Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2214 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

в центр мишени, а с другой стороны, множеством помех, препят ствующих такому попаданию.

Теория вероятностей исходит из предположения,		что	нам
известна степень такого «тяготения» в каждой	точке (х,	ij)	пло
скости и что она выражается неотрицательными	числами	z. Иначе

говоря,

предполагается

заданным неотрицательное

скалярное

поле z — f (х, у), для

которого

тому

же

существует

интеграл

по всея плоскости

\\f{x,y)dxdy,-

а потому

и по

каждой ее

квадратируемой

области G:

F(G)=\$f{x,

y)dxdy.

Отношение

Р (G) =

называют

веро

ятностью

попадания

Если

перейти

другим

единицам,

приняв

(х,

у)

= у - / (х, у), то вероятность попадания в об

ласть

G равна

P(G) = JJ

(х,

у)

dxdy,

во

всю плоскость

Р(П)

(х,

у)

X dxdy = 1.

Функцию р

(х,

у)

называют

плотностью

вероятности

на

плоскости П.

Важно заметить, что, например, в случае стрельбы вероят

ность Р(<?) не равнозначна

частоте попадания

в G

число попаданий

в G

ап =

—

•

общее число выстрелов

Вероятность описывает некоторые неизменные фундаменталь ные условия стрельбы, частота же случайным образом меняется (флуктуирует) от одной серии выстрелов к другой. В приложениях вероятностное распределение считается тем более адекватным реальным испытаниям, чем точнее выполняется равенство между вероятностью и частотой при возрастании числа испытаний

dG^V{G).

Взадачах теории вероятностей плотности вероятности, как правило, считаются заданными функциями. Способы же их зада ния адекватно тем или иным условиям экспериментов считаются делом конкретных областей исследования.

Впримере стрельбы речь шла о вероятностном распределении на плоскости. В теории уравнивания измерений, где говорится об измерении п величин, имеет смысл говорить о вероятностном распределении в re-мерном евклидовом пространстве Еп. Его

задают плотностью р (хг, х2, . . ., хп), т. е. функцией п переменных (координат векторов /г-мерного пространства), интегрируемой на всем пространстве Еп и выраженной в таких единицах, что

	J" • -!\P(xi,		хъ,	•••> хп)	йхх dx2 ...	dxn=l.
Тогда	плотность	интегрируема			на любом	множестве Т из	Еп,
имеющем	гиперобъем. При			этом
	р ( Л = I -	• • І Р	fo,	^ 2 , • •	s „ ) d ^ d a j a	. . , < & „
называют вероятностью, определенной на множестве Г.
I I . Нормальные		распределения.			Очень употребительными		яв

ляются так называемые нормальные распределения с плот ностью

(зс-а)*Р (х-а)

p(xltxu,

xn) = Y ^ ^

;

(135)

здесь

— произвольный

столбец 7г-го

порядка,

а (а; — а)*

Р (х

—

а) — произвольная положительно определенная квадра

тичная

форма.

Нормальные распределения с хорошей степенью адекватности

описывают такие фундаментальные условия экспериментов.

1. По задаче эксперимента требуется получить систему число

вых результатов

с* =

\\сг, с 2 , . . ., с„||.

Имеется множество (теоретически

бесконечное) помех, из-за

которых

в исходе

одного

эксперимента

получается

система х*

\\хг,

х2,

. . .,

хп

||, являющаяся лишь приближением

системы

с*

Н с х ,

с 2 , . .

с„

||.

Все

помехи

независимы друг от

друга в разных

исходах

и никакая из них не оказывает преобладающего влияния на исход по сравнению с другой *.

Условия 1 и 2 характерны для всяких измерений, выполнить условие 3 стремятся путем применения продуманных методик измерений. Поэтому в теории ошибок исходят из предположения о нормальном распределении ошибок измерений. Но нужно обра тить внимание на то, что указанные условия определяют лишь тип распределения (135), но не задают значений параметров а и Р, которые устанавливаются из более детального знания условий экспериментов. В частности, условие а = с означает отсутствие

систематических ошибок в эксперименте.

1 Условия 1 , 2 , 3 представляет собой достаточно расплывчатое с матема тической точки зрения, но эвристически приемлемое изложение условий многомерной центральной предельной теоремы теории вероятностей (см. [28f: Теорема Вальда — Вольфовпща — Вардараяна совместно с теоремой Ляпу нова пли Линдеберга — Феллера).

131


I I I .	Вероятностная независимость.					Если плотность				вероят
ностей	в	Еп	можно представить		в виде		р (хх,	хг,	. . .,	хп) —
— Pi (xi)		Р2 (xi)- • • Рп (хп)' Г		Д Е	Pi (xi)	— одномерные			плотности,
то говорят, что координатыxt случайного вектора								\\хх,	х2, . .		.,хп\\
вероятностно			[стохастически)	независимы.			Поэтому		только		при
вероятностной			независимости	координат			распределение				всего

вектора определяется распределением его координат. Если, кроме

того, pi (xi) =	р (х) при всех	г, то	вектор	\\хг, г 2 , . . ., хп \|\| назы
вают выборкой	объема ;г из	совокупцости			значений	случайной
величины с распределением		р(х).	Иначе	хх,	хп	трактуются

как п реализацией такой величины.

Докажем, что координаты нормально распределенного вектора независимы, тогда и только тогда, когда матрица Р в (135) диаго

нальная,

т. е.

(х-

а)* Р (х-

а) =

-ЩЇ

аУ

2=1

( {а-)ъ ~°бозначение диагональных элементов

Р^ . Действительно,

detP:

и по

свойствам показательных

функций

- І

У — L _ !х.-аЛ2

(*г°/)а

так

что

Р ( « 1 ,

xt,

. . . ,

хп)

1 1 —Ь—

i = 1

ViV2n

Если при этом а І

—

и at

при всех

і, то хх, хг,

. . .,

хп

является выборкой из совокупности значений нормально

распре

деленной

случайной

величины.

IV . Преобразование

случайного

вектора. Пусть р (хххг.

. .хп)

—

плотность

вероятности

в Еп

Яі =

Ф і ( ! / і , У « ,

•• •.

Уп),

«2 = ф2(^і, Уг • • •, Уя).

(136)

1 П а, — знак произведения чисел а,- (і = 1, 2,

я).

— дифференцируемые функции, заданные в пространстве Е'п пере менных ух, у2, . . ., уп. Какова плотность р' {ух, уг, . . ., уп) в Е'п?

В Е„ имеем:

		Р (9) = J • • • I Р (xi, х%		• • ч хп) d>x\ dx2	dx„
		е
Если	области 6 с й „		по (136) соответствует		0 ' а Еп, то	по
правилам		интегрального	исчисления
Р(9')	=	J - • • ] > ц G/i, г/г, • • м У„) J(Vi, Уг, • • •>			Уп)dy^dyo . . .	dyn,
		в'
где/?* ( У І, г/г, . . . , ? / „ ) = / ?			[фі(г/і,?/2 , . . .,r/„) . ., ф„ (г/х , г/2 , . . . уп)\,
а / (г/1 (	у2,	• • •, уп) — абсолютная величина определителя
			3q?i	0фі
			<5г/а
		Эфа	Зфа	9ф2
		^ф/і	дфга	_9фп
		Зі/і	5^2
[якобиан	преобразования		(136) ]. Отсюда
р" (Уъ г/г, • •.. уп) = р* (Уі. г/г,				• • м г/„) ^(Уі, г/г, • •., уп)-		(137)

Если распределение /? (xlt х2, . . ., хп) нормальное, а функции (136) — линейные, т. е.

х=Ву (7=|detB|); а = В6 (6 = В » ,

то по (137) из (135) получим

				(1/-Ь)* В*РВ (у-Ъ)
* /		\	i / " d e t P		2	f detВ\| =
р	(г/i,г/г,....	у « ) =	\| / 7	^ е

			(2л)"
__ -і /	det В*РВ	" (у-Ъ)*	в*РВ (и-ъ) - . y d e t P '			(г/-ь)* Р' (у-Ъ)

— V	(2п)п	6		У	(2л,)'
где Р ' = В*РВ. В итоге			снова	получается нормальное			распреде
ление с параметрами
		Ь = В-1 о и Р' =			В*РВ		(138)

Так как матрицы Р ' и Р при этом конгруэнтны, то по теории ква дратичных форм матрицу В можно подобрать так, чтобы матрица Р ' была диагональной и даже единичной.

V . Математическое ожидание. В теории вероятностей опре деляется математическое ожидание данного случайного вектора, которым является точка а = \\ах, а,, . . ./я„||*, координаты кото рой вычисляются как интегралы

аї

~ I '

• " J"xiР (xi х"

• • •> xn)dx±dx»

... dxn<

(139)

если

они,

конечно,

существуют.

При

этом

удобно

обозначать

а{ =

М (xt)

и а

= М (х),

так что

Ш(х) = \\Ш(х1),Ш(х2),

. . . , М ( О Ц * .

Пусть в интеграле (139) проводится

линейная

замена пере

менных х

— By,

так что

= ЪцУ! +

ЬП У« +

• • • + ЬіпУп.

Тогда

М (Х [ ) = а ,

! • • • / (fytfi +

• • • +

Ь1пУп) Р* ( f t , Уг, • •

Уп) X

X | det В | dyx

dy2 ...

dyn

= 1 • • • 1 (baft + b«#s +

• • - +

blnyn)

(j/lt

y2,..., yn)

dyx

dy2...

dyn.

Отсюда по свойствам линейности интегралов получаем

м(і,) = йдмы+ь,2 м(у2 )

+ ... + ьіпт(Уп).

Таким образом, доказано

следующее.

Теорема 32. Из х =

By следует

М (х)

= ВМ (у),

независимо

от распределения векторов х

или у.

Если постоянный вектор

||аг, а2,

. . .,

я„||* представить

как

случайный вектор \\хг, х2,

. . ., ж„||*, все значения которого сосре

доточены в одной точке, то по

(139)

М (а,) = j"•

• • |а; р {xXt

х2 ,

. . . , хп)dxxdx2

...

dxn

—ai I • • • I P (xi xi, • • •>xn) dzx dx2

.. . dxn

= aL

Следовательно,

математическое

ожидание

постоянного

вектора

(или числа) равно самому этому вектору

(или числу).

Для одномерного	нормального			распределения
			+00		(х-а)'
М{х)	= —	~	{ хе		^~dx =
	+CO		- c o
	+CO			(ж-а)2
= —%=	\	(x — a)e		2<J2	d (x — a) 4-
	- c o		+ 00	(A:-A)°
			+ 00	(A:-A)°
+ — % = \ e				za~ dx — a,
	о У 2л		J
		- c o

так как первое слагаемое обращается в нуль, ибо подинтегральная функция в нем нечетна. Множитель при а во втором слагаемом равен 1.

Рассмотрим теперь многомерное нормальное распределение (135). Как отмечено в предыдущем пункте, можно провести такую

замену х =	By, что
		(;/-Ь)« (у-Ь)
	(231)"
При этом по правилам интегрирования					(Vj-ЪМ
			О/.-ь,)2		(Vj-ЪМ
		;Є	О/.-ь,)2		^'	і
		;Є	2	. . . Є	*	X
		и -
		(Уп-Ьп)*
	Х...е	2	dy±	. .. dyn	=
+ с	о _			("Г 6 /) 2
-co			- c o
	+ 0 °	( " n - b n ) 2

-00

так как /-и сомножитель есть математическое ожидание одномер ного нормального распределения, а остальные сомножители —

единицы. Итак,

Ъ =

В~га

= М (у).

Отсюда а =

ВМ (у)

= М (х),

т. е. в нормальном распределении параметр а есть математическое

ожидание

этого

распределения.

V I . Дисперсии

ковариации.

Для

каждого

распределения

р (х1г х2 . . •

хп)

полезно

рассмотреть

еще так называемую

кова

риационную

матрицу

Кх

|| k{J

II,

элементы кц которой

опре

деляются

как

интегралы

• ktj—$---$(xl

— al)(Xj

— aj)p(xux2t...,xn)dz1dx!i...dxn

(140)

(если они

существуют). При

эти

числа называют

ковари-

ациями между ї-й и /-й координатами

вектора х,

а при

і =

j —

дисперсиями t-й (J-й) координаты этого вектора. Удобно ввести обозначения

кц = cov (xL Xj). ktt = cov (хи ж,-) = D^.

ТТCOV (XiXj)

Числа p,y =

— -

— называют

коэффициентом

корреляции

і-ж и /'-й координат

вектора х.

Д Если координаты вектора

\\хъ

х2,

••,

хп

||* вероятностно

не

зависимы, т. е. р (хг,

х2,

. . ., хп)

рх (хг)

р2

(х2)

. . . рп

(хп),

то по правилам интегрального исчисления

+ 0О

+00

соv (х,. xj) = j

(xt

— аІ) pi (Xi) dxi J

(xf

— as)

р,- (xt)

dXj X

- c o

+ 0 °

- c o

Г pk

(xk)

dxk

= 0,

кФі

Mfcj

-co

так как первые два сомножителя нулевые. Ведь

+ 00

+СО

(x,—al)pi(xi)dxi=\

xtpi(x,)dTt

—

-СО

-00

+ 00

—a-i j pi fa) dxt = at — at = 0.

-c o

Кроме того,

		+ оо	+ со
D / =		J fe — я,-)2 А fe)^,-n j pk(xh)dxk		=
		- c o	кф]-co
			+ 0O
		=	J (г,-а( )*А (а:( )<£ г,.	(141)
+ 0O			- c o
+ 0O
так как I I j	pf e	(arfe) dxk	= 1. V
ft if!;' -	co

В итоге имеем следующее.

Теорема 33. Если координаты вектора х стохастически незави симы, то ковариации между ними равны нулю, а дисперсия і-ж. координаты вычисляется по (141) как дисперсия одномерной случайной величины.

Важно отметить, что обратное, вообще говоря, неверно, т. е. из условия cov (xt, Xj) = 0 при всех і и і не следует независимость координат вектора х. Хотя выше было показано, что для нормаль ного распределения это обратное утверждение тоже верно.

Л Проведем теперь в интеграле (140) линейную замену х =

=By, т. е. примем

(хс — а,) =	bn (ft — сх) -Ь Ъп	(Уг — с2)+...	+ Ь1п (уп —	сп),
(XJ — Uj) =	bjy (ft — cx) + bj2	(ijo — c2) - f ..	. • f bjn (yn	— c„),

где с =

В~1а

B " X M (х)

=М(у).

Тогда

(Щ — а

і ) (

blkb]i(yk —

ck)(]/i

— c,),

ft, 1=1

и потому по правилу замены переменных

под

знаком интеграла

и по свойству линейности интегралов

= J ' E , ' J

bikbjl(yk-ck)(yl

— cl)

Р* (Уі, ••;

Уп) X

-ft, (=i

x\detB\dy1...dyn

= $--;$

Jп\

blkbll(yk-ck)(yl-cl) X

"П

Lft,(=1

р' (у1г

...,

y^diJi. ...

dyn

2 bikbji

J ' J,-J^fc —с*) X

ft, /=1

X (J/; -

с,) p' (yu

...,yn)dy1...

dyn.

Так

что

covfa, я;

-)=

Ь[кЬц cov (yk>

у[).

ft,

(=i

Получилась квадратичная форма с матрицей К,, =

||cov (yk, у{)\\

(ковариационная

матрица),

Доказанное означает

следующее.

Теорема 34. Из х =

By следует, что Кх

ВК^В*, независимо

от распределения векторов х

или

у.

Для одномерного нормального распределения дисперсия

(* - а)'

D =
Интегрируем		по	частям,			приняв	и=	,	так что du
2о dy	lv =	v		—	dy,	так что v—		—	у2
V2n	lv =	—^е		го2	dy,	так что v—		—е	2о« . Тогда
V2n
						Vі	+СО	7/'

так как первое слагаемое равно нулю, а сомножитель при а2 во втором слагаемом есть единица.

Для многомерного нормального распределения (135) опять про


ведем такую замену х =		By, что р (ух	. .	. уп) — У (2 л)" е
При этом по (138) Е =		В*РВ, т. е. Р =		(ВВ*)" 1 , а по	теореме	34
Кх = ВКуВ*.	Но по теореме 33 К„ =		Е.и потому Кх =		ВВ*.	От
сюда Р = Кх1.	Следовательно, Р — матрица-параметр				нормаль

ного распределения совпадает с обратной ковариационной матри цей этого распределения (ее называют весовой матрицей).

Здесь стоит обратить внимание на то, как теория квадратичных форм дала возможность указать такую замену переменных, при которой вычисление сложных многомерных интегралов (139) и (140) для нормальных распределений свелось к несложным однократным интегралам.

Г л а в а 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

§47. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ИИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ДАННОМ БАЗИСЕ

Пусть задано правило /, по которому каждому вектору х век торного пространства L соответствует вектор у того же простран


ства. Тогда говорят, что вектор у				Є L является функцией вектора
х f t , а правило (оператор)			f осуществляет		преобразование	у	=
= / (х) вектора х	£ L в вектор			у £ L . Преобразование		/	(х)
называют линейным,	если оно удовлетворяет				условиям:
	1-	/ ( х +	у) = /(х) + /(у) .
	2.	/(Я.х) = а,/(х).

Рассмотрим ряд примеров.

а. Преобразование / заключается в повороте векторов плоскости на фик сированный угол а. Легко убедиться, что это преобразование линейно, т. е. условия 1 и 2 для його выполняются.

				Рис. 7		Рис.	8
	б. Несложно			проворить, что		преобразованпе /,	отражающее	векторы
х (j V3		зеркально относительно заданной плоскости (рис. 7), также удов лет"
воряет		условиям		линейности.
	в. Примером нелинейных преобразований является центральная проек
ция	векторов плоскости из данной точки на данную прямую (рис. S). Убеди
тесь	в	этом.
	г. Если х		£	Rn, а	А — фиксированная п X к-матрпца, то матричная
операция ;/ =			Ах	задает	линейное	преобразование в	Rn, так как	A(xt +

+х.2) = Ахх + Ах2 и А (кх) — Я (Ах).

Оказывается, всякое линейное преобразование / (х) в любом линейном пространстве L n можно записать в матричном виде как

в примере «г». Для этого выберем в L n	произвольный базис	91 =
= (а^ а 2 , . . ., а„}. Значения функций/ (х) для его векторов		будут
Ьі = / (аО, Ь3 = / (а2 ), . . . ,	Ьл = / (а„).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2214 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20232.59 Mб6Дринфельд, Г. И. Квадратура круга и трансцендентность числа.pdf
#
30.10.202337.67 Mб15Дробление и грохочение углей И. В. Пономарев. 1960- 36 Мб.pdf
#
25.10.202315.96 Mб12Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины.pdf
#
30.10.202318.94 Mб8Дроздов Е.А. Основы вычислительной техники, 1961. - 426 с.pdf
#
25.10.202314.65 Mб7Дроздов Е.А. Основы построения и функционирования вычислительных систем.pdf
#
24.10.20239.33 Mб2Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений.pdf
#
19.10.20232.57 Mб1Дроздов, Б. М. Нормативная информация в АСУ лекции.pdf
#
30.10.202328.35 Mб17Дроздовский Б.А. Влияние трещин на механические свойства конструкционных сталей.pdf
#
29.10.20231.76 Mб8Дрочнев Я.Г. Подготовительные работы на подсочке.pdf
#
29.10.20236.06 Mб26Дружинин Г.В. Надежность электрических схем авиационных систем.pdf
#
21.10.20239.99 Mб9Дружинин, В. В. Магнитные свойства электротехнической стали.pdf