Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 226 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

элемента ап

четная, и

с противоположным знаком при нечетной:

сумме

индексов.

На основании определения (46) по индукции можно

вычислить

определитель любого порядка.

Запишем

теперь правило (46) для

определителя 3-го порядка

и раскроем в нем определители 2-го порядка. Получим:

«12

а-.

"-13

«22

«12

«1S

*21

«23

«13

^22

^23

= «11

—

«21

«32

«33

«31

«23

а31

а.

азз

«S2

«33

«22

*32

— « l l a 2 2 « 3 3 +

«12«23«S1 +

«13«21«32 —

«11«23«32 —

«12«21«33 «13«22«31*

Закон образования произведений в этом выражении иллюстри

руется

схемой

/із

азг

J33

°Э1

азг

"азэ

в которой стрелки указывают, какие тройки элементов нужно перемножать. Произведения, полученные по левой схеме, должны быть взяты со своими знаками, а по правой схеме — с противо положными. Установим, как выглядит такой закон для определи телей произвольного порядка.

Возьмем произведение Й П Й 2 2	. . . ап_ь	„_x«,m диагональных
элементов матрицы, назовем его	главным	произведением. Кроме

того, рассмотрим любые произведения элементов матрицы, струк т у р а которых получается из структуры главного произведения путем всевозможных перестановок местами первых индексов, не изменяя порядка вторых индексов и не допуская среди первых ИНДеКСОВ ПОВТОреНИЯ. Например, ani«32«23««4 • • • Я/г-1, л-1«1л является одним из таких произведений. Назовем их производными произведениями. При этом будем различать произведения с четным и нечетным числом перестановок. Рассмотрим, например, произ ведение а31а12агга^а65 . . . апп и попробуем сделать парные пере становки первых индексов так, чтобы восстановить нормальный порядок. Начнем с единицы: ее мы должны поместить на первое место, переставив со стоящей там тройкой. В результате получим

«и«з2«2з«44«б5 • • • «лл-		Далее	рассматриваем двойку: ее необ
ходимо поставить	на второе место,			поменяв	с тройкой. Получим
« и « 2 2«зз«44«Б5 • •	• «ял-	Теперь	все	индексы	стоят в натуральном

порядке. Для этого потребовалось сделать две парных пере становки. ПОЭТОМУ ГОВОрИМ, ЧТО ПрОИЗВедеНИе а8 іЯі2«23«44«ББ- • • «лл является произведением с четным числом перестановок. Всем

произведениям с четным числом перестановок, включая главное произведение, припишем свой знак, а с нечетным числом переста новок — противоположный. Докажем методом математической индукции, что сумма всех таких произведений с соответству ющими знаками и есть определитель данной матрицы. Запишем это символически так:

det А =

± «Л,І«М • • • « V

(47)

Для определителей второго и третьего порядков мы уже установили справедливость этого утверждения. Предположим теперь, что оно справедливо и для определителей (п — 1)-го порядка, и убедимся, что отсюда будет следовать его справедли вость и для определителей га-го порядка. Запишем более подробно выражение (46)

ап	« 1 2	«із		•	•	« 1 Л	«22	а23	• •	а2п
	«22	«23					«22	а23	• •	а2п
« 2 1	«22	«23				« 2 Л	«32	«33	' '	«3л
det А —= «31	«32	«зз		•		«ЗЛ	«32	«33	' '	«3л
det А —= «31	«32	«зз		•		«ЗЛ	« 1 1
«Л1	«Л2	«ЛЗ		•	•	«лл	« Л 2	«лз	• • •	«лл
«Л1	«Л2	«ЛЗ		•	•	«лл
		4	1 2		13		Чп
		4	1 2
	— а,21	*32			*33		+...+
							+...+
					П2	*13		«1Л
+ ( - 1 ) , 1 + 1 аЛ1					4 22			«2л		(48)
+ ( - 1 ) , 1 + 1 аЛ1										(48)
				«л-1,		в «л-1,	3
В определителе первого слагаемого правой части (48) главным
является произведение			а2 2«зз			• • • «ллТак как это			определитель

(га — 1)-го порядка, то, по предположению, он равен сумме глав ного произведения и всех возможных производных от него произ ведений с соответствующими знаками. Так что все первое слагаемое (48) равно сумме слагаемого аг1а22а33 . . . апп и всех производных от него произведений, исключая те, в которых на

первом месте стоит не а1х. При этом правило						присвоения			знаков
производным		произведениям совпадает			с	тем,	которое мы
хотим доказать для определителей га-го порядка.
Рассмотрим теперь второе слагаемое в						правой		части (48).
Главное	произведение		определителя	в	этом	слагаемом			равно
а12а33 .	. . апп,	а весь	определитель	равен сумме			его	со	всеми

производными от него произведениями. Так что все второе сла гаемое в (48) получается как сумма слагаемого — а 2 1 а 1 2 а 3 3 . . . апп

и всех производных от него слагаемых, исключая те, в которых на первом месте стоит не а21. Здесь также правило присвоения знаков соответствует тому, что мы доказываем. По правилу (48) перед вторым слагаемым стоит минус, но все слагаемые внутри него требуют перестановки индекса первого сомножителя а21 на второе место, что тоже требует изменения знака произведения на обратный.

Рассматривая все остальные слагаемые в (48), убедимся в спра ведливости доказываемого утверждения.

Отмеченная закономерность является, как видим, расшифров кой выражения (46), и она в принципе могла бы быть использована

для вычисления определителей любого порядка. Хотя,	ко
нечно, при п > 3 не многие смогли бы без ошибки и сразу	напи

сать все п! слагаемых, каждое из которых является произведением п сомножителей. Так что для практического вычисления определи телей мы пока мало что получили. Это не означает, конечно, что напрасно потеряно время на то, чтобы проследить закономер ность (47). В исследованиях часто можно много потерять, если оценивать результаты слишком поспешно, кладя в основу узко утилитарные соображения.

§ 18. РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ПО ЭЛЕМЕНТАМ ПРОИЗВОЛЬНОГО СТОЛБЦА

(ПРОИЗВОЛЬНОЙ СТРОКИ)

Правило (46) вычисления определителя п-то порядка дано в форме разложения по элементам первого столбца. Так что в нем первый столбец занимает особое место. Убедимся, что на самом деле определитель в равной мере можно разложить по элементам любого столбца пли любой строки. Для этого докажем следующие

свойства определителей			[6, 19,	24, 33, 34].
Свойство 1. Если матрица В получена из матрицы А пере
становкой местами двух столбцов, то					det В =		—det А.
Л Пусть	в А переставлены			г-ж и /-й		столбцы. Тогда главное
произведение	для	А есть	аХ1 .	. . ац	. . .	ujj . . . апп,		а для	В —
аг1 . . . ац . . . аа		. . . апп	=	ахг . .	. а,ч	. . аи	. . апп.	Оно	яв
ляется производным произведением					от главного для			матрицы А

с нечетной перестановкой индексов (меняются местами лишь индексы г и / ) , и потому каждое произведение akilako2 • • •

входящее слагаемым в det А, входит слагаемым и в det В, но с дру гим знаком, v

Из свойства 1 следует, что определитель матрицы А можно представить в виде разложения по элементам любого ;-го столбца по формуле

аегА = ( - 1 У + 1	а 1 / Я 1 / + ( - 1 ) /	- н , а а у Я , / + • • • +(-і)1+папіНп1,	(49')
где миноры Ны	получаются	вычеркиванием /-го столбца и	/с-й

строки. При этом слагаемые в (49') нужно брать со своим знаком, если j -\- к четно, и с обратным, если / + к нечетно.

Для получения выражения (49') достаточно /-Й столбец мат рицы А последовательными перестановками с левее стоящим столбцом переместить на первое место и воспользоваться выраже нием (46). Количество проделанных перестановок будет j — 1 и полученный по (46) определитель нужно умножить на (—\)! ~1 =

=(—1)/ + 1 . В результате и получится формула (49').

Свойство 2. Определитель квадратной матрицы не изменяется

при ее транспонировании, т. е. det А* =			det А.
	А При	транспонировании матрицы ее диагональные элементы
остаются		на своих местах. Значит, главные произведения			det А
и	det А*	ничем не отличаются. Но так	как в	А и А*	строки
и	столбцы меняются ролями, то для получения			det А* в главном

произведении нужно переставить вторые индексы, а для получе

ния det А* — первые индексы, так как				они теперь		нумеруют
столбцы А*. Но всякая перестановка				двух	первых индексов
а и а 2 2	• • •atj	• • •a j i • • •апп	после перестановки сомножителей
а 1 1 а 2 2	• • • а;/	• • • а</ • • •апп	приводит к	такой	же по	четности

перестановке вторых индексов. Поэтому и всякую перестановку первых индексов в равной мере можно толковать как такую же по четности перестановку вторых индексов. Следовательно, все

слагаемые в	разложении (49') для det А* являются слагаемыми
и для det A .	v

Из свойства 2 вытекает, что	любой определитель можно пред-
тавить в виде разложения по	элементам произвольной	строки:
det А = ( - l ) i + 1 a n # , i - b ( - l ) i + V # / 2 + • • • + ( - i ) i + ' % n H l n .		(49")

Для доказательства этой формулы достаточно транспонировать матрицу А и к А* применить формулу (49')-

§19. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I I ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ


	СТОЛБЦОВ (СТРОК)З
Введем обозначение		Ац =	{—і)і+,Нц.	Величины Ац		назы
вают алгебраическими	дополнениями элементов				ац матрицы А.
Справедливо следующее		свойство.
Свойство 3. При і	4= І Д л я квадратной матрицы А n-го порядка
справедливы равенства
anAit	+ ar_Ai2+		. . . +a!nAin	= G,		(50')
aXjAu	-Ь a2jN2i		-f- . . . - f anjA^	=	0.	(50")

Л На основании формулы (49") левую часть выражения (50') можно рассматривать как определитель матрицы, і-я строка кото рой равна /-й строке, а левую часть выражения (50") можно трактовать как определитель матрицы с одинаковыми i-ым и /'-ым столбцами. Но такие определители всегда равны нулю по следующим соображениям. Если обозначить их через D R D '

и поменять местами			соответственно		г-ю	и	/-ю	строки	в	первом
из них и г-й и /-Й столбцы во втором, то, с одной								стороны, опреде
лители получившихся матриц будут равны —D и — D ' , а с другой
стороны, они	не изменяются, так как переставляются									местами
равные строки	(столбцы). Итак, D =				—D	и D'		= —D'	и, следо
вательно, D =	0	и D ' = 0. v
Теперь можно доказать следующую теорему.
Теорема 9.	Если		det A =j= 0,	то столбцы			(строки) матрицы А
линейно независимы.
Доказательство проведем для столбцов. По свойству 2 оно
будет справедливым и для строк.
Л Допустим,		что	столбцы	матрицы		А	линейно		зависимы,

т. е. некоторый /-й столбец ее является линейной комбинацией

всех

других

столбцов:

ац = кгап

+ k2ai2

. . . +

кпаіп

(і

1,2,...

п). Запишем/) =

det А в виде разложения по элемен

там этого столбца. Получим по формуле (49').

D = (& 1 au + M i 2 + . . . +knaln)

Alt

( ^ 1 а 2 1 +

&ОІ22 ~Ь * * * ~^^па2п) ^ 2 /

+ ( ^ A i + ha„2 + . . . +кпапп)

Anj

= М я 1 1 4 1 / - г - а 2 1 Л 2

у +

• • • +атАц)

-І- к2 (а12А1{

«22-^-27 +

• • • +

dnvAnj)

kn(alnAll

a2nA2i+

. . .

+аппАп!).

В скобках при к стоят произведенпя алгебраических дополне

ний 7'-го столбца на элементы

1-го, 2-го, . . ., п-то столбцов,

про

пуская ;'-й столбец. По формуле (50") эти

скобки

равны нулю,

потому и D = 0 вопреки исходному условию,

Квадратные матрицы, определитель которых не равен нулю,

называются

невырожденными,

так

что

столбцы

(строки) невыро

жденных матриц линейно независимы. Позже

(см.

§ 23)

будет

доказано обратное: столбцы (строки) вырожденных

матриц,

т. е.

матриц, имеющих нулевой определитель, всегда линейно

зави

симы.

Л Рассмотрим теперь систему (45) п уравнений с п неизве

стными. Пусть определитель матрицы этой

системы

det А 4= 0.

Тогда

по

теореме

9 столбцы

этой

матрицы

линейно

независимы

и по теоремам 4 и 5 система имеет единственное решение жх

сх,

х2

с 2 ,

. . ., хп =

сп. Так что справедливы

числовые равенства

a i i c i + • • • + « i / c

7 - f -

• • • + а 1 л

с л

= &і>

апс1+

. . . +аис}+

. . . +

alncn=--blt

anici+

• • • + a „ ; C / + . . . +anncn

= bn,

которые не нарушатся, если обе части каждого к-то (к =							1, . .
і, . .	.,	п) из них умножить на Akj. Складывая получившиеся после
этого	равенства, найдем
		( « 1 1 ^ 1 / + • • ••		• • • + в / а Л , / К +
		+ К / А / +	• • • +а1}Ап+	. . . +anjAnj)Cj		+
		+ К А / + • • • +а-иАц+		• • • +annAnj)cn		=
		= M i / + • • • + М / / + • • • + М „ / .
Учитывая (49') и (50"), замечаем,				что	множитель	при	есть
det А,		а множители	при остальных	с{ (і	j) — нули. В		правой

части стоит определитель

« ї ї	• •	К	•
ап	• •	bt	• • • &1п

аш • • ъп

матрицы, которая получается из матрицы А системы (45) заменой в ней /-го столбца столбцом свободных членов этой системы. Отсюда, введя обозначение det А = D, получим

				Dcj^Dj.					(51)
	Разрешая равенства (51) относительно cj,						придем окончательно
к	следующему		утверждению,		v
	Теорема 10. Если матрица А системы уравнений							(45)	невы
рождена,		то	эта	система имеет		единственное решение			1\|су \|\| =
=	\\сг, с 2 ,	. . ., сп		\|\|, определяемое		формулами
				с/ =	4 г -				<5 2 >
	Эти формулы,			называемые	формулами		Крамера,	вполне ре

шают задачу выражения неизвестных системы явно через коэф

фициенты и свободные члены	этой	системы.		Они	играют
,		— р±	Уpz—4q		выра-
такую же роль, как, скажем, формула х		= —	—	- ,
жающая корни уравнения х2-\-рх-\-	q =		Li
		0 через его коэффициенты.

§ 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Теперь можно рассмотреть достаточно компактный процесс вычисления определителей ?г-го порядка. Он основывается на сле дующем свойстве определителей.

Свойство 4. Если к і-й строке квадратной матрицы А приба вить ее /-ю строку, умноженную на любое число X, оставив все

остальные строки неизменными, то определитель получающейся при этом матрицы В равен определителю матрицы А.

ЛПусть

« ї ї	« 1 2 • • • « 1 Л
ап	Я/2	• •	•	Щп
А =			•	ajn
« А	« / 2	• •	•	ajn
« Л 1	ап2	. . • « « л

Тогда

		« п	« 1 2	« 1 Л
	ап	+ Хап « І 2 + ^ « / 2		• • • « / л + ^ « / л
	В ;	ап
		ап	« / 2	« / л
		« п і	« П 2	«лл
	Представим det В в виде разложения по i-ii строке. Учитывая,
что	получившиеся	при	этом алгебраические дополнения ничем
не	отличаются	от	алгебраических	дополнений элементов

і-й строки матрицы А, получим
det В =	( о ц +	Ып)	Ап	+	(ai 2 - j - Xn/ 2 ) 'Ап - f • • • + fon + Ьв/п)				=
= ( « и Л і +	а,гАп	+ • •		• +	ainAtn)	+	(а д 4JI + « / 2 ^ , 2 +	• • • +	«/л!-4,-п) =
					=	d e t	А ,
так как по формуле			(49")		первая		из получившихся	скобок	равна

det А, а вторая по формуле (50') равна нулю. V

Ясно, что доказанное свойство можно перефразировать, заме нив везде слово «строка» словом «столбец».

Пусть теперь требуется вычислить определитель

	*12		« 1 Л
« 2 1	Goo	(too	а-гп	== det А.
D	А 32	х 33	« З Я	== det А.
	А 32	х 33	« З Я
« Я 1	«я2	«лз	• • • «лл

Если вся его первая строка состоит из нулей, то он просто равен нулю, что сразу видно из формулы разложения по элемен там первой строки. В противном случае без ограничения общности можно считать, что ах1 =j= 0 (иначе можно произвести переста новку столбцов, что может изменить лишь знак определителя).

Теперь к г'-й строке определителя (і = 2, 3, . . ., п) прибавим

первую, умноженную на —ап/а1г. При этом по свойству 4 опре делитель не изменится, но вид его теперь будет таким:

«11	«12	аЧз1	« і л
О	(а2 2 • 1)	(а2 3 • 1)	(«2/Г	1)
D = О	(Ogs-l)	(Язз-1)	( а з п -	1)
О	(о я а . 1)	(а п з - 1)	( « л л '	1)

где

(а,/ • 1) =	і	" і /	(53)
(а,/ • 1) =	ац	« и	(53)
	ап	«и
(сравните с формулой для	(Ї/-1) на стр. 26).

Разлагая новое выражение определителя D по элементам первого столбца, получим

( « 2 2 - 1 ) («23 - 1) • • • ( « 2 Л - 1 )

(«82 '	пі-	(54)

1)(а3 3 -1) . . . (а з л - 1)

Так вычисление определителя ?г-го порядка сводится к вычис лению единственного(«лопределителя2- 1) К , - 1 ) . (п• •—(а„„1)-1)го порядка. Послед ний таким же образом сводится к вычислению определителя

(«зз-2)	(«зп-2)
D	. . .	«11 («22 ' 1)
(оя 8 .2)	. . .	(апп-2)
(?г — 2)-го порядка и т. д. В итоге		получается
-D = « n ( « 2 2 - 1 )	(а3 з-2)	. . . ( « „ „ • [ " - ! ] ) •	(55)

Указанный способ вычисления определителей можно назвать способом Гаусса по очевидному родству его со способом Гаусса решения систем линейных уравнений (для сравнения см. [31 и [30)].

Пример (вверху в рамке стоят числа вида — ) :

			1	V» V .	0
0	1	2	3	1	0
2	1	1	0	і	3
1	0	1	2	0	2
3	2	1	0	2	0

J	2	З		7a
- 7 S	Va	2	= - 2 - 1
				7a
Va	- V a	0	- V .

- 2 - 1 - Т - Г - - 6 -

Способ Гаусса вычисления определителей можно несколько видоизменить с учетом такого свойства определителей.

Свойство 5. Если все элементы і-я строки квадратной матрицы А умножить на число к, то определитель получившейся матрицы В det В = к det А.

Л Пусть

А = ап .
« П 1	• •
тогда
а,,	. . .	а,
katl	. . .	kain

Разложим det В по элементам і-й строки. Тогда алгебраиче ские дополнения этих элементов совпадут с дополнениями эле ментов г-й строки матрицы А, так что

det В = капА!г	+ . . . + ка£пА1п =		к (ааАа		+ . . . + а1лА1п) =
		= к det А. V
Это свойство можно перефразировать, заменив всюду слово
^строка» словом	«столбец».
На основании свойства 5 из (53) имеем:
	« 1 1	а 1 /	аї ї	а і	/
	а 1 1	, _1
			аа	а,
	ап	a i l l

где

Далее из (54) по свойству 5 получаем

		[ваа-1]		[а-23-1]	•	[Й2Л- 11
	Л	I Г _	Л Л	г
D =	1	[а3	2-1]	[а3 з-11 • • • [а3 п-1]
D =
		[а л 2 - 1]		[а„3 -J] . . .		[апп-1]

Следует заметить, что для некоторых специальных видов матриц вычисление определителей совсем не составляет труда. Уже было упомянуто, что определитель, содержащий нулевую строку или нулевой столбец, равен нулю. Легко видеть также, что определитель, содержащий пропорциональные строки (столбцы), равен нулю, так как тогда эти строки (столбцы) линейно зави симы. Наконец, легко проверить путем разложения по элементам столбцов (строк) следующую формулу для треугольных матриц:

^12	«1Л	«11	0	О
^12	«1Л	«11	0	о
•1 22	а2п	&\Ъ	0,22	о	- апа2
					- апа2
О о			* 2 л

(определитель треугольных матриц равен произведению его диаго нальных элементов).

§21. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ МАТРИЦ

Свойство 6.	Пусть	элементы а,ц і-й строки					матрицы	А пред
ставлены как сумма т некоторых слагаемых,							т. е. atj =	(af ; -)x +
			т
+ fa/)s + • • •	+ (ац)т =		2	(<%/)*• Тогда
	Дц	. . .		atj	. . .	а1п
2	(«И)А	•	2	(«</)*	2	(am)k
в=1			я=1		Й=І
	•'лі
		*11		«X/
= 2		(aa )f c	. . . {аи)к		. . .	(ain)k
	h =l

*Л1

(элементы всех строк, кроме г-й во всех определителях, одинаковы). Это свойство доказывается аналогично свойству 4 разложе нием по элементам t-й строки, что рекомендуется проделать

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 226 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20232.59 Mб6Дринфельд, Г. И. Квадратура круга и трансцендентность числа.pdf
#
30.10.202337.67 Mб15Дробление и грохочение углей И. В. Пономарев. 1960- 36 Мб.pdf
#
25.10.202315.96 Mб12Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины.pdf
#
30.10.202318.94 Mб8Дроздов Е.А. Основы вычислительной техники, 1961. - 426 с.pdf
#
25.10.202314.65 Mб7Дроздов Е.А. Основы построения и функционирования вычислительных систем.pdf
#
24.10.20239.33 Mб2Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений.pdf
#
19.10.20232.57 Mб1Дроздов, Б. М. Нормативная информация в АСУ лекции.pdf
#
30.10.202328.35 Mб17Дроздовский Б.А. Влияние трещин на механические свойства конструкционных сталей.pdf
#
29.10.20231.76 Mб8Дрочнев Я.Г. Подготовительные работы на подсочке.pdf
#
29.10.20236.06 Mб26Дружинин Г.В. Надежность электрических схем авиационных систем.pdf
#
21.10.20239.99 Mб9Дружинин, В. В. Магнитные свойства электротехнической стали.pdf