Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 224 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Г л а в а 2

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО (ВЕКТОРНОГО)£ПРОСТРАНСТВА

Уже было отмечено, что свойства операций над матрицами дают возможность преобразовывать матричные выражения фор мально, не обращаясь к определению этих операций. Но сверх того, если в свойствах 1—8 заменить знаки А, В, С матриц зна-

ками а, Ь, с чисел пли знаками а,		Ь, с геометрических свободных
векторов, или знаками f^x),	f2(x),	f3(x)	функций, то они останутся
справедливыми, хотя смысл операций при этом меняется.
Подобная картина, когда над		объектами множеств, разных
по своей природе, вводятся	операции		с общими свойствами, ти

пична для математики, и в этом случае принято говорить, что все этп множества обладают общей структурой относительно данных операций. Но тогда имеет смысл абстрагироваться от природы объектов и изучать структуру саму по себе. Результаты такого изучения можно тогда приложить к множествам объектов любой конкретной природы, обладающим этой структурой. Эти кон

кретные	множества	называются	моделями	даппон	структуры.
Вот	такого рода	абстрактную	структуру	представляет собой
то, что принято называть линейным, или векторным,					простран
ством [7, 19, 24, 33, 341. Дадим			точное определение.

Пусть дано множество L каких-либо элементов, которые будем обозначать малыми латинскими буквами (принадлежность эле мента а множеству L обозначают символом а £ L ) . Для каждых элементов а £ L и Ь 6 L каким-то образом введены: операция ра венства элементов, обозначаемая как а = Ь, операция умножения элемента а на число Я, обозначаемая как аА или Аа, и операция

сложения	элементов		а и Ь, обозначаемая а +		Ь, причем так, что
I . с =	А,а6£	и	П. a - f b	= d e £ .
Пусть	далее	эти	операции	удовлетворяют	свойствам:

1.a - f b = b - f - a .

2.	(а + Ь) +	с =	а-\|-(Ь +	с).
3.	Существует элемент			0 £ L такой, что а + 0 = а для любого
а 6 L	(элемент	0	называют нуль-вектором).
4.	Для любого		a^L существует—a£L такой, что а + ( — а )=0 .

5.1-а = а.

6.А, (ца) = (%]х) а.

7.(А, + jx) а = Ха + |.ia.

8.%{а + Ъ) = ка + ХЪ.

Втаком случае множество L называют линейным простран ством, а его элементы — векторами.

Ясно, что множества всех чпсел, всех матриц одинакового порядка, всех геометрических векторов и всех функций являются моделями линейного пространства или, выражаясь более просто, образуют линейные пространства. Пространство вещественных чисел принято обозначать буквой R, столбцов (или строк) ?г-го порядка — буквой Rn, геометрических векторов V3.

Приведем другие примеры. Линейное пространство образуют не только все столбцы гс-го порядка, но п множество всех тех столбцов /1-го порядка, у которых первые два элемента одинаковые, так как, умножая такой столбец на число или складывая два таких столбца, снова получим столбцы с равными двумя первыми элементами. Свойства 1—8 для них удовлетворяются как для всех матриц одинакового порядка. А вот множество всех столбцов га-го порядка, сумма элементов которых равна единице, не образует линейного

пространства, так как уже умножение любого такого столбца на X =/= 1 при

ведет к столбцу, у которого сумма элементов равна этому Я, а не единице.

Точно так же не только множество всех геометрических векторов, но п, например, множество тех из них, которые расположены в плоскости двух

данных неколлинеарных1 векторов а и Ъ, образует линейное пространство, ибо, суммируя два таких вектора по правилу параллелограмма или умно жая каждый из них на число, будем получать векторы, лежащие в той же плоскости. Свойства 1—8 удовлетворяются как у всех геометрических векто ров. Напротив, множество всех геометрических векторов, длина которых не превышает единицы, не образует линейного пространства, так как, на пример, сумма таких векторов может иметь длину, большую единицы.

§	10. ЛИНЕЙНАЯ	ЗАВИСИМОСТЬ
Пусть &lt а 2 ,	. . ., а,„ — векторы		пространства	L . Вектор
	Ь = kxax + к2а2	+ . .	. + ктат	(29)

(где kL — вещественные числа) называется линейной комбинацией

векторов a l f а 2 , . . .,	а,„.
Если векторы Ь, ах ,	а 2 , . . .,		а т	даны, то определить, является
ли Ь линейной комбинацией ах, а 2 ,				. . .,	а т — значит,			выяснить,
существуют ли такие числа кг,			к2,	. . ., кт, с которыми выполня
лось бы равенство (29). Если		взять b =			0,	то	условие	(29)	всегда
можно выполнить при	Ах =	к2	=	. . .	=	кт	= 0, так	что	нуль-

вектор является линейной комбинацией всяких векторов. Но

может быть		два случая:
1)	условие
		M i . +	+	• • •	+ kmam	=	О	(ЗО)
выполнимо лишь, когда кх			=	к2 =	. . . =	кт	= 0;
1	Так как	рассматриваются	свободные		векторы, то все их можно			мыс

лить исходящими из одной фиксированной точки. Тогда коллинеарные друг

другу векторы действуют вдоль общей прямой, а все векторы, комиланарные ->-->• . . . .

с а и Ь, лежат в одной плоскости. Положение такой прямой или такой пло скости произвольно, так как произвольна фиксация точки приложения век торов.

2) условие (30)	может	быть	выполнено и с помощью таких
kh среди которых	не все	равны	нулю.
Система векторов а 1 ?		а 2 , . . ., а т в первом из этих случаев
называется линейно независимой,			а во втором — линейно зависимой.

Для общности рассуждений удобно также говорить о системах, состоящих из одного вектора а. В этом случае условие (30) примет

вид		ка. =	0, и оно выполняется при ненулевых	к лишь,	если
а	=	0. Поэтому система одного вектора линейно		зависима	тогда
и	только		тогда, когда этот вектор нулевой.

Примеры. В векторной алгебре доказывается, что в пространстве V , два вектора линейно зависимы в том и только том случае, если они коллииеарны, т. е. линии действия этих векторов параллельны или совпадают. Три геометрических вектора линейно завпспмы тогда и только тогда, когда они компланарны, т. е. если начала этих векторов свести в одну точку, то векторы окажутся лежащими в одной плоскости. Наконец, из векторной алгебры известно, что любые четыре геометрических вектора линейно зависимы.

Стоит обратить внимание на то, что если векторы в (29) и (30) являются столбцами ?г-го порядка Ь, аг, а 2 , . . ., ат, то (29) и (30) можно записать в матричном виде

и					Ь = А/с		(29')
					0 —	Ак,	(30')

где	к — столбец		пг-го	порядка,		составленный из коэффициентов
kt	выражений	(29) и		(30), а матрица А составлена из			столбцов
ах,	а2, . . .,	ат.	При	этом вопрос о том, является ли столбец Ъ
линейной комбинацией аг,					а2,	. . ., ат, равносилен	вопросу

о существовании решения уравнения (29'). Вопрос же о линейной

зависимости аг, а2,	а3 . . .	ат равносилен вопросу о	существо
вании ненулевого	решения	однородного уравнения	(30) .

Необходимо отметить ряд свойств векторов, связанных с по нятиями линейной комбинации и линейной зависимости.

Свойство 1.	Линейная			комбинация		линейных комбинаций
векторов вх, а 2 ,	• • .,	а т	из L снова является линейной				комбина
цией этих векторов		а ъ	а 2 ,	. . .,	а т .	комбинации	векторов
Д Действительно,		если		Ь; — линейные
3), а2 , . . ., а т ,	т. е.
	Ьх — кцЛ-у +			k12a2	+ . . . +	klma.m,
	b 2	^ 2 і а і ~\- k22&2			-Ь . < .	~\-k2mam,

b p = : A p i a 1 + ^ p 2 3 2 + . . .

-\-kpmam,

то по свойствам 1—8 получается, что линейная комбинация этих линейных комбинаций

		С = \|Л,1Ь1 +	\| Л . 2 Ь 2 +		. . . +ЦрЪр =
		= ([ijfcn +	\|Л2/с21 +		. . . +	iipkpl)	ах .+
		((Мат ~Ь tW^m +			• • • -hM-p^pm)am>
В итоге вектор с оказывается линейной комбинацией исходных
векторов а;-, что и утверждает					доказываемое		свойство		V -
Свойство		2. Если некоторые из векторов					а1 ?	а3 , а3 ,	. . ., а,-,
ai + 1 ,	. . ., а,„	пространства		L линейно		зависимы,		то и	все	эти
векторы линейно зависимы.
Д	Пусть,	например, a l f		а 2 , . . ., а{		линейно		зависимы,		т. е,
можно составить линейную				комбинацию
		О =	+	А2 аа	+ . . .	+к,л{,

где не все к,- равны нулю. Но тогда следующая линейная комбина ция

M i + &2 а2 + • • • + к&і + 0a£-+i + • • • + 0 а т

всех исходных векторов является, очевидно, нулевой, и не все к

в ней равны нулю.		V
Из свойства 2 и того, что всякие четыре вектора из			V 3 линейно
зависимы,	вытекает,	что и всякие п геометрических векторов,
где п ^ 4,	линейно	зависимы. Из свойства же 2	следует, что

всякая система, содержащая нуль-вектор, линейно зависима.

Свойство 3.

Векторы a l t

а2 ,

. . . а т

из

линейно

зависимы

тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно

выравить

как линейную комбинацию других.

Пусть, например, а х выражается как линейная комбинация

а.1 =7с2 а2

+ . . . - ) -

кта.т.

Тогда

по свойствам

1—8

— а

т ~Ь &а&2 ~Ь • • • ~Ь ктат

О,

и коэффициент

при

есть — 1 Ф 0.

Если же принять, что векторы ах ,

а 2 ,

. . ., а т линейно

зави

симы,

то

можно

найти нулевую

линейную

комбинацию

^ « 1 +

^ 2 3 2 +

• . • +JJ-m am

в которой хотя

бы

один [А ф 0

(например,

u-j Ф 0). Но

тогда

J i t - _

_ - В ™ Я

М-1

т. е.

ах

является линейной

комбинацией

остальных

векторов

системы.

3 Заказ 2041

§ 1 1 . РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Уже было отмечено, что всякие п векторов из У3 , где п ^ 4, линейно зависимы, тогда как три линейно независимых, т. е. некомпланарных, геометрических вектора всегда можно по строить. Так-что максимальное количество линейно независимых векторов в V3 три. Интересно знать максимальное количество линейно независимых векторов и для всякого пространства L . Если это количество конечно и равно п, то пространство назы

вается n-мерным или	имеющим размерность п и обозначается
Ьп. Так, пространство	V3 трехмерно. Для решения вопроса о раз

мерности того или иного пространства важную роль играет сле дующая теорема.

Теорема	3 (о размерности пространства). Если в	пространстве
L найдутся	такие п линейно независимых вектора e l f	е 2 , . . ., еп,

что все остальные векторы представляются в виде их линейной комбинации, то пространство L гс-мерно.

дУже по условию теоремы в пространстве L существует п

линейно независимых	вектора. Осталось доказать,		что	всякие
п + 1 вектора из L линейно зависимы. Тогда с учетом свойства 2
мы и получим что п — размерность пространства L .
Рассмотрим 7 1 + 1	произвольных	векторов а, лг,	а2 ,	. . ., а„.
Если векторы alt а 2 ,	. . ., а„ линйно	зависимы, то по свойству 2

вся данная система векторов линейно зависима и утверждение теоремы справедливо. Поэтому остается рассмотреть случай,

когда

а х ,

а 2 ,

. . ., а„ линейно независимы. По

условию теоремы

аі =

Ц і Є 1 - г - ц а е а - { - . .

. +[іпЄп-

При этом не все р.; = 0, так как иначе получилось бы а г =

О,

а это не допускается

условием линейной независимости векторов

Эх, а2 ,

. . ., а„. Нумерация векторов не играет здесь роли, поэтому

можно

считать для определенности, что (Хх =h 0.

Но тогда

e1 = v1ax

+ viei+

. . . + v „ e n

( v j = - і - ,

— -g-) .

По

условию теоремы все

й[

выражаются

линейно

через

е 1 ?

е 2 , . . .,

еп,

a ej

— через ах,

ex ,

. . .,

ert. Отсюда и из

свойства 1

следует,

что

все

а£ являются также

линейными комбинациями

векторов

ах,

е 2 ,

. . .,

еп.

докажем,

что после

Теперь путем

математической индукции

довательным применением рассмотренного приема можно, нако

нец, все

векторы

вх,

е 2 ,

. . .-,

е„

выразить

линейно

через

а х ,

а 2 , . . ., а„. Поскольку

вектор

а из рассматриваемой

началь

ной системы линейно выражается через е х , е 2 , . . .,

е„, то по свой

ству 1 это будет обозначать, что он выражается и через ах, а 2 ,

. . .,

а„.

Этим и будет по свойству

3 доказано

утверждение

теоремы.

Итак,

предположим,

что

уже

удалось

все

e l f

е 2 ,

. . ., е„,

а следовательно, и

все

& 1

, а 2 , . . .,

а„ выразить линейно

через

а х ,

а 2 ,

. . .,

a/,.,

eft + 1 , . .

е„,

где к <га.

Докажем, что

тогда

все векторы еА , е 2 , . . .,

е„ можно выразить через а 1 ; а 2 )

. . .,

аА ,

^ft + u ЄЙ+ 2 ,

. . .,

еп. По индуктивному

предположению

аА+і +

^і а і +

^ а 2 +

• • • +hbk+ht+iek+i+

• • • + ^ n e „ =

При этом не все числа

. . ., %п

равны пулю, так как иначе

было бы

ak+i + Ка1

^а2

• • • + Чак = О,

что по свойству 2 противоречит линейной независимости

векторов

a l 5

а 2 ,

. . .,

а„.

Так

как

нумерация

слагаемых

здесь

несуще

ственна,

то можно считать

%k+1

=fc 0.

Тогда по свойству

полу

чается,

что

все

векторы

е 1 , ' е 2 ,

. . ., е„

выражаются

линейно

через а1,

а 2 ,

. . ., а&, а£+

1 ,

е / і + 2 ,

. . .,

е я .

Теорема

доказана.

Применим эту теорему к пространству Rn

столбцов ?г-го порядка.

Заметим

сначала, что

векторы-столбцы

•

» • • • > е„ = .

линейно независимы. Действительно, выполняя матричные дей ствия в уравнении

V l + &2( ? 2+ • • •


получим			единственное его решение:				=	к2	= . . . = кп — 0.
	Далее		видно, что		всякий столбец га-го порядка
					a = \]a1$ a2, . . ., ал \|*
может быть выражен как линейная комбинация									векторов-столбцов
e l t	е2 ,	. . .,		е„. Непосредственной		проверкой			можно	убедиться,
что				а = а 1 е 1 + а 2 е 2 +		. . . +апеп,				(31)

где	Оц	а2 ,		. . ., ап — элементы столбца			а.			получаем,
	Отсюда по теореме 3 о размерности пространства
что	пространство Rn				столбцов га-го	порядка		га-мерно.

§12. БАЗИС ЛИЛЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

ИКООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ

дВыберем в L n какую-нибудь систему га линейно независимых

векторов а х ,	а 2 , . . ., а„.	Тогда,	если	рассмотреть		произвольный
вектор Ь	то система Ь,	а 2 ,	. . . , а„		будет линейно зависимой.
Оказывается,	условие
	[хЬ +	+ [i 2 a 2	+ . . .	+	\|я„а„ = 0	(32)

при этом можно выполнить

с \і ф

Действительно,

если

пред

положить, что

j-i =

0, а какие-либо

из

коэффициентов

(і

1, 2, . . ., п)

отличны от нуля, то придется согласиться с тем,

что

условие

МЛ + ^аз-Ь . . . +]х„а„ = 0

выполняется, когда не все и, =

0. А

это

противоречит

линейной

независимости a l t а2 , • • .,

ап.

\х и перенося соответству

Поделив теперь равенство (32) на

ющие слагаемые в правую часть, получаем

b = xxaL

- f х2 а2

. . . +

хпап.

(33")

Итак, доказана

теорема.

Теорема 4. Если в пространстве L n

выбрать п линейно

незави

симых векторов

&х,

а2 , . . .,

ал ,

то

всякий вектор из

L n

может

быть представлен как их линейная

комбинация (33').

В связи с этим любую фиксированную систему п линейно не

зависимых векторов в Ьп называют

базисом пространства

L n .

Выражение (33') называется разложением

вектора Ъ£Ьп по

этому

базису, а коэффициенты хг,

хг,

. .

хп этого разложения назы

вают координатами

вектора

этом

базисе. Так,

например,

из

(31) п (33')

следует, что

элементы

вектора-столбца

являются

его координатами в базисе, состоящем из векторов-столбцов

Теперь докажем следующее важное предложение.

Теорема 5 (о единственности разложения векторов по базису).

Разложение произвольного вектора Ъ£Ьп					по базису единственно.
Д Запишем два таких разложения
Ь — ^ 1 1 а 1 ~ Г & 1 2 а 2 + ч			• • • + ^ 1 п а л і
Ь = / с 2 1 а 1 ~Ь ^-22а 2 "Т"			• • • ~\~^2п^п-
Тогда справедливо равенство
0 = (&п — kn)ax+(k12	— /с2 2 )а2		+	. . . + (kln		— k2n) ап.
Так как a l t а2 , . . ., а„	линейно			независимы (базис),			то это
может быть лишь при к и — k2i =		0,		или
hi = ku	( i = = l ,	2,	. . .,		re). V
Оказывается верна и обратная теорема.
Теорема 6. Если некоторый вектор Ь^Ьп					может быть представлен
как линейная комбинация
Ь = кгах - f к2а2	- f . . . -f- ктат				(т ^	п)	(33")
единственным образом, то векторы ах , а2 ,					. . .,	ат линейно	неза
висимы.

ДДля доказательства примем, вопреки утверждению теоремы,

что векторы a l t а 2 , .	. .,ат	линейно зависимы. Тогда условие
О =	^	+ ц2 а2 + . . . - f (xm am

выполняется с коэффициентами, не все из которых равны нулю. Прибавим его к (33"). Тогда в сумме

Ь =	(к± +	(ij) ах + (к2	+ \|л2) а2	+ . . . +(кп-\-	\|хш) а,„
хотя бы одно kt +		иг =h к;.	Но это	противоречит	условию един
ственности.	V

Теоремы 4, 5, 6 имеют важную интерпретацию при рассмотрении их в пространстве Rn столбцов. Если учесть замечание к выраже нию (29'), то теорема 4 говорит, что всякая система Ах = Ъ из п уравнений с п неизвестными и матрицей А, столбцы которой линейно независимы, имеет решение. Теорема 5 утверждает, что это решение единственно. Теорема же б означает, что если система

Ах = b (число неизвестных т

п числа уравнений) имеет един

ственное

решение,

то

столбцы

матрицы А

линейно

независимы.

§ 13.

ПОНЯТИЕ ИЗОМОРФИЗМА ЛИНЕЙНЫХ

ПРОСТРАНСТВ

Рассмотрим произвольное пространство Ьп, в котором

зафикси

рован базис, и пространство Rn

столбцов, составленных из коорди

нат векторов

L n

этом

базисе. Из теоремы 5 можно заключить,

что двум равным векторам из L n соответствуют равные столбцы

Rn.

Рассмотрим векторы а и b из L n ,

разложения которых по базису

имеют

вид:

а = ^ n e x

-f- к12е2

- ) - . . . +

к1пет

b = ft21e1

+ A 2 2 e 2 + . . . +

к2пеп.

По

свойствам

1—8

векторных

операций

получается

а +

Ь =

(fcu

к21)

ех

(к12

+ к22) е2 + . . . +

(к1п +

к2п)

е„,

т. е. сумме векторов а и b из L n отвечает сумма

соответствующих

столбцов из Rn.

Так же просто устанавливается, что произведению

вектора Ъ£Ьп

на

число К отвечает произведение столбца его коор

динат на то же число Я. Обратно, всякий

столбец п-го порядка

можно трактовать как столбец координат

вектора

в некотором

га-мерном

пространстве

L n с

фиксированным

базисом.

Итак, между любым га-мерным пространством L n

простран

ством матриц-столбцов Rn

устанавливается

взаимно

однозначное

соответствие,

при

котором каждой линейной операции над

век

торами

одного

из

них

отвечает

такая же линейная

операция

над соответствующими векторами другого. Указанное соответ ствие называют изоморфизмом линейных пространств L n и Rn.

В более общем случае рассмотрим какое-либо взаимно одно значное соответствие между линейными пространствами L ' и L " ,

т. е.	такое правило	ср, по которому	каждому	вектору (прообразу)
х'	соответствует	единственный	вектор	(образ) х " = ср(х') £L"

и при этом не существует никакой пары разных прообразов х^ и

х 2 £ 1 / , которым отвечал		бы один и тот же образ ср (х^) =		ср (х 2 ) .
Если это соответствие		ф удовлетворяет условиям
	<р(хі+Ха) =		ф(хі)+ф(хг),
		ф(Ах*) =	Аф(х"),
то оно называется изоморфизмом			пространств L ' и L " . Если суще
ствует изоморфизм	пространств		V и L " , то эти пространства
называются изоморфными.
З а м е ч а н и е .	Если принять во втором из указанных			усло

вий К = О, то получим ф (0) = 0. Так что при любом изоморфизме нуль-вектор одного пространства переходит в нуль-вектор другого.

Оказывается, определяющим условием изоморфности двух пространств является совпадение их размерностей.

Теорема 7 (об изоморфизме пространств). Пространства L '

и L" пзоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

ДЕсли U и L" гг-мерны, то между ними можно построить

следующее соответствие.		Выберем базисы в L ' и	L " . Возьмем
х'	и соответствующий	ему столбец х координат	в выбранном
базисе L ' . Тогда в базисе L" можно построить вектор х" с таким
же столбцом координат. Будем считать х" = ф (х').			Рассуждения,

проведенные в начале этого параграфа, показывают, что это соот ветствие является изоморфизмом. Следовательно, L ' и L " изо морфны.

Предположим теперь, что L ' и L" изоморфны и х" = ф (х') какой-нибудь изоморфизм. Тогда из условия А,-^ + А2 х2 +

+. . . + Kxk = 0 вытекает, что

Ъ1х"1		+ %2щ+	. . . + Ар£ = V p ( x J ) - f Vp(*2)		+ V P ( x f t ) =
		=	Ф ( М І + A2 xJ + . . . + М У =	ф (0) =	0.
	Так как числа Xl в обеих линейных комбинациях					одинаковы,
то x i , х 2 , . . .,			х1 линейно зависимы тогда и только			тогда, когда
Xi,	х 2 ,	. . ., x i линейно зависимы. Это означает, что				максималь
ное	число линейно независимых векторов в U и				L " одинаково,
т. е. V		и L" имеют одинаковую размерность.		V

Теорема об изоморфизме часто позволяет определять размер ность пространства более просто, чем с помощью теоремы 3 о раз мерности линейного пространства. Рассмотрим пример.

Мм уже видели, что строки га-го порядка с равными первыми двумя элементами. образуют пространство (обозначим его R). Легко проверить, что взаимно однозначное соответствие

11%,	«2» а 3 > a4i • • м а л\|\| = ф (\|\| « 2 ,	« 3 .	« 4 . • • •> а «11)
между R и Rn-i	является. изоморфизмом. А	так	как Rn-\ (я—1)-мерно, то

иR (и — 1)-мерно.

§14. ПОДПРОСТРАНСТВА, ЛИНЕЙНЫЕ ОБОЛОЧКИ,

ЛИНЕЙНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ

Рассматривая примеры линейных пространств из § 9, можно заметить, что некоторые из таких пространств содержатся в дру гих пространствах, т. е. каждый вектор одного пространства является также вектором другого. Например, векторы {п — 1)- мерного пространства столбцов с равными первыми двумя эле ментами являются также векторами /г-мерного пространства всех столбцов. Заметим в качестве контрпримера, что, скажем,

векторы пространства V3	не являются	векторами пространства
Rn в том числе и при п =	3. Конечно, Vs	и Rz изоморфны, по сей

час речь о другом, что не связано с изоморфизмом, но непосред

ственно связано		с конкретной природой элементов пространства.
В связи с этим имеет смысл такое определение. Пусть даны
два пространства К и L . Тогда, если каждый вектор					х £К	является
также	вектором	из L (х	£ L ) , то пространство	К	называют под
пространством		пространства L , что символически обозначают так:
KczL.	В частности, само пространство L также является						своим
подпространством. Ясно,			что подпространство	KczL		не	может

содержать большее максимальное количество линейно незави

симых	векторов, чем	пространство L , так как	в противном
случае	в К нашелся	бы вектор, не содержащийся	в L . Поэтому

размерность подпространства не может быть больше размер

ности

содержащего

пространства. Можно

даже

доказать,

что

из

равенства

размерностей

пространств

и условия

с : L вытекает совпадение пространств К и L . Это означает,

что

не только каждый вектор х£К

является

вектором

L ,

но

каждый вектор y£L является

вектором

К.

Действительно,

выберем базис ах ,

а2 , . . .,

а„ в К. Эти же векторы, по определению

подпространства, содержатся в L и по условию на его

размерность

образуют

в нем

базис. Поэтому

для всякого y£L

у =

+ я2 а2 + . . . + жл ал ,

а так

как

а1 ( а2 ,

. . .,

ап£К, то

убіГ-

Оказывается,

можно

указать

общий

метод

построения

всех

возможных подпространств данного пространства L n . Для этого

рассмотрим произвольную	систему	S3 = { b ^ Ь2 ,	. . .,	b j век
торов из L n . Множество	линейных комбинаций		этих	векторов
d = (x1b1	+ fx2 b2 +	. . . -f-p^b,,		(34)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 224 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20232.59 Mб6Дринфельд, Г. И. Квадратура круга и трансцендентность числа.pdf
#
30.10.202337.67 Mб15Дробление и грохочение углей И. В. Пономарев. 1960- 36 Мб.pdf
#
25.10.202315.96 Mб12Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины.pdf
#
30.10.202318.94 Mб8Дроздов Е.А. Основы вычислительной техники, 1961. - 426 с.pdf
#
25.10.202314.65 Mб7Дроздов Е.А. Основы построения и функционирования вычислительных систем.pdf
#
24.10.20239.33 Mб2Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений.pdf
#
19.10.20232.57 Mб1Дроздов, Б. М. Нормативная информация в АСУ лекции.pdf
#
30.10.202328.35 Mб17Дроздовский Б.А. Влияние трещин на механические свойства конструкционных сталей.pdf
#
29.10.20231.76 Mб8Дрочнев Я.Г. Подготовительные работы на подсочке.pdf
#
29.10.20236.06 Mб26Дружинин Г.В. Надежность электрических схем авиационных систем.pdf
#
21.10.20239.99 Mб9Дружинин, В. В. Магнитные свойства электротехнической стали.pdf