книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

и выброшенного г-го уравнения и, следовательно, всей исходной системы уравнений (70).

Эти рассуждения позволяют всегда допускать, что в системе (70) число уравнений равно рангу А. При этом матрица А может быть только невертикальной, так как иначе число линейно неза­ висимых строк оказалось бы больше их порядка.

Разобьем теперь матрицы А и х в системе (70) на блоки так, чтобы система эта приняла вид

|А1 } А2|| 3?о = 0,

где A j — невырожденная квадратная матрица. Для этого в каче­ стве А х нужно просто взять базисный минор матрицы А (при необходимости поменяв нумерацию неизвестных). Отсюда по правилу умножения блочных матриц получаем

+ АоХ2 = 0

или

Умножая обе части этого уравнения слева на А^1 , получим

который равен п — г, где п — число неизвестных системы, а г —

Число векторов, входящих в этот каркас, очевидно, равно числу т столбцов матрицы А.

Легко згбедиться в справедливости следующих свойств опера­ ции умножения каркаса на матрицу:

5)(21А)В = 21(АВ).

За м е ч а н и е . Условимся считать, что символ А23 не имеет смысла.

случае, если его ранг равен порядку (в этом случае будем гово­

что и означает равенство А = Е.

Різ 93 х" = 03 (Ms') и 5Ь' = 51 ( M " V ) по теореме един­ ственности разложения по базису получаем формулы преобразова­

каса 51 на матрицу В ведет к умножению матрицы А этого кар­ каса в базисе 5Ї справа на В.

Наконец, из изоморфизма между пространством L n и простран­ ством Вп столбцов координат векторов L n в данном базисе R, очевидно, вытекает, что ранг любого каркаса 51 равен рангу его матрицы в базисе St.

1 Вывод формул перехода без помощи понятия каркасов см. [24, 33, 34] .

Г л а в а 5 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

§ 28. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Стоит заметить, что теория линейных пространств, с помощью которой так удачно рассматриваются вопросы решения матричных уравнений, все же более бедна фактами по сравнению с теорией обычных геометрических векторов из векторной алгебры. Так, в векторной алгебре говорят о длинах векторов и об углах между векторами, между тем как в теории линейных векторных пространств эти понятия оказываются неопределенными. Но если в линейном векторном пространстве, помимо рассмотренных ранее операций равенства, суммы двух векторов и произведения вектора на число, определить еще одну операцию (а, Ь) над парами векто­ ров, дающую в результате число и удовлетворяющую всем основ­ ным свойствам скалярного произведения из векторной алгебры, то теория векторных пространств значительно обогащается и ста­ новится очень похожей на теорию обычных геометрических векторов [7, 19, 24, 33, 34].

Под основными свойствами скалярного произведения (а, Ь) векторов а и Ь подразумеваются следующие свойства:

Линейные пространства L , над векторами которых определено действие скалярного произведения с указанными свойствами, называются евклидовыми пространствами Е.

Так как евклидовы пространства определены аксиоматически, т. е. фактически задается лишь абстрактная структура его без указания конкретной природы объектов и операций над ними, то можно ожидать, что существуют различные модели евклидовых пространств.

Очевидной моделью евклидова пространства, давшей назва­ ние всей структуре, служит пространство У 3 геометрических векторов, в котором скалярное произведение определено как произведение длин векторов на косинус угла между ними. Но

эта модель далеко не единственна. Рассмотрим, например, линей­ ное векторное пространство Rn матриц-столбцов 7г-го порядка. Определим скалярное произведение произвольных столбцов а її b как матричное произведение а*Ъ, т. е. примем

Легко проверить, что так определенное действие удовлетво" ряет свойствам 1—4 скалярного произведения. Пространство Rn, в котором скалярное произведение определяется по (77'), обозна­ чим через R®.

Очень важно отметить, что на одном и том же линейном про­ странстве можно определить различные евклидовы пространства.

в качестве упражнения. Свойство 4 удовлетворяется, если на С наложить дополнительное условие, требующее выполнения нера­ венства х*Сх > 0 при любых столбцах х 4= 0. Симметричные матрицы, удовлетворяющие такому условию, называют поло­ жительно определенными. Несколько ниже мы убедимся, что существует бесконечное множество положительно определенных симметричных матриц n-го порядка, так что, беря различные положительно определенные матрицы С в выражении (77), на

Используя свойства интегралов, легко убедиться, что так определенное действие удовлетворяет свойствам 1—4 скалярных произведений. Имеется также бесчисленное множество других

если С не является положительно определенной матрицей (такие симметричные матрицы, как будет показано ниже, также существуют).

Для двух произвольных векторов а и b из равенства |а + Ьр = (а, а ) + 2(а, Ь) + (Ь, Ь)

с учетом неравенства (81), по которому | (a, b) | ^ ]/(а, а) (Ь, Ь), а тем более (a, b) ^ 1^(а, a) (b, Ь), получаем

|а + Ь р ^ ( а , а ) + 2 / ( а , а) ]/ф7Ь) + (Ь, b) = (| а| +1Ь |)*; отсюда окончательно

Это и есть неравенство треугольника, утверждающее, что длина стороны треугольника меньше суммы длин двух его других сторон.

В связи со сказанным видно, что введение скалярного произ­ ведения в линейное пространство метризует его, т. е. приводит к понятиям длин векторов и углов между векторами г .

Как видим, произведение каркасов в евклидовом пространстве представляет собой матрицу, число строк которой равно порядку первого сомножителя, а число столбцов — порядку второго сомно­ жителя. Как частный случай этой операции будем рассматривать произведение 9Ш каркаса на вектор, рассматривая последний как каркас первого порядка.

1 Введение скалярного произведения также нормирует пространство, так как всякое линейное векторное пространство называют нормированным, если в нем каждому вектору а поставлено в соответствие такое число // а ||

(норма вектора), что выполняются условия:

1. 0, причем || а || = 0, лишь если а = 0.

2.Ха | = | Л

Поэтому евклидова длина является нормой. Но нормы можно вводить и иначе.

п

ляются нормой. В произвольном нормированном пространстве понятие утла между векторами не возникает.