Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2220 21 22 > Следующая >>>

этой случайной величины а 2 = D (х — а) =				b*Kxb	и неравенство
примет вид
тр(Ьх, Ь2,	. . .,	bn, t) = F\	^bt(Xi — at)		b*Kxb
тр(Ьх, Ь2,	. . .,	bn, t) = F\	^bt(Xi — at)		і*
			1=1		і*
			1=1
справедливый	для	любого	распределения	р (хх,	ж2 , . . .,	хп)
с математическим ожиданием			а и ковариационной		матрицей	Кх.

Следовательном сравнение векторов по ковариационной матрице имеет смысл и в этом случае, правда, значительно более слабый.

Чуть выше мы забраковали способ сравнения случайных век

торов

по

вероятности

Р (| х — а\ >

непопадания в і-окрест-

ность математического ожидания а. Однако можно

так изменить эту идею, чтобы прийти к достаточно

интересным результатам. Ведь позволительно спро

сить: почему в качестве центра распределения

нужно

рассматривать

математическое

ожидание,

а не какую-либо другую характерную точку и

почему

в качестве окрестности той или иной

точки с нужно рассматривать сферическую

окрест

Рпе.

ность

| х — с | < t? . .

Зададимся

плотностью

вероятностей

р (хх,

х.2,

. . .,

хп)

и рассмотрим все области G' (у) заданного гиперобъема

I . . .

I dxxdx*

. . . dxn.

Если

из них

выбрать ту

G(v),

G'(

в которую

вероятность

попасть

р(хи

х.2, . . .,

xrl)dxidx2

. . .

dxn

G (и)

наибольшая, то это будет область наибольшего

сосредоточения

вероятности

(дозиметрическая область)

[14].

Можно доказать

следующее.

Теорема

58. Если

плотность

р (хх,

х2,

. .,

хп).

1)непрерывна в Еп и

2)не равна тождественно константе ни в какой области поло жительного гиперобъема, а также

области G, определяемые неравенством р

(хх,

х2,

. . .,

хп)

с,

имеют

конечный

гиперобъем

при

всех

с ( 0 з $ С г ^ £ о

max р

(хх,

х2,

. . .,

хп),

то

эти области G

являются дазиме-

трическими.

Идею

доказательства

поясним

на

двумерной

модели

(рис.

11). Деформируем контур р (х,

у) = с произвольным

обра

зом,

не изменяя площади (двумерного гиперобъема) ограничен

ной им области G'. Обозначим через

G+

ту

часть

области

G',

которая

не

входит в

G (G+

G'\G),

а через

G_ — ту часть

об

ласти

которая

не

входит

в G' ( 6 L = G\G').

По

построению

площади 5 +	= j j dxdy и 5 . = Jj			dx dy	областей G+ и G_ оди-
	G+		F-
наковы. Обозначим их общее значение через S. По построению же
и по условиям 2 и 3 теоремы р(х,				у) < с для внутренних точек G+ и
р (х, у) > с для		внутренних точек <?_.
Поэтому,	по	свойству	монотонности		интегралов,
	/ +	= I J р(х,	у) dxdy<C J J с dxdy = CiS;
		G+		G+

/_ == j j /> (x, г/) dx dy > j J с dzdy = cS.

G-

Отсюда i + < / _ . С другой стороны, по свойству аддитивности

интегралов

Jp(z> У) dzd!/ = j

j/) dxdy

+ I + — / _ <]"

jp(a;,

y)dxdy.

Тем

самым

максимальность

вероятности

Р [G (У)] доказана,

Изменяя с от нуля до р0

max р

(хх,

х2,

. . ., хп)

нера-

венстве р

(хх, хг, . . .,

х„) І » с,

будем получать

дазиметрические

области различных гиперобъемов у (О ^

у < о о ) . Следовательно,

гиперобъем

дазиметрической

области является

функцией

от

с,

т. е. v

(с). В силу условия

2 теоремы

58 уменьшение

с при

ведет

к увеличению

У, т . е .

У (с)

монотонно убывает.

Поэтому

существует

обратная

функция

с =

ср (у), и вероятность

попада

ния в дазиметрическую область является функцией ее гипер объема

Р ( у ) =

J • • • j

Р(хп

хъ

• •

•, xn)dxxdx2

. . . dxn =

ap(v).

Р(хі,хг,

. . . л-„)>с(о)

Назовем

ее

дазиметрической1

функцией,

ср

(у) —

функцией

уровней

дазиметрических

областей.

Из двух случайных векторов с плотностями рг

(хх,

х2,

. . ., хп)

/>2

( ж и ж 2 >

• • ч ж л)

естественно

первый

считать

менее

слу

чайным, чем второй, если аРі

(у) >> аРг

(у) при всех

у.

Если рассмотреть дазиметрические области Gx и G 2 , определен

ные неравенствами р

(хх,

х2,

. . .,

хп) ^ сх

жр

(хх,

х%, . . .,

хп)^

с 2 ,

то

при

сх

с2

выполнение

первого

из них влечет выпол

нение

второго. Поэтому

Gx cz G2.

Так

что

каждая

дазиметриче-

ская

область

содержит в себе

точки,

для

которых

выполняется

1 Термины «дазиметрическая область», «дазиметрическая функция» и «фо кусировка» вводятся в применении к рассматриваемой задаче впервые. Дазиметрия — измерение густоты.

условие р (хх, х„, . . ., хп) = р0 — max р (хх, х0, . . ., хп). Та-

кие точки называются модами распределения. Если у распределе ния одна мода, то оно называется унимодальным. Нормальные рас пределения унимодальны, и их мода совпадает с математиче ским ожиданием, так как максимум функции

r A	. n	(.х-а)* Р (х-а)
лГdetp	е	г

^У (2п)"

всилу положительной определенности квадратичной формы (х —

—а)* Р (х — а) достигается только при х = а.

Сказанное означает, что дазиметрические области образуют окрестности (в общем несферические) моды или мод, так что при дазиметрическом сравнении случайных векторов центром (или

системой центров) распределения служат моды.

Теорема

59. Функции

ар

(у)

ср

(у)

связаны

отношением

а Р

(*>) = оJ ср

(*)

dt.

Пусть неравенство

р (х1:

х2,

. . ., хп)

ср

(у) =

опре

деляет

область G объемом

у,

а неравенство р

(хх,

х2,

. . .,

хп)

3- ср

(и +

А у) = с — Ас

учетом

монотонного

убывания

функ

ции

с (у) определяет

область

G +

AG с

объемом

у +

Ay.

Рас

смотрим

Дар (у) = j . . . J р (xv

Хо, .

., хп)

dx1

dx2 . . .

dxn.

дг;

По интегральной

теореме о среднем

Дар

(у) =

р (х1,

х2,

. . ., хп) ДУ,

где

ж2 , . . .,

—некоторая

точка

из

AG. Но

для всех

точек из AG, а следовательно, и для этой выполняются неравенства

с — Ac^p(xv

Хо_, . . ., хп)=

A o ^ (

t ; )

< с .

Так как по условию 1 теоремы 58 р

(хх,

х2,

. . .

ж„)

непрерывна,

то

Ас - > 0

при А У - > -

потому

существует

производная

ср (у). Отсюда а р (У) =

j ср (г) d i , ибо ' а р

(0)

как

вероят-

ность

попасть в область

гиперобъема,

нулевого

Для

нормального

распределения дезиметрическая

область

определяется неравенством

или после возведения обеих его частей в степень (—2) и логариф мирования

(х — а)*Р(х — a)s?>'2 .

Здесь

'•2 = l n l W

(199)

положительно, так как (х — а) * Р (х — а) — положительно опре деленная квадратичная форма. Итак, дазиметрическими обла стями для нормальных распределений являются области, огра ниченные гиперэллипсоидами (х — а)* Р (х — а) = га .

Найдем их гиперобъемы

		v (г) =	J • • • J		dxydx2 . . .	dxn.
		(.v-a)*P(x-a)o-5
Так	как	P — положительно определенная,				то по	теореме 29
ее можно представить в виде Р =					Т*Т. Произведем замену пере
менных	х =	гТ"1 у -{- а,	якобиан		которого
		/ = r n d e t Т"1 = гп		У det Р"1 == - ^ = = - ,
				v	/ d e t P
а (х -	а) * Р (х — а) =		[Т (х	— а) ] * [Т (х — а) ] =			г2у*у.
Поэтому

У*У<1

Интеграл, стоящий в правой части (гиперобъем гипершара радиу са 1), не зависит от /•, так что имеет место прямая пропорциональ ность между v и г"

v (г) = , — гп.

Отсюда с учетом (199)

Г KdetP I 7 1 |- . detP c2 (2я) п

Если ввести обозначение

2т =

(200)

det Р	2
	9,яв Я

„

то	= е	и функция	уровней дазиметрических обла-
стеи			_2_
			_2_
		, ч і /	det Р ,„., п

13 Заказ 2041

193

По теореме 59

Проведем замену переменных mt2/n = и"1'1. Тогда с учетом (200)

" 1 2

Отсюда при

фиксированном

значении

значения

а р

(v)

тем

Л.

л Гdet Р

больше, чем больше т2

— I /

2 д

т " е "

е м

больше

det Р,

поскольку

/с постоянно. Наоборот, чем меньше

det Р,

тем мень

ше а р (и).

теорема.

Итак, доказана

Теорема 60.

Из

двух

нормально

распределенных

векторов

с ковариационными матрицами

К г

К 2

(или

весовыми

матри

цами Р±

и Р 2 )

первый

менее

случаен

в смысле

дазиметрической

функции

тогда

только

тогда, когда

det К х < det К 2

(или

det

Р х >

det

Р 2 ) .

-15 , a

Здесь

det Р

играет

ту

же

роль,

что и

det К

а 2

detP

что

и а 2

для

одномерного

распределения.

Поэтому

det К

на

зывают

обобщенной

дисперсией

многомерного

распределения [ I I .

Объем v ( Р), отвечающий любому фиксированному значению

вероятности, т. е. корень уравнения ар

(v)

Р, назовем

фокуси

ровкой случайного вектора. Из (201) видно,

что

при

увеличении

обобщенной дисперсии в q раз фокусировка нормально

распре

деленного

вектора

ухудшается

(увеличивается)

в ]/~q раз.

70*. ВЕРОЯТНОСТНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

УРАВНИВАНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

Если

v =

Вх - j -

d — уравнение поправок, то

согласно

(198)

(197) его решение, отвечающее столбцу х — — pBd,

приводит

ошибкам

v - f

А =

—BxQ,

где х0 =

R B (—А). Если А — частное

значение случайного вектора б, распределенного с ковариационной

матрицей		К д ,	то, согласно § 66*, ковариационная матрица век-
. тора	£ =	д 5 б ,		частным значением которого является х0,				будет
КІ =	(д.В) К д			( R B ) * . При этом,	если х	распределен нормально,
то и у распределен нормально. По теореме							29 Кд =	ТТ*	и
потому		Кх	=	( R B T ) (нгВТ)*	ИЛИ,	если	воспользоваться
свойством		4		псевдообратных	матриц	(см.	§ 60),	рВТ	—
— т * д ( Т _ 1 5 ) ,			то получим
				К.; = т *-дЧТ-1£)	[т^ЧТ^В)]* .			(202)

Д Если сравнивать случайные векторы по функциям Мар


кова,	то фиксацию R'B		разумно выбрать так, чтобы квадратич
ная форма b*K'Kb		была	минимальной при		всех Ь. Но	с учетом
(202)	ЬКХЪ=Ь	[^(Т-^В)]		[Т 1(Т-1 Б)]6	= \| Ь* [ ^ ( Т ^ В ) ]\| -
длина	вектора b* [T *"}f(T_ : L B) ] в ортонормированном					базисе.

По теореме 54 эта величина имеет наименьшее значение при

любом

только

для

главных

псевдообратных

матриц,

т. е.

когда

(202) Т*В=Т - *В или

і? = (ТТ*)-1 Б = Кк 1 5 .

Подстав

ляем R = Кдх В в (198). Так

как при этом

РК^В

0 и

А]В =

то можно принять А =

РК&1

тогда

в (196)

нужно

подставить Р = АК&.

Итак,

справедлива

теорема.

Теорема 6 1 . Наилучшее в смысле

функций

Маркова

решение

задачи

уравнивания

измерений

уравнениями

поправок

v =

= Вх

d или условными уравнениями Av

w = 0 получается

при

х - —

^ B d

или

—

AAKAW.

(203)

Геометрически это — решение задачи о перпендикуляре в ба

зисе с метрической матрицей G =

Кд1

Р д . Аналитически

это —

уравнивание под условием У * К Д * Р

= m i n .

Как видим, вопрос о выборе метрической матрицы при вероят

ностном обосновании решается однозначно.

Если

Д не распределено нормально, то

решение с

или v =

^.дкд"7 также является

разумным, но

в более

слабом

смысле неравенства

Чебышева.

случае сравнения по дозиметрической функции нужно

рассмотреть определитель

det К ; = det П?£Кд ("ЙВ)*] =

det [ - ' - і 5 £ К д

Здесь

введено

обозначение

R =

К д В .

Раскрывая

Д Л

по

формуле

(165"),

получим

к -Г^ВКд ( к - і Ц Я ) * = (Л*КХ1 В)-1 Д*Кд1 КдКд1 Й (В*К?Л) - і

(R *Кд1 В)"1 (R*K?R)

(В*Кд1 Л)-і.

Отсюда

det

(R*Kl1R)

Рассмотрим также

кх=к-г-вкА(к-г'ву

Тогда

= ( В ^ В ) " 1

(В*К£В)

( В * К Д 1 В ) ' 1 =

(В+Кд1 ^)-1 .

e t К х =

det (В*КдіВ)

•

13*

195

Теперь

учетом

(104)

получим

det* М

= c o s 2

( 2 0 4

)

det К*

det (R*KllR)

det

(B*K£B)

где ф — угол между подпространствами L

IB],

вычислен

ный в базисе с метрической

матрицей G =

Кд1 . Поэтому

det Кд.

£5 det Кх

равенство выполняется, если

L [R]

\В].

Рассуждая далее так же, как при доказательстве теоремы 61,

получим следующее.

Теорема

62. Наилучшее в смысле дазиметрических

функций

решение задачи уравнивания измерений с уравнениями

поправок

v = Вх

- j -

или условными

уравнениями

Av +

w — 0 полу

чается

при

(203):

x=—K^Bd

или

у = —

АдКіи>.

Итоги сравнения по функциям Маркова и дазиметрическим функциям оказались одинаковыми. Технически теорема 62 дока зывается значительно сложнее теоремы 61. Но тем не менее дазиметрическое обоснование метода наименьших квадратов имеет достаточно глубокий смысл, так как на этом пути получается важ ная характеристика результата уравнивания — обобщенная дис персия.

§71* . КОЭФФИЦИЕНТ НАРУШЕНИЯ СТРОГОСТИ УРАВНИВАНИЯ

ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Строгое решение (203) системы уравнений поправок или услов ных уравнений по методу наименьших квадратов в большой мере представляет собой математическую идеализацию, так как оно зависит от ковариационной матрицы Кд измерений. В рамках теории метода наименьших квадратов матрица Кд считается за данной, но задать ее можно лишь, исходя из каких-либо модель ных представлений об условиях измерений (см., например, [15, 17]), адекватность которых реальным условиям, как правило, трудно проверить. Поэтому большой практический интерес при обретает возможность оценить меру чувствительности уравнива ния к изменениям в назначении матрицы Кд. Полученная при дазиметрическом обосновании формула (204), из которой

d e t K i = — % — det	Кх,
COS3 ф
как раз устанавливает роль величины c o s 2	^ как коэффициента на

рушения строгости уравнивания. По (204) с учетом того, что R —

=КдЛ,

!	_ det (ЛКді?) d r t ( В К £ £ ) ^		( 2 ( ) 4 Я )
COS2 ф	d e t 2	(R*B)

где	R — матрица, с которой находится нестрогое решение (198)
х' =	— RzBd системы уравнений поправок.

Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Пусть некоторая ковариационная матрица Кд «идеально» характеризует условия измерений, но она неизвестна и потому

назначается другая матрица К. Это значит,				что	вместо		реше
ния х =	—к-і7з		Bd системы уравнений поправок будет			получено
		Л
решение	х'	=	—к-1в'В<1, т. е. решение (198)	при	R	=	К""1 !?.
Поэтому		по	(204')

!d e t ( 5 * K - i K u K - i 5 ) d e t ( 5 * K ^ 5 )

	cosa ф =	det2 (В*К-Щ		•
Теперь можно исследовать меру нарушения строгости уравни
вания по схеме: «каким было бы значение І/cos2 ф, если К д					было бы
таким-то».
Например, пусть в схеме га-кратного измерения одной и той же
величины х,	когда в уравнениях		поправок г; = Вх	+ d	матрица
В = \|\|1, 1,	. . ., 1\|\|*, требуется		оценить влияние	незнания ве

сов на уравнивание, если считать измерения некоррелированными. В такой ситуации уравнивание обычно ведется так, как если бы

измерения	были равноточными, т. е. принимая К									= Е. Предполо
жим, что	II	л-		о	II

Кд	=	1	0		и	потому		Кд1 =
			Е 1	Е 2					О	Е ,


где блок Е 2	— k		X /с-матрица, а Е 2				— (п — к)		X (п —		/с)-матрица
а р — неизвестные				веса (гипотетическая модель). Тогда (детали
вычислений	предлагается проследить							самостоятельно)
det ( 5 * К - 1 К д К - 1 ^ ) =						det (В*КАВ) = ~			+	(п -	к),
				det (В^К^В)		=kp	+	(n — k);

det (В*К-Щ = det (В*В) = п.

Числитель дроби г для c o s 2 ( p принимает значение

и, следовательно,

1	• (П.—к) к	( р - 1 ) 2
COS2 ф	п2	р

Отсюда можно видеть (например, решая задачу на максимум), что при фиксированном р наибольшее значение —

получается при п = 2к. В этом случае	c o s 2	• = 1 ~Ь	4 р • Если,
л
например, допустить — 5 — ^ 1>5,	то	получим	неравенство

COS" ф

==s (р

— I ) 2

или

р2 — 4р + 1 i s 0, из которого

2 — ] / 3

•1

р ^

2 -}- 1/3.

Поэтому

даже

худшем

случае

2+УЗ

(при /г = 2к) изменение веса почти до четырех крат

ухудшает

обобщенную

дисперсию

уравненного

значения

х не

более

чем

полтора раза,

а ее фокусировку (см. § 69*) — не более

чем

у Т З

1,2

раза.

Стоит

отметить,

что

этот

вывод

получен

только

для

схемы

71-кратного

измерения одной

величины, т. е. для L

[В]

ЦІ, 1,

. . . , 1 Н*. Для сетей с другими L [В ],как следует из (204'),

этот вывод может быть совсем другим. Иначе говоря, сети могут быть и менее, и более чувствительными к изменению назначения матрицы К д , и требуются специальные численные исследования, чтобы установить меры чувствительности для данного типа сетей.

Формула (204') выражает коэффициент нарушения строгости уравнивания через матрицу В уравнений поправок. Теорема 24 позволяет сделать это также через матрицу А условных уравне

ний. По этой теореме в базисе с метрической						матрицей		G = Кд1
вместо		(204) можно	написать
				det2 (РК-ХА)
		C O S 2	ф =	і	М :	= - ,
				det (РКдАР) det ( Л К д М )
где Р и А определяют				ортогональные дополнения			соответственно
L	[R]	и L [В 1 до полного пространства. Поэтому					[см. (88) и след
ствие		3 теоремы 21]
		PK^R	= PR = 0 и		А*К?В	= 0,
а	так	как (см. § 37*)		матрица В	уравнений	поправок		является

фундаментальной матрицей решений системы условных уравне

ний Av	+	w = 0, то и АВ =			0. Поэтому А можно взять так, что
А*К?	=	А или А	= К д 4 * .		Отсюда	PKfA		= РА*,	А*К^А		=
= АК^А*		и потому		det (PK-iP*)			(АКАА*)
			!			det				(204")
		cos2q>			det^	(PA*)

где P — матрица, с которой					получается		приближенное			решение
(198) v' =		—A~p\v	системы		условных		уравнений Av		+	w =	0
вместо	строгого решения			(203): v =		—A^K^w.

§72*. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ОШИБКИ

В§ 70* внимание было сосредоточено на степени фокуси

ровки случайного	вектора § = д 5 б ,	одним из значений	которого
является х0 = R E B	(—А). Принимая	за R B матрицу к-£вВ,	мы до

биваемся наилучшей его фокусировки в указанных выше смыс

лах. Теперь следует выяснить, около какого постоянного	вектора
концентрируется вектор т] — В\ = В (R'B)8, частным	значе-

ниєм которого по (197) служит A +	v =	—Вх0,		где х0	= — R E B A .
Обозначим этот постоянный вектор —			центр фокусирования
вектора и символом Д-f- v. Если Д +	v	=	О, то	при	наилучшей

фокусировке т] минимизируется объем области, вероятность

попадания в которую и вектора		v, и вектора — Л фиксирована.
Если же Д -\|- v Ф О, то поправки		v следовало бы еще	исправить
на Д +	v, и лишь тогда v — (Д +	у) было бы достаточно близким
к —Д.
При	обосновании метода наименьших квадратов с		помощью

функций Маркова за центр фокусирования случайного вектора принимается математическое ожидание; дазиметрическое .обо

снование таким центром считает моду. Если иметь					в виду
нормальное распределение вектора				б и, следовательно,	вектора
£ = R B 8 ,	а также г\| = В	£ = В ( R	E B )	б, то эти понятия совпадают.
Поэтому	всюду дальше	за центр	Д -f- v случайного вектора TJ
будем принимать вектор
	Х+Ь	= М(г\|)= В (ЪВВ) д,
где Д =	М (б) (здесь использовано			свойство линейности	матема
тического ожидания, см. § 66*).
Вектор Д называют вектором систематических ошибок					измере

ний. Условие Д ф 0 означает, что центры фокусирования измерен ных величин не совпадают с теми величинами, для которых соста влены условные уравнения или уравнения поправок. Например, при подсчете невязок треугольников в триангуляции исходят из предпосылки, что измеряются углы между прямыми линиями, соединяющими центры пунктов, а между тем рефракционные влия ния ведут к тому, что фактические результаты измерений фокуси руются около величин, вообще говоря, отличных от значений этих углов.

Если' Д = 0,	то	А -\- v = В ( R B ) Д =	0	при	любых фикса
циях ~RBB. Но	так	как произведение	В	(ЖВ)	вертикальной

матрицы на горизонтальную есть вырожденная матрица (см. § 21), то условие Д -f- v = В (л УЗ) Д = 0 может удовлетворяться и при ненулевых Д. Иначе говоря, даже ненулевые систематические ошибки измерений могут не исказить результаты уравнивания. В таком случае можно говорить о погашении систематических ошибок при уравнивании [12].

С учетом формулы	(173)
Д + у = В (jtB)	Д = [Е -	(Ар') А] А = А - (А?)	АА.
Так как (APS) А вырождена (произведение вертикальной
матрицы на горизонтальную), то		и условие (Д + v) — А = v =
~ {Ар') А А = 0 также может быть выполнено при Д ф			0. В этом

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2220 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20232.59 Mб6Дринфельд, Г. И. Квадратура круга и трансцендентность числа.pdf
#
30.10.202337.67 Mб15Дробление и грохочение углей И. В. Пономарев. 1960- 36 Мб.pdf
#
25.10.202315.96 Mб12Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины.pdf
#
30.10.202318.94 Mб8Дроздов Е.А. Основы вычислительной техники, 1961. - 426 с.pdf
#
25.10.202314.65 Mб7Дроздов Е.А. Основы построения и функционирования вычислительных систем.pdf
#
24.10.20239.33 Mб2Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений.pdf
#
19.10.20232.57 Mб1Дроздов, Б. М. Нормативная информация в АСУ лекции.pdf
#
30.10.202328.35 Mб17Дроздовский Б.А. Влияние трещин на механические свойства конструкционных сталей.pdf
#
29.10.20231.76 Mб8Дрочнев Я.Г. Подготовительные работы на подсочке.pdf
#
29.10.20236.06 Mб26Дружинин Г.В. Надежность электрических схем авиационных систем.pdf
#
21.10.20239.99 Mб9Дружинин, В. В. Магнитные свойства электротехнической стали.pdf