Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2215 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Обозначим	93 = { b x , b 2			Пусть		В — матрица			кар
каса 93 в базисе		2Ї. Рассмотрим произвольный вектор х						= х1а1	+
+ а:2 а2 + . . . +		хпап.	Тогда по свойствам			линейных		преобра-
зований
у =	/ (х) = xj		(ах ) + xsf (а2 ) +		xj	(а„)	=
		=	ххЪх + ХоЬо +	.. . +	хпЬп
и потому по результатам § 27								(142)
			У =	Вх,				(142)
где х ж у — столбцы			координат векторов		х	и у,	а В — матрица

каркаса 93 в базпсе 21. Матрицу В, которая составлена из столбцов


_^	координат векторов /				(aj), / (а,),		. .	. , / ( а „ )
	в базисе 21, называют матрицей						линейного
	преобразования			у =	/ (х)	в этом		базисе .
	Выражение же (142) называют						представле
	нием	преобразования			у =	/ (х)	в этом		ба
	зисе. Так, например, чтобы представить
	преобразование			/ поворота векторов					х	£
	6 V2	на угол а		в ортонормированием					ба
Рпс. 9	зпсе	і,	] нужно	применить это			преобразо
	вание		к базисным		векторам.		Из	рис.		9

видно, что столбцы координат векторов / (і) и / (]') соответственно

cos а 1	и	— sin а
sin а		cos а

Поэтому матрица преобразования поворота на угол а имеет

в ортонормированием базисе	вид
В =	cos а — sin а
	sin а cos а

Полезно самостоятельно найти матрицы линейных преобразова ний, рассмотренных выше в примерах. При этом для случая пре образования отражения от плоскости удобно задать ортонорми-

~>—>-

рованный базис і j к, а плоскость определить					перпендикулярным
ей вектором с координатами	\|\|а1(	а2,	а3\\*.	стоит убедиться, что А
В случае преобразования	у =	Ах	в Rn	стоит убедиться, что А
является матрицей этого преобразования				в	базисе, состоящем
из векторов-столбцов матрицы Е.

§ 48. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ЛИНЕЙНЫМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ

Два линейных преобразования с операторами / и g называются равными, если / (х) = g (х) для любого х £ Ьп. Если А — матрица преобразования / (х), а В — матрица преобразования g (х) в дан ном базисе, то из / (х) = g (х) следует, что Ах — Вх для всякого

х £ Rn. Тогда по теореме 1 А = В. Итак, матрицы равных линей ных преобразований в одном и том же базисе равны между собой.

Преобразование с оператором ft в Ьп называется суммой

линей

ных преобразований

f (х) и

g (х), если

h (х)

= /

(х)

g (х) для

любого

£ Ьп.

Преобразование h (х) является линейным, так как

h (Хх + uy) =

/ (Хх -f- цу) + g (Хх +

ну)

Xf (х) +

|І/ (у) +

Xg (х) +

ng (у) =

%[f(x)

g (х)1

И / ( У )

+ £ ( У)1 =

(Х) +

ИМУ) -

ЕСЛИ

В некотором

базисе:

А — матрица преобразования

/ (х),

В — матрица

преобразования

g (х), а С — матрица

преобразова

ния h (х), то по определению

суммы преобразований

Сх =

Ах

+ Вх

— (А +

В) х

при

всех

х £Вп.

Поэтому

по

теореме

1 С

= А + В. Так что матрица суммы двух линейных преобразо

ваний равна сумме матриц слагаемых преобразований в						одном
и том же базисе пространства			Ьп.
Преобразование с оператором g в L n называется					произведением
линейного	преобразования	f (х)	на число (х,	если	g (х) =	[х/ (х)
при всех	х £ Ьп. Так же	легко проверяется,		что	преобразова

ние g (х) линейно и что его матрица в любом базисе равна произ

ведению матрицы преобразования / (х) на число и-

Преобразование с оператором h в Ьп

называется

произведением

линейного

преобразования с

оператором

f на линейное

преобразо

вание с оператором

g, если h (х) = g (/ (х)) при всех х

£ Ьп. Непо

средственно убеждаемся в линейном преобразовании h (х)

h (Хх +

fxy) =

g (/ (Хх + ну)) =

g (Xf (х) + н/ (У)) =

Xg (f (х)) + М

(f (у)) = Xh (х) + нй (у).

Если

А — матрица

преобразования

/ (х), В и

С —

соответ

ственно матрицы преобразований g (х)

и h (х) в том

же

базисе,

то по определению Сх — В (Ах) = ВАх

при всех х

£ Rn.

Поэтому

С = ВА.

Преобразование

е (х), переводящее

любой вектор

x £ L „

сам

в себя,

называется

тождественным. Легко

проверить

его линей

ность.

Так как

при

этом

для базиса 91

е (91) =

ЗІ =

91Е,

то

матрицей тождественного преобразования в любом базисе

является единичная матрица				Е.
	Если преобразования / (х)			и g (х) таковы, что их произведе
ние		/ (g (х)) — тождественное		преобразование,			то	преобразова
ние		g (х)	называют обратным	преобразованию		f	(х)	и обозначают
g (х)		— / -	1 (х). Отсюда, если	А и	В — матрицы		преобразований
/	(х)	и / - 1	(х) в некотором базисе,		то АВ =	Е и,		следовательно,
В	=	А - 1 .	Поэтому линейное преобразование тогда и только тогда

имеет обратное, когда определитель его матрицы в произвольном базисе не равен нулю. Такие преобразования называют не вырожденными.

§ 49. РАНГ И ДЕФЕКТ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Рассмотрим сначала преобразование у = Ах в пространстве Вп. Множество всех полученных таким образом столбцов у является, очевидно, линейной оболочкой столбцов матрицы А. Размерность этой оболочки и называлась рангом матрицы А.

Рассмотрим теперь произвольное пространство L n и линейное преобразование у = / (х) в нем. Легко проверить, что множество К

всех значений у этого преобразования						образует			подпространство
в L n .	В самом деле, / (х2 )		6 К,	f (х3 )	6 К		и потому
		/ (кхх) = kf (х,) 6 К	и /	( Ж і +	х,)	=	f	+	/ (х2 ) 6 К.
Так	что	К — линейное	пространство				(пространство			значений
линейного		преобразования).	А так как все / (х)						£ L„, то	/і	czLn.
Размерность г подпространства				К и называют рангом						преобразо
вания f (х). Разность же			п — г =		d	называют			дефектом		этого
преобразования.
Сравнивая понятия ранга матрицы и ранга линейного										преобра

зования, легко увидеть, что ранг преобразования равен рангу его матрицы в любом базисе L n . Отсюда вытекает, что линейное пре образование тогда и только тогда невырожденное, когда ее дефект равен нулю.

Пусть

преобразование / (х)

в пространстве

L„ имеет

положи

тельный

дефект и К — подпространство его

значений.

Выберем

базис в

L n

так,

чтобы линейная

оболочка первых

к {к ^

г =

= rang /

(х))

его

векторов

a l t

а 2 ,

. . ., ай

содержала

себе

К.

Тогда всякое значение данного

преобразования можно

разложить

лишь по этим к векторам

/ (а,) = аиах

а2 £ а2 + . . . +

аыль.

Поэтому в указанном базисе матрица преобразования / (х)

имеет вид

а9 1

а,22

*2гс

А =

акЬ

ак%

&kk

ak,k+l

(в частности, при к — г блок А матрицы А содержит г линейно независимых строк 7г-го порядка). В подобных случаях условимся говорить, что горизонтальная матрица А является матрицей преобразования / ( х ) . Напротив, будем считать, что всякая гори зонтальная матрица А задает в некотором базисе преобразование

с матрицей А =

Кроме пространства значений для преобразования / (х), можно рассмотреть еще одно характерное подпространство. По свой

ствам линейных преобразований

/ (0) =

(Ох) = 0/ (х)

0, так

что

множество тех

векторов х

6 L n

для

которых

(х) =

не

пустое. Кроме того, оно образует пространство

К0,

так как

если

/ (х2 )

то

/ (Ххг

u.x2 )

Xf (xj)

iif

(х2 )

О,

т. е. если

х х

6 К0

и х 2

£ К о, то

1хг

|хх2 £ Ка.

Его

называют

нулевым

подпространством

для

(х). Найдем

его

размерность.

Если 7- (где г =

rang / (х)) первых векторов

базиса L n выбрать

в подпространстве

К значений / (х), то, как уже было

отмечено,

/ (х) имеет в этом

базисе

матрицу А

^| , где

строки

Атхп

линейно независимы, так как к = 7-. Поэтому условие / (х)

принимает

вид

ІА

IIА х

II0 II

где х — координаты

х в указанном

базисе. Так как

Ох =

при

всех х, то для выполнения этого условия необходимо и достаточно

выполнить условие Ах

= 0. Поэтому столбцы х координат

векто

ров х £ К0

являются

решениями однородного

уравнения

ранга

с 7г неизвестными (п

> - 7 - ) .

Ранее

(см.

§ 26) было выяснено,

что

размерность

пространства

решений х

такого

уравнения

равна

d = п — г.

Поэтому

и пространство

К0

имеет

такую

же

раз

мерность.

Если теперь последние

п — к

векторов

аА + 1

. . . &п

(к

г)

базиса расположить в К0,

то для

них

/ (а^+ 1 )

. . . = . /

(ал)

=0, и потому матрица / (х) принимает в таком базисе вид

		І>12	•	blk	0 .. .	0
	&21	&22	•	b2k	0 . . .	0
В:	Ki		•	bmk	0 .. .	0	\|\|5,0\|\|.
	m+l, 1	Ь,п+1,2	• ••	bm+li	k 0 .. .	0
		bn%	•	bftk	0 .. .	0
В подобных	случаях условимся говорить,					что	вертикальная

матрица В является матрицей преобразования / (х). Напротив, будем считать, что всякая вертикальная матрица В задает в не котором базисе преобразование с матрицей В = \\В, 0 ||.

§ 50. СВЯЗЬ МЕЖДУ МАТРИЦАМИ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В РАЗНЫХ БАЗИСАХ

Пусть у = / (х) — некоторое линейное преобразование в про странстве Ьп. В выбранном базисе 91 оно представляется произ ведением столбца х координат вектора х на матрицу А этого


преобразовании, в результате чего получается столбец у=Ах					коор
динат вектора у. Пусть 93 — другой			базис в L n и М — матрица
перехода от 93		к 31, иначе говоря	91 = 93М. Тогда (см.		§ 27)
столбцы у'	и х'	координат векторов у и х в базисе 93 равны у' =
= My и х'	= Мх. Отсюда х = М~1х' и у' = Мг/ =			МАж = МАМ_ 1 д:'.
Таким образом, линейное преобразование у = /				(х) в новом базисе

имеет представление у' — МАМ- 1 д:' и его матрица, которую обозна чим через В, связана с матрицей А в исходном базисе соотношением

В = МАМ"1 .	(143)
Такие матрицы А и В называют подобными.	Как видим, все

матрицы, подобные между собой, описывают одно и то же линей

ное преобразование (сравните с понятием конгруэнтных								матриц
из § 41).
По теореме		об	определителе		произведения	матриц		из	(143)
получим	det	В	=	det М det A	det М - 1 .	Или,	так		как
det М det М - 1		= 1, то		det В = det А, т. е. все подобные				матрицы
имеют равные определители. Поэтому можно говорить								об	опре
делителе	линейного		преобразования		как числе, равном		определи
телю его матрицы в любом базисе.

Числа, характеризующие данное преобразование и не завися щие от выбора базиса в L„, называют инвариантами такого пре образования. Следовательно, определитель преобразования — его инвариант. Ранее мы видели, что инвариантом преобразования является и его ранг. Отсюда для подобных матриц А и В rang А =

=rang В.

§ 51. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕННЯ

Естественно поставить вопрос: нельзя ли среди всех подобных матриц найти наиболее простые по своей внешней структуре, например диагональные. Тогда многие принципиальные исследо вания, связанные с линейными преобразованиями, с помощью таких матриц решались бы технически наиболее просто.


Рассмотрим линейное преобразование /						(х) в L n .	Предположим,
что в L n имеется п линейно			независимых		векторов		а х , а 2 ,	. . ., а„
таких, что / (аг ) = Яга^	(і	=	1,	2, . . ., п).		Тогда,	если	принять
за базис пространства	L n	эти		векторы а х ,		а 3 , . . ., а„, то в нем
матрица преобразования примет диагональный вид
			II К		I

Итак, с точки зрения поставленной задачи, существенный интерес представляют ненулевые векторы х £ £ я . удовлетворя ющие условию

/ (х) =

"кх.

(144)

Их называют собственными векторами			преобразования		/	(х)
с собственным		значением X.
Например, в преобразовании зеркального отражения				векторов	х ^	V3
относительно	заданной плоскости ВСЯКИЙ вектор,		перпендикулярный			ей,
отражаясь,	лишь	умножается на — 1 . Всякий же	вектор,	параллельный

отражающей плоскости, при отражении только умножается на 1, так что это

собственные векторы	с собственными	числами 1 и — 1 .
В преобразовании	поворота плоскости на заданный угол а		ни один век
тор пе удовлетворяет	условию (144). Так что это преобразование		не	обладает
собственными векторами.
Выберем в L n произвольный		базис 91. В нем условию		(144)
будет соответствовать матричное		условие
	Ах = Хх,			(144')

где А — матрица преобразования / (х), а ж — столбец координат вектора х в этом базисе. Выражение (144') можно переписать иначе, как

(А — Щх = 0.

(145)

Если взять произвольное значение X, то (145) является урав нением с неизвестным столбцом х. Оно однородно и при det (А — ХЕ) Ф 0 обладает единственным решением х = 0, кото рое по определению не является собственным вектором. Если же X таково, что

det(A —Я.Е) = 0,

(146)

то уравнение (145) имеет ненулевые решения, которые и являются столбцами координат искомых собственных векторов преобразо вания / (х) с собственными значениями X. Следовательно, усло вие (146) является уравнением, определяющим все собственные числа Я преобразования / (х). Его называют характеристическим уравнением этого преобразования.

Рассмотрим подробнее определитель

	4 и •	•X	a f )		а	13	аIn
	4 и •		12			13	аIn
det (А — ХЕ) =	а21		й 2 2	^	а,23
det (А — ХЕ) =	а•зі.		а32	*зз — X
	"-ЛІ		"7:2		«лЗ
Его раскрытие приводит к многочлену относительно X
det (А - \Е) = А0Хп	+ Д ^ " " 1 + Д 2 Г " 2				+ . . . +		Ап_гХ + ДЛ 1	(147)
который называется	характеристическим						многочленом	ма

трицы А. Его коэффициенты Дг находятся соответствующим образом по элементам матрицы А.

Действительно, det (А — ХЕ) является суммой главного произ

ведения	( а 1 Х — X) ( а 2 2	— X) . . . (апп — X)	и производных	произ
ведений, получаемых заменой в главном произведении				диаго
нальных	сомножителей	недиагональными	элементами матрицы,

10 Заказ 204 1

145

индексы которых получаются всевозможными перестановками вторых индексов в главном произведении. Например, произведе


ние а12а21		(а 3 3 — Л) . . . (апп			— Я)		получено		перестановкой
ПерВОГО И		ВТОРОГО	ИНДеКСОВ,			а Произведение			«i3#21a 32		х
X	(я4 4 — X) . . . (апп		— Я) — перестановкой					первого,		второго
и	третьего	индексов.		Поэтому		все	слагаемые,		образующие
det (А — ЯЕ), являются				многочленами" относительно Я порядка							п
и ниже и сам det (А — ЯЕ) есть					многочлен			порядка	п.	При этом
члены порядка її и			и — 1 имеет			только		главное	произведение,

а все производные произведения имеют порядок не выше п — 2, так как переставить местами можно самое малое два индекса.

Поэтому коэффициенты Д 0 и Д х					определяются только из главного
произведения
( а и - Я ) ( я 2 2 - Я ) . . . К „ - Я ) = ( - 1 ) " Я П 4 -
+	( - 1 Г 1	(«и +		«22 + • • • +			апп)	X я - 1	+ . . ..
Следовательно,	\| Д 0 \| =		1	и	\| Аг	\ =	\| аг	+	я 2 . . . +	ап\|	(сумму
диагональных	элементов		принято			называть		следом матрицы			А
и обозначать sp А). Из (147) при Я =						0 получаем также Д„ =				det А .
Итак, характеристическое уравнение (146) является алгебра
ическим уравнением /1-й степени с неизвестным Я
Д0 Я" + А^-1		~ Д2 Х"-2 - f . . . 4- Д ^ Я + Д„ = 0.

Из алгебры известно, что оно имеет п корней, среди которых могут быть комплексные. Всякие вещественные корни Я£ будут собственными числами преобразования с матрицей А. Коорди наты же отвечающих им собственных векторов находятся из реше ния уравнения (145).

Комплексным корням уравнения (146) могут отвечать только комплексные решения уравнения (145), так как при веществен ном х и комплексном Я в левой части равенства (144') стоял бы вещественный столбец Ах, а в правой — комплексный Хх. А так как комплексные столбцы не являются векторами Rn, то комплекс ные корни уравнения (146) нельзя считать собственными числами матрицы А.

Так, преобразование поворота векторов плоскости на заданный угол а, как уже выяснено, не имеет собственных векторов. Характеристическое уравнение (14fi) такого преобразования в любом ортонормированном базисе имеет вид

			cos а — X	— s i n	а
			sin а	cos а — X
или	в раскрытом	виде	Хг—2 cos а X +		1 =	0. Его корни X =	cos а ±
± K c o s 2 а — 1 =		cos а	± і sin а	комплексны,		что тоже говорит	об отсут
ствии	собственных	векторов.

При построении уравнения (146) мы были существенно свя заны с выбором базиса в пространстве L n задания преобразова ния / (х). Поэтому возникает вопрос: как изменится уравнение (146), если выбрать другой базис L„? Пусть в новом базисе матрица

преобразования В = МАМ - 1 . Теперь нужно рассмотреть матрицу В - ЯЕ = МАМ"1 - ЯЕ = МАМ"1 - М (ЯЕ) М"1 = М (А - ЯЕ) М"1 .

Отсюда В — ЯЕ	и А — ЯЕ подобны	и потому det (В —	ЯЕ) =
= det (А — ЯЕ)	при всех Я. Иначе,	характеристические	много

члены, найденные как по матрице А, так и по матрице В, тожде ственно равны. Следовательно, коэффициенты Дг многочлена (147) не зависят от выбора базиса в L n , т. е. являются инвариантами ли нейного преобразования. Инвариантами являются и корни урав нения (146).

Подведем краткий итог. Чтобы найти собственные значения линейного преобразования / (х), нужно по его матрице А в произ вольном базисе составить характеристическое уравнение (146) и найти все его вещественные корни. Максимальное их число равно п — размерности пространства L„, по их может быть и меньше и даже не быть вовсе. Чтобы найти координаты собствен ных векторов х в указанном базисе, отвечающих собственному значению Я, нужно решить систему однородных линейных уравнений (145), где матрица А является матрицей данного пре образования в указанном базисе. Так как в нашем случае одно

родные		уравнения			имеют бесконечное множество решений, то
одному		и	тому	же	собственному	значению Я соответствует	бес
конечное			множество		собственных	векторов.
		§ 52. ОБЩИЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ
Теорема 35. Все собственные векторы, отвечающие собствен
ному	значению			Я0 ,	образуют линейное подпространство Ки		а
a L n ,	размерность которого не превышает кратности Я0 как корня
характеристического уравнения.
А	Если х1			и х 2	— собственные векторы с собственным значе
нием Я0 , т. е. /				(x-J = К0х1 и / (х2 )		= Я0 х2 , то всякая их линейная

комбинация снова является собственным вектором с тем же соб

ственным	значением, так		как
/ (axj. + Йх2) =		a/ ( x j +	В/ (х2 ) =		с Л ^ +	ВЯ0х2 =		Я0 (ахх + Вх2 ).
Это доказывает первую часть теоремы.
Пусть	размерность подпространства						равна т. Тогда вы
берем в L n такой		базис, чтобы первые т его					векторов принадле
жали КХо.	Матрица преобразования примет в нем вид
	Я0	. .	0	а1,	т+1		а1п
	0	Яо0 . ..	0	а2,	т+1		а,п
	0	0 .		&т,	т+1	• •	&тп
	0	0 . .	0	ат+1,	т+1		ат+1,	п
	0	0 . .	0	ап, т+1			О-пп

10*

147

и по свойствам определителей (теорема 11) характеристическое уравнение для нее примет вид

	0.
гп, т+1	• • 1 апп ^
Следовательно, кратность корня Я0	действительно не меньше т. v

В частности, если собственное значение Х0 является простым корнем характеристического уравнения, то множество собствен ных векторов, отвечающих ему, образует одномерное подпро странство .

Теорема 36. Собственные векторы хх , х2 , . . . xf e данного линей ного преобразования, отвечающие попарно различным собствен

ным значениям К1, Х2 ,	. . ., kk, линейно	независимы.
Д Если к = 1, то	справедливость	теоремы очевидна, так как

ха — ненулевой вектор. Положим далее, что теорема справедлива

для к = т — 1 и проверим, справедлива ли она также для к =	т.
Для этого составим нулевую линейную комбинацию
№ + №г + • • • 4 РтХт = 0	(148)

и докажем, что она удовлетворяется только при нулевых коэф фициентах. Применим к обепм ее частям преобразование / (х).

Так

бственные векторы с

собственными

значениями Xlt К2, . . .,

Кт, то получим

Иі^1х і +

M"2^2X2 4-

• • • 4-

РтК&т = 0.

(149)

Умножим (148) на Хт

и вычтем получившееся равенство из (149)

V-1 (^1 ~

^т) х 1 4" Щ (^2 — ^т) х

2 +

• • • 4" Ц-т-1

— ^т) х т - 1

Так как

корни ^

различны,

то

(X, — \т) ф0

при і Ф

т.

А так как, по предположению,

Xj,

х 2 ,

. . ., хт_1

линейно

не

зависимы, то иг (Яг — Хт)

= 0 при г =

1, 2, . . ., т

— 1 и потому

V-2 — • • • —

Поскольку

хт Ф 0,

то

по

(148)

и [дт

= 0.

уравнение

Из теоремы 36 видно, что когда характеристическое

(146) имеет п вещественных попарно различных корней, в L n существует базис, состоящий из собственных векторов преобра

зования	/	(х)	(собственный	базис линейного преобразования). В та
ком базисе,			как показано	в начале § 51, матрица преобразова
ния /(х)		диагональна.

§53. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ВЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Пусть линейное преобразование / (х) задано в евклидовом пространстве Еп. Тогда можно рассмотреть скалярное произве дение (/ (х), у). Докажем, что наряду с преобразованием / (х)

существует такое единственное линейное преобразование /* (х), называемое сопряженным с / (х), что

				(/(Х),у) =		(х,/*(У)).					(150)
Для этого выберем в Еп					ортонормированный					базис.	В нем
столбец координат			вектора /		(х) равен Ах.			Но	в ортонормирован
ием	базисе	(/ (х), у) =		(у, /	(х))	=	у*Ах.	Так	как у*Ах —		число,
то	у*Ах =	(уАх)	=	хАу	=	(х,	А*у).	Поэтому		преобразова

ние /* (у), которое в данном ортонормированном базисе имеет матрицу А*, как раз удовлетворяет условию (150).

Для доказательства единственности преобразования /* (у) со пряженного преобразованию / (х) предположим противное, т. е.

допустим, что наряду с /*		(у) найдется еще		ft (х), для	которого
(/ (х), у) = (х, /* (у))	= (х,	ft	(у)). Тогда
(х, /* (у)) -	(х, /* (у)) = (х, / * (у) - Л			(У)) = 0.
Так как здесь у g Еп — произвольный, то /* (у) — f\ (у)						орто
гонален любому вектору Еп,			в том числе и самому себе. Но			таким
является лишь нулевой вектор. Так что /*				(у) = ft (у)	при всех
У € Еп.	(х), удовлетворяющее			условию
Преобразование /
		/(х) = / * ( * ) ,				(151).
называется самосопряженным.			Очевидно, матрицы самосопряжен

ных преобразований в любом ортонормированном базисе сим метричны. Напротив, всякая симметричная матрица задает в орто нормированном базисе самосопряженное преобразование.

Для самосопряженных преобразований задача о нахождении собственного базиса всегда решается положительно. Для этого докажем предварительно следующую теорему.

Теорема 37. Все корни характеристического уравнения лю

бой симметричной матрицы вещественны.
Л	Если бы К0			был комплексным, то и столбец Ъ такой,						что
А6 =	К0Ъ, был бы комплексным, так как А — вещественна. Умно
жим	обе	части этого			равенства	слева на	строку	Ь*,	состоящую
из комплексно-сопряженных элементов							строки	Ъ*.	Получим
Ъ*АЪ =		b*K0b	= \0b*b.		Если	элементы	столбца	Ъ	обозначить
					п				п
через	ak	+	ФА,	то	b*b = 2	(а* — ifa)	(а* +	ifa)	= 2	(al+
			_		h=l				fe=2

+б?). Так что b*b — вещественно и больше нуля (столбец 6-

ненулевой). Отсюда л 0 =	.
Покажем теперь, что	и число Ь*АЬ вещественно.- Для этого

рассмотрим комплексно-сопряженное число Ь*АЬ. Как известно из теории комплексных чисел [19], для нахождения числа, со пряженного произведению чисел, можно перемножить сопряжен ные сомножители. Поэтому b*Ab = b*Ab = Ь*АЬ. Здесь А = А,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2215 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20232.59 Mб6Дринфельд, Г. И. Квадратура круга и трансцендентность числа.pdf
#
30.10.202337.67 Mб15Дробление и грохочение углей И. В. Пономарев. 1960- 36 Мб.pdf
#
25.10.202315.96 Mб12Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины.pdf
#
30.10.202318.94 Mб8Дроздов Е.А. Основы вычислительной техники, 1961. - 426 с.pdf
#
25.10.202314.65 Mб7Дроздов Е.А. Основы построения и функционирования вычислительных систем.pdf
#
24.10.20239.33 Mб2Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений.pdf
#
19.10.20232.57 Mб1Дроздов, Б. М. Нормативная информация в АСУ лекции.pdf
#
30.10.202328.35 Mб16Дроздовский Б.А. Влияние трещин на механические свойства конструкционных сталей.pdf
#
29.10.20231.76 Mб8Дрочнев Я.Г. Подготовительные работы на подсочке.pdf
#
29.10.20236.06 Mб26Дружинин Г.В. Надежность электрических схем авиационных систем.pdf
#
21.10.20239.99 Mб9Дружинин, В. В. Магнитные свойства электротехнической стали.pdf