Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

самостоятельно. Можно вообще заметить, что свойство 4 является частным случаем свойства 6. При т = 2 последнее имеет вид

4 1

Чп

(aii)i

+ (an)°-

• • •

(Щп)і-г

(ащ)-і

'пі

Чп

(»n)i

• •

• (я/Л +

(ап)2 . . .

(а!п)2

и если взять (ад)! =

ап,

(aL1)2

— каІУ

/і ф

j),

то

второе

сла

гаемое в правой части равно нулю

(і-я и /-я

строки

одинаковы)

и получим свойство

Теперь же свойством 6 воспользуемся для выяснения

струк

туры

определителя

произведения

двух

матриц,

т. е.

det АВ,

где А

— т X

?г-матрица, а

В — ;г

m-матрица

(так

что

(А • В)„,

По правилам умножения

матриц

(2ц

«1П

АВ .

0^21

^22

&21

^22

•

Ь2т

'! ат\

апЛ

• • • атп

J'nl

^п2

•

Ьпт

aifci&A . i

алк.Ь,

. . .

O-Xhfiktin

А, = 1

я,=1

h , = l

a 2 A , & A , i

O-ohfih.-i

• •

• 2

a.2h,bh2m

/!3 =1

кг =1

h . = i

5 J

Я , „ Ь

&А

я/лА

« . . .

я т А

&й

А,„=1

Применяя свойство 6 сначала к первой, потом ко второй и т. д.

и, наконец, к т-й строке произведения АВ, получим

alh1bk,i

ЯіА^А.г

•

• 1

alhfih,m

d e t A B = 2 2 • • • 2

а2А,&А21

CLihfih.l

• • •

12hJ)h2m

«1=1 A 2 = l

Ат=»1

&mh

i>k

Q>mh ^A

•

• &mh ^A

или, учитывая		свойство	5,
det АВ = £	2	• • • Ё	аl f t i a 2 h - • • • a m h „
						Ьк 1	& й т 2	•		(57)
										(57)
В сумме	(57), как видим,			индексы		суммирования		принимают
значения: кх =		1, 2, . . ., и;		/с2 =	1,	2, . . ., п;	. . . ;	/% = 1, 2,
. . ., к. При этом возможны разные					случаи.
1. При те > га не может быть так, чтобы все индексы									кг,	к2,
. . ., А т приняли различные				значения,		так как их число			больше,
чем число	принимаемых ими значений. Поэтому в							каждом		из

определителей выражения (57) найдется хотя бы пара индексов к[ и кг с одинаковыми значениями. А это означает, что 1-я и г-я строки этих определителей одинаковы и, следовательно, все

определители		в	сумме (57)	равны нулю.		Итак,	при те > п
det Апгхл B n x m		=	0.
2. При те = га индексы кг,				к2,	. . ., кт могут принимать и оди
наковые	значения		(и тогда соответствующие определители в (57)
равны	нулю),	и	различные		значения	(такие	определители

в (57) не равны нулю). Поэтому выражение (57) можно переписать так:

				ha		•	Oft.m
d e t A B =	2	alhla2ht		• • • a,nhn	Ьк22	• bk.m
d e t A B =	2	alhla2ht		• • • a,nhn
				6 " m l	bhm°-	• • •	6 V »
							(58)
Так	как те = га и		кг	Ф к2 Ф . . . Ф кт,	то среди		индексов
кук2 . . . кт один		равен	1, другой 2 и т. д. и один			равен п = т.

Поэтому все определители в (58) являются определителями ма триц, полученных из матрицы

	b u	bl2 . . . Ь,lni
В:	'21	'2т
	Ьщ1	°т2

путем всевозможных перестановок строк. Поэтому по свойству 1

Ька	Ъкл	• • • bhitn		b12	. • •	ьіт
Ък«л	Ьк22	• • • &ft2m	= ± b21	b22	. • •	b2in	= ± d e t B . (59)
Ьк г	Ьк 2	• • • Ь"тт	km	Ьщ2	• •	bmm

При этом ясно, что если значения индексов кхк2 • • . ктобра зуют четную перестановку чисел 1, 2, . . ., те, то соответствующий

определитель	приводится к det			В путем	четного		числа		пере
мен местами строк п в этом случае в (59) следует						брать +			det	В.
Напротив, —det В следует брать				в том случае,		когда		значения
к-у, А'2, . . ., А-,„ образуют нечетную перестановку чисел 1, 2, . . .,										т.
Поэтому, вынося		в (58) из-под	знака суммы общий				множитель
det В, получим
det АВ	=	2 J	±	<2l f t l tf2 f t „ . .	a m k \	det В
или, учитывая	(47),
		detAB =	d e t A - d e t B .						(60)
Итак, для квадратных матриц А и В справедлива формула (60).
3. При т О		число индексов		суммирования		кг,	к2,	. . .,		кт

в (56) меньше, чем число принимаемых каждым из них значений


1, 2, . . ., п. Поэтому все эти значения можно							разбить на	группы
(ід ,	i2,	. . ., іт) по т различных			значений	в	каждой. Например,
если п =			4, а т =	2, то числа 1, 2, 3, 4можно объединить в группы
(1,	2);	( 1 , 3); (1, 4); (2, 3); (2,			4); (3, 4). Как видим, для этого
нужно		брать все		возможные значения i u		i 2	• • •? іщ> подчиняясь
только		условию
	После		этого	суммирование	(56) можно		выполнить	сначала

по каждой такой группе, а потом сложить полученные таким образом суммы. Тогда (56) примет вид

		d e t A B =	2	X
		1 < і, < і г	< • • • < ( „ , < л
X	2	2	«2fc2 fyi,2	(61)
X	2	2		(61)
		«mft Ьь і	CLmh Ьь 2	а"1ктЬктт

Всумме (61) в скобках стоят выражения вида (56) для случая

т— п. Так что, вспоминая, как получено (56), запишем

'то	'т	'm			0"lh,bk2m
2	2	2			0"lh,bk2m
2	2	2
	кт=і,		і CLmh Ьь о . . .
		CLmh Ьь	і CLmh Ьь о . . .		amhnPhmm
					amhnPhmm
	Чи	• •	•		•	• •	bCi,n
					•	• •	bCi,n
	det				•	• •	ЬігПХ
	det
		"Wj • • •
			amtm	K*-	•	• •	bcmm
				K*-	•	• •	bcmm

altt	alh	ha	•
		Кг	• •• h,m

4„i •

На последнем этапе использована формула (60), так как ма трицы здесь квадратные. Введем обозначения:

					тії	flW2 .		. . a,	(62)
							•	b[im	(62)
					bin		•	b[im
			!xh . . .		ъ1л		.. •	h.m
			!xh . . .		і.
Тогда формула примет вид							Mi-
	d e t A B =				2		Mi-		(63)
					• < ( „ , < л
Итак, при т <Zn			справедлива формула					(63), называемая	форму
лой	Вине —	Коши.
Докажем еще одну полезную						теорему.
Теорема		11.	Если в		блочном		представлении
						В	0
В и С — квадратные				матрицы, а 0 — нулевая матрица, то
				detA = detB - detC.					(64)
Л	Если	В есть		1 X	1-матрица,		то	(64), очевидно, вытекает

из разложения det А по элементам первой строки. Предположим теперь, что (64) верна и тогда, когда В есть (п — 1) X (гс — ^-ма трица. Докажем, что тогда она верна и для случая, когда В есть п X гс-матрица. В последнем случае разложение det А по элемен там первой строки примет вид

det А = Ь1ХАХ1 + ЪпАХо_ +. . . + ЬхпАХп,

где Ац = ( — 1) 1 + 1 Н х 1 , причем Нхі имеет структуру

B y	о
D"	С

где В1 ; - получается из В вычеркиванием первой строки и /-го столбца и, следовательно, det В1 ; - является соответствующим

минором Hjj матрицы В. По индуктивному								предположению
имеем:	#1 у . = det В1 ; - det С = Н1}						det С.
Отсюда	#1 у . = det В1 ; - det С = Н1}						det С.
Отсюда
det А = bnHn	det	С -	bvlHn	det	С + . . .	+	( - i)1+nblnHln	det С =
=	( 6 ц Я и	-	ЪпНп	+ . . .	+ ( -	l)1+nblnHin)		det С.

Но в скобках стоит разложение определителя В по элементам первой строки. Это и означает, что

det А = det В det С. V

§ 22*. Р Е Ш Е Н И Е С И С Т Е М Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й

СП О М О Щ Ь Ю О П Р Е Д Е Л И Т Е Л Е Й

На основании формул Крамера и метода Гаусса вычисления определителей можно рассмотреть интересный способ решения систем линейных уравнений [ З ] 1 .

При первом взгляде на формулы Крамера видно, что для реше ния системы уравнений с их помощью требуется вычислить п + 1 определителей п-то порядка. Это представляется достаточно гро моздким делом. Но можно заметить, что матрица каждого из определителей Dj отличается от матрицы определителя D всего лишь одним столбцом и поэтому при вычислении этих определи телей многие результаты счета должны использоваться для полу чения как Dj, так и D. Это приводит к мысли организовать вычис ления так, чтобы не дублировать получение этих общих резуль татов. Идея заключается в следующем.

Можно показать, что

\ап	. . . аи			. . . а1п		Ьг
аа	. . .		аГ]							(65)
										(65)
"•щ	• • •		"-л/	• • •	лл	"п
О	. . .		- 1	... о		о
Действительно,	разлагая			определитель				в	левой части (65)
по элементам (п +	1)-й строки, получим
«п		• • • «і, i-i			«і, /+і		• • •		«іл	h
ail		• • • ai.		j-1	ai,	j+1	• •	• ain		b{
	anl	• • • an, j - 1			«л,/+1		• • • ann			ba

1 В книге [3] этот метод обоснован иначе.

(множитель ( — l ) n+ J				получается			как	— 1 ( —		+	Теперь,
попарно	переставляя			столбец		Ъ с предыдущими				столбцами, пере
местим его на место столбца						так, чтобы под знаком					определи
теля оказался		Dj.	Потребуется				сделать		(п — j)	таких переста
новок.	Поэтому		перед		определителем				получится		множитель
( — l ) n + / (—І)""'		= ( — 1) 2 п			=	1.	Так	равенство		(65)	доказано.
Если теперь таблицу в выражении (65) преобразовать по Га
уссу, то получим по (54)
	(ои-1)	. . . (я 2 / - 1)				. . .	(о 2 я - 1)		фъ-1)
	(«»•!)	•	•	• (*//•!)		• (а,„-1)			(bri)
	(»•!)	•	•	• ( в » Г 1 )		•	• • (атЛ)		(Ь„-1)
	О	. . .		- 1		. . .	О		О
где (atj-l)	находятся как				определители				(53). Продолжая далее
по той же схеме, получим в итоге через п действии число
					Dj				Dj
		ац ("22 • 1) . . .				(«лл • [ « - ! ] )			Д• =	хJ

[здесь учтена формула (55)]. При этом, конечно, предполагается, что в верхнем левом углу таблицы всегда получается число, отличное от нуля. В противном случае нужно прибегать к пере становке столбцов.

По указанной схеме можно вычислить любое количество инте ресующих нас неизвестных системы. Для этого достаточно при писать внизу в (65) нужное число строк вида

(О, О, . . ., - 1 , . . ., О, 0).

Нужно заметить, что такие строки начинают преобразовы ваться лишь с і-го действия гауссовского процесса вычислений и поэтому нет необходимости записывать их до этого момента.

Вместо дальнейших пояснений приведем пример, который и покажет детали счета. Здесь вверху в рамке, как и при вычисле нии определителей, записаны числа вида а1і/а11. Выше черты стоят коэффициенты и свободные члены исходной системы, после довательно преобразуемые по Гауссу, ниже черты стоят последо вательно приписываемые и преобразуемые по Гауссу строки вида 1 1 - 1 , 0, . . ., 01|.

а1	0-2	а3	«4	аъ	Ъ
3	-1				- 5	-
- 1	3	- 1			2
	- 1	3	- 1		- 8
		- 1	3	- 1	4
				3	- 3

5 Заказ 2041

	1	- 3 / 8					1/8
	8/3	-	1				1/3
	- 1	З		- 1			- 8
		- 1		З		-1	4
				- 1		З	- З
	Л / 3						^5/3~
	- 1
	1	- 8 / 2 1				- З
	21/8		-	1		- 6 3 / 8 "
	-1			З	-1		4
			- 1		З	- З
	-1/8					-13/8
	-3/8						1/8
	-1
	1 - 2 1 / 5 5				21/55
	~	55/21		-- 1		1
	- 1			3		- 3
	- 1 / 2 1				- 2
	- 1 / 7				-	1
	- 8 / 2 1				- 3
	-	1
	1			- 1 _
"	144/55		- 1 4 4 / 5 5			~
- 1 / 5 5				- 1 0 9 / 5 5
- 3 / 5 5				- 5 2 / 5 5
- 8 / 5 5				- 1 5 7 / 5 5
- 21/55 .				21/55
-	1

Здесь вычисления проведены в обыкновенных дробях с тем, чтобы счет можно было проследить устно или на бумаге. Подстановкой в исходные уравнения можно убедиться, что в итоге получились корни системы.

Приведенный метод решения систем линейных уравнений во многом совпадает с методом Гаусса исключения неизвестных. Но теперь нет необходимости в выполнении «обратного хода» или, если угодно, «обратный ход» выполняется одновременно с «прямым ходом» (соответствующие действия записывались ниже черты). Это дает и то преимущество, что теперь не обязательно вычислять все неизвестные, если по существу задачи интересно знать только некоторые из них.

Г л а в а 4 ТЕОРИЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ИГЕОМЕТРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ

§23. РАНГ МАТРИЦ

В§ 19 доказано, что матричное уравнение А х = Ъ с невыро жденной матрицей имеет единственное решение. Прежде чем перейти к исследованию существования и единственности реше ний таких уравнений с произвольной матрицей, необходимо определить некоторые новые понятия.

Пусть дана матрица А, состоящая из п столбцов то-го порядка. Эти столбцы являются векторами пространства Rm. Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы или, что то же са мое, размерность г линейной оболочки, натянутой на эти столбцы, называют рангом матрицы А (г = rang А). Любые г линейно неза

висимых столбцов матрицы А называют	ее базисными	столбцами.
В частности, если А — п X га-матрица	(т = п), то	число d =

=п — /• называют ее дефектом 16, 19, 24, 33, 34].

Задача по исследованию ранга матриц решается на основе теории определителей. С этой целью необходимо обобщить понятие минора, рассмотренное ранее в § 17. Будем теперь называть мино рами 1-го порядка данной матрицы определители любых ква дратных матриц, составленных из ее элементов, стоящих на пере сечении каких-нибудь I строк и I столбцов. Так, у матрицы

ап	а12	а13	я1 4
а21	а22	а23	а24
а31	а32	азз	a3i
имеется 12 миноров 1-го	порядка,		18 миноров 2-го порядка и
3 минора 3-го порядка. Докажем			следующую		основную те
орему.
Теорема 12 (о ранге). Ранг матрицы А				равен	наибольшему
порядку всех ее миноров, отличных от нуля.
А Положим сначала,	что	наибольший		порядок		отличных
•от нуля миноров матрицы А		равен	г. Будем считать			для опре-

деленности, что такой минор Drr стоит на пересечении первых г строк и первых г столбцов матрицы А, т. е.

ап	. . .	а1г	а1,	г+1	• • %л
• ••	Drr
А = ап	. . .	а„	аг,	г+1	• •	агп
аг+1, 1	• • • аг+1, г		аг+Ь	г+1	• • •	аг+1, л
ат1	. . .	атг	ат,	г+1	• • «Я1Я

Для доказательства теоремы достаточно убедиться, что пер вые г столбцов образуют базис линейной оболочки всех столбцов этой матрицы, т. е. что: 1) эти столбцы линейно независимы и 2) все оставшиеся столбцы линейно выражаются через них.

Для доказательства линейной независимости первых г столб

цов составим их нулевую линейную комбинацию							\ьхаі	+ Ш я 2 +
+ . . . + \i.rar = 0. Подробно ее можно расписать как								следующие
т выражений:
М-1«11	+	^ 1 2	+ • • • +		l V * l r	=	0 '
ц-Аі + \i2ar2			+. . . + \irarr			= 0,
Viar+i,	і +	Ргаг-я, з +		• • • + Итаг+і, г =			0.
Ців/пі	+	^ m 2 +		• • • +	V-Amr =		0.

которые можно рассматривать как тп уравнений с г неизвестными

fa. Так		как	первые	г уравнений имеют по условию	не	равный
нулю	определитель,			то их решение единственно	(J-2	= 1-І2 =
— . .	. =	\.ir	— 0. Они удовлетворяют и остальным m — г уравне

ниям. Поэтому составленная нулевая линейная комбинация удо влетворяется только нулевыми значениями коэффициентов \at, что и означает линейную независимость этих столбцов.

Для доказательства того, что все остальные столбцы данной матрицы А линейно выражаются через первые г столбцов, рас

смотрим произвольный s-й столбец (s^>r).				Окаймим минор	Drr
элементами этого s-ro столбца	и произвольной /с-й строкой (1				^
=5 к ^ те), т. е. рассмотрим определитель '
\ ап	...	alr	als	I
ап	...	arr	ars
akl	. .". akr		aks

который при к > r равен нулю по условию теоремы, а при к s£ г равен нулю, так как в нем одна строка повторяется дважды.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20232.59 Mб6Дринфельд, Г. И. Квадратура круга и трансцендентность числа.pdf
#
30.10.202337.67 Mб15Дробление и грохочение углей И. В. Пономарев. 1960- 36 Мб.pdf
#
25.10.202315.96 Mб12Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины.pdf
#
30.10.202318.94 Mб8Дроздов Е.А. Основы вычислительной техники, 1961. - 426 с.pdf
#
25.10.202314.65 Mб7Дроздов Е.А. Основы построения и функционирования вычислительных систем.pdf
#
24.10.20239.33 Mб2Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений.pdf
#
19.10.20232.57 Mб1Дроздов, Б. М. Нормативная информация в АСУ лекции.pdf
#
30.10.202328.35 Mб17Дроздовский Б.А. Влияние трещин на механические свойства конструкционных сталей.pdf
#
29.10.20231.76 Mб8Дрочнев Я.Г. Подготовительные работы на подсочке.pdf
#
29.10.20236.06 Mб26Дружинин Г.В. Надежность электрических схем авиационных систем.pdf
#
21.10.20239.99 Mб9Дружинин, В. В. Магнитные свойства электротехнической стали.pdf