Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2218 19 20 21 22 > Следующая >>>

матрица решений уравнения R*y = О, а В — фундаментальная матрица решений уравнения Ау — 0.

2) Если В = ЦБ, Р* ||— произвольная невырожденная квад ратная матрица, разбитая на два вертикальных блока 5 и Р * , т о

В " 1 =	'I, где R — фундаментальная матрица решений
	АЧР*)

уравнения Ру = 0, а А* — фундаментальная матрица решений

уравнения В*у		= 0.
А	Из (173)
также	имеем,	{А^)А + В{^В) = \\АР\		ВЦ	?В = Е
также	имеем,	что
		II А II" 1	\Ар-,	В\	(174')
		R *-	\Ар-,	В\	(174')
		R *-

Это отношение приводит к интересной интерпретации общего решения уравнения A v + w = 0 со строчно-невырождеиной ма трицей А, которое с учетом (74) примет вид

v = Bx + d = Bx— AP4v=\\ Ay, В\ — ID X

здесь d = —A~pw при фиксированной Р — частное решение этого уравнения, а Б — фундаментальная матрица решении уравнения Ау — 0. Отсюда, принимая во внимание (174') и (165") и свойства •обратных матриц, получим

і?

А " і

— W

-W

R - B \

(R*B)-!R*

-w

(R*B)~1

Е 0

-IV

-і

— W

- і

• w

R*B

R*Bx

где

с =

R*Bx.

Сказанное можно подытожить так.

0 можно рас

Теорема 47. Общее решение уравнения Av -\-w =

сматривать как решения систем уравнений

Av =

-iv

или

Av =

— w

(175)

nBv

R*v =

была

ква-

где

фиксируется лишь

так, чтобы

матрица

'дратной невырожденной. При этом элементы блока х или с столбца свободных членов могут принимать всевозможные значения.

Уравнение

R*v

с из

(175) будем называть дополнением

си

стемы уравнений

A v =

—w

до системы с невырожденной

квадрат

ной

матрицей.

Рассмотрим

теперь

матрицу

I x

Т (АРВ)

АН'1,

подобную

матрице

(Ар*) А,

где

А ..

T-^jAp-,

(Д*)ЗЧ

Отсюда

А (Ар*) А

I (А?)

Т (Ар*) A - j R

А -1R^p^ ^Ар^_х А

потому

что

АА~р =

Е,

a PR = 0. Поэтому

*Р . (R*)

|| Е

0 «

~1 о

о Г

так

как,

учетом

(165'),

(R*)~B*

АВ

(R*B)~1 =

ибо

по

условию,

что

В — фундаментальная

матрица

решений

системы

уравнений Ау = 0, имеем АВ = 0.

Блок Е

матрицы 1 х имеет

размеры т X т, где т — число строк (равное рангу) матрицы

А.

Поэтому

rang

I x =

rang А.

По

(173)

/а

ТВ(R*B)

Т"1

Т [Е

— (А~р)

А]

Т - 1

= Е — Т(Ар*)

АТ~г

Здесь блок Е х имеет размеры (п — m) X (п — т), где (п — т) — число строк (равное рангу) матрицы В. Поэтому rang 1 2 =

=rang В.

Так как ранги подобных матриц одинаковы, то

rang (Ар) А = rang А и rang В (д В) = rang В.

Кроме того, собственные числа подобных матриц одинаковы, а собственные числа диагональных матриц равны диагональным

элементам. Поэтому	собственными числами матриц (Ар*) А
и В (Ъ*В) являются единицы и нули.
§	63. g-ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

Матричное уравнение АХ = В со строчно-невырояеденной ма трицей А всегда имеет решения X = (Ар*) В, что проверяется непосредственной подстановкой в исходное уравнение. При этом разным Р будут отвечать разные решения. По теореме 15 уравнение

ВХ =	С с столбцово-невырожденной матрицей В имеет единствен
ное решение. Умножив ВХ		— С слева на любую матрицу р*В,			по
лучим	X = R * B C . Теперь	все R приводят		к одному и тому	же
ответу.			"	. ;!
Между этими крайними случаями уравнения - вида В Х = С
могут	быть промежуточные		случаи, когда	В не і является	ни
строчно-невырожденной, ни			столбцово-невырожденной- -и\| потому

не существует матриц, псевдообратных к В. Поэтому имеет смысл

ввести следующее понятие.
Всякая матрица		В"	называется		g-обратной к В, если для				лю
бого совместного	уравнения			В Х =	С произведение В~С		является
его решением ([28],		[43]).
Теорема 48.	Матрица В" является g-обратной					к	В	тогда
и только-.тогда,	когда		она	удовлетворяет условию		В В _ В		=	В.
Л Уравнение	ВХ =		В, очевидно, совместно, так как				удовлет
воряется при X	=	Е.	Если	В~ является g-обратной		к	В,	то	по

определению матрица В~В является его решением. Подставляя

его в уравнение, получим равенство

ВВ"В

В.

Пусть теперь матрица В -

удовлетворяет условию ВВ~В

В.

Рассмотрим совместное уравнение

В Х

= С, которое можно

запи

сать и как ВВ~ВХ

С или ВВ"С =

С. А это означает, что В"С —

его

решение,

Итак, g-обратной для В матрицей можно также назвать вся

кую матрицу

В", удовлетворяющую условию

[40 ]

(176)

Как было

показано в начале

параграфа,

псевдообратные

ма

трицы

являются g-

обратными. В другом крайнем случае, когда

вв-в = в.

0, любая

матрица D подходящего

размера

g-обратна

к ней,

так как 0D0 =

0. Ввиду тривиальности этого случая в дальнейшем

всегда

полагаем, что

В Ф 0.

Рассмотрим

теперь произвольную матрицу В. Пусть

в ней

столбцы Ь-г,,

6;.,

. . ., Ъ; — базисные,

так

что любой столбец

bj(j

2, . . ., т) линейно

выражается

через

них, т. е.

rkiljbtt - j - htjbi.

• • . +

hrjbtr.

(177)

Иначе

это можно

записать как

где

В =

ВА,

(178)

hi,

К а

• • Я-tjm

В:

b2ir

и А

—

rJni,

Ьпіг

hir2

• • - 'Xiftn

здесь В — столбцово-невырожденная по построению, а А — строч- но-невырожденная, так как по (177) каждый ее столбец с номером

; = ik (к = 1, 2, . . ., г) должен		иметь	вид
	1	0			0
-	0	1		=	0
-		>	• • •	=

Поэтому	минор det Е,		стоящий на пересечении этих		столбцов
и всех г строк, отличен			от нуля, т. е. является базисным.
Представление		(178)	не единственно, так как ВХАХ		=	В2А2,
если А2	= К~1АХ,	а В2 = ВХК.		Других способов перехода от
•одного представления к другому нет. Действительно, если ВХАХ						=
= В2А2,	где Вх	и В2,	а также Ах	я А2 — одинакового	размера

столбцово-невырожденные и строчно-невырожденные матрицы, то

ВХАХ	(А2)~г		=	В2,	где (А2)~е	— произвольная псевдообратная
матрица		такая, что			квадратная	матрица Ах	(А2)~*	=	К	— невы
рожденная. Итак, В2					— ВХК и потому ВХАХ		= ВХКА2.		Умножая
•обе части этого равенства слева на произвольную									~еВг,	полу
чим А х — КА 2 или А 2					= К" 1 ^! . Как мы знаем, L [А 2]			=	L [К~1А х]
и L	[В2]	=	L	[ВХК].	у
Итак, доказана следующая						теорема.
"Теорема 49. Всякую матрицу						В можно представить в виде (178),
где	В — столбцово-певырожденная, а А —						строчно-невырожден-

ная матрицы. В любом таком представлении линейные оболочки столбцов матрицы В и строк матрицы А одинаковы.

Теперь докажем основную теорему о выражении g-обратных
матриц через псевдообратные.
Теорема 50. Всякая матрица В имеет ^-обратные матрицы.
Если В = ВА, где В — столбцово-невырожденная, а А	— строч-
но-невырожденная матрицы, то В~ тогда и только тогда	является
^-обратной к В, когда она может быть представлена в виде
В" = (Аре) (£В).	(179)

При этом В" зависит только от выбора L [В]ж L \Р ] и не' зави сит от множественности представления (178).

Л Пусть В~ ^-обратная к В, т. е. удовлетворяет условию

ВВ~В = В или ВАВ'ВА	— ВА. Умножим обе его	части	слева
на произвольную ~"В, а справа — на произвольную		А~г.	Полу
чим равенство АВ'В =	Е. Из него, как имеющего решение		урав
нения с неизвестной матрицей В~В, получаем В~В = (Ajf)			Е =

= А~р . Отсюда в свою очередь как из имеющего решение уравне

ния с неизвестным В", получается (179).
Наоборот, всякая	матрица {Ар') (R'B)					является		g-обратной
к В = ВА у так как
В (Ар3) (н8В) В = ВА (А?)			($В)	ВА		= ВА = В.
Кроме представления В =		В А,	рассмотрим любое другое пред
ставление В = В\АХІ	где Вх	=	ВК,	а	Ах =		К~гА.	По (179)
и свойству 3 псевдообратных матриц
В" = (А-ХР) @ВХ)	= [(К-М)рЧ Ы (ВК)]				=	(А?)	КК-1	(J?B) =

=(Ар')(Ъ'В).

Следовательно,

В~ зависит

только от L [Р] и

L [ДI и не за

висит от множественности представления (178).

Рассмотрим задачу косого проектирования на подпростран

ство L

[23] в

случае, когда

33 =

{Ьх ,

Ь2 ,

. . ., Ь,.}

может

быть

и линейно

зависимым.

Пусть

23' =

{b\,

Ь,-8, . . ., Ь,-,„)

— его

базисные векторы, так что все векторы из 23 линейно

выражаются

через

них:

Ь,- = ХсЛ, +

КцЪь

. . . +

hj>lm

(І =

1 , 2 , . . . ,

г).

Иначе, 23 = 23'А, где

А =

^it 1

^І;2

• • МгГ

Яі

-t

7\j{

о .

v n 1

'лі'

как уже выяснено на стр. 172, строчно-невырожденная.

Если

теперь подобно

тому,

как это делалось

§ 61,

пред

ставить

произвольный

вектор

£ Еп

виде

= 2 3 с + х "

= 23' (Ас) - j - х", то в соответствии с § 61 А с =

(дШ ' ) - 1

(91х) — решение

задачи

косого

проектирования

на L [23] = L [23'] перпендику

лярно

подпространству

[91] с

каркасом 9Ї полного ранга. Так

как А — строчно-невырожденная, то с = (Ар*) (9Ш')_ 1

(9іх), где А~р —

произвольная

псевдообратная

матрица

для

А.

Переходя

ко

ординатному

представлению

базисе $

метрической

матри

цей G и матрицами В, В,

каркасов 23, 23', 9Ї и столбцом х

вектора х, получим, что В =

ВА

с =

Ар

(R*GB)-!

R*Gx

= (Ар)

(<f&B) x =

Brx.

Каркас

подпространства

[21],

ортогонально

дополня

ющего L

[23 Ідо En,

также

может быть линейно зависимым. Пред

ставим

его

виде

21 =

21 'С,

где

2Г — базисный

каркас

[21 ],

а С — строчно-невырожденная матрица. Поэтому неявное уравне

ние 2lx" =	w линейного		многообразия можно представить с уче
том (85) как	(21'С) х "	=	С* (21'х") = w. Е с л и ^ — базисный кар
кас подпространства		L	l^p],	ортогонально дополняющего до Еп
подпространство L [91], перпендикулярно которому ведется про
ектирование	на L [23], то х"			6 L [ ф ] , т. е. х " = tyk и потому

С* (21,(^Р) к — w. Отсюда, умножая это равенство слева на любую

матрицу ~=С, псевдообратную к С, получим	(21/ с Р) к = ~Си>.
Поэтому к (%'ty)-1 (-Е С*) тъх" = °£> (%,cp)~x	("Е С*) w — иско

мое решение задачи косого проектирования в векторной форме.

Переходя к координатному представлению	в базисе $ с		метриче
ской матрицей G и матрицами А, А ' и і3 * каркасов		2t, 21'		и Чр
и столбцом'х" векторах х", для уравнения	21х" =	(91 'С)	х"	— w

получим с учетом (85) представление A*Gx" = С* (A' "G) х" = w или после введения обозначений А — A * G и А' = A ' 'G

Лж" = С*А'а;" = ш.

Полученное я<е решение задачи косого проектирования пред ставится в координатной форме как

х" = Р* (A'^GP*)'1	(ГС*) w =	P* (А'Р)-1 (£С) w =
=	(Af)p4VC*)w	= A-w.

Так ^-обратные матрицы связаны с задачей косого проектиро вания векторов на подпространство^ [58], натянутое на произ вольный каркас.

§64. ВЫРАЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ

СПОМОЩЬЮ g-ОБРАТНЫХ МАТРИЦ

Как уже сказано, для совместной системы уравнений Вх = с всякий столбец В - с является решением. Но для всякого ли реше ния xL этого уравнения найдется такая B f , что xL = Втс?

В общем случае ответ на этот вопрос отрицательный. Так, для однородного уравнения Вх = 0 всякая В - приводит лишь к нуле

вому решению В""0 = 0, тогда как фактически могут			существо
вать и ненулевые	решения.
Неоднородное	уравнение
	Вж = с	(сфО)		(180)
в соответствии с (178) можно представить в виде ВАх			=	с или,
умножая обе его части слева на произвольную ~*В,
	Ax = ~>Bc = d.			(181)
При этом d ф	0. Действительно	с = Bd, и при d =	0 было бы
с = 0 t что противоречит условию		(180). Рассмотрим общее		реше
ние уравнения (180) или (181)
	х = Се -J- х';			(182)

здесь х' — любое фиксированное частное решение, е — произ вольный столбец нужных размеров, а С — фундаментальная матрица решений уравнения Ау = 0.

Теорема 5 1 . Если уравнение (180) неоднородно, то для любого значения столбца е в выражении (182) его общего решения най дется такая матрица se C, что

е = -$С(-х").

А Пусть в формуле (181) А — m X n-матрица. Тогда С является m X r-матрицей, где г ~ п — пг, и по (182) порядок столбца е равен г. Поэтому для осуществления линейной связи е с (—х') достаточно знать некоторую матрицу D r x n , такую, что

е = D {—х'). Кроме того, потребуем от D, чтобы она была псевдо обратной слева к С, т. е. удовлетворяла условию DC = Е. В итоге получаем уравнения

CD = E		С*	Д* =	^ 1	(183)
(-x')D	= e*	Е™

с. определяемой матрицей D*. Так как п > г хотя бы на единицу,
а (—х')* — строка,	то	матрица С =	С*	, невертикальна.

			№)	I.

•Строки матрицы С* здесь линейно независимы, поэтому матрица С может быть строчно-вырожденной лишь в том случае, если (—х')* линейно выражается через строки матрицы С*, т. е. если найдется такой столбец Z, что —х' = С1. Подставляя его в (182), получим х = С (е — I). При е = I это приводит к нулевому решению урав нения (180), что противоречит предположению о его неоднород ности. Следовательно, в условиях данной теоремы матрица урав нения (183) строчно-невырожденная, и потому по следствию 1 теоремы Кронекера — Капелли это уравнение совместно, v

Отсюда, как следствие, получаем следующее.

Теорема 52. Для всякого решения х совместной неоднородной системы уравнений Вх = с найдется такая матрица В - , что

х— В~с.

ДВсякое решение х этого уравнения получается из общего решения уравнения х = Се -f- х' при фиксированном е. Но по те

ореме 51 существует ёе С такая, что е =

gs C (—х'). Поэтому

—С (~iC) х' +

х' =

[Е — С

(s*C) ] дг'или с учетом

(173) и (181)

= (Ар*) Ах'

(Ajf)

СВВ)

= В'с,

так

как

по

(181)

Ах

~гВс

для

любого решения

уравнения

Вх

— с,

в том

числе

и для х',

которое получается из (182) при е

§65. ГЛАВНЫЕ g-ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

Для обратных матриц А _ 1 А = А А - 1 = Е. Здесь рассмотрим свойства матриц В - В и В В _ в произвольном случае g-обращения.

Нетрудно проверить, что матрицы В - В и В В - всегда идемпотентны. Действительно

(В-В) (В-В) = В" (ВВ-В) = В-В; (ВВ") (ВВ- ) = (ВВ-В) в - = ВВ".

Рядом особых свойств обладают те В", для которых матрицы В"В и ВВ" являются проекционными, т. е. не только идемпотентными, но и симметричными. Как отмечалось в главе 7, проек ционные матрицы представляют собой естественное обобщение понятия единичных матриц на вырожденный случай, и надо ожи дать, что такие g-обратные матрицы в каком-то смысле будут более похожими на обычные обратные матрицы. Поэтому инте ресно рассмотреть такое понятие.

Всякую матрицу В* назовем главной ^-обратной к В, если она удовлетворяет условиям [41, 42]:

1)ВВ + В = В (является ^-обратной).

2)(ВВ+ )* = В В + (ВВ + — проекционная).

3)(В+ В)* = В+ В (В+ В — проекционная).

ДПусть В — В — столбцово-невырожденная матрица кар

каса	23 в	базисе $ с	метрической матрицей		G. Тогда из	(171)
и (171') видно, что из всех матриц В (R1B)				только матрица В		(ввЩ
осуществляет ортогональное проектирование на L [231. А так как
(см.	§ 54)	проекционная матрица — это		матрица ортогональ
ного	проектирования,		рассматриваемая	в	ортонормированном

базисе, т. е. при G = Е, то В (ЪгВ) — проекционная матрица. Матрица же ~вгВВ — Е — проекционная, так как она единич ная. Поэтому согласно определению для В существует и притом

единственная главная g-обратная матрица В+	= ~вВ.	Для слу
чая, когда В = А — строчно-невырождеиная	матрица,	аналогич

ные рассуждения, опирающиеся на выражения (172) и (172'), при

водят к утверждению	существования	и	единственности главной
g-обратной матрицы, которая находится			как А + = А~£.
Главные ^-обратные	матрицы для	столбцово-невырожденных

матриц В и строчно-невырожденных матриц А будем называть

главными		псевдообратными			матрицами			и	обозначать	симво
лами ~1В		и А-1.
	Если матрица В не является строчноили столбцово-невы-
рожденной, то			по (178)	ее	можно представить в виде В =						В А,
а	по	(179)	имеем:	В~	=	(Ау)	(~£-В).		Поэтому	В~В =
=	(A?)	(SB) ВА = (А?)		А,	а	ВВ~ =	ВА	(АРг)	&В) =	В	($В),

и, следовательно, по только что доказанному эти матрицы являются проекционными тогда и только тогда, когда А]/ и ВВВ — главные псевдообратные матрицы. А это означает, что существует

только	единственная главная g-обратная матрица для В, равная
В + =	(A'1) ("IS) . V

Итак, с учетом (165') и (165") имеем следующее.

Теорема 53. Всякая матрица В имеет и притом единственную

главную g-обратную матрицу В+ . При этом если В = А		строчно-
невырожденная, то		(184')
В* = А-1	= А(АА)-1;	(184')
если В = В столбцово-невырожденная, то
В+ = -1В	= (ВВу1В;	(184")

если же В не является строчноили столбцово-невырожденной,

т. е. когда имеет место представление В = ВА,	то
B + = (4 - i)( - iB) .	(185)

Ряд экстремальных свойств главных g-обратных матриц "сле дует из такой теоремы.

12 Заказ 2041

177

Теорема 54. Если L [Р* ] ф L [Л* ] и L [R ] Ф L [В ], то

|| (Л"*) СI ^|| (Л?) С ||;

||D(-^)||<||D(i^)||

при всех С или D подходящих размеров. При этом

среди них

всегда найдутся такие С и D для которых

выполняются

строгие

неравенства.

Если

же

С — строчно-невырожденная

или

D —

столбцово-невырожденная,

то

неравенство

необходимо

строгое.

Л Из (173), в частности, имеем, что Е

= ( Л - 1 ) А + В

( - 1 5 ) ,

где В — фундаментальная

матрица

решений уравнения 'Ау

— 0.

Умножим это равенство справа на (А~р) Сх,

где х — произвольный

столбец, а С — произвольная матрица. Получим

[А?)

Сх = (А-1)

Сх і

В (-Щ (Aps)

Сх.

(186)

Очевидно,

(Л;1 ) Сх = А*

(А А*)'1

Сх = A*z

Є L

[А*],

где z — ( Л Л * ) - 1 Сх, а

В{-Щ

(Ар)

Cx =

Bu£L[B],

где введено

обозначение

(~ЛВ)

(Ар*) Сх. Так как АВ

0, то

L [А*] _1_ L

\В J, если определить

скалярное произведение

столб-,

цов z и w правилом (z, w) = z*w. Поэтому левая часть (186) пред

ставляет собой гипотенузу, а правая				— сумму двух катетов прямо
угольного треугольника. По теореме Пифагора
\|(Л>Е )Сх\|2		= \|(Л-1 )СхГ- + \|В(-1 Р)(Ля')Сх\|2 .				(187)
Отсюда
		1 (Лр£ ) С*\|	\|(Л - *)С»\|
		1*1	"	1*1
Если х 0 — максимальный вектор матрицы ( Л - 1 ) С, то по						(153)
^ - ^ ' - . « ( Л - Ч С І ,			а	\| яе01	Щ1р1^(А-ЛС1
\х0\	«^	' - «'	-	\| яе01
Поэтому, рассматривая все эти неравенства и равенства вместе,
получаем
II	) c i > i ^ f l ^ i ^ 1			( ^ о 1 Н 1 (л-1 ) с л
или Ц(Л-і) С	\|\|^ \|\| (А~ре) С \|\|.
Предположим теперь, что в правой части (187)
		В(-1В)(А?)Ся		= 0		(188)

при всех С подходящих размеров. Так как здесь и х — произволь ный столбец, то у = Сх произвольно и по теореме 1 необходимо,

сучетом (184") и (165'), чтобы

В{-Щ (Л?) = В (В*В)'1 В*Р* {АР*)'1 = 0.

Умножением этого условия слева наВ %В ( _ £ В ) и справа на

АР*

приходим

условию

В*Р*

= 0.

Если

же

С. = С

строчно-

невырожденная матрица и требование (188) выполняется при про

извольном

х,

то В

(В*В)~УВ*Р*

(АР*)'1

С =

Умножая

это

условие слева яаВ^В

( _ Е В) и справа на С~г (АР*),

также

придем

к условию В *Р*

которое в сравнении с условием В *А*

означает, что L [А*] = L [Р*].

Поэтому

при

L [А*]ф

[Р*]

найдется

такое

С,

что второе

слагаемое

в (187)

положительно

поэтому

I A-iCx\

| Ар'Сх

1*1

в частности, это неравенство выполняется, если С —

произвольная

строчно-невырожденная матрица. Отсюда

|| А~гС

|| <

|| AjfG \\.

Второе неравенство теоремы доказывается аналогично,

Рассмотрим ряд следствий из теоремы 54.

Следствие

1. || В+ В .|| =

||ВВ+

Ц = 1. Для всех остальных

В"

верны неравенства

||В~В

|| >

1 и

||ВВ~ | | > 1 .

По

(178)

ВА,

а по

(179)

В"

(Аї?)

( # В ) .

Поэтому

ВВ~

— В

(в В),

а В - В

(Ар)

А.

61 показано, что

собствен

ными числами таких матриц служат единицы и нули. По тео

реме

40 норма

симметричных

матриц

В В +

и В + В

равна

макси

мальному

собственному

числу,

т.

е.

Ц В В +

|| = || В+ В

|| =

Остальные матрицы ВВ" и В - В несимметричны и для них тео

рема 40 неверна. По теореме же 54 при С =

А и

D =2?

получаем,

что при L

\РТф

[А}

и L

[R] ф L [В J ,

І В+В || =

|| (А-1)

А |!<|| (A?)

A J = || В-В К;

||ВВ-|| = ||В(-іБ)||<||Б(5^)|| = ||ВВ-||,

отсюда с

учетом

равенств

]] В 4

|| =

|| В В +

|) =

1 получим,

что

|| В - В

|| > 1

|| ВВ"

|| > 1 .

Следствие

Если уравнение

В Х

совместно, то решение

В +

обладает наименьшей

нормой

среди

всех

решений

В - К , т. е.

||В+ К

||*== ЦВ-К ||. В частности, если К

к —

столбец, то |В+

к\ ^

|В_А| (здесь длина любого вектора-столбца Ъ

определяется

как | Ъ | =

] / Ъ*Ь).

Пусть

соответствии

(178)

— ВА.

Тогда

уравнение

В Х = К примет

вид В АХ

К или, если ввести обозначение

АХ — Y, J3Y =

К. Так

как

столбцы

вертикальной матрицы В

линейно независимые, то по теореме 15 это уравнение имеет един

ственное

решение У,

которое

можно

получить, умноживБУ

слева на любую R*B

и,

в частности, на _ 1

5 . Отсюда Y =

д\5К =

_ 1

Б К

при любом

L [В],

и,

значит,

всякое

решение

уравнения ВХ

К можно записать в виде

= В _ К = (A?)

G?J3) К =

(Ар1)

СЩ

К.-

12*

179

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2218 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20232.59 Mб6Дринфельд, Г. И. Квадратура круга и трансцендентность числа.pdf
#
30.10.202337.67 Mб15Дробление и грохочение углей И. В. Пономарев. 1960- 36 Мб.pdf
#
25.10.202315.96 Mб12Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины.pdf
#
30.10.202318.94 Mб8Дроздов Е.А. Основы вычислительной техники, 1961. - 426 с.pdf
#
25.10.202314.65 Mб7Дроздов Е.А. Основы построения и функционирования вычислительных систем.pdf
#
24.10.20239.33 Mб2Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений.pdf
#
19.10.20232.57 Mб1Дроздов, Б. М. Нормативная информация в АСУ лекции.pdf
#
30.10.202328.35 Mб17Дроздовский Б.А. Влияние трещин на механические свойства конструкционных сталей.pdf
#
29.10.20231.76 Mб8Дрочнев Я.Г. Подготовительные работы на подсочке.pdf
#
29.10.20236.06 Mб26Дружинин Г.В. Надежность электрических схем авиационных систем.pdf
#
21.10.20239.99 Mб9Дружинин, В. В. Магнитные свойства электротехнической стали.pdf