Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2221 22 > Следующая >>>

случае v + Д = А, т. е. систематические ошибки измерений пол ностью входят в уравненные значения (не погашаются).

д Так как с учетом (165 ") v +						А = В (й6 5) А = В		(RB)~1RA
и потому R*A			=	(R*B)(~%B)(v	+	А), то v +	А = 0 тогда и только
тогда,	когда	R*A		= 0.
А	так как с учетом (165') (и + А) — А — (AР£) 4 А = і3 * (ЛР*)"МД
и потому АД		=	(АР)(~Р*)		v, то у + Д =		Д тогда и только тогда,
когда А~А =		0.	v

Итак, справедлива следующая теорема.

Теорема 63. Если в качестве решения здачи уравнивания
измерений с условными	уравнениями А и + w = 0 или уравне
ниями поправок у — Вх	+ dпринято г; = — A j / u ; или а; =	—R'Bd
(R — фундаментальная	матрица решений уравнения Ру =	0), то

систематические ошибки Д измерений погашаются в том и только

том случае,	когда R*A = 0,			и не	погашается тогда и только
тогда, когда		А А = 0,	т. е.	когда	систематические		ошибки
измерений	не	влияют	на	свободные		члены	условных-
уравнений.

§ 73*. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИИ

Оказывается, для уравнивания измерений с условными

уравнениями A v + w =		0 или уравнениями поправок v => Вх		-\-d
по	методу наименьших	квадратов	ковариационную матрицу	К д
или	весовую матрицу	Р д = К д х	вектора измерений достаточно
знать до произвольного		положительного множителя S2, т. е. с точ

ностью до единицы измерения элементов этих матриц. Действи


тельно, если К д			= s 2 K A	или Р д		= -^-Рд, где		РА		= Кд1 , то для
решения	(203) х		= — к - 1в ./3d		с	учетом (165")		получаем
			д
v=Bx	+ d=-B		(к-Г^Я) d +		d=-B		(В^К^В)-1		В*К~АЧ + d =
	=	—В	[В* (±	К д 1 ) в\-в			K-j)[d		+	d =
=	-В	(5Кд 1 Б) - 1 BK?d				+ d =	—В (jf-AiBB)			d + d,
т. е. с Кд	оно	получается		таким же, как с К д .
Более того, результаты решения задачи уравнивания измере
ний дают	возможность оценить					величину множителя s2 .
Предварительно решим такую задачу. Пусть дан случайный
вектор и с ковариационной матрицей							Ки = s2 E		и	произвольная

квадратная матрица С. Требуется найти математическое ожида ние М (и*Си). Обозначим М (и) = а и и — М (и) = и — а = б. Тогда

и*Си = (а* + б*) С (а - f б) = б*Сб + а*Сб + б*Са + а*Са.

По свойствам линейности математического ожидания и совпа дения математического ожидания константы с ней самой

М (и*Си)		= М (6С5) + аСа,
так как М (а*С6) =	а*С М	(б) =	0 и М (6*Са) =		,М (6*) Са = О,
потому что
М (б) = М (и — а) = М (и) — а = а — а =					0.
Для произведения б*Сб найдем с учетом свойства линейности
математических ожиданий
М (б*Сб) =	п	с« (б,)2	Н- S	(с,, + су \| ) 6,6,
М (б*Сб) =	м 2	с« (б,)2	Н- S	(с,, + су \| ) 6,6,
	i=l		tV/
= 2	СНМ (б,)2 + S		(СИ +	С]{) М (6,6;).
і=1		іфі

Вспомним (см. § 46*), что

М (б,)2 = М [(и, - а,)2 ] = cov (щ, щ) = D (щ); М (6,6У) = М [(и, — а,) (Uj — а,-)] = cov (и,, и;-).

По условию же Ки = s2E имеем: D (и,) = s2 , a cov (в,Ку) = 0.

лI n

Отсюда М (6*Сб) = s2 2	c,, = s2 spC		spC =	2 С,(- — след матрицы С)
и потому решение поставленной задачи примет вид
M(uCu) = s 2 s p C + aCa.							(205)
А теперь обобщим условие этой задачи,					приняв	К„	= s2Ku
(при K u = Е получится	уже	рассмотренный			случай). Тогда по
теореме 29 положительно определенную матрицу						К и	можно
представить в виде K u =	ТТ* и потому Ки			=	(sT)(sT)*. Прибегая
к замене переменных
t = Т-Х ы		или	и =	Tt,
получим
К, = Т-ЧС,, (Т-1 )* =		Т - 1 (sT) (sT)* (Т-1 )* = s 2 E,

т. е. вектор t находится в условиях уже рассмотренной задачи. Обозначим М (і) = Ь. Величину и*Си, где С — произвольная квадратная матрица, можно представить с учетом проделанной замены переменных в виде и*Си — t* (Т*СТ) t. Так, обобщенная задача сводится к уже рассмотренной задаче, если в ней вместо матрицы С взять матрицу Т*СТ. Тогда вместо (205) получим

М (и*Си) = М It* (Т*СТ) *] = s2 sp (Т*СТ) 4- Ь* (Т*СТ) Ъ

или, так как а = М (и)	= М (Tt) = Т М (t) =	Tb,
М (и*Си)	= s2 sp (ТСТ) + ссСа.	(206)

Пусть теперь А — вектор ошибок измерений, являющийся значением случайного вектора б с ковариационной матрицей

К д = в2 Кд = s2 TT* и	математическим ожиданием	М (б) = А
(столбец систематических	ошибок измерений), a Av	-\|- ш = 0 —

условное уравнение сети. Пусть в качестве решения задачи урав

нивания	измерений	принят вектор у =		—(ЛР в ) w = — AjfAA,
который	является	значением	случайного	вектора
		z =	АР'Ад.

(здесь взято w = АА, так как по § 7* А (—Д) + w — 0). Для величины г*Кдг 2 = z* (А~рА) *Кд* (А~р А) х применима формула (206), по которой

М (Z*KAX Z) = s2 sp (A? AT) Кд1 (Ар'АТ) + (А^А Д)+ Кд1 (Ар8 ЛД).

Но, как выяснено при доказательстве теоремы 63, ApsAA — = А — (Д + у) = у и потому

М ( z * K ^ z ) = s2 sp (A?AT)* Кд1 (Ay AT) +~v*Klh>.

Отсюда

„ 2 z _

М ^ К ^ - ^ К д ^

sp (AyAT)*

(A-p'AT)

Практически число M (г*Кдх г) неизвестно. Поэтому его


приходится		заменять		значением		v*K~£v,	которое лишь	более
или менее		близко	к	М (г*Кд2).		Заменяя М (z*~R&z)		через
v*K7?v,	получаем оценку				для s2
которую называют средней					квадротпической ошибкой единицы			веса.
При	уравнивании			по	методу	наименьших квадратов,		т. е.
для решения v =			— (Ajf)		w при Р	= ЛКд	(см. теоремы 61 и 62),

получим с	учетом (165')					_
АуАТ		= Р* (АР*)-1		AT = Кд А* (АКАА*)~1				AT
и потому		Кд1 ( 4 ? 4 Т ) = Т * 4 * ( І К д Л * ) " 1					Л К д К ^ К д х
(А-/АТ)*
X Л* (ЛКдЛ*)"1 ЛТ =				(ЛТ)* ( Л Т Т * ^ * ) : 1			AT = (С- 1 ) С,
где введено обозначение			AT = С		и по (165")			получено,	что
С* (СС*УгС	=	(С-Х)С. В	§	62 было	показано, что матрица				С^С
подобным	преобразованием			приводится		к виду
				I E m x m	0	її

о | '

где т — ранг матрицы С, равный по следствию из теоремы 13 рангу матрицы А системы условных уравнений (так как С = AT и det Т?^= 0), т. е. числу избыточных измерений в сети. Но в § 51 отмечалось, что след матрицы при подобном преобразовании не меняется. Поэтому и s p C - 1 C = т, так что для уравнивания по методу наименьших квадратов формула для средней квадратиче-

ской ошибки единицы			веса	приобретает вид			[12]
			2 =	д		д _ _				( 2 0 7 )
Если	измерения	не	содержат		систематических			ошибок,		т. е.
А = 0, а	потому и	v =	0,	если	или	удовлетворяется			условие
теоремы 63 о непогашении ошибок, т. е. при А =								Л -f-	и, когда
~v Ф 0, эта формула		примет		вид
			(л* =		—	(	2	0	8	)

§74*. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ УРАВНИВАНИЕ ИЗМЕРЕНИИ

Вгеодезии часто приходится уравнивать не непосредственно измеренные величины, а величины, полученные из предыдущих уравниваний. Математически [13] это означает, что в условных уравнениях сети

		A"u + w = 0	(209)
столбец	и представляет собой поправки не в непосредственно изме
ренные	величины, а в неизвестные и уравнений поправок
		v = Bu + d	(210)
предыдущих		уравниваний. Назовем (210)	I группой, а (209),—
II группой		уравнений сети.
Выражение (210) является (см. § 37*) общим решением уравне
ний		A"v + wu = 0	(210')
		A"v + wu = 0	(210')
(условные уравнения I группы). Поэтому
		А"В = 0.	(211)
Из (210) имеем			(212)
		u^pBv-pBd,	(212)

где рВ — произвольная псевдообратная к В матрица. Подста новка этого выражения в (209) приводит к условию А' ( R B ) V + + w1 = 0, где принято

w1 = w-A'(R<B)d.

(213)

Задача заключается в решении по методу наименьших квадра тов уравнения Av -f- w = 0 с матрицей и столбцом свободных членов

			A =	А'&ВЦ		-	Ж		(214)
			A =		SA„	• w = \\^ .			(214)
Согласно теоремам 61 и 62 таким решением является									столбец
(с учетом (165')
		v=-AZtLhw=-KLA(AKhA)-4o,							(215)
где К д	— ковариационная				матрица случайного			вектора	б, значе
нием которого		служит вектор ошибок измерений Д. Но
					Н Т л Я ) К Л \| \|
			Л К л ~ \| \|			А " К Д	I '
	л	I	Л " К Д (нЕ £)* (Л')*				4"Кд(Л")*		І'
На	фиксацию		пока		не	накладывалось		никаких	условий.

Теперь, пользуясь произвольностью такой фиксации, установим

ее так, чтобы А'

(R°B)

К д

(А ") * = 0. Для

этого

достаточно

при

нять

н £ = к - Г в 5 .

(216)

Действительно, при этом, имея в виду (211) и (165"), получим

(JfB) К д

(А")*

= А' (В*К-АЩ-і

Д * К ? К Д

{А')*

А' ( 5 * К д 1 5 ) " 1

(А"В)*

= 0,

и теперь

М'К„М')*

Здесь

= ( к л і і 5 ) К л ( к - Г ^ ) *

(217)

— ковариационная матрица вектора

£ =

K - i " 8 j B 6 ,

частным

зна

чением которого

является и —

-ПВД .

Поэтому

;

_ ||

( А " К д А " * ) - х Г

и по (215)

с учетом (214)

v = - К д

( к - Г в г Я)* 4** ( 4 ' К И

4'*)-і і»! + v.

(218)

Здесь

w = -КАА"*

( 4 " К д Л " * ) - 1 ^ 2

- ( ^ " ) Я " К д

Ц>» есть ре

зультат

уравнивания

группы,

т . е .

решения

(210)

или

(210')

204

по методу наименьших квадратов. Подставляя (218) в (212), получим с учетом (217)

и = - К и (А')*	[ A'KU	(A')*}-1	w, + -^-iBB		(v - d) = -{А'ГІ-кШг + и.
Здесь ик-г^В	(Ъ	— d) =	K - i ~ j 5	(—d), так как с учетом обозна
чения для v и (165'), (165")
к-$Рь =	(BK~?B)-lBK?Kb			(АТ	М " к д	(A")*l	wx=0,
потому что по (211) В^^К^А")*				=	5 * (А")*	=	0.
Окончательно		w = и +					(219)
где		w = и +		Аи,			(219)
где
		"	= - K	^ 5	d		(220)

— столбец поправок, получаемый из уравнивания I группы по методу наименьших квадратов с ковариационной матрицей К д , а второе слагаемое

Ди = -(Л')2е 'К ц 1У1

(221)

находится из решения уравнений А 'Аи -J- wx = 0 по методу наи меньших квадратов с ковариационной матрицей (217)

I I	Уравнения А 'Аи +	wx = 0 получаются		из уравнения (209)
	группы исправлением свободных членов			w за счет	результатов
уравнивания I группы,		т. е. по (213) с	учетом (220)
	W l = w — A" ( K - r j . B ) d=w		+	A"u.	(222)
	Здесь нужно обратить внимание на том, что результаты урав
нивания I группы в последующем выступают как непосредствен
ные измерения со своей ковариационной матрицей,					полученной
по	(217) из уравнивания I группы.
	Рассмотрим теперь вопрос об оценке ошибки единицы веса прж

последовательном уравнивании. При этом основную роль играет

величина	v*R?v	из (208). По (210) и	(219) v = Ви	+	d +	ВАи
или, так	как	v — Ви -f- d — поправки	I группы,	то	v =	v +

+ВАи. Поэтому

v*K?v = (у* + Аи*В*) К і 1 (у + В Аи) =

= v*K^v + 2Au*B*Kl1v-{-Au*B*Kl1B

Аи.

Здесь
-BK&=ВК?	(A")-J„K&	w2 = В*КЇКА ( A	T (А'Кд	w* =
	= БА"(А"'КД 4"*)-1 w2 =		0,
так как по (211) А "В =		0. Отсюда с учетом	(217)
	v*K£v	= У КД Х У + AwKu x Діл.

Кроме того, т = тх + 7?г2, где гтг-,^ и ттг2 — число избыточных измерений соответственно в первой и второй группах. Поэтому

Если рассмотреть		оценку точности по результатам уравнивания
I	группы
		гч -	гп1
			гп1
и	по результатам	уравнивания I I группы
			Аи*К-Ми
то	очевидно,
		„ а _ '"іИі + ДігИг
			771! +7712

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Адекватность вероятности 130 Алгорифм Гаусса 27

Базис пространства 36

—ортогональный 91

—ортонормированный 91

Блочное представление матриц 15

Векторы 31

—ортогональные 88

—собственные 145 Величины избыточные 18

—измеряемые 17

—необходимые 18

—определяемые 17 Вероятность 130

Гауссовы символы суммы 92 Гиперэллипсоид 162

— корреляционный 163

Дазиметрнческая область 190 Дефект квадратичной формы 120

—линейного преобразования 142

—матрицы 68

Дисперсия 135

—обобщенная 194 Длина вектора 87 Дополнение линейное 42

—ортогональное 100

—уравнений до полной системы 171

Зависимость линейная			32
— вероятностная 132
Задача	уравнивания		измерений
21,	108,	194

Изоморфизм линейных пространств 37

— евклидовых пространств 95

Каркас линейной оболочки 40

— полного ранга 82

Ковариация 135 Координаты вектора 36 Коррелаты 24

Коэффициент корреляции 136

— нарушения строгости уравнива ния 196

Критерий Сильвестра 126

Линейная комбинация 31

— оболочка 40 Линейное многообразие 42

—преобразование (оператор) 139 идемпотентное 152 проекционное 152

—— тождественное 141

обратное данному 141 самосопряженное 149

Максимальный вектор 153 Математическое ожидание 134 Матрица 6

—билинейной формы 117

—вертикальная 6 Матрица весовая 21, 138

—вырожденная 54

—горизонтальная 6

—Грама 98

—главная g-обратная 177 псевдообратная 177

—^-ортогональная 180

—диагональная 14

—единичная 12

—идемпотентная 152

—каркаса 84

—квадратная 6

—квадратичной формы 119

—ковариационная 24, 137

—линейного преобразования 140

—невырожденная 54

—нулевая 10

—обратная данной 76

—ортогональная 93

—перехода 83

—положительно-определенная 86

—проекционная 153

Матрица весовая		21,	138	Пространство евклидово				85
— псевдообратная		слева 164		— значений			линейного преобразова
— — справа	164				ния	142
— симметричная		14		— линейное			(векторное)	30
— системы, основная			72	— /г-мерное 34
, расширенная			72	— нормированное 89
— скалярная	13			— нулевое квадратичных					форм	121
— столбец 6				•	линейных преобразований					143
— столбцово-невырожденная 164				— решений			однородных	уравнений
— строка 6					78
— строчно-невырожденная 164				— уравнений поправок				46
— треугольная 27				— условных			уравнений	44
Матрицы g-обратные 172				Процесс		ортогонализацпп			Грама-
— коммутативные		12			Шмндта		93

—конгруэнтные 120

—подобные 144

Метод Гаусса 25, 57

Равенство

каркасов

— квадратных корней

128

Равенство

линейных

нреобразо-

Метрическая матрица базиса 91

ваний

140

Миноры

49,

— матриц

—

базисные

Размерность

пространства

— главные 124

— линейного

многообразия

—

диагональные 120

Ранг каркаса

Моды распределения

192

— квадратичной

формы 120

142

— линейного

преобразования

Невязки

— матрицы

Распределение

нормальное

131

Неравенство

Кошд S8

— унимодальное

192

— Коши-Буняковского 88

Решение

однородной

системы

об

обобщенное

101

щее 79

— треугольника

— неоднородной системы общее 81

—

Чебышева

188

главное

180

Норма вектора

— Л І Г П С Й 0 О Г О

преобразования 154

— матрицы 154

Сеть 18

Нуль-вектор

Свойства

операций

над

каркасами

82,

Обусловленность

158

над матрицами 10, 13, 14

— относительно

фиксированного

— обратных

матриц

псевдообращения

184

— исевдообратных матриц

166

Определитель

Свойство линейности

математическо

—

Грама

го

ожидания

182

—

лпнейного

преобразования

144

Скалярное

произведение

Ошибки

измерений 20

След матрицы

146

систематические

131,

199

Собственный базис линейного цре-

Ошибка единицы веса

202

образования

148

средняя

квадратическая 202

Собственное

значение

145

Соотношения

поправок 20

— условные

Перпендикуляр

в многообразии

105

Столбцы матриц 6

Плотность вероятности 130

Сумма

каркасов

Подпространства

линейных

про

— линейных

преобразований

141

странств

— матриц

—евклидовых пространств 96

—ортогональные 97

Проекция	вектора на	подпростран	Теорема Кронекера-Капелли 72
ство	152		— о перпендикуляре 107
косая 167			— о размерности пространств 34
ортогональная		168	— о ранге 68

— о фиксации псевдообратпых мат					Формулы	Крамера		55
риц 165					Формы билинейные			117
— Пифагора	88				симметричные			118
Транспортирование матриц			10		— квадратичные 118
Угол между векторами 87					— линейные		116
Угол между векторами 87					Фундаментальная			матрица	реше
подпространствами		103			ний	79
Улучшение	обусловленности		160		Функция	дазиметрическая			191
Уравнения поправок 21					— Лагранжа		24
— условные	23				— линейная		43
— коррелат нормальные 24					— Маркова		189
— линейных	многообразий		в	па	— рассеяния		187
раметрическом виде 101
— в неявном виде		101			Характеристическое			уравнение 145
Фокусировка случайного вектора				194	Характеристическое			уравнение 145
Фокусировка случайного вектора				194

Формула Бине-Кошп 63

Число обусловлениостп 158

14 Заказ 2041

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2221 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20232.59 Mб6Дринфельд, Г. И. Квадратура круга и трансцендентность числа.pdf
#
30.10.202337.67 Mб15Дробление и грохочение углей И. В. Пономарев. 1960- 36 Мб.pdf
#
25.10.202315.96 Mб12Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины.pdf
#
30.10.202318.94 Mб8Дроздов Е.А. Основы вычислительной техники, 1961. - 426 с.pdf
#
25.10.202314.65 Mб7Дроздов Е.А. Основы построения и функционирования вычислительных систем.pdf
#
24.10.20239.33 Mб2Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений.pdf
#
19.10.20232.57 Mб1Дроздов, Б. М. Нормативная информация в АСУ лекции.pdf
#
30.10.202328.35 Mб17Дроздовский Б.А. Влияние трещин на механические свойства конструкционных сталей.pdf
#
29.10.20231.76 Mб8Дрочнев Я.Г. Подготовительные работы на подсочке.pdf
#
29.10.20236.06 Mб26Дружинин Г.В. Надежность электрических схем авиационных систем.pdf
#
21.10.20239.99 Mб9Дружинин, В. В. Магнитные свойства электротехнической стали.pdf