книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений
.pdfТеперь заметим, что матричная запись (2) системы уравнений (1) |
|
||||
не единственна. Непосредственным умножением можно |
убедиться, |
|
|||
что выражение |
|
|
|
|
|
х*А* = |
Ь*, |
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
\\ 1* о* |
|
1* I |
|
|
|
л — || |
а-2, . |
. . , |
Лп ||, |
|
|
Я 1 1 а 2 1 • • • |
aml |
|
|
||
II я 1 п а 2 л |
. . . а,пп II |
|
|
||
и |
|
|
|
|
|
Ь * Н 1 & 1 . & 2 ' • • - M l . |
|
|
|||
также равносильно системе (1). |
|
|
|
|
|
Можно заметить, что матрицы х*, А* и Ъ* образованы соответ |
|
||||
ственно из элементов матриц х, |
А и b путем перемены ролей столб |
|
|||
цов и строк, т. е. по правилу: |
если |
А |
= || а,ц\\, то А* |
= || |
= |
=Такое действие называется транспонированием мат
риц. Матрица же А* называется при этом транспонированной относительно А.
§3. СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ДЕЙСТВИЙ НАД МАТРИЦАМИ
ИНЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
Вотношении равенства, сложения и умножения матриц на числа легко проверить справедливость следующих свойств:
1. |
А + |
В = В + |
А. |
|
|
2. |
(А + В)-ЬС = А + (В + С) |
|
|||
(следовательно, имеет смысл символ А + В + |
С). |
||||
3. Для всякой матрицы А существует такого же размера |
|||||
матрица 0, такая, |
что А + 0 = А. |
|
|||
Очевидно, элементы матрицы 0 все равны нулю. Эту матрицу |
|||||
называют |
нулевой |
матрицей. |
|
||
4. Для всякой матрицы А существует матрица —А, такая, |
|||||
что А + |
(—А) |
= |
0. |
|
|
Очевидно, |
для |
получения —А достаточно |
изменить у эле |
||
ментов А все знаки на противоположные. Отметим, что принято
обозначать В + |
(—А) |
= В — А и говорить в этом случае о вычи |
||
тании |
матриц. |
|
|
|
5 |
і • А = |
А |
|
|
6.' |
а ф А ) = |
(сф)А. |
|
|
7. |
( а + Р ) А = |
аА + |
рА. |
|
8. |
а(А + В) = |
аА-|-аВ. |
||
Может показаться странным, что в приведенном списке свойств указаны такие очевидные свойства, как 3 или 5, но в нем нет,
например, свойства OA = 0 (слева 0 — число, справа 0 — мат рица). Дело здесь в том, что список свойств 1—8 полон в том смысле, что всякие другие верные свойства, касающиеся равен ства, сложения матриц и умножения их на числа, можно вывести из свойств 1—8 формально алгебраически, не прибегая к определе ниям матриц и действий над ними. Рассмотрим некоторые примеры.
Чтобы убедиться, что OA = 0, достаточно согласно свойству 3 проверить, что А + OA = А. Но по свойству 5 А = 1-А. Тогда по свойствам 7 и 5
А + 0 - А = 1-А + 0 . А = (1 + 0)А = 1-А = А.
Итак, действительно, OA = 0.
Убедимся теперь, что (—1) А = —А. Для этого согласно свойству 4 достаточно проверить, что А + (—1) А = 0. Но по свойству5А= 1-А, по свойству 7 1- А + (—1) А = (1 — 1) А = OA, а это, по доказанному, есть матрица 0.
Не будем торопиться критиковать такой способ доказательства как более громоздкий!
Говоря о произведении двух матриц, сразу следует отметить, что оно, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей или, как говорят, некоммутативно. Прежде всего, если произведение в одном порядке имеет смысл, то не обязательно оно может иметь смысл в обратном порядке. По определению, произведение матрицы А т х л на матрицу Вдх; имеет смысл, когда второй индекс (число столбцов ?г) первого сомножителя равен первому индексу (числу строк к) второго сомножителя, т. е. при п = к. При этом первый индекс (число строк) произведения матриц равен первому индексу первого сомножителя, а второй индекс (число столбцов) произве дения — второму индексу второго сомножителя, т. е.
(Это правило размерности |
произведения |
полезно помнить.) Отсюда |
||||||||||
видно, что и A m X n B k x / и |
B f t x ; A m X n |
имеют |
смысл, |
лишь |
если |
|||||||
п = к и т = |
Z, т. е. для матриц А т х п |
и В „ Х т - |
При этом как |
|||||||||
A m x „ B „ x m |
= |
C m X m , так |
и В я х т А т х я |
= D „ x „ |
являются |
квад |
||||||
ратными матрицами, |
но |
если т Ф п, то порядки их различны, |
||||||||||
и потому |
равенство |
C m |
x m |
= D „ X n |
не |
имеет смысла. И |
лишь |
|||||
когда т = |
п, |
т. е. А и В |
— квадратные матрицы |
одинакового |
||||||||
порядка, равенство АВ = ВА имеет смысл, |
но |
и оно не |
обяза |
|||||||||
тельно выполняется. Например, |
пусть |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
А = |
1 |
2 |
и |
В = |
0 |
1 |
|
|
|
|
тогда |
|
3 |
5 |
2 |
- 1 |
|
|
|
|
|||
|
4 |
- 1 |
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
||
|
|
, а ВА = |
|
|
|
|||||||
|
АВ = 10 |
|
- 2 |
- 1 |
- 1 |
|
|
|||||
Как видим, АВ =j= ВА.
Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются комму тативными. Коммутативной с любой квадратной матрицей п-то порядка является, например, матрица
1 |
0 |
0 . |
0 |
|
1 0 . |
Е = 0 |
0 |
1 . |
0 0 0
того же порядка. Она имеет нулевые недиагональные элементы, а все диагональные ее элементы равны единице. Непосредственным умножением можно проверить, что
АЕ = ЕА = А.
Следовательно, умножение любой квадратной матрицы А на матрицу Е как справа, так и слева не меняет матрицы А. Это
вполне аналогично умножению числа а |
на единицу. Потому |
|
матрицу Е принято называть |
единичной. |
|
Если Атхп — прямоугольная, то |
|
|
AmxnEnxn = |
EmxmAmxn = |
A m X n . |
Чтобы лучше понять, почему перестановочность произведения матриц не соблюдается с необходимостью, а также почему она может иметь место, рассмотрим пример.
Пример. Найти все матрицы^церестановочные с
Ясно, что такие матрицы должны иметь |
вид |
Хц |
хг7, |
и удовлетворять |
|||
|
|
||||||
условию |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- 1 |
11 |
12 |
|
|
|
|
1 |
О |
•^21 |
^22 |
|
II |
і |
|
или, после умножения и приравнивания элементов произведений:
хц — хг\ = хіг + хіі,
XL2 —х22 — — ^11,
Х11— Х21'\'Х22,
х12— — ^ i j
Здесь последнее и первое условия одинаковы. Учитывая это, видим, что и два средних условия одинаковы. В общем, получается система уравне ний:
г 2 1 = —3-12,
х22—х11-\-х12>
а не тождественные равенства, как было бы при АВ = АВ для всех |
А |
и |
В . |
|||
Еслп обозначить г п = |
а, а х12 = |
Ъ, то получим решение этой системы: |
|
|||
ZC^l — CL, ьС^2 ~—~ |
^21 ~ = — |
*^22 ~~ ^ " I - |
|
|
|
|
При этом а и Ь можно брать какими угодно. В частности, при а = |
1, |
6 = |
0 |
|||
получается единичная |
матрица. |
|
|
|
|
|
По отношению к умножению и рассмотренным ранее действиям матриц справедливы следующие свойства:
9. Для всякой матрицы А найдутся такие единичные матрицы E t и Е 2 , что А Е Х = Е 2 А = А и если А — квадратная, то Ег —
=Е
10.' а (АВ) = (аА) В = А (аВ).
11. (А + В)С = АС + ВС.
12.С(А + В) = СА + СВ.
13.А (ВС) = (АВ) С.
Свойство 11 в частном случае, когда С — столбец, есть не что иное, как формула (4), доказанная выше.
Из остальных свойств наиболее трудно проверяется свойство 13. Приведем доказательство этого свойства.
|
А ( В С ) Н К * 11(11 Ъы |
\\си\) |
= |
|
||||
|
I |
I |
п |
п |
|
1т |
|
1 = |
|
|
2 Ьысц = 2 |
д |
« 2 ьнси) |
||||
|
|
/=1 |
ft-i |
|
|
|
||
п |
т |
|
|
m |
|
|
|
|
= 2 |
2 |
|
о-іФкіСц = |
2 |
2 |
aikhi |
с,/ |
= |
|
|
|
|
1=1 |
\ h - l |
|
|
|
=2 « / A , II c,; ||=(AB)C.
|
II !=1 |
il |
В связи с этим свойством закономерна запись АБС. Остальные |
||
свойства |
рекомендуется |
доказать самостоятельно. |
Свойства 1—13 также составляют полный список свойств. Все |
||
остальные |
свойства сложения матриц, умножения их на число |
|
и перемножения между собой можно получить из 1—13 формально. Рассмотрим примеры.
Докажем, что если А и 0 — квадратные матрицы, то |
|
|||||
|
А0 = 0А = |
0. |
|
|
|
|
Действительно, АО = А (Е — Е) |
= |
АЕ |
— АЕ = А |
— А |
= О, |
|
OA = (Е — Е) А = ЕА — ЕА = А — А = |
0. При этом |
использо |
||||
ваны свойства 9, 11 и 12. |
|
|
|
|
|
|
Докажем еще, что матрица КЕ, называемая скалярной, |
ком |
|||||
мутативна с любой квадратной матрицей того же порядка |
|
|||||
А (Я.Е) = |
% (АЕ) = |
% (ЕА) = |
(ME) А. |
|
|
|
При этом использованы |
свойства |
10 и 9. |
|
|
|
|
Конечно, в обоих примерах доказательство можно провести непосредственно. Но теперь по сравнению с примерами на Стр. 11 из-за вычислительной громоздкости операции умножения матриц формально алгебраический метод, как правило, ведет к цели быстрее.
Итак, понятие матриц, введенное, казалось бы, только с целью экономии бумаги, как теперь видно, имеет значительно более глубокий смысл. Операции над матрицами оказываются такими, что матрицы можно рассматривать как обобщение чисел (число есть 1 X 1-матрица), а свойства матричных операций позволяют преобразовывать матричные выражения формально алгебраически подобно тому, как формально преобразуют выражения числовой алгебры или выражения векторной алгебры.
Рассмотрим еще основные свойства матриц, связанные с дей ствием транспонирования.
14. |
(А*)* = А. |
|
|
|
|
15. |
( а А + р В ) * = |
аА* + Р В * , |
где а и р —числа. |
||
16. |
(АВ)* = В*А*. |
|
|
||
17. |
Е* = |
Е, |
|
|
|
Свойство |
16 в |
случае, |
если |
В — столбец, проверено ранее |
|
(см. стр. 10), когда из Ах = |
Ъ было получено х*А* = Ь*. Осталь |
||||
ные свойства легко проверяются непосредственно с помощью определений матричных операций.
Действие транспонирования не имеет аналогии среди действий
над |
числами. Если |
число |
а рассматривать как матрицу І Х І , |
то |
а* = а всегда, |
т. е. |
разница между «транспонированными» |
и «нетранспонированными» числами нет. В общем случае матрицы, удовлетворяющие тому же условию
А* = А,1
называются симметричными. Ясно, что для симметрии матрицы необходимо и достаточно выполнение условий uij = a-jt. Приме рами симметричных матриц могут служить единичные матрицы Е и скалярные Я.Е. Симметричными являются и матрицы вида
О
Ъ
D =
оо
называемые диагональными.
Следует заметить, что в отличие от единичных и скалярных матриц диагональные матрицы уже оказываются не коммутатив ными с произвольными квадратными матрицами того же порядка. Например,
1 0 |
її II 3 |
1 |
13 1 її |
II 3 |
1 І |
1 |
0 І |
3 |
2 її |
|
0 |
2 |
11 |
1 |
I I 2 4 І * " |
1 |
12 1 |
2 |
| - 1 |
4 Г |
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
||||
Этот же пример показывает, что симметричные матрицы не приобретают свойства коммутативности, несмотря на то, что они более других матриц «похожи» на числа. Впрочем, симметричные матрицы приобретают свойство обобщенной коммутатив ности
АВ = (ВА)*.
Это следует из того, что А = А*, В = В* и по свойству 16 АВ = А*В* = (ВА)*. В качестве еще одного примера на приме нение свойств 14—17 докажем, что A* GA— симметричная матрица, если А — матрица произвольных размеров, a G — любая симме тричная матрица подходящего порядка
(A*GA)* = A * G * (А*)* = A*GA .
В частности, при G = Е будет (А*А)* = А*А. Предлагается для сравнения провести те же доказательства непосредственно с помощью определений операций умножения матриц и их транс понирования.
§ 4. БЛОЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАТРИЦ
Часто при рассмотрении матричных операций матрицы бывает удобно записывать в так называемом блочном виде:
А п |
А ш |
Аік |
А = А ш |
Ап п |
(а) |
AJCII >-ыс
где AIM — н е числа, а матрицы, выделенные из обычной записи матрицы А путем разделения ее сквозными вертикальными и гори зонтальными прямыми линиями на меньшие матричные блоки, например, так:
«11«12 |
«13 |
в 1 4 |
. . • |
«1/1 |
«21«22 |
«23 |
а2 4 |
. . • |
«2л |
А = а 3 1 а 3 2 |
«33 |
«34 |
• •• |
«Зл |
« m l « m 2 « т з |
аПИ • • « т л |
|||
здесь
А ц =
I «11«12 |
. |
= |
[ |
«13 |
n п |
, А ц і |
( |
«23 |
|
|| «21«22 |
|
|
А Ц і = 1 а 3 1 а 3 2 Ц и т. д.
Это разделение может быть проведено, вообще говоря, как угодно, в том числе только горизонтальными или только вертикаль ными линиями. В последнем случае запись получит форму соот ветственно блочного столбца или блочной строки.
Операции равенства, умножения на число, сложения и умно |
|
жения блочных матриц формально не отличаются от аналогичных |
|
действий над матрицами с числовыми элементами. Точнее, если |
|
две матрицы А и В одинаковых размеров разбиты на блоки |
А/м |
и Вім одинаковым образом, т. е. так, что число блоков в |
них |
одинаково и размеры соответствующих |
блоков |
равны, то |
А = |
В |
||||||||
тогда и только тогда, когда А ш = |
Вщ-- |
Если матрица А |
разбита |
|||||||||
на блоки A I M , ТО произведение ААможно составить из блоков ХА/м • |
||||||||||||
Если матрицы А и В разбиты на блоки |
AIM И B J M одинаковым |
|||||||||||
образом, то |
матрицу А |
+ |
В |
можно |
разбить |
на блоки |
A I M |
+ |
||||
+ |
BJM- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если теперь матрицы А и В разбиты |
на блоки A I M |
И ВКР |
|||||||||
так, что число столбцов в блоках А 1 М |
равно числу строк в бло |
|||||||||||
ках ВКР при М = К, |
то матрицу АВ |
|
можно |
разбить на блоки |
||||||||
|
|
|
|
Сі і |
Сі и . . . |
Сш |
|
|
|
|||
|
|
д £ |
_ |
Сц і Си и . . . |
Сіш |
|
|
|
||||
|
|
|
|
Сы |
C u i .. . |
|
CLN |
|
|
|
||
так, что они будут получаться |
из блоков A I M |
И ВМЯ по |
правилу |
|||||||||
|
|
C I P = А Ц В І Р - f А щ В ц р + |
• • • + A I Q B Q P , |
|
(6) |
|||||||
формально |
совпадающему |
с |
правилом |
перемножения |
матриц |
|||||||
в |
обычном |
виде. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наконец, если матрица А представлена в |
блочном виде (а), |
||||||||||
то |
матрицу |
А* можно представить в виде |
|
|
|
|||||||
|
|
|
Аїі А ї і і |
. . . |
А*ы |
|
|
|
|
|||
|
|
_ |
Аіи А Ї І и |
. . . |
А £ц |
|
|
|
||||
|
|
|
Аїк А и г . . . |
|
Аік |
|
|
|
||||
|
Все эти утверждения следуют непосредственно из определений |
|||||||||||
соответствующих действий |
над |
матрицами [6, 24]. |
|
|
||||||||
|
Рассмотрим уравнение |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
А Х = |
В , |
|
|
|
|
|
|
|
построенное по аналогии с уравнением (2), но с той разницей, что теперь X и В — не столбцы, а произвольные матрицы соответ ствующих размеров. Разобьем матрицы X и В на блоки-столбцы так, что
X = \\xltx2i |
ха \ и В = \\ЪЪ Ь а > . . . , Ъп ||, |
где
hi
х,=
Ът/
|
Тогда |
уравнение |
А Х = |
В |
по |
правилу |
умножения |
блочных |
||||||||
матриц примет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
І! Ахг, Ах2, |
. .., |
Ахп |
|| = || |
Ъъ |
Ьг, .... |
Ъп |
\\, |
|
||||||
и по правилу равенства блочных матриц получаем |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
A x 1 = 6l j |
А г 2 = 62 ) |
. .., Ахп |
= Ъп. |
|
|
|
||||||
|
Итак, матричное уравнение А Х |
= В равносильно |
нескольким |
|||||||||||||
уравнениям вида (2) с одинаковой матрицей А |
коэффициентов, |
|||||||||||||||
но с разными столбцами х и Ъ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Рассмотрим |
еще |
такой |
вопрос. Просто проверить, что из |
||||||||||||
А = В следуют равенства |
АС = |
ВС и |
D A = D B . Можно пока |
|||||||||||||
зать, что, напротив, из АС = ВС или D A = |
D B , вообще |
говоря, |
||||||||||||||
не |
следует равенство |
А |
= |
В. Например, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
Но |
верно |
такое |
утверждение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Теорема 1. Если Ах = Вх при всех х |
или уА = |
уВ при всех у |
|||||||||||||
соответствующего |
порядка, |
то |
А |
= |
В. |
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
А Действительно, |
если |
Ах |
= |
Вх при |
всех х, |
то |
Ае,- = Ве;-, |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
, е2 = |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
е 1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Но тогда |
|| Ае1Ае2 |
. . . Аеп\\ = |
|| Bet |
Ве2 |
|
. . . ВепЦ |
и, |
следова |
||||||||
тельно, А |
|| elt е2 , |
. . ., е„|| = В |
|| ехе2 . |
. . |
е„||,т. е. АЕ = |
B E , или, |
||||||||||
по свойству 9, А = В. Аналогично доказывается вторая часть теоремы v 1 -
§ 5*. СЕТИ, |
СООТНОШЕНИЯ ПОПРАВОК |
И УСЛОВНЫЕ |
СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ СЕТЕЙ |
Рассмотрим теперь некоторые исходные понятия теории урав
нивания измерений |
с применением к ней матричного |
аппарата. |
||
Требуется |
получить числовые значения |
некоторых |
величин |
|
кх, к2, . . ., |
кг (их |
называют определяемыми |
величинами). Для |
|
этого могут быть заданы некоторые заранее известные величины {исходные данные), но теория уравнивания измерений имеет от ношение лишь к тому случаю, когда этих данных недостаточно для отыскания определяемых величин и потому еще какое-то
множество величин 1г, Z2 , |
• • ., ln {измеряемые величины), где |
|
1 Знаки Д и V обозначают |
соответственно начало и конец доказатель |
|
ства |
теоремы. |
|
2 |
Заказ 204і |
17 |
n .>;•, приходится определять путем измерений. В частности, измерять можно сами определяемые величины или некоторые из них, но это не обязательно.
Множество определяемых величин, исходных данных и измеря
емых величин назовем сетью г , если: |
|
|
во-первых, среди измеряемых величин lt |
{і = 1, |
2, . . ., п) |
найдется г таких, знание точных значений |
которых |
совместно |
с исходными данными было бы необходимым и достаточным для отыскания определяемых величин, т. е.
|
|
|
|
|
|
( &i — |
|
|
h, |
|
|
К) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= = |
^2 |
(^1 |
, |
|
|
1г) |
|
|
|
|
(T) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k>r— ІСр |
^2> |
* |
• *j ^r) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
l-j^ — |
(Jf>i |
^2 ., |
K) |
|
|
|
|
(7") |
|||
|
|
|
|
|
|
^2 z = ^2 (^1, ^ 2 , |
.. |
K) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Такие г величин называют необходимыми |
ветчинами; |
|
|
||||||||||||||
|
во-вторых, |
любая |
из |
оставшихся |
измеряемых |
|
величин |
||||||||||
1г+1 |
, . . ., 1п |
(такие т = п — г величин называют |
избыточными) |
||||||||||||||
данного |
множества |
является |
функцией |
необходимых |
величин |
||||||||||||
1Х, |
1%, . |
- ., |
Ігі |
т . е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— % (h, |
h, |
• • •» Iг) (і = |
1. 2, |
. .., |
m=n |
— r). |
(8) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Пример. Пусть задача состоит в том, чтобы |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
по заданным |
координатам |
(исходные |
данные) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
точек А и В (рис. |
1) определить |
координаты то |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
чек Си D |
(определяемые величины). |
Множество |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
измеряемых |
углов |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
осі, а 2 , |
аз, СС4, 0С5, ад, «7, as |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
образует |
вместе |
с |
названными величинами сеть, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
так как для решения |
поставленной |
задачи необ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ходимо и достаточно знать точные значения, на |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
пример, углов а х , а 3 , |
а 5 и а 8 , |
а все остальные уг |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
лы oil |
выражаются |
как |
функции |
этпх четырех |
|||||||
|
|
|
|
|
|
углов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
задать |
только |
координаты |
точки |
А |
и потребовать |
найти коорди |
|||||||||
наты остальных трех точек, то мы уже не получим сети, так как точное зна ние любых из измеренных величин не решает эту задачу. По другой при
чине множество углов « ! , |
а 2 , а 3 , а 4 |
, |
а 6 , а в , а 7 , а 8 , а 9 вместе с известными |
координатами точек А и В |
и определяемыми координатами точек С и D не |
||
образует сети, так как хотя углы а и |
|
а.,, а 5 , и а 6 и являются необходимыми |
|
для решения этой задачи, но угол а 9 |
|
не выражается через них. |
|
1 В частности, сети, рассматриваемые в геодезии (нивелирные, полигонометрпческие, триангуляционные), называют геодезическими сетями.
Для всякой сети функции (7 ") и функции (8) после подстановки в них функций (7") представляют собой п выражений вида
h = frUh, К. • • ; К), |
|
|
= = /г+1 |
&2, • • -і кг), |
(9) |
In^fiAK.ki, |
• • •, кп)- |
|
Приближенные значения 1г, |
12, . . ., 1Г величин 1Х, 12, |
. . ., 1Г, |
полученные в результате измерений, дают возможность по (7')
получить приближённые |
значения" кг, к2, |
., кг определяемых |
величин ку, к2, . • кГ. |
Это позволяет, как правило, представить |
|
выражения (9) в линейном виде, ограничиваясь в их тейлоровском
разложении в окрестности точки (кг, к2, |
. . ., |
кг) первыми (линей |
||||||||||||||
ными) членами. Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
^ i = |
|
+ Ъи8к1 + |
b128k2 |
-J- |
. . . + |
Ь1 г б/сЛ |
|
||||||
|
|
|
h — ho + |
b2x8kx |
-J- b228k2 |
+ |
. . . + |
b2r8kn |
(10) |
|||||||
где |
|
|
In = |
Ino + |
bnl8ki+ |
|
bn28k2 |
+ |
. . . + |
bnr8kr, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
ho = fi[K |
К |
• • |
|
kr) |
i = |
i,2, |
. .., |
n. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
ьч = Ж, / = 1 . 2 , . . . . ^ |
|
|
|
|||||||
|
8kj = kj — kj — поправки |
в приближенные значения кІШ |
||||||||||||||
Наконец, |
точные |
значения |
измеряемых величин |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ІІ=1І-А: |
|
|
(i = l , 2, |
|
п), |
|
(11) |
|||
где |
lt — измеренные |
значения |
этих |
величин, |
а |
Д,- — ошибки |
||||||||||
измерений. |
Отсюда и из (10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
— Дх |
= Ьх-у8кх + Ъх28к% + • • • + blr8kr |
- f |
dlt |
||||||||||
|
|
|
- Д2 |
= |
Ъ218кг + Ъ2фк2 |
+ . . . + b2r8kr + d2i |
(12) |
|||||||||
|
|
|
— К |
= |
hMi |
+ bn28k2 |
+ . . . + |
bnr8kr+dn, |
|
|||||||
где |
dt = Zj0 — |
к- |
В матричном |
виде |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
- |
A |
= |
B8k + d. |
|
|
|
(12*) |
||
1 |
la, — значение функции /(- |
|
|
к2,..., |
кг), |
а Ь/у — значение ее частных |
||||||||||
производных |
при kj |
= |
|
kj. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|