Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

§ 4 1 . ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ БАЗИСА

Пусть билинейная форма / (х, у), полярная к данной квадра тичной форме / (х, х), имеет в базисе 31 матрицу С, а в базисе 91' — матрицу С . Поэтому

/(х, у) = я * 0 / = = ( z ' ) * С У .

Пусть М — матрица перехода от 21 к Зі', так что по (75)

	Тогда	х — Мх' и у — My'.
	Тогда	(х')* МСМг/' = (а;)* Су"
	х*Су	(х')* МСМг/' = (а;)* Су"

при всех х'жу'. Отсюда по теореме 1 получаем связь между матри цами одной и той же квадратичной формы в разных базисах

С' = М*СМ.	(127)
Напротив, пусть для двух симметричных матриц С	и С най

дется такая невырожденная матрица М, что удовлетворяется

равенство (127). Тогда	в произвольном фиксированном базисе 31
зададим квадратичную	форму / (х, х) =	х*Сх. Перейдем к базису
Ш = 31'М- 1 . Тогда х' —	Мггх или х =	Мх' и потому

/ (х, х) = х*Сх = (a*)* M * C i W = (а;')* С V .

Имеется целый класс матриц, определяющих одну и ту же квадратичную форму. Онп связаны между собой отношением (127) с любой невырожденной матрицей М. Все матрицы этого класса называют конгруэнтными между собой.

Из сказанного вытекает несколько интересных выводов. Вопервых, так как знакоопределенность квадратичной формы не зависит от выбора базиса в пространстве L n , то знакоопределен ность всех конгруэнтных друг другу симметричных матриц оди наковая. Во-вторых, так как в (127) det М Ф 0, то по свойствам •определителей произведения матриц (см. § 21) rang С = rang С, т. е. ранг всех конгруэнтных друг другу матриц одинаков. По

этому можно гаворить о		ранге квадратичной		формы как		числе,
равном рангу матрицы С этой формы в любом базисе.
Если	г = rang / (х, х) = /г, где п — размерность L n				, то	форму
/ (х, х) называют невырожденной.			Число d =	п — г	называют
дефектом	квадратичной	формы.	При d > 0	форма	называется
вырожденной.

Для исследования ранга матриц квадратичных форм применима теорема 12 (о ранге), условие которой для симметричных матриц можно упростить. Для этого любой минор квадратной матрицы С, все диагональные элементы которого являются также диагональ ными элементами самой С, назовем диагональным минором.

Теорема 27. Ранг симметричной матрицы С равен наибольшему

порядку		диагональных миноров,	отличных	от	нуля.
Д	Пусть столбцы матрицы С с номерами i 1			, i2,	• • ., i r базисные.
Тогда	по	симметрии С и строки	с теми же номерами базисные.

Так что базисный минор матрицы С располагается на пересечении

этих столбцов и строк, т. е. является диагональным.

Пусть

/ (х, х) — данная квадратичная

форма,

/ (х, у) —

полярная ей билинейная форма. Рассмотрим векторы

£ L n , .

для которых

/ (х, у) =

0 при всех х

g L n . Множество

таких

век

торов не

пустое, так

как / (х, о)

/ (х, Ob)

0 - / (х, Ь)

= О

при всех х

£ L n . Кроме того, это множество образует подпростран

ство L 0 в L n , так как если

/ (х, у J =

/ (х, у 2 ) =

0 при всех х

6 L n x

то и

/(*,

КУІ +

КУЇ)

УІ) + Я , / ( Х ,

УЯ) =

при всех х

£ L n . Это подпространство L 0 называют

нулевым про^.

странством

квадратичной

формы f (х, х).

Для нахождения

нулевого

пространства

формы

фиксируем

в Ьп произвольный базис

% =

{аг,

а 2 , . . .,

а„}.

Заметим, что

если / (а,-, у)

= 0 при всех і =

2, . . .,

п,

то

/ (х, у)

= 0 при

всех х £ L n ,

так как

и потому

х = = =

x^a^~~\~ х2а2

——{ . . . -у-хпа^

/ ( х ,

у ) = г 1 / ( а 1

1 у) + ж2 /(а2 ,

у) + . . . +

xnf(an, у).

Если

же

/ (х, у) = 0

при

всех

x £ L „ ,

то

в частности, это,

верно и при х = а,- при всех і = 1, 2, . . ., п.

Рассмотрим теперь произвольный вектор у

£ L„

Тогда

У = Уі&і + У&г +

• • • + Уп.ъп.

(128),

/(а/, У) =	^і/(а<.	i) + Vi1{h
= сауг	+ с12у2	+. . . + cinyn

аа ) +	. . . +	ynf	(а,-,	ап ) =
(j =	l , 2,	. .	.,	п),

где Cj-y = / (а,-, а; ) — элементы матрицы С данной квадратичной формы в базисе ЗІ. Из доказанного у £ L 0 , т. е. / (х, у) = 0 тогда и только тогда, когда / (at-, у) = 0 при всех і — 1, 2, . . ., п, т. е.

сиУі	+ сі22/з +		• • • + clnyn	= О,
c2IVL	+	ЧчУч +	• • • + СгпУп 0,		(129),
СщУг +		сп2у2 +	. • • + сппуп	= 0.

Из теории решения систем линейных уравнений известно, что. множество всех решений такой системы образует линейное про странство, размерность которого равна дефекту матрицы этой системы.

Итак, пространство L 0 состоит из всех векторов (128), коорди наты которых находятся из однородной системы уравнений (129). Размерность L 0 равна дефекту квадратичной формы / (х, х).

§42. ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ

ККАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Пусть матрица квадратичной формы / (х, х) в некотором базисе имеет диагональный вид с диагональными элементами du (і = = 1, 2, . . ., п). Тогда

	л
/ (х,	х) = 2 du (xtf	= dxx	(xxf +	(x,f + . . . +	dnn {xn)\ (130)
	i-l
В этом	случае, если	все	dit > - 0 , то в правой		части (130) все

слагаемые неотрицательны и потому сумма неотрицательна. К тому

же она равна нулю лишь при хх = х2 =			. . . — хп	= 0, т. е. при
х = 0. Так что при du	>	0 / (х, х) положительно		определенная.
Аналогично при всех	dn	<<0 эта форма	является	отрицательно
-определенной. Если теперь все du ^ 0 л			среди них есть djj = 0,

то сумма в правой части (130) опять неотрицательна. Но так как


djj = f	(а;-, а7-), то		получается, что		для	вектора	х =	а,- Ф	0
/ (х, х)	=	0. Так что в этом случае		форма / (х, х) неотрицательно
определенная. Аналогично при всех				du		0, если среди них есть
нулевые,		эта форма	неположительно		определенная. Наконец,
если в (130) имеются как положительные, так и отрицательные									dH,
то эта форма знаконеопределенная.
В связи со сказанным интересна следующая теорема.
Теорема 28. Для любой квадратичной						формы /	(х, х)	можно

указать такой базис, в котором ее матрица является диагональной.

При этом число нулей на диагонали							равно дефекту			формы.
д	Выберем	ба зис	21 —			**2'	* * •»	^rf+i'		• • •» *^л) так,
чтобы	векторы	ах, а 2 ,	. . .,	ad	содержались			в нулевом простран
стве L 0 этой формы (при d =					0	/• =	п и таких		векторов		совсем
не будет). Тогда
с /; = /(а,-, ау ) = 0			при	i =	l	, 2,	. . ., га;	7 =	1,	2, . . .,	d,

т. е. матрица С имеет следующий вид (в блочном представлении)

\|0	0 1
с = \| о	С I*

где блок С имеет размеры г X г (при d = 0 С = С). Из теоремы 27

• следует, что det G Ф 0, причем это не зависит от того, как выбраны

a d + 1 ,

. . .,

ап.

Докажем сначала, что векторы ad+x,

. . ., а„ базиса £1 можно

взять

так, чтобы

cd+x, d + 1

ф0.

Действительно,

если

бы

оказа

лось, что cd+x, d + 1 =

0, но cd+[>d+[

ф0,то,

поменяв

номера век

торов ad+1

и ar f + i , мы уже получим базис,

котором

с ^ + 1

, d + 1

= cd+[i

Ф 0. Если теперь предположить,

что

все

диагональ

ные элементы c d + k i d + k {к =

1, 2, . . ., г) матрицы

нулевые,

то

поступим

так. Вследствие

условия

det С Ф 0

существует

эле

мент cd+Xi

rf+m

= / ( a d + 1 , ad+m)

ф 0 (т >

1). Заменим ad+x

и ad+m

соответственно на a d + 1 =	a d + 1 +	a d	+ m и a d + m =		a d + 1 — a d + m	,	оставив
остальные векторы 5І прежними			(проверить, что полученный так
каркас 5 1 ' — снова базис). Теперь
Cd+i, d+i = /(ad+i, a d + 1 ) = /		( a d + 1 ,		a d + 1 ) - f / ( a r f + m , a d + m		)	+
+ 2/ ( a d + 1 , a d + m ) = 2/ ( a d + 1 , a r f + m )					0.
Итак, выберем ad+1,	. . .,	an	в	51 так,	чтобы	cd + 1 , d + 1		=
= / (arf+i> a<f+i) =r 0. Построим		новый		базис 5 1 ' , приняв
	ad+l	— a rf+l,
arf+m = M-mad+1 -f- a d + m			(/?г = 2,		r)
и оставив первые <2 векторов из 51 (если они есть, т. е. если d >								0у
прежними. Тогда первые	d строк		и столбцов		получившейся м а

трицы С данной формы в базисе 51 останутся, как и в базисе 51 .

нулевыми. Рассмотрим		(d +		строку	и столбец матрицы С.
cd+l,	d+1 — f (а ^+1,			a d+l) = /( a rf+l,	a d+l) =r= 0,
cd+l, d+m — f (а Л-1>	f A m a rf+l	+	a d+/n ) = = M 'm / ( a r f +l!		a d + l ) +	/ (а<*-ии a d + m ) -
Приняв теперь				/ ( a d + 1 , a d + m )
	f*m	=	-
				/(a,/ + i, a d + 1 )	'
получим, что c d + l i d + , „ = 0 при m = 2, . . ., г. Так,						диагонализация'

матрицы данной квадратичной формы продвинулась на одно-

действие .
Если предположить,	что диагонализацию уже удалось про
двинуть на d действий,	т. е. что построен базис 51 = (а х , . . ., ad%.
І (х, х) имеет вид	а„), в котором матрица данной формы,
І (х, х) имеет вид	о	о
	о	о
	С = 0	D
	о	о

где D(m_d) х (m-rf) — диагональный блок с ненулевыми диагоналЬНЫМИ" элементами, а блок С имеет размеры (п — тп) X (п — т), то из. условий

D	011
det	=	= d e t D detС 0 и d e t D = f O
0		С і

следует, что det С Ф 0. Поэтому векторы а А + 1 , . . ., а„ в базисе 51можно подобрать так, чтобы ск+ъ = / (af c + 1 , ak+1) Ф 0. Но тогда, применяя тот же прием, что и на предыдущем этапе доказа тельства, мы продвинем процесс диагонализации матрицы данной формы еще на одно действие.

Отсюда по методу математической индукции следует утвер ждение теоремы.'' v

Представление квадратичной формы / (х, х) в виде (130) назы вают каноническим. Как видим, теорема 28 утверждает, что всякая квадратичная форма имеет каноническое представление.

§ 43. РАЗЛОЖЕНИЕ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ НА ТРЕУГОЛЬНЫЕ И ДИАГОНАЛЬНЫЕ СОМНОЖИТЕЛИ

При доказательстве теоремы 28 мы-не'стремились построить процесс приведения квадратичных форм к каноническому пред ставлению вычислительно эффективным. Теперь укажем одну из эффективных процедур такого приведения. Для этого при дется наложить дополнительные требования на известную матрицу

этой формы. Назовем миноры

						'11	12
	А,:	4 1	'12		д *	4 2	С 2 2			C2k
	А,:				д *	=
такой матрицы ее главными минорами.						Условимся			также считать
главным	минором число Д 0			=	1. Тогда докажем					следующую
теорему.
Теорема 29. Любая			симметричная			матрица		С	с	отличными
•от нуля	главными минорами			Д А представима			в	виде
			C = T * D T ,
где Т — треугольная невырожденная						матрица
			кг	^12	•	hn

т = 0

0 0 .

л D диагональная матрица с диагональными элементами dt > 0

при -г^— >> 0 и d[

< ; 0 при Д г

< 0

(£ =

1 , 2 , . .

., п). По модулю

Д(_1

"1-1

могут

быть произвольными.

Т* D T

получается

По

определению

произведения

си

—

Примем

за d x любое положительное

число,

если

Сц

Д і = 4 І

> 0

и любое

отрицательное

число,

если

с 1 Х

До

-^г- < 0 . Тогда

- ^ . У м н о ж и в первую строку матрицы Т*

д0

йі

на следующие столбцы

D T , получим с1 ; - = d^utyj.

Отсюда

tVl

dlhi

Vcndi

Так находим

всю

первую

строку

матрицы

ж первый диагональный элемент матрицы D.

Далее будем рассуждать по индукции. Пусть уже удалось найти все первые к — 1 строк Т и к — 1 первых диагональных элементов D . Представим С, Т и D в блочном виде

С = 1 ^ 2 1					т1 2		D,А - 1	О
С = 1 ^ 2 1		С	; Т = 0			D = О		D"
где Ск_ъ Тк_!	и	Dk.i — блоки,		содержащие			к — 1 первых		строк
и столбцов матриц С, Т и D . Тогда					Cf t _x	=	T%-iDk-i^k-i		и u0~
тому	det Ск_х = А/,.! =			det Df c _x det2		Tf t _! =
	det Ск_х = А/,.! =			det Df c _x det2		Tf t _! =
									(131)
Точно так же представим С, Т и D в виде
с =	с ,		т =	Т а	т12	D = О		О
с =	Со і	С"	т =	О	Т "	D = О		D" '

где Cf t , Т/ е и В/. — блоки, содержащие к первых строк и столбцов матриц С, Т и D . Тогда Ck = T£Df t TA и потому

det Ck — Д Л

= det D f t det2 Tf e =

. . . d ^ d ^ i ^ f 2

. . .

A - I £AA-

Из

сравнения (131) и (132) получаем,

что

(132)

А а

= Aft-i^lfc

или

Да

Aft-

Примем за dk любое положительное

число,

если

A f e

~>0, и

Д А - І

любое отрицательное число, если

А *

< 0 . Тогда ^

= 1 /

A f e

Теперь

элементы

(/ >

к)

к-й

строки

Т найдутся

из

усло

вия

ckj ~dihjtlk

d2t2jt2k

- j - . .

. -'- dktkjtkk.

Элементы

tytij.

. . tk_lt

t l k t 2 k . . . tkk

уже

известны. Поэтому

_ _

cik — d1tijt1k—d2t2jt2k

— - • . —

dk-itk-i,

jtk-i.

k '

dktkk

Итак, зная элементы к —

1 строк матриц Т и

D , мы получаем

элементы

к-й. строки

этих

матриц.

Для

треугольных

матриц

Т det Т =

t i x t 2

. . .

t M .

Так как

у нас все tkk

Ф О, то

det Т Ф 0.

позволяет принять

З а м е ч а н и е .

Теорема

29, в частности,

d( = Д ; / Д (

_ Х

(кстати,

при этом все

tit =

1 и при вычислении Т

нет необходимости

извлекать

квадратные корни). Поэтому, если

в некотором базисе

ДГ Ф О для всех і, то существует

базис, в ко

тором

/ (х, х) =

( Ж і ) 2

А - (х2у

. . + Дл-

(х^.

(133)

§ 44. И С С Л Е Д О В А Н И Е З Н А К О О П Р Е Д Е Л Е Н Н О С Т И

\ К В А Д Р А Т И Ч Н Ы Х Ф О Р М

V Из (133) следует, что если все главные миноры матрицы С квадратичной формы / (х, х) в некотором базисе положительны, то эта форма положительно определена. Если же эти миноры таковы, что A,/A,_! < 0 , то форма / (х, х) отрицательно определена. Оказывается верным и обратное утверждение.

Пусть форма / (х, х) знакоопределена' (положительно или отри цательно определена). Оказывается, тогда матрица этой формы в любом базисе не имеет нулевых главных миноров. В самом деле, если предположить, что

/ ( a i , а х ) . . .

/ (a l f ak)

' О ,

/ ( a f t ,

ах) . . .

f(ak, ak)

то

это означает,

что имеется нулевая линейная комбинация

К1 (a,-,

&i) +

•

• +

(а„

а*) =

/ (а„

4 - . . . + %kak) = О

1, 2, . . .,

к) с ненулевыми

Xt. Но тогда для вектора

а =

Х 1 а 1 + . .

.+h*k=hO

(а,

а) =

/ (МіЧ- . . . + %kak,

а) =

{alt

а) + .

. . + %kf (af e ,

a) -

что противоречит знакоопределенности данной формы.

Значит, для знакоопределенных квадратичных форм предста

вление

(133) имеет

место, в каком бы базисе ни были вычислены

миноры Д£. Но тогда,

если

/ (х, х)

положительно

определена,

то

все Д,-/А,_і

> 0

или, так как

Д0

1, все

Д г >

Если

же

(х, х) отрицательно

определена, то все Дг/Д,-_!

< 0 .

Итак,

доказана

теорема.

Квадратичная

форма

Теорема

(критерий

Сильвестра).

(х, х)

положительно

определена

тогда

только

тогда,

когда

произвольно

фиксированном

базисе

все

главные

миноры

А/

ее

матрицы

положительны,

отрицательно

определена

тогда

только

тогда, когда

все

эти миноры

удовлетворяют

условию

Д,-/Д,-_1

< 0 ,

т. е.

знаки

их

чередуются, начиная с

отрицатель

ного.

Отсюда,

помимо

прочего,

замечаем,

что

знакоопределенная

фо рма

всегда

невыро жденная.

Рассмотрим теперь вырожденную квадратичную форму и ее

матрицу

С в произвольном

базисе 51Пусть

ее базисный

диаго

нальный

минор

расположен

на

пересечении

строк

столбцов

с номерами

і1г

і2,

• • •, ir-

Перенумеруем теперь векторы 51 так,

чтобы а,-,, а^, . . ., a.t оказались на первых г местах. Матрица

данной формы в таком

базисе 5 1 ' будет

отличаться

от

исходной

матрицы С также лишь нумерацией строк и столбцов.

Поэтому

указанный

базисный

диагональный минор матрицы

окажется

r-ым главным минором матрицы С (АЛ ). С другой стороны, до теореме 28 можно указать базис ЭД,, в котором матрица нашей формы имеет вид

\|D	О
Г" — IО	О

где D — диагональный блок г-го порядка такой, что det Т)ф 0. Пусть М — матрица перехода от ЭД," к ЭДЛ Представим ее в блоч ном виде

M = L ,	Л Г
\|\|М81	М 2 2

где М1г — квадратная матрица r-го порядка. Тогда по (127)

		ІМЇ!	М*! \|\|\|[ D		ОЩМц		М„\|\|
		\|М*2	М 2 2 Ц О		о\|\|\|м21		м2 3 \|\|
		~ \| \| M * 2 D M N		M ; 2 D M 1 8 \| '
Но по построению		С
	det M ; X D M U =		A R =	det2 M	N	detD =j= 0
и потому	det М л	Ф 0. Так	что	матрицы		D и	М * 1 Ц М 1 1	конгру
энтны и	имеют одинаковую		знакоопределенность. Но					матрица
M * i D M i : i	(первый	/• X r-блок матрицы			С ) положительно (отри

цательно) определена по критерию Сильвестра тогда и только тогда,

когда все ее главные миноры А] (/		=	1, 2,	. . ., г)	положительны
(удовлетворяютусловию Aj/Aj^	< 0 ) . При этом и D положительно
(отрицательно) определена, а	следовательно,
	1 °	011
Г" —
	10	0\|\|
и с нею С и С неотрицательно	(неположительно)				определены, v
Доказанное можно подытожить		так.
Теорема 3 1 . Квадратичная	форма		/	(х, х)	неотрицательно

(неположительно) определена тогда и только тогда, когда ее ма трица в произвольно фиксированном базисе обладает следующим свойством: если выделить в ней базисный диагональный минор,

то все его главные	миноры	A F положительны (удовлетворяют
условию Af/Aj_! < 0	при А й	= 1).

Во многих случаях полезен такой достаточный признак знаконеопределенности: если диагональные элементы си симметричной матрицы имеют и положительные, и отрицательные знаки, то эта

матрица знаконеопределенная. Этот	признак	очевиден,	так как
си = / (а /, а; ) являются значениями	формы /	(х, х) для	базисных
векторов.

§45*. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ У Р А В Н Е Н И Й

СПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННОЙ МАТРИЦЕЙ

Рассмотрим уравнение
			Сх = Ъ,				(134)
где С — положительно		определенная		матрица.	По	теореме 29
такое уравнение можно		представить в виде T * D T x =				Ъ, где Т —
верхняя	треугольная,	a	D — диагональная матрицы.				Приняв
у = Т)Тх, получаем уравнение Т*у =				Ь. Найдя	из него		г;, иско
мое х получим из уравнения Тх =				D - 1 j / .
Важно	отметить, что		по теореме	29 диагональные			элементы

матрицы D могут быть любыми положительными числами. Однако с вычислительной точки зрения разумны лишь два варианта выбора этих элементов.

1. Если принять D = Е, то D " 1 = Е и потому не нужно вы числять элементы матрицы D - 1 . При этом для вычисления эле ментов матрицы Т придется извлекать квадратные корни (в этом случае и указанный порядок решения системы (134) называют

методом

квадратных

корней.

См.

[3, 30]).

Если

принять dlt

—- AJA^x,

то

нужно

вычислять

D " 1 =

|| i/du

||,

но не

возникает

необходимости

извлечении

корней

при

вычислении

элементом

матрицы

Т.

При

этом все

ЦІ =

і.

Во всех остальных случаях возникает необходимость и извле

кать корни, и вычислять элементы матрицы D " 1 .

Пример. Решить

систему

уравнений

4хі +

2х2 +2о;з = 6,

2х1-\-Зх2-\-х3

= 1,

2х1 + х 2 + 2 х 3

= 5.

Пойдем по второму пути и представим

tl2

* 1 S

с = 2 3 1 = hi

^23

Перемножением в правой части получим элементы первой строки мат

рицы С:

i =

d i ;

2 =

di«i2 ;

2=d1t13.

Отсюда

di = 4 «12 =

*із = 1/2-

Производя перемножение далее, получим для элементов второй строки мат рицы С:

3 =	<ii ( * i 2 ) 2	+	d2	=	1 + d2;	1 =	dit12t13	+	=	1 + ^25-
Отсюда	d2 — 2;	£23 =		0 .	Наконец,		для	элементов		третьей строки мат
рицы С имеем
	2 =		<*i ( t i 3 ) a + й 2			(*M )s + d3		= 1 + 0 +	d3.

Отсюда

Итак,

•1

D = 0 2 0

D - i =

і_

Система

Т*г/

Ъ принимает

вид

j1' J i

У,

•jUi

+!/з = 5.

Так

что

у±

у2

- 2;

г/з =

Уі

d s

Система

Тх

D-Uj

принимает

вид

, 1

z 2

— 1,

поэтому

a;l =

£ 2

— Ь хз =

x 3

= =

При решении первым путем (методом квадратных корпел) нужно исхо

дить из

представления

4 2 2 II

« 1 1

t12

2 3 1 :

* 2 2

* 2 3

2 II

tl3

« 2 3

г зз

« 3 3

Решение

системы

этим путем рекомендуется

проделать

самостоятельно.

46* . К В А Д Р А Т И Ч Н Ы Е Ф О Р М Ы В Т Е О Р И И В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й

Как было видно из § 37, для обоснования метода наименьших квадратов средств линейной алгебры оказалось недостаточно. Ниже будет показано, что привлечение средств теории вероят ностей делает эту задачу более определенной. Поэтому рассмотрим здесь, хотя бы недостаточно строго, некоторые необходимые нам сведения из этой теории 1 .

1. Распределение вероятностей. Представим себе круглую ми шень, по которой произведено 15 одиночных выстрелов (рис. 6). Картина выглядит так, будто в плоскости мишени действует не которое «поле тяготения», благодаря которому густота попада ний в разных местах мишени оказывается разной. При стрельбе такое поле определяется, с одной стороны, стремлением лопасть

1 Подробнее см. [4, 8 ] .

9 Заказ 2041

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20232.59 Mб6Дринфельд, Г. И. Квадратура круга и трансцендентность числа.pdf
#
30.10.202337.67 Mб15Дробление и грохочение углей И. В. Пономарев. 1960- 36 Мб.pdf
#
25.10.202315.96 Mб12Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины.pdf
#
30.10.202318.94 Mб8Дроздов Е.А. Основы вычислительной техники, 1961. - 426 с.pdf
#
25.10.202314.65 Mб7Дроздов Е.А. Основы построения и функционирования вычислительных систем.pdf
#
24.10.20239.33 Mб2Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений.pdf
#
19.10.20232.57 Mб1Дроздов, Б. М. Нормативная информация в АСУ лекции.pdf
#
30.10.202328.35 Mб17Дроздовский Б.А. Влияние трещин на механические свойства конструкционных сталей.pdf
#
29.10.20231.76 Mб8Дрочнев Я.Г. Подготовительные работы на подсочке.pdf
#
29.10.20236.06 Mб26Дружинин Г.В. Надежность электрических схем авиационных систем.pdf
#
21.10.20239.99 Mб9Дружинин, В. В. Магнитные свойства электротехнической стали.pdf