральную для нашей задачи

теорему.

Теорема 38. Всякое

самосопряженное

преобразование

/ (х)

в «-мерном евклидовом пространстве

Еп

имеет п взаимно

орто

гональных собственных векторов.

По предыдущим теоремам для преобразования / (х) имеется

в Еп

хотя

бы одномерное подпространство

Кх

собственных

векто

ров. Выберем в Еп

ортонормпроваыньш базис так, что его

первый

вектор ех

£ Кх.

В этом базисе ех,

а'2, а3 ,

. . ., а/г

матрица линейного

преобразования

примет вид (так как / (ех)

Ххех)

хх

«23

(lit,.

«33

а„

Она симметричная и

потому

ее

блок

Ап_х

симметричный.

Всякий вектор

подпространства

Кп_х

[а2 , а3 ,

. . ., а'п]

можно

представить

как

х = 0ех

+ х2а2

+ х3а'3

. . . +

хпа'п

тогда

Апх — Ап_хх.

Поэтому Ап_х

становится

матрицей

самосопряженного

пре

образования

подпространстве

Кп_х. По

теоремам 37 и 35 для

него также существует хотя бы одномерное подпространство

соб

ственных

векторов

е 2

в Кп_х.

Так

как

Кп_х является

орто

гональным дополнением

Кх, то

е,

ортогональны

к е х .

Теперь

по следствию 3 теоремы 21 (§ 34) в Еп

можно построить

ортонор-

мированный базис

е 2 , а'3, . .

., а„, в котором матрица

преобра

зования примет

вид

(так

как /

(ех)

— Ххех

и /

(е2 )

= Х2 е2 )

		%х
Ап	—	-'зз
		-'зз
		V ! - 2
		'•пЗ

Дальнейшие рассуждения ведутся в том же порядке до тех пор, пока блок А„_г не будет иметь единичный порядок, у

Всякую симметричную матрицу С, будь она, в частности, матрицей квадратичной формы / (х, х), определенной в произ вольном линейном пространстве L n с любым фиксированным в нем

базисом, можно трактовать как матрицу некоторого самосопря женного преобразования в евклидовом пространстве Еп с орто нормированный базисом 31. По теореме 38, в Еп существует орто нормированный базис 93, в котором матрица D этого преобразо вания диагональиа (с собственными числами %1 матрицы С на диагонали). Матрица М перехода между 31 и 23 — ортогональная [см. (90) из § 31], т. е. М"1 = М*. так что D = МСМ"1 = МСМ*- Поэтому С и D — конгруэнтны (см. § 41). Отсюда вытекают такие следствия.

Следствие 1. Если квадратичная				форма		/ (х,	х)	определена
в евклидовом пространстве Еп		и имеет в некотором					(произвольном)
базисе представление / (х, х)		=	{х')*	Сх',	то	ее можно			привести
к каноническому представлению
/	(X, X) = %, {x,f	+	(Xs)» + . . .		+	К	(xnf
ортогональным	преобразованием		(поворотом)			базиса		в	отличие

от представления (130), полученного треугольным преобразова нием. Такое представление единственно и его коэффициентами являются собственные числа матрицы С.

Следствие 2. Симметричная матрица С:

1)положительно (отрицательно) определена тогда и только тогда, когда все ее собственные числа положительны (отрица тельны);

2)неотрицательно (неположительно) определена тогда и только тогда, когда все собственные числа неотрицательны (неположи тельны) и среди них есть нулевые.

§54. ПРОЕКЦИОННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ВЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Если Ет есть иг-мерное подпространство евклидова простран ства Еп и Е'п_т — ортогональное дополнение E m R O Еп, то любой вектор а £ Еп можно представить в виде

			а = Ь + Ь',			(152)
где	Ь Є Ет	и Ь' £Еп_т,	и притом единственным		образом [24] .
В	самом	деле, в Еп	всегда можно	выбрать такой		базис, что
первые его		т векторов е х , е 2 , . . ., е „ принадлежат			Ет,	а осталь
н ы е — е т + 1 ,		. . ., е „ — подпространству		Е'п_т. Тогда	в разложении

вектор

Ь = ахе.х + а2 е2 + . . . + атет 6 Ет,

а вектор

Ь — Я т + 1 Є т + 1 ~Ь Я т + 2 Є т + 2 -(- . . .ЯП Є„ 6 Еп-т.

Покажем единственность разложения (152). Если предполо

жить, что имеется еще разложение

а =

Ьх

-{- Ъ[,

где

Ь[ £

Е'п-т

Ьх

6 E'nv

т0

О3 — bi) - f

(Ь' — Ьі)

причем Ь — Ьх

6 £ о т

Ь' — Ъ\

£ Е'п-т.

Умножив

обе

части

полученного

равенства

скалярно

на

b — b x ,

получим

(Ь — b x ,

b — bx ) -f- (b' — b i ,

b — bx ) =

Но

здесь

второе

слагаемое

равно

нулю,

так

как

сомножители в нем ортогональны. Отсюда

(b — b x , Ь — Ьх )

= 0 ,

т. е. b — b x

0 или b x

Ь. Тогда

из

(Ь — Ьх )

(Ь' — Ьх )

следует также, что и b '

Ьх .

Вектор b в разложении (152) называют проекцией

вектора

на подпространство

Ет

сЕп,

а вектор а' — проекцией а иа

под

пространство

Е'п_,„ сг Еп.

р (х),

которое

каждому

вектору

Рассмотрим

преобразование

£ Еп

ставит в

соответствие

его

проекцию у

на

заданное

под

пространство Ет.

Оно линейно, так как если х х

ух +

Уі и х 2

—

У2 + Уг. г

Д е

Уі

6 Ет

и у 2

£ Ет,

а ух

6 Е'„_т

и у 2

6 #;,_„,,

то

(ixx

vx 2 =

(u.yx +

vy,) -Ь ((.t-yі + vy 2 )

Так что

(ux x

-f- vx 2 )

|лух

v y 2

|лр

(х,)

ур

(х2 ).

Пре

образование р (х) называют

проекционным.

Проекционное

преобразование

самосопряженно,

ибо

(Ь, р ((a))

(с +

с',

Ь) =

(с, Ь) +

(с', Ь)

(с, Ь), так как

(с', Ь)

0, а {р

(Ь), а)

(с, b

b')

(с,

(с, b'.)

(с,

Ь), так как

(с, Ь')

Поэтому

(Ь, р

(а))

(р

(Ь), а).

Проекционное

преобразование

идемпотентно,

т. е.

удовлет

воряет условию рр

р. В самом деле р (а) =

b, р (р

(а)) = р (Ь)

Ь,

так

как проекция

£ Ет

на

Ет

оставляет

b неизменным.

Поэтому р

(р

(а)) =

(а) при всех

Еп.

Напротив, всякое идемпотентное самосопряженное преобразо

вание

ф (х)

является

проекционным.

Для

доказательства

рас

смотрим вектор

b '

а — ф (а). Для

него

(Ф (а), V)

= (ф (а),

а -

ф (а)) =

(<р (а), а) -

(q> (а), ф (а)).

Но по самосопряженности

(ф (а), ф (а))

(ф (ф (а)), а), а по

идем

потентности

ф (ф (а))

ф (а). Поэтому

(ф (а),

ф (а)) =

(ф (а),

а)

(ф (а),

Ь')

т. е.

ф (а)

Ь'

ортогональны.

Следовательно,

любой вектор а разлагается на сумму а =

ф (a) - f Ь', в

которой

слагаемые ортогональны. Это

и означает, что ф (а) —

проекция а

на область определения преобразования

ф (х).

Итак, доказана следующая теорема [241.

Теорема 39. Преобразование р (х) тогда и только тогда является

проекционным, когда оно самосопряженное и идемпотентное.

Отсюда матрица проекционного преобразования в любом орто-

нормированном базисе должна удовлетворять условиям РР =

(идемпотептная

матрица)

Р =

Р*

(симметричная

матрица).

Всякую идемпотентную симметричную матрицу называют

проекционной.

Структуру матриц проекционных преобразований можно рас смотреть более подробно. Пусть р (х) — произвольном проекцион

ное преобразование, проектирующее векторы х

£ Еп

в у == р (х) £

6 Ет.

Выберем

в Еп

базис так, чтобы первые

т его

векторов а5 ,

а2 , . .

., ат принадлежали подпространству Ет,

а остальные п — т

векторов а т + 1 ,

. . .,

а„ — его

ортогональному

дополнению

Е'п.т.

Тогда,

очевидно,

(

а,-

при

Р (а,-) =

{

при

і>т,

т. е. указанный базис состоит

из

собственных векторов

этого

преобразования

с собственными

числами 1 (при і ^

т)

и 0 (при

і ^>т).

Поэтому в таком базисе матрица проекционного

преобра

зования имеет вид (см. начало

§ 51)

0 . .

. .

1 . .

. .

0 . .

. .

0 . .

. .

0 . .

. .

а по (143) в общем случае

р = м / т м - \

где М — произвольная невырожденная

матрица.

Осталось заметить, что тождественное преобразование

является

частным случаем проекционного преобразования (Ет

— Еп),

и еди

ничная

матрица

Е — частным

случаем

проекционной

матрицы.

§55. НОРМЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ВЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Пусть в евклидовом пространстве задано линейное преобра зование / (х). Поставим вопрос: во сколько оно удлиняет или

укорачивает вектор х? Иначе, рассмотрим отношение Ц-ту-' длин

векторов / (х) и х. Вообще говоря, это отношение для разных X разное. Опираясь на теоремы анализа, можно доказать, что среди

всех

таких

отношений на

Еп

существует

наибольшее.

Точнее,

существует

такой

вектор

х 0 , что

I f (х0 )

max-

I / (х) і

век-

, 1

. v ,' . Этот

l x o l

хЄЕ„ l x |

тор

х 0 называют

максимальным

вектором

преобразования

/ (х),

число

||/(х)

|| =

max-Цр^-называют

нормой

преобразования

(х) [33] \

х£Еп

I I х

Если

Еп

фиксировать ортонормированньш

базис,

то

нем

столбец

координат

вектора у

= / (х) равен у

Ах.

При

этом

| х | = | х | =

Yх*х>

а I /

(х ) I — | Ах| =Ух*А*Ах,

так

что

Щ х )

= ш а х

1 V

і 1

— max І/

— z — .

і е в ,

Iх

х е к /

x x

Последнюю правую часть этого равенства называют

нормой

матрицы

А и обозначают через

|| А ||.

Итак, норма линейного преобразования совпадает с

нормой

его матрицы в любом ортонормированном

базисе.

Так как по (90) переход от одного ортонормированного

базиса

к другому осуществляется с помощью ортогональной матрицы М,

то для таких матриц ЦМАМ"1	\|\| =	\|\|А \|\|.
Из определения нормы матриц имеем:
- ^ i ^ l l A U	или	ІА^І^ЦАЦИ,	(153)

причем равенство здесь достигается для максимальных векторов.

Несложно доказать следующие свойства норм матриц:
			\|\|	ЧИ А1,		(154)
			\|\|АВ\|\|^\|\|А\|\|\|\|В\|\|,			(155)
			\|A-hB\|\|^\|\|A\|\| + \|\|B\|\|			(156)
Действительно,		если х0 — максимальный вектор для ЛА,					то
в^А 111^1 =	1 М а г о Н І Я . С А л о ) \| =				\| Л,\|\|Ая0\|^\|Л.\|\|\|А\|\|\|і0\|,
так что \|\| АА	Н ^	\| К \| \|\| А \|\|. Если			же а:1	— максимальный	вект
для преобразования с матрицей А, то
\| (А,А) х1)		=	\Х (Ахх)	\| = \| Я, 11 Ах11		= \| Я, 11\| А \|\| \| \| ,
так что
		і	^ і і	= \|МІ\|А\|\|^\|\|ЯА\|\|.

Из сравнения полученных неравенств имеем (154). Если х0 — максимальный столбец для АВ, то

«АВІІХоНІАВ^І^ЦАІІІВхоІ^ЦАІІІІВЦхоІ. Отсюда получаем (155).

1 Норму преобразований можно ввести ие		только в евклидовом, но и
в любом нормированном пространстве L (см. сноску на стр. 189), как \|\| / (х) \|\| =
= max	^ ! ^Х }. •- . Но некоторые приведенные	в дальнейшем результаты
х £ Ь	Нх11

справедливы существенно для евклидовых пространств.

Если хо — максимальный столбец для А +				В, то
1А + ВЩа:0\| = \|(А + В)а:0 \| = \|Ад;0 + Ва:с \|^1Аа;0 Ц-\|Ва;0 \|
I A I N а:п	\|В\|\|\|х0\| =	(\|\|А.. .	J B	D \| * 0 ,
что приводит к (156) (\|Аж0 + Вж01		Аж0 \|	+	\| Вя 0	по нера-
венству треугольника).
V Рассмотрим диагональную матрицу
	На
А =	1*2

V>n

Пусть \\іг\ = max |u.J. Тогда

І Аж 1	^[	м - і а : ї+Иа а : і+ -		• -H-1-ф-д	У xl +	xl + . . , +
\|х\|	V	zf + a\| +	.	. . +	У xl +	xl + . . , +
Кроме	того,	легко	проверить,		что для	£ 0 = \|\| 1 0 . . . О \|\|*

Следовательно, для диагональной матрицы А норма ||А || =

=max |u,-|, т. е. равна наибольшему модулю диагональных эле

ментов.

Рассмотрим произвольную симметричную матрицу С.

При доказательстве следствия 1 теоремы 38 было отмечено,

что	существует	диагональная	матрица D =		М С М - 1 ,	где	диаго
нальные элементы D — собственные				числа	матрицы	С,	а М —
ортогональная		матрица. При	этом,	как указано на		стр. 154,
I D	\|\|= \|\|С \|\|,a \|\|D\|\|=max\|A,\|. у
	Отсюда вытекает следующая		теорема.

Теорема 40. Норма любой симметричной матрицы и, следова тельно, любого самосопряженного преобразования равна наибольшему из абсолютных значений его собственных чисел.

Можно дать метод нахождения нормы и для произвольного линейного преобразования / (х).

Теорема 41. Норма линейного преобразования / (х) равна корню квадратному из максимального собственного числа пре

образования /*/		(х).
Л Преобразование				/*/ (х)	самосопряженное,			так	как
(/ (х )> / (У)) =	( х . /*/		(У)) = (/*/		( х ) . У)- Поэтому все его			собствен
ные числа вещественны. Пусть х, — собственный вектор									пре
образования	/*/ (х),		отвечающий собственному числу					%t.	Тогда
I/(*<)!»	_	(/(*<),		/(*<)) _	(хь /*/(х,-))	ktjxt,	xt)	,
\|х(-\|2		(х( 1		xt)	(ХЬХІ)	(ХІ,	%і)	Л'-

Отсюда вытекает, что все Xt > 0

и |/ (хЛ [ = |/\|х,-|.

Осталось

доказать, что для

всех

£ 2?„ выполняется

неравенство

| /

(х) | 55

^ ] / т а х

А,- |х|. Для этого разложим х по

векторам

ортонормиро-

ванного

базиса

e l t

е.,,

. . ., е„, составленного

из собственных

век

торов преобразования

/*/

(х)

х =

+ ж2 е3

- [ - . . . +

ж„е„.

Тогда

/ * /

(Х) =

X! V

-Т2^2Є2 +

• • • +

ХпХпЄп.

Пусть за е1

принят такой вектор, что Ях

max Xt. Тогда

I /

(х) р =

(х,

/ * / (х)) =

fo)* X, + (x2f

{xnf Xn ^

К [(*i)2

fe)2

•

• • +

(xn)~\

I x |« = max Xt

\ x |2.

Отсюда и получаем, что

Отметим еще, что из самосопряженности /*/ (х) следует по

теореме

40, что

||/*/ (х) || =

П//* (х)

|| =

max Xh

а по

теореме 41

Ц/(х)||=

У max Л,.

Отсюда

||/*/

(х) || =

|| /

(х)

||2.

так

как

[ [ / * / (х)

|| -

||(/*)*/* (х)

11= т а х Я , ,

то

||/*

(х)

|| =

У m a x

А,.

Поэтому

I / * /

(х) || =

|| /

(х) |р =

II /* (х) ИІ /

(х) І = II / / *

(х) ||.

(15

Соответственно

этому для норм матриц имеем:

|| А*АI = « А |р = І А* || || А1 = || АА* ||.

(15

Пусть преобразование /

(х) в Еп

имеет положительный дефект,

Кг

— подпространство

его

значений,

Кй

— его

нулевое

под

пространство

(см.

§ 49). Тогда

ортонормированный

базис

Еп

можно выбрать так, чтобы линейная

оболочка первых

к (к 3 » г)

его векторов

а 1 ;

а 2 , . . ., ak содержала в себе

Кг.

Как

выяснено

§ 49, матрица

преобразования

(х)

этом

базисе

матрица преобразования

//*

(х) имеет

вид

	II А	А	0 II
А А	II	о	о Г
А А

г-

Отсюда видно,	что максимальные собственные числа Хг для
АА* и для .4.4* совпадают и потому			\|\|АА* \|\| = \|\|44*	\|\|. Ранее
было условлено говорить, что не только А, но и А задает				преобра
зование / (х). Соответственно		этому норму горизонтальной ма-
трицы определим	правилом	\\А \|\| =	\|\|А \|\|. Поэтому	\\А \[ =

=У || АА* ||. Так, норму горизонтальной матрицы А можно вы

разить через норму квадратной матрицы АА*.
В частном случае, когда А =	а состоит лишь из одной строки,
максимальное собственное число	для

II аа*		О II
АА*=\\ I	пО	ОII
равно аа*. Поэтому в данном	случае	\|\|а \|\| =			Yaa*	=	1Я1>	т - е -
норма строки совпадает с ее евклидовой длиной.
Если ортоиормированный базис в		Еп	выбрать так,				чтобы	по
следние п — к его векторов содержались в К0,					то	матрица		пре
образования / (х) в нем В — \|\| В, 0		\|\|, а		матрица		преобразова-
В*В	О
ния /*/ (х) принимает вид
Определяя для вертикальных матриц В				норму		по	правилу
\|\| В \|\| = \|\| В \|\|, получим на основании			(157'),		что
IIВ \|\| = 1/1 в*в		і.

В частности, для столбца Ъ норма совпадает с евклидовой длиной, т. е. ||b ||= У~Ь*Ь = \ Ь\.

§ 56*. ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть требуется решить систему уравнений Аа; = Ъ с невыро жденной матрицей А. Практически при таком решении прихо дится прибегать к округлениям в процессе вычислений. Все эти округления можно трактовать как ошибки в определении обрат

ной матрицы А - 1 . Поэтому в результате получается не х					= А _ 1 Ь , а
~х = ( А - 1 + АА"1 ) b = А"1 6 +			AA"J 6 = х + AA"X 6.
Ошибка Ах =	х — х = АА_ 1 Аа;. Оценим			отношение	\| Аж\|/\|а;\|.
По свойствам нормы
\|Да;\|^ЯДА-іА\|\| 1*1^11 ДА"1 ! \|\|АЦа;\|.
Если ошибки	Д А - 1	произвольны,	то	возможно	равенство
НДА^А \|\|= \|\| ДА"1		\|\| \|\| А \|\| (например,		из (157') и	(154) видно,

что это имеет место при Д А - 1					= лА*). Если же свободные члены Ь,
а потому и х — А_1Ь				произвольны, то возможно		равенство	\| Ах \ =
—	\|\| Д А _ 1 А \|\|		\|ж\| (т. е. х		оказывается максимальным		вектором-
столбцом		для	Д А _ 1 А ) . Тогда возможно			равенство \| Дж \| =
=	ПЛАТАН \х\ =			\|\| Д А - 1	\|\| \|\|А\|\|\|а:\|.
	Итак,	имеет	место неравенство
				J M ^ \| A \| ( A . . I A A - x \|
				. .	JA-іЦ '

которое при отсутствии ограничений на изменения Д А - 1 и Ъ может обращаться в равенство.

Аналогично для ошибок ДА в элементах матрицы А и оши

бок АЪ в свободных членах	Ъ системы			получаются	неравенства
І ^ ^ І І Л І І М - Ч - Ш	:	•	І ^ ^ И А І ' » ^ »		\| Д Ь \|
И А І			\х\	I I " и \|6\| '

Как видим, относительная по норме ошибка в вычислении Л - 1 или задании А или b и относительная по длине ошибка в столбце неизвестных х в худшем случае пропорциональны и коэффициент пропорциональности к = || А ||||А-1 ||. Его называют числом обусловленности 1 [31 ] системы Ах = Ь. Оно не может быть меньше единицы, так как

І А Ц І А - Ч з И І А А - і І Н І Е И і .

Смысл числа обусловленности таков: если оно имеет поря док 10й , то, как бы хорошо ни был продуман алгоритм решения системы, относительные ошибки задания коэффициентов или сво бодных членов системы, а также относительные ошибки округле ния при вычислениях должны быть на к порядков меньше, чем допустимые относительные ошибки неизвестных системы.

Теорема 42. Если А — симметричная, то

max | А,- I

	[ІАІІЦА-Ч
	min I А,- I
где %l — собственные значения матрицы A .
Д Мы имели И A	\|\|= max X,. Покажем, что	\|\|A_ 1 1\| — . , . •
11	І	mm I Ail

Можно трактовать А - 1 как матрицу преобразования / - 1 (х), обрат ного самосопряженному преобразованию / (х) с матрицей А

1 Нормируя пространства Rn иначе (см. стр. 89), по указанной схеме можно определить и иные числа обусловленности (см., например, [30];. Вычисление некоторых из них более просто.

в	н е к о т о р о м о р т о н о р м и р о в а н н о м базисе. Е с л и	перейти к о р т о -
н о р м и р о в а н н о м у базису собственных в е к т о р о в		п р е о б р а з о в а н и я
/	(х), то его матрица станет д и а г о н а л ь н о й :

D :

а матрица п р е о б р а з о в а н и я / 1 (х) будет, с л е д о в а т е л ь н о ,

D - i : ^2

О т с ю д а	І А - Ч І -	ИГ1 (х) \|\| =		\|\| D'11\|.		Н о	\|\|Z?-MI =		max
1
nun \| Xi V
і
Д л я	п р о и з в о л ь н ы х	матриц	по	(157)	и	теореме		41
						/	m a x Xi
	IIА \|\| \|\| А " * « = V\\ А А *		1 1 ( A A * ) - i			І) = І	/	_ Ц _	г	(158)
						V	m i n Л,-
								і
тде Х{ —	собственные числа м а т р и ц ы				А А * .
Пример. Решить систему уравнений
		100,1а:—	99,9г/ =		0,2,

—9 9 , 9 x + 1 0 0 , l ( / = 0 ! 2 .

Точные корни этой системы х = у = 1. Число обусловленности для нее равно 1000. Вычисления проведены но схеме § 22* с пятью верными деся

тичными знаками
100,10	—	99,90	0,2000	0,0040	0,0040	0,9750
99,90	'	100,10	0,2000	—>- - 0 , 9 9 8 0	0,0020	-* 1,0000
—1		0	0	—1	0

Здесь принято 0,9980-0,0040 = 0,0039, т . е . сделана ошибка в единице

последнего пятого знака. В результате же имеем ошибку в 2,5 единицы				вто
рого десятичного знака,	т. е. относительная ошибка	возросла в	250	раз
по сравнению с ошибкой в вычислениях, что всего в і		раза меньше числа
обусловленности.
Е с л и \|\| А \|\| \|\| А - 1	\|\| = 1, то систему Ах =	Ъ следует	считать

идеально обусловленной.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2216 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20232.59 Mб6Дринфельд, Г. И. Квадратура круга и трансцендентность числа.pdf
#
30.10.202337.67 Mб15Дробление и грохочение углей И. В. Пономарев. 1960- 36 Мб.pdf
#
25.10.202315.96 Mб12Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины.pdf
#
30.10.202318.94 Mб8Дроздов Е.А. Основы вычислительной техники, 1961. - 426 с.pdf
#
25.10.202314.65 Mб7Дроздов Е.А. Основы построения и функционирования вычислительных систем.pdf
#
24.10.20239.33 Mб2Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений.pdf
#
19.10.20232.57 Mб1Дроздов, Б. М. Нормативная информация в АСУ лекции.pdf
#
30.10.202328.35 Mб17Дроздовский Б.А. Влияние трещин на механические свойства конструкционных сталей.pdf
#
29.10.20231.76 Mб8Дрочнев Я.Г. Подготовительные работы на подсочке.pdf
#
29.10.20236.06 Mб26Дружинин Г.В. Надежность электрических схем авиационных систем.pdf
#
21.10.20239.99 Mб9Дружинин, В. В. Магнитные свойства электротехнической стали.pdf