Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Теорема	43.	Система	Аж =	Ъ идеально		обусловлена в том	и
только в том случае, когда АА*				=	к2Е.
А \|\| А	\|\| \|\| А - 1 \|\| =		\|/шах		Аг/цііп А,- =	1 тогда и только	тогд
когда max Яг =		m i n Я,-, т. е. все собственные числа матрицы АА*
і		і

равны между собой. Они положительны, так как АА* положи тельно определена, поэтому обозначим их через к2. Как отмечено при выводе следствий из теоремы 38, существует такая матрица М,

что М А А * М - 1 =	к2Е.	Отсюда АА* = М " 1	(к2Е)	М =	к2Е.	V
Теорема 44.	Если	\|\| ВВ* — ft*E\|\| <	\|\| АА*	-	А\|Е	\|\|, где к{

и к\ — средние арифметические из максимального и минимального

собственных

значений

соответственно

матриц

ВВ*

и АА*,

то

||В || [| В -

1 || <

||А

ЦЦА"1

||, т. е. система Вх =

с лучше

обусло

влена,

чем

система

Ах = Ь.

Пусть

D — диагональная матрица собственных

значений А,-

матрицы СС* (здесь С =

А или С =

В). По следствию 1 теоремы 38

существует

такая ортогональная

матрица М, что M C C * M _ 1

Тогда

М (СС* -

А:2Е) М " 1

к2Е

D'.

Здесь

D '

также диагональная матрица

с элементами

d{.

Так

как [см. (90) ]

ортогональная матрица перехода преобразует ортонормированный

базис в		ортонормированный,	то подобные		матрицы		СС* — к2Е
и	D ' =	D — к2Е описывают	одно	и то же	преобразование			(см.
§ 50) в		разных ортонормпроваииых		базисах	и	потому, по		опре
делению норм матриц (см. стр. 153), \|\|СС* —/с2 Е						\|\| =	\|\| D—-к2 Е\\ =
=	\|\| D ' \|\| = max \| dt \|. По условию теоремы к =					(max Я,- -f- m i n Я,)/2
Поэтому

max \а. = max	.	max КІ + min A;
max \а. = max	к	5

max Я; — min А,-


	Отсюда,	чем больше		\|\| СС* — /с2Е\|\| =			m a x ^	т т	^	; Т е м
л	21\| С С* — А2ЕЦ		шахА,-		.			m a x Я/			V
больше —		:—:	= — ^		1, а следовательно, И				:—я-Ч
		m i n A i	m m А;			"		m i n A;			v
	В связи с теоремами 43 и 44 стоит					заметить следующее. Если
ортогонализовать и нормировать уравнения системы								Ах =		Ь, то
получится новая система Вх =					с, где	В = КА	и с =	Kb,	а К		—
матрица ортогонализации				(см.	§ 32).	Вычислительные			ошибки

могут при этом привести к одному из двух. В первом случае, когда умножения КА и К б проведены с округлениями, то система Вх =

=с, вообще говоря, не будет эквивалентна исходной системе Ах =

=Ь. И потому, несмотря на то, что система Вх = с идеально обус

ловлена, корни ее тем более отличаются от корней системы Ах =


= Ъ,	чем хуже эта последняя обусловлена. В данном случае будем
иметь	эффект решения плохо обусловленной системы методом
ортогонализации. Во втором случае, когда		умножения КА и Kb
проведены точно, система Вх = с вполне		эквивалентна	системе
Ах — Ь. Но если при вычислении матрицы К допускались			округ-

ления, то	В = КА будет тем более отличаться от ортогональной,
чем хуже	обусловлена система	Ах =	Ъ. (Действительно,			так	как
для ортогональной матрицы В =		К А имеем 1		В* = В - 1 =	. А - 1		К " 1 ,
то А - 1 =	В*К и потому округления		при	вычислении	К	равно

сильны округлениям при вычислении А - 1 ) . Но если будет выпол няться неравенство ||ВВ* — к*Е || < ||АА* — АзЕЦ.то переход к системе Вх — с будет давать эффект улучшения обусловленности

системы.

§57*. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ ГИПЕРЭЛЛИПСОИД

Впространстве Еп рассмотрим уравнение

/ ( х , x ) + 2Z(x) + 6 = 0,

где / (х, х) — квадратичная, а I (х) — линейная формы. В орто нормированием базисе оно примет вид

	хАх + 2ах-\-Ь = 0,		(159)
где А — матрица	квадратичной формы, а	а — столбец	коэффи
циентов линейной	формы.
Множество всех точек с координатами		х = \[Хххг	. . .хп\\*,

которые обращают уравнение (159) в числовое равенство, называют

гиперповерхностью	I I порядка в Еп.	В частности, при п =	2 это
линия I I порядка,	а при п — 3 — поверхность I I порядка.
Если в (159) произвести замену		переменных
	х = х+х0,		(160)
то оно примет вид

{х + х0)* А(х + х0) + 2а* (х + х0) + Ь = 0.

После проведения указанных здесь действий с учетом того, что х*Ах0 = х*0Ах, получим

здесь			х*Ах +	2(Ах0±а)*х		+	Ь~==0.			(161)
здесь
			Ь —	XQAX0 +	2а* х0	+	Ъ.
Если	det А Ф		0, существует единственный столбец х0						такой,	что
Ах0 -}- а =		0.	В этом случае говорят,			что вектор		х 0	со столбцом
координат		х0	определяет	центр	гиперповерхности			(159), а		сама
1	См. формулу (90).

И Заказ 2 041

эта гиперповерхность называется центральной. Если х0 — стол бец координат центра, то (161) примет вид х*Ах + 6~ = О или, с учетом (160),

(х~х0)*А

( z - z 0 ) + 6 = 0.

(162)

По следствию 1 теоремы 38 можно найти такую ортогональную матрицу М (поворот базиса), что М*АМ = D, где D — диагональ ная матрица, составленная из собственных чисел %г , Я2 , . . ., Я„


матрицы	А.	Если	теперь принять			х — х0 =		Мх, то ио	(162)
хМАШ	+ 6	= 0	или x*Dx	+	6 =	0.
В развернутом виде это выражение							примет вид
		К &)а	+ ^ (*2)2	+	• • • +		К (4) 2 +	6 - 0 .	(163)

По аналогии с двумерным и трехмерным случаями считается, что поворот базиса не изменяет «геометрический вид» гиперповерх ности, т. е. уравнения (163) и (159) определяют одну и ту же гипер поверхность в разных координатных системах.

В двумерном случае

XjX- + \2у~ + 6 = 0	(163')
представляет собой каноническое уравнение кривой I I	порядка.

Из него следует, что если матрица А положительно или отрица тельно определена, т. е. по следствию 2 теоремы 38, если Хх и Я2 имеют одинаковые знаки, к тому же противоположные знаку 6, то кривая (163') является, как известно из аналитической геометрии,

эллипсом с квадратами			полуосей
ог; =	ь		ъ	1 1 - 1 * 1	. 1 1 . \| _
	К	и сг\| =	, т. е	1 1 - 1 * 1	. 1 1 . \| _
		и сг\| =	, т. е

По аналогии с плоским случаем говорят, что уравнение (163) и, следовательно, (159') задает гиперэллипсоид, если все Xt имеют одинаковые знаки (А — знакоопределенная), а 6 — противополож ный знак. Числа о? = | 6/Я,-1 называют квадратами полуосей гиперэллипсоида, так что | ЯJ = | b\/ah

Рассмотрим теперь плотность нормального распределения [см. (135)]

d e t K - i	(Х-Х0)* К - '		(.У-*.)
d e t K - i	-е	2
(2п)п		2
(2п)п
и найдем геометрическое место	точек	х —		ЦЖц		х2,	. . ., хп\\*,
	гр	-і /det				К-1	п о с т о я н е н '
в которых эта плотность постоянна. 1ак		как	у	(2	я)"		п о с т о я н е н '

то это условие можно записать					в	виде е 2		=	е	2	,
где к — постоянна (можно				показать,			что	0	к	<^оо).	После
потенцирования получается
			(х — х0)* К - 1		(х — х0) = к.
Так	как	весовая	матрица		К - 1	положительно				определена,
то при	к >	0 это уравнение задает гиперэллипсоид
		(*i)2	• Ы 2	,		,		_ ,
		ol	а\|	" Г • • • І "			а 2

с квадратами полуосей а! = &/Я^, где Kt — собственные числа матрицы К - 1 . Его называют корреляционным гиперэллипсоидом

нормального распределения.

И*

	Г л а в а	8
	ОБОБЩЕННЫЕ ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ
	§ 58. ПСЕВДООБРАТНЫЕ		МАТРИЦЫ
В § 25 для данной матрицы А уравнениями (67)
	~S AA = E и А А - Е = Е
определялись	матрицы ~Е А и А~Е .	Там	было доказано, что	~Е А
и А~Е вместе	существуют в том и только		том случае, когда	А —

квадратная невырожденная матрица. При этом такие матрицы единственны и _ В А = А~Е = А - 1 .

Если А — неквадратная матрица, то оба равенства (67) одно временно не выполняются. Действительно, если А — горизон тальная матрица, то уравнение ~Е АА = Е или, иначе, А* (~Е А)* =

= Е с неизвестной матрицей ~Е А по теореме 13 и следствию		тео
ремы	14 Кронекера — Капелли несовместно. Уравнение	же
АА~6 =	Е совместно тогда и только тогда, когда строки матрицы А

линейно независимы (будем в этом случае говорить, что А — строчно-невырожденная матрица). При этом решение А~е не единственно.

Аналогично для вертикальных матриц В устанавливается, что уравнение ВВ~Е = Е всегда несовместно, а _ 6 В В = Е совместно в том и только том случае, когда столбцы матрицы В линейно не зависимы (в этом случае будем говорить, что В — столбцово-невы-

рожденная матрица). При этом	решение	~6 В не единственно.
Всюду в дальнейшем будем выделять		неквадратные	строчно-
или стол бцо во-не вырожденные	матрицы	наклонным	шрифтом,
например А, В.
Все решения ~*В уравнения
~гВВ = Е			(164')

сстолбцово-невырожденной матрицей В назовем матрицами,

псевдообратными	слева к матрицей , а все решения А'г	уравнения
	"АА"* = Е	(164")
со строчно-невырожденной матрицей А — матрицами,		псевдооб
ратными справа	к А [11].

Как видим, псевдообратные слева (справа) матрицы имеются лишь и только лишь у столбцово-невырожденных (строчно-невы рожденных) матриц.

По соображениям размерности из (164') и (164") следует, что ~гА и А~* имеют размерность матрицы А*. Выражение (164') можно рассматривать также как уравнение с неизвестной матри цей В. Если предположить, что строки _£Z? линейно зависимы, то по теореме 13 и следствию теоремы Кронекера — Капелли это

уравнение не имело бы решения. Поэтому матрицы

обяза

тельно строчно-невырожденные. Аналогично все матрицы

А~а

обязательно

столбцово-невырожденные.

§ 59. ТЕОРЕМА О ФИКСАЦИИ ПСЕВДООБРАТНЫХ

МАТРИЦ

Множественность псевдообратных матриц ставит вопрос о со

поставлении их между собой. В решении этого вопроса

важную

роль играет следующая теорема [11].

Теорема 45

(о фиксации псевдообратных матриц).

1. Пусть

и Р — строчно-невырожденные

матрицы одинако

вых размеров, удовлетворяющих условию

det (АР*)

этом

и только этом случае существует единственная матрица

А~е

такая,

что каждый ее столбец содержится в линейной оболочке

[Р*]

столбцов матрицыР*, т. е. L [А~е]

L [Р*],

Такую

матрицу

А~е

обозначим через Ар*.

2. Пусть В

и R — столбцово-невырожденные

матрицы

одина

ковых размеров, такие, что det (R*B)

Ф 0. В этом и только

этом

случае существует единственная матрица ~SB , каждая

строка

которой содержится

линейной

оболочке

[R*]

строк

ма

трицы R*,

т. е. L

[~е В]

= L

[R*].

Такую

матрицу

~гВ

обозна

чим через дБ .

Д Рассмотрим любую столбцово-невырожденную матрицу С,

такую, что L

[С] =

L [Р*] =

L . Так как столбцы матриц С я Р*

образуют базисы в L , то по теореме 18 существует матрица пере

хода М такая, что

С =

Р*М.

Чтобы

было

С =

А~%

должно

вы

полняться

условие

(164"), т. е.

АС

АР*М

= Е.

Так

как

det (АР*)

то

это

возможно

при М =

(АР*)'1.

Так полу

чается единственная

матрица

А?=Р*£АР*)-\

(165')

удовлетворяющая условию L [АРе]

— L

IP*].

существует

ма

Наоборот,

для

произвольной

матрицы

А~г

трица Р,

например

Р = (А~*)*,

такая,

чта

[А~*-] =

[Р*]

и det АР*

Аналогично

доказывается

(2). При этом получаем, что

JiB=-(R*B)-1R*.

(165")V

Матрицы А~р и н-б, определяемые формулами (165') и (165"), будем называть псевдообратными к А или В матрицами, фикси рованными в подпространстве L [Р* ] или L [R* ]. При этом фикси рующую роль играют именно L [Р*] или L IR*], а не Р* или R*. Иначе говоря, замена матриц Р или R другими базисными матрз-

цами	Р'	=	N P	или	R'=	RK		тех	же	подпространств L [Р*]
и L	[R* ] не изменит матрицу А~р или R*B									. Действительно,
А?- =		PN (ЛР/^)"1 =					PiV (N*)"1			(АР*)-1		= У?* (ЛР*)"1 ;
^<73 =		(Кт^В)-1		КД =				( К * ) -		1 КД ==			(RB)~lR.
Пример,			Найти ^4ps		для
					1	1					0	1
			4	=	1	1		если	Р*	=	1	1
			4	=	2	О		если	Р*	=	1	1
					2	О					1	0
Р е ш е н и е .											1	0
Р е ш е н и е .					II2
			АР*-.		II2			det АР*		=	2ф0;
					2
					(АР*у	•і	_	±	-	1
					(АР*у	•і	_	2
								- 1		1	- 1		1
				0	1						- 1		1
				0	1			- 1			•1		0
				1	1		-1				•1
				1	1		-1				2
				1	0		- 1	1			3	-	1
											2	-	1
											2

§ 60. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПСЕВДООБРАТНЫХ МАТРИЦ

Из формул (165') и (165") с очевидностью вытекают следующие свойства Псевдообратных матриц.

Пусть А и Р — строчно-невырожденные, а В и R — столб- цово-невырожденные матрицы, удовлетворяющие условию тео ремы 45, а С — невырожденная квадратная матрица подходящего порядка. Тогда

1.	( А Р ) *	=	Р%(А*) и	(SB)* = (В*)Ъ%.
2.
3.	(СЛ)р« =		(Ар) С-	и ~RS (ВС) =	С"* (й'Я).
4.	(АС)?	=	С-1(АРЪ)	И n-(C£) =	(&RB)C-K

5.А* Ш)=,А и (ЖВ)Ъ**=В.

Первое свойство, очевидно, следует из формул (165') и (165"). Что касается второго свойства, то по теореме 45 левая его часть существует тогда и только тогда, когда существует правая. Про верка же равенства 2 состоит в применении к его правой части

формул (165') и (165").

Для проверки третьего свойства необходимо убедиться, что когда А — строчно-невырожденная, a det С Ф 0, то произведение СА — строчно-невырожденная матрица.. Для этого (см. § 10) линейная комбинация I (СА) строк матрицы СА (I — строка коэф фициентов этой комбинации) приравнивается нулю. Умножая обе

части уравнения	I (СА) =	0 справа на	А~ЪС~Х, получим I =	0.
Это и указывает на линейную независимость строк матрицы				СА.
Так же доказывается, что		когда В —	столбцово-невырожденная
и det С Ф 0, то	произведение ВС —		столбцово-невырожденная

матрица. Равенства 3 проверяются непосредственным примене нием формул (165') и (165").

Для доказательства свойства 4 необходимо убедиться, что строки .АС (столбцы СВ) линейно независимы, если строки А

(столбцы В) линейно независимы и det С Ф		0. Для		этого рассма
триваем уравнение I (АС) =	0 ((СВ)т = 0). Умножением его справа
на С- 1 /1~Е (слева на '"ВС'1)	получим, что	I =	0 (т	= 0). Далее
по (165')
(АС)? = Р* (АСР*)'1	= С-аС7?* (АСР*)'1		= C-Mpfc*.
Аналогично доказывается второе равенство 4.
Пятое свойство доказывается непосредственным				применением
к их левым частям формул	(165') и (165").
§ 6 1 . ПСЕВДООБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ
И ПРОЕКТИРОВАНИЕ	ВЕКТОРОВ НА	ПОДПРОСТРАНСТВА

С понятием псевдообратных матриц связана геометрическая задача проектирования векторов на заданное подпространство,

обобщающая

задачу о

перпендикуляре.

В евклидовом пространстве

Еп

рассмотрим

подпространство

[33] с каркасом полного

ранга 33 =

{Ь^, Ь2 ,

. . ., b m ) .

Заданный

вектор х

^ Еп

представим

в виде

= х ' + х", где х '

[33],

т.

е.

[см.

(38)] х ' =

53с. Так что

х " = - 3 3 с +

х,

(166)

потому

[см.

94)]

х"

принадлежит

Рис.

линейному многообразию с базисом 33,

переменным столбцом (—с) и сдвигом на вектор х. По теореме

то же многообразие можно задать неявным уравнением

21х" =

(167)

где

w =

21х. Здесь 21 — базис

ортогонального

дополнения под

пространства L

[33] до

полного пространства

Еп.

Зададимся еще одним подпространством L

[ЇЯ] в Еп

карка

сом полного

ранга Ш = {гх ,

г 2 ,

. . ., r m }

и того

же порядка,

что

(поэтому

размерности

[53] и

[9t] одинаковы).

Потре

буем, чтобы

det 9ЇЗЗ Ф 0, т.

е.

согласно

следствию 1 теоремы 21

подпространства!/ [33]иІ/ [ОЇ]не должны быть ортогональными. Требуется найти такое разложение (166), в котором х " _L L [91] или иначе SRx" = 0 (рис. 10). Тогда вектор х ' назовем косой про

екцией вектора х на подпространство L [33].

	Для решения этой задачи		умножим обе		части	(166) на	9Ї.
С	учетом условия 9Ъс" =	0 получим		Оїх =	(9Ї23) с,	откуда	с =
=	(9Ї23)'1 ( х) и
	х" =	33с =	23 (9ЇЄ)"1	(9їх).			(168)

Как видим, задача косого проектирования решается одно значно .

Можно дать другое решение этой задачи, исходя из уравнения 167). Так как х " JL L [91], то х " £ L [<£>] или

			х" =			(169)
где ^ — базис		ортогонального		дополнения	подпространства
L [91] до	всего	пространства	Еп.	Подстановка	(169) в	(167)	дает
ЗІ С^РЛ) =	(21^)	к — w. Из	единственности решения			задачи	ко

сого проектирования следует, что столбец к в разложении (169) вектора х " по б а з и с у ^ должен определяться однозначно. Поэтому

det (21^)^=0

к =

(Щ>)~1

Отсюда

х"

^(Щ))'1

ф ( 2 1 ^ ) _ 1 (31х) и окончательно

х' = х-с Р(31с Р)-1 (31х).

(170)

Частным случаем косого

проектирования

при

[9І] =

[23]

L [21 ] =

[^р ]

служит

ортогональное

проектирование

на

Р р ] . В этом

случае

х' = 23(2323)-1(23х);

(168')

х" = х -

ЗІ (2Ш)"1

(31х).

(170')

Так как здесь х" _!_ L

[23], а х'

g L

[23], то в разложении

х ' +

х "

х ' J _ х",

так что формулы (168') и (170') задают

проек

ционное преобразование

вектора х (см. § 54).

Для

координатного

представления

(168)

(170)

зададимся

Е„ некоторым

базисом $

метрической

матрицей

Пусть

В,

R', А' и Р* — матрицы

каркасов

23, 9Ї, 21 и

а х,

х' ж

х"—

столбцы

векторов

х,

х',

х "

этом

базисе.

Тогда

9Ї23

R'*GB,

9їх =

R'*Gx,

A'*GP*

2Ix =

A'*Gx.

Или,

если ввести обозначения

GR'

и А*

GA',

то

9Ї23 =

R*B,

ffix

= R*x,

%ср

АР*

2їх =

Ах.

Поэтому

преобразованиям

(168) и (170) будут соответствовать такие их координатные пред ставления:

	x' = B{RB)-1Rx		=	B(gB)x;		(171)
a? =	х - Р*	(АР*)-1 Ах =		х — (А?)	Ах,	(172)
а проекционным	преобразованиям		(168') и (170'), когда R'			= В
и Р = А' и поэтому R =		G2? и ?	=	G"44*,	соответствуют	пред
ставления
		х' = В(айВ)х;				(171')
	** = a:-(i42b-.)-4«.					(172')

Такова связь псевдообратных матриц с задачей проектирова ния (косого или ортогонального) векторов х Є Еп на заданное подпространство L [23].

§ 62. ОБРАЩЕНИЕ НЕВЫРОЖДЕННОЙ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ, РАЗБИТОЙ НА ДВА БЛОКА

Сравнение выражений (171) и (172) приводит к равенству

В(^В)х=[Е~ (АР*)А]х

при любом х Є Rn. Отсюда по теореме 1

			B(-R>B) +	(AP*)A		=	E.		(173)
Здесь	АВ	= A'*GB	= 0,	a	R*P	=	R'*GP	= 0,	так как	по
построениям и § 34 L			[23 ] и L	[^	] ортогонально дополняют соот
ветственно	L	[21] и L	[9ї]до Еп.		Кроме		того, с учетом следствий
из теорем	13	и 12 (см.	§ 23), rang А			=	rang (A')*	G =	rang А'	—

=т и rang В = rang GR' = rang R' — т, где т — размерность

подпространства L [21] или L [ЭП. По построению

же

23 и

rang В =

rang Р =

п — т,

где

п — т — размерность

L [231

или L

[<}!>]. Поэтому

[см. (71) и

(72)] В ж Р — фундаментальные

матрицы

решений

соответственно систем

уравнений

Ау =

R*z

Так

как

по

(165')

(165")

А?А

Р*

(АР*)-1

Р*

[7* (Р*)]

или

В (~ReB)

== Я

( й * ^ ) - 1

Л*

ЦЯ*)іе *] Л*,

то

выражению (173) можно придать вид

или

В$В)

Р*[-£(Р*))

= Е

Ap*A +

[(R*)-Bs*]R*

(173')

Их можно также записать в блочном виде как

(174)

1 4 ? , ( Л * ) в Ч І д * | = Е.

Как

уже

было

отмечено выше,

размеры

матриц В

и Р

таковы,

А ..

что

|| В,

Р* || и

— квадратные

по

(174)

учетом тео-

ремы 13 невырожденные,

Из

(174) вытекает следующее

утверждение

\\А

Теорема 46.1) Если А = R* — произвольная невырожден

ная квадратная матрица, разбитая на два горизонтальных блока А и R*, то А - 1 = \\Аре, (7?*)в* ||, где Р* — фундаментальная

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20232.59 Mб6Дринфельд, Г. И. Квадратура круга и трансцендентность числа.pdf
#
30.10.202337.67 Mб15Дробление и грохочение углей И. В. Пономарев. 1960- 36 Мб.pdf
#
25.10.202315.96 Mб12Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины.pdf
#
30.10.202318.94 Mб8Дроздов Е.А. Основы вычислительной техники, 1961. - 426 с.pdf
#
25.10.202314.65 Mб7Дроздов Е.А. Основы построения и функционирования вычислительных систем.pdf
#
24.10.20239.33 Mб2Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений.pdf
#
19.10.20232.57 Mб1Дроздов, Б. М. Нормативная информация в АСУ лекции.pdf
#
30.10.202328.35 Mб17Дроздовский Б.А. Влияние трещин на механические свойства конструкционных сталей.pdf
#
29.10.20231.76 Mб8Дрочнев Я.Г. Подготовительные работы на подсочке.pdf
#
29.10.20236.06 Mб26Дружинин Г.В. Надежность электрических схем авиационных систем.pdf
#
21.10.20239.99 Mб9Дружинин, В. В. Магнитные свойства электротехнической стали.pdf