книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

Рассмотрим алгебраические дополнения последней строки опре­ делителя Dks. Ясно, что все они не зависят от к, т. е. от того, какой именно строкой окаймлен минор Drr. Поэтому обозначим их как Аг + Ь При 9томЛ,.+ 1 і 5 = Drr Ф 0. Разложение опре­ делителя Dks по элементам последней строки приводит к ра­ венству

и не предполагалось, что базисный минор стоит на пересечении первых г строк и г столбцов, то приведенное доказательство нужно проводить так же с незначительными техническими изменениями.

Из теоремы о ранге вытекает ряд важных следствий.

1. Если А — невырожденная /гX га-матрица, то ее столбцы линейно независимы.

Действительно, из условия det А = 0 по теореме 12 вытекает, что rang А <;ге и, следовательно, максимальное число линейно независимых столбцов меньше га.

Это утверждение является обратным утверждению теоремы 9. 2. Ранг матрицы не меняется при транспонировании и потому он равен также размерности линейной оболочки строк матрицы. Это вытекает из свойства определителей не изменяться при

транспонировании. Это следствие означает также, что максималь­ ное число линейно независимых строк матрицы равно максималь­ ному числу ее линейно независимых столбцов.

3. Умножение какой-либо строки или какого-либо столбца матрицы на число, отличное от нуля, не меняет ранга матрицы.

Это вытекает из свойства 5 определителей, с учетом того, что умножение ненулевых определителей на ненулевые числа оставляет определители ненулевыми.

4. Прибавление к какой-либо строке (столбцу) матрицы дру­

мт1 amk

Если она содержит нулевые строки, их можно, согласно тео­ реме 8, вычеркнуть, не меняя ранга, так как нулевые строки линейно выражаются через всякие другие строки матрицы. По­ этому в дальнейшем можно считать, что все строки А ненулевые. Пусть, например, а1к ф 0. Тогда перейдем к матрице

их можно вычеркнуть, что приведет к новой матрице того же

и т. д. Нетрудно убедиться, что оставшиеся в итоге строки (при вычеркивании нулевых строк) линейно независимы. В этом пред­ лагается убедиться в качестве упражнения.

Пример. Определить ранг матрицы (обведены элементы, на которых строятся

Л Из определения произведения матриц видно, что столбцы произведения АВ являются линейными комбинациями столбцов

с произвольной матрицей А. Прежде всего необходимо выяснить, когда эта система уравнений совместна, т. е. имеет хотя бы одно решение, и когда несовместна, т. е. не имеет решений. Этот вопрос полностью решается путем сравнения рангов: матрицы А — основ­ ной матрицы системы уравнений (66) — и так называемой рас­ ширенной матрицы ||А, Ъ ||, т. е. матрицы, полученной приписыва­ нием к основной матрице А столбца Ъ.

Теорема 14 (Кронекера — Капелли). Система уравнений (66) совместна в том и только в том случае, когда ранг ее расширенной матрицы равен рангу основной матрицы.

Л Пусть задано, что система (66) совместна, т. е. имеет хотя бы одно решение х = с. Это означает (см. § 10), что столбец b

есть линейная комбинация столбцов матрицы А, и, следовательно || по теореме 8 линейные оболочки столбцов матриц А и ||А, Ь, совпадают, что по определению означает также совпадение их рангов.

Пусть теперь дано, что ранги матриц А и ||А, Ъ\\ равны. Так как L [ A ] a t [ ||А, Ъ\\] и по равенству рангов размерности этих оболочек одинаковы, то это означает (см. § 14), что и сами линей­ ные оболочки совпадают. Поэтому все базисные столбцы матрицы

ции. Коэффициенты этой линейной комбинации вместе с нулями, которые можно поставить перед небазисными столбцами из А (если они есть), представляют собой решение уравнения А х = Ь. Следовательно, это уравнение совместно. V

Следствие. Матричное уравнение А Х = В, где В — не обяза­ тельно столбец, имеет решения тогда и только тогда, когда ранг

имеет решения, если не имеет решения хотя бы одно из составля­ ющих его уравнений А х = Ь. Остальную часть доказательства предлагается провести самостоятельно.

Стоит оценить, как продуктивно используются во всех доказа­ тельствах этого параграфа понятия и свойства линейных про­ странств. В результате эти доказательства вообще не связы­ ваются с какими-либо вычислительными схемами и проводятся качественно. Стремление отделить идейную сторону дела от вычис­ лительной вообще характерно для современной математики. Оно обусловлено тем, что вычислительная сторона может быть весьма сложной, а также тем, что не исключена возможность видоизменения или улучшения вычислительных схем, что не должно влиять на общие взгляды. Но для полноты картины ни­ когда не вредно видеть и вычислительную трактовку тех или иных теорем.

Рассмотрим такую трактовку теоремы Кронекера — Капелли.

по методу Гаусса совершен переход к эквивалентной системе

С учетом пропорциональности (а1{ • 1) и [а/ ; - • 1 ] и способа вычис­ ления рангов, рассмотренного в конце § 24, ясно, что при равен­ стве рангов матриц А и ||А, Ъ ||на этом этапе гауссовых преобразо­ ваний не может случиться так, чтобы в какой-нибудь строке все преобразованные коэффициенты при неизвестных оказались рав­ ными нулю, а свободный член — отличным от нуля. Этого не может быть и на остальных этапах. Вычеркивая те преобразован­ ные уравнения, в которых все коэффициенты и, следовательно,

и означает, что система совместна. Если же ранги А и || А, Ъ ||раз­ личны, то на каком-либо из этапов гауссовых исключений все преобразованные коэффициенты при неизвестных окажутся нулями, а свободный член — не равным нулю. Такое уравнение, очевидно, нельзя удовлетворить никакими значениями неизве­ стных, и потому система оказывается несовместной.

§ 25. ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

Теперь, когда мы знаем условия совместности систем урав­ нений А х = Ъ, следует перейти к решению любой совместной системы уравнений, т. е. нахождению всех ее решений. Для слу­ чая, когда матрица А этой системы квадратная, этот вопрос рас­ смотрен уже достаточно подробно. Установлено (теоремы 4, 5 и 6),

По теореме 9 и обратному ей следствию 1 теоремы 12 это имеет

det А Ф 0. Теорема 10 дает явные выражения этих решений через коэффициенты и свободные члены. Указаны и некоторые эффек­

операции, которая позволила бы в матричной символике выра­ зить решение матричных уравнений А х = Ъ или х А = Ъ. Пояс­ ним эту мысль на примере числового уравнения ах = Ъ (ха = Ъ),

которая, однако, возможна только благодаря тому, что для чисел определена операция деления. Так вот, мы еще не располагаем матричной операцией, обобщающей понятие деления чисел.

Деление числа b на число а можно представить как умножение числа b на число а'1 — 1/а, обратное к а. Так как операция умно­ жения уже обобщена на матрицы, то проще далее обобщать не операцию деления двух чисел (бинарная операция), а операцию обращения одного числа (унарная операция).

Число от1 определяется условием

а'га = аа _ 1 = 1 .

По аналогии для заданной квадратной матрицы А естественно поискать матрицы А~Е и ~ВА, которые удовлетворяли бы усло­ виям

и"Е А для произвольной квадратной матрицы. Второе уравнение

(67)(см. § 4) можно рассматривать как п уравнений

где X/ — /-й столбец искомой матрицы А~Е ,

— /-Й столбец матрицы Е, а матрица А для всех этих уравнений одинакова. Уже выяснено, что такие уравнения имеют ипритом единственное решение в том и только том случае, когда А — невы­ рожденная матрица, т. е. det А Ф 0. Исследование первого урав­ нения (67) принципиально ничем не отличается от исследования второго уравнения, так как транспонированием обеих частей оно сводится к виду А* ( _ Е А)* — Е, аналогичному виду второго

Разлагая определитель Ац, стоящий в числителе, по элемен­ там ;'-го столбца, можно убедиться, что он равен алгебраическому дополнению элемента ац исходной матрицы А. Итак

Важно обратить внимание на то, что в матрице, стоящей в пра­ вой части (69), алгебраические дополнения к элементу г-й строки и ;'-го столбца обращаемой матрицы А записываются, наоборот, в і-й столбец и /-ю строку, т. е. так сказать, в транспонированном

порядке. Эту матрицу ^без множителя называют присоеди­

ненной к матрице А.

Вычисление обратной матрицы по формуле (69) трудоемко. Здесь требуется вычислить один определитель гс-го порядка И ГС2 определителей (п — 1)-го порядка. Можно указать более эффек­ тивные приемы вычисления обратных матриц, например, приме­ няя процесс из § 22* предыдущей главы к матрице

но в любом случае задача эта более трудная, чем решение урав­ нения А х —• Ъ, так как она равносильна решению п таких урав­ нений (68) с разными свободными членами.

Это обстоятельство, на первый взгляд, может вызвать сомне­ ние в ценности идеи обращения матриц: мы сказали, что с по­ мощью обратных матриц можно записать решение матричного уравнения А х — Ъ, но оказалось, что отыскание А - 1 сложнее, чем решение этого уравнения без всяких обратных матриц. Н о , во-первых, не исключены такие задачи (и они возникнут у нас в дальнейшем), в которых обратные матрицы представляют не ­ посредственный интерес, не связанный с решением уравнений. Во-вторых, разумно ожидать, что обратные матрицы обладают некоторыми общими алгебраическими свойствами, опираясь на которые можно делать те или иные качественные суждения, в том числе о решениях уравнений вида А х = Ъ, избегая фактического вычисления как элементов обратных матриц, так и самих неизве­ стных системы.

3.Е-! = Е.

4.( А - ^ - ^ А .

5. Если существуют А - 1 и В - 1 , то

Доказательство свойства 2 также достаточно просто. Раз суще­ ствуют А - 1 и В - 1 , то det А Ф 0 и det В ^ = 0 . Отсюда по (60) det АВ Ф 0 и, следовательно, матрица АВ имеет и притом един­

нулевой столбец всегда линейно выражается через остальные

Отсюда видно, что множество всех решений однородной си­ стемы уравнений (70) образует линейное пространство — подпро­ странство всех столбцов п-го порядка, где п — порядок столбца х.

Его называют пространством решений системы однородных урав­ нений (70).

Этот простой вывод оказывается достаточно интересным прак­ тически. Он говорит о том, что нет необходимости искать все решения системы уравнений (70). Достаточно найти к линейно независимых решений blt b2, . . ., bk, где к — размерность про­ странства решений. Так как они образуют базис пространства решений, то все решения системы (70) образуют линейную обо­ лочку этих столбцов

=A bk — 0, то из блочного представления очевидно, что

(70). Придавая столбцу с всевозможные значения, по формуле

(71)можно получить все решения уравнения (70). Поэтому (71) называют общим решением системы однородных уравнений (70). Остается только выяснить: какова размерность к пространства решений системы уравнений (70).

Сэтой целью сначала покажем, что если в системе уравнений

(70)строки матрицы А линейно зависимы, то из нее можно выбро­ сить любое i-e уравнение, строка а{ коэффициентов которого линейно выражается через строки коэффициентов других уравне­ ний. Действительно, любое решение исходной системы является решением укороченной системы, так как все уравнения последней являются уравнениями первой. А так как строка at из (70) является линейной комбинацией остальных строк, т. е.