книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений
.pdf
|
Теперь |
рассмотрим |
произвольный |
вектор |
У |
многообразия |
|||
v |
= Вх + |
d. Для него по неравенству треугольника справедливо |
|||||||
|
| v + Д | = | (v — v) + (v + Д ) | =ё | у —у | + |У + Д|. |
||||||||
|
Так как векторы (у + |
Д), |
(у — |
у) и (у + Д ) все |
принадлежат |
||||
подпространству L [В], то можно |
указать такое Д , для |
которого |
|||||||
в |
нем осуществится равенство. Так что |
|
|
|
|||||
|
us (у) = max | У - f А | |
| + Гу + Д | = |
| у - у | + |
а 5 . |
|||||
|
Отсюда и из неравенства | у — у) ^ |
0 получаем, что ors |
^ crs (У)- |
||||||
Это и означает, что при любом s перпендикуляр |
у имеет наимень |
||||||||
шую максимальную ошибку as |
среди всех векторов |
у. |
v |
||||||
Теорема 26 дает алгебраическое обоснование принципа наи меньших квадратов. Но она же выявляет и всю неполноту этого
обоснования. |
Ведь |
и определение |
(113) максимальной ошибки, |
|||
и условие (у, |
у) = |
m i n зависят от способа метризации |
простран |
|||
ства і?„, в котором |
рассматривается |
многообразие v |
= |
Вх - j - d, |
||
т. е. от |
выбора матрицы G в определении скалярного |
|
произведе |
|||
ния (a, |
b) = |
a*Gb. |
Алгебраическое |
обоснование не |
дает ответа |
|
на вопрос: какую матрицу следует взять в качестве G?
Позже будет показано, что при некоторых условиях матрица G может быть однозначно определена на основании вероятностных сведений о векторе Д.
§38*. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПОПРАВОК
ИУСЛОВНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ
Метод ортогонализации, изложенный в § 32, можно применить для решения уравнений поправок или условных уравнений по методу наименьших квадратов, т. е. под условием
|
|
|
|
(у, у) = y*Gy = m i n . |
|
|
||
Начнем с уравнений поправок |
у = Вх |
+ |
d, которые запишем |
|||||
в более подробном |
виде |
|
|
|
|
|||
|
|
v = b1x1+b2xz-\-. |
. . + |
b,zr |
+ |
d, |
||
где b1, |
|
і |
— столбцы матрицы В. Проделаем следующую |
|||||
b2, |
. . ., br |
|||||||
замену |
переменных: |
|
|
|
|
|
||
|
х1 |
|
(Ьі, |
ь,) |
( b i . |
br) |
|
|
|
|
(Ьі, |
b i ) |
( b i . |
b i ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X = |
х? |
= |
1 |
|
о |
|
|
(*,-!) |
|
|
|
о |
1 |
|
|
(х,.1) |
|
где выражения вида (р, q) |
обозначения из § 6*. |
110 |
|
Получим уравнение
і; = h (х, • 1) + ( Ь2 ~ ^ M - b x ) (x2 • 1) + . . . +
или, если ввести обозначения (bt-l) |
— |
bt |
|
bt, |
||
v = b1(x1.l) |
+ |
(b2.l)(x2-l) |
+ . . |
. + |
(brl)(xr.l) |
+ d |
(в матричном виде v = |
(В • 1) {х-1) + |
d). |
При этом, как известно |
|||
из § 32, все столбцы |
ортогональны |
столбцу |
Ьх. |
|||
На втором этапе |
решения делается |
замена |
|
|||
1)
(а;2 1)
(*•!) =
1)
1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
1 |
((Ь2 |
• 1). (Ьз D) |
|
((Ьа -1). (Ь2 1)) |
||||
|
|
|||
0 |
0 |
|
0 |
|
Получаются уравнения
|
0 |
|
((ба • 1), {Ъг D) |
" |
( ( V I ) . (&а D) |
• • |
1 |
= Я 2 (а; . 2) .
(^•2)
& - 2 )
(*,-2)
» = |
b1 |
-2) + |
(Ь8 .1) (х2 - 2) + |
(Ь3 -2) (х3 .2) + . . . + |
(6Г -2) («,• 2) + d, |
||||||
где |
введены обозначения |
|
|
о>2) |
|
||||||
|
|
|
<*/-ii)-»ri)-fcya:i|}ft-D |
|
|||||||
(матрично |
v |
= |
(В-2) (х-2) |
+ d). При |
этом, согласно § 3 2 , |
все |
|||||
столбцы (Ьу--2) ортогональны столбцам Ьг |
и ( Ь 2 - 1 ) , а два последних |
||||||||||
ортогональны |
между |
собой. |
|
|
|
|
|
||||
Ясно, |
что |
после |
г — 1 действия получатся |
уравнения |
|
||||||
|
v = |
Ь1(х1 • [г-1]) |
+ (6, • 1) (х.2 • [г-1]) |
+ (Ь3 |
• 2) (х3 |
• [г-1]) |
+ |
||||
|
|
|
|
+ . . . |
+ (bf.[r-l])(x,-lr-l]) |
+ |
d, |
|
(114) |
||
или |
матрично |
у |
= |
(В • [г — 1 ]) (х • [г |
— 1 ]) |
+ d, |
все столбцы |
||||
которых попарно ортогональны. Поэтому для них система нор мальных уравнений (см. § 6*)
(В • [г — 1] * G (В • [г - 1 ]) (х • [г — 1 ]) + (В • [г — 1])* Gd = О
принимает вид |
Фі, &]) (*1 • [ Г - U ) = |
- ( & ! , d |
) . |
|
|
|
|
||||
(Фг-І), |
(bi-i))(xt.[r-l]) |
|
= -((bi-i), |
d), |
|
((68 . 2), (Ьа • 2)) (х3 |
. [г— 1]) = -((fea • 2), d), |
|
|||
((Ьг • lr-D), |
Фг -[г-і ])) («г • [ ' — ! ] ) = - |
(Фг -[г-і]), |
d). |
||
Отсюда сразу |
находится |
столбец |
(х- [г — 1]), подстановка |
||
которого в (114) приводит к искомому столбцу |
v. Если нас интере |
||||
суют исходные неизвестные а, то следует еще проделать обратный ход по схеме
|
x = |
ff1Ha...Hr_1(x.[r-\]}. |
о |
Стоит заметить |
[10 ], что матрицы |
||
II . . . о |
о |
. . . |
|
. . . 1
. . . 0
0 . . . 0
получаемые с матрицами
((bi- І*-і]), |
(bui-l « - Ш |
((Ьг lt-И). |
(br [i-l])) |
(Фі [<-1]). |
{br[i - і ] ) ) |
Wi [i-i]). |
(bi [ ' - ! ] ) ) |
1 |
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
в процессе |
ортогонализации, |
целиком |
совпадают |
|
. . . |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
л |
• [ * - ! ] ) |
№ • [ ' - 1 ] ) |
||
<?г = |
|
|
|
|
(btbi-[t-l]) |
|
. . . |
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
. . . |
0 |
0 |
|
1 |
|
получаемыми при решении по "методу Гаусса нормальных |
уравне |
|||||
ний, составленных по исходным уравнениям |
поправок. Иначе |
|||||
говоря, |
1 |
|
|
|
|
|
при всех |
І. |
И), ( V [ * - l ] ) ) |
= |
|
(И5) |
|
|
|
|
|
|
||
При і |
= 1 это видно непосредственно. Предположим, что (115) |
|||||
верно при і = к, |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
& • [ * - ! ] ) ) |
= (&*&/•№-!])• |
(US') |
|
Покажем, что тогда |
(115) верно |
и для і = |
/с -}- 1 (а |
следова |
||
тельно, и для всех г). |
По определению |
|
|
|||
<vч - і * - ї ї ) - Ш ^ М ^ т <ь'1 4 " »п.' >*•
Так что, учитывая (115'),
(&, • к |
) . |
[к- I D - |
(bk+l-k) |
= |
(bk+1.[k~l])- |
|
|
(uftbfc-[A—І]) |
Отсюда получаем
- • т е т й і г « * * ; [ * - і ] ) . ( й і - [ * - і ї ) ) -
(bkbr[k-i])
(****•[*—і])
или, опять учитывая (115'),
((Ьк+1-к), |
(brk)) = |
(bk,1br[k-l])- |
(6*6*+i •[&-!]) |
|||
(6*6* |
• [ * - ! ] ) |
|||||
|
|
|
|
|||
Но по |
определению |
(bk+1bfk) |
(см. §8*) это |
и означает, что |
||
( ( W * ) , (br*)) = ( W > r * ) -
Это равенство устанавливает тесную связь метода Гаусса решения нормальных уравнений с методом ортогонализации урав
нений |
поправок. Но |
с |
точки зрения вычислительного процесса |
||
эти методы имеют существенное различие. Вычисление |
матриц |
||||
Q, в методе Гаусса производится по коэффициентам нормальных |
|||||
уравнений, вычисление |
же матриц Hh |
численно совпадающих |
|||
с Q*, |
производится |
по |
коэффициентам |
непосредственно |
урав |
нений поправок. Так что метод Гаусса — это метод решения именно нормальных уравнений, тогда как метод ортогонализации яв ляется методом решения непосредственно уравнений попра вок.
Позже будет видно, что это различие существенно с точки зре ния накопления ошибок округлений при вычислениях элементов
матриц Н,- и Qj. |
|
|
Система условных уравнений А У + |
|
w = О или |
« 1 |
|
|
Щ |
= |
0, |
V + |
8 заказ 2041 |
113 |
где at — строки' матрицы А, ортогонализуется умножением ее слева на матрицы
1 |
0 . . . 0|| |
где
<„,.к )
(аъ |
о.а) |
. |
О |
( « 1 . |
a l ) |
|
|
|
|
||
м 1 = |
|
|
|
( а 1 . |
ат) |
Q |
|
0
1
Mo |
((ga |
• 1), |
(«з • 1)) |
и т. д., |
( ( « 2 |
- І ) , |
( e a - D ) |
||
|
( ( o a - l ) . |
(вш - D) |
|
|
|
( ( « 2 - 1 ) . |
(вз-1)) |
• " " |
|
_ (0J. № _ и)-;;:;:^;»;';::'!:;;;; « . •і*- 1 » . « >*».
Дальнейшие рассуждения могут |
быть проведены по аналогии |
с рассуждениями, рассмотренными |
для уравнений поправок. |
§39*. ГРУППОВАЯ (БЛОЧНАЯ) ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ
ПРИ У Р А В Н И В А Н И И ИЗМЕРЕНИЙ
Метод ортогонализации можно рассматривать как крайний случай более общей процедуры — блочной или групповой ортого нализации. Рассмотрим ее для условных уравнений Аи + w = 0, которые представим, например, в виде
|
|
">1 |
(116) |
А 2 |
V + |
= 0, |
|
A s |
|
w3 |
|
где А, — произвольные горизонтальные блоки матрицы A, a wl — соответствующие блоки столбца w.
Умножим обе части (116) слева на блочную матрицу
|
|
Е |
|
0 |
0 |
|
|
- ( А 2 К А * ) ( А 1 К А * ) - 1 |
Е |
0 |
, |
(117) |
|||
- ( А 3 К А * ) ( А 1 К А ^ ) - 1 |
0 Е |
|
|
||||
где К = G"1 — ковариационная |
матрица. В |
результате |
придем |
||||
к равносильной системе |
|
|
|
|
|
|
|
А х |
|
|
И>1 |
|
|
|
|
I V И |
V + |
|
= |
0, |
|
(118) |
|
I V |
1] |
|
[ U V U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
[ A r 1] = А, - |
(Аг КА*) (AjKA*)"1 |
Ах > |
|
|
|
|
[w, • 1] = w t — (A,KAJ) ( А Д А * ) - 1 |
WX . |
|
|
||
Для (118) нормальные уравнения примут блочный вид |
|
|||||
АХ КА* |
0 |
0 |
II К |
W1 |
|
|
0 |
[ А 2 - 1 ] К [ А 2 - 1 ] * |
[ А 2 - 1 ] К [ А 3 |
1]* |
+ [w2 |
11 |
= 0, |
0 |
[ А 2 - 1 ] К [ А 2 - Ц * |
[ А 3 - 1 ] К [ А 3 |
1]* II |
к3 |
1] |
|
(120)
где ]q — блоки столбца к коррелат. Здесь в первой строке и пер вом столбце на недиагональных местах стоят нулевые матрицы, так как
[А, • 1] КАЇ = [А, - (АДА*) ( А Д А * ) - 1 А х ] КА*. = |
|
||
= А І КА! - (А £ КА*)(А 1 КА*) - 1 (А 1 КА1[) = 0 |
(*>1) . |
(121) |
|
Как видим, после умножения систем (116) слева на (117) полу |
|||
чается система (118), в которой все строки блоков |
[А*-1] |
орто |
|
гональны линейной оболочке L [Ах] строк блока |
А х . |
Тем |
самым |
произведено первое действие блочной ортогонализации.
Такое же обобщение процесса ортогонализации может быть рассмотрено и для решения уравнений поправок.
Применение метода групповой ортогонализации в общем слу чае достаточно громоздко. Но в геодезии часто возникают особен ности в структуре матриц условных уравнений или уравнений поправок, которые могут сделать применение блочной ортогона лизации как раз эффективным. Часто, например, условные урав
нения |
(116) |
можно записать |
так, что уже выполнено условие |
||
A 2 K A J |
= |
0. |
В таком случае |
блочная ортогонализации |
приводит |
к одной |
из |
модификаций |
группового уравнивания |
по методу |
|
И. Ю. Пранис-Праневича [27].
|
Г л а в а |
6 |
|
|
|
|
КВАДРАТИЧНЫЕ |
ФОРМЫ |
|
|
|
|
§ /ІО. Л И Н Е Й Н Ы Е , Б И Л И Н Е Й Н Ы Е |
И К В А Д Р А Т И Ч Н Ы Е |
Ф О Р М Ы |
||
|
Здесь будут рассмотрены некоторые классы вещественных |
||||
функций, определенных на линейных |
векторных |
пространствах |
|||
L n |
[7, 6, 19, 24, 33, 34]. Каждая такая |
функция |
задается указа |
||
нием правила /, сопоставляющего |
с |
тем или |
иным |
вектором |
|
х |
6 L n число а. При этом пишут: а |
= / (х). В отличие от функций |
|||
вещественных аргументов, числовые функции векторных аргу
ментов называют |
формами. |
|
|
|
||||
Функция / (х) называется линейной |
формой, |
если она |
удовле |
|||||
творяет условиям: |
|
|
|
|||||
1) |
/ ( х 1 + х 2 ) = / ( х 1 ) + / ( х 2 ) , |
|
|
|
||||
2) |
/(Хх1 ) = |
Я,/(Хі). |
|
|
|
|||
Например, |
пусть |
правило / с каждым вектором x£Ln |
сопоставляет его г-ю |
|||||
координату |
в |
базпсе |
21, т. е. х; = / (х). По |
пзвестпым |
свойствам |
координат |
||
эта функция |
линейная. |
|
|
|
||||
Существует общее аналитическое правило задания любых линейных форм. Действительно, пусть / (х) — такая форма.
Пусть |
21 = (а х , а 2 , |
. . ., а„} |
— |
базис L n |
, так |
что |
|
|||
|
|
х = |
|
+ |
ж2 а2 + . . . + |
ж„а„. |
|
|
||
Тогда |
по |
свойствам |
1 и |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (х) = |
xj |
( a j + |
x2f |
(а2 ) + ...+XJ |
(ап ). |
(122') |
||
Если обозначать |
aL |
= |
f (аг ), то |
|
|
|
||||
|
|
/ (х) = аххг |
+ а2х2 |
+ . . . + |
апхп = |
ах, |
(122) |
|||
где а |
= |
|| й^, а2, . . ., |
ап |
|| — фиксированная для данной формы |
||||||
строка (коэффициенты формы), |
а х — столбец |
координат |
произ |
|||||||
вольного вектора х (переменные, или аргументы формы). Так что всякая линейная форма имеет вид (122). Строка а называется
строкой коэффициентов этой формы в данном базисе 21.
По свойствам матричных действий легко проверить обратное: всякая функция / (х), заданная в виде / (х) = ах, где х — столбец координат вектора х в некотором базисе, является линейной формой.
При изменении базиса строка данной линейной формы должна
измениться. Пусть х — столбец координат вектора |
х в базисе 21 |
||||
и х' |
— в базисе 21'. Пусть М — матрица перехода от 31' к 21, так: |
||||
что |
х = Мх'. |
Тогда |
|
|
|
|
|
/ (х) = ах = а (Мх') = (аМ) х' = а"х'. |
|
|
|
Так как это верно при всех х, то по теореме 1 а' |
= |
аМ. |
|||
Билинейной |
формой |
называется вещественная |
функция двух |
||
векторных аргументов а |
= / (х, у) такая, что при |
фиксированном |
|||
у она является линейной формой от х, а при фиксированном х — линейной формой от у.
Примером билинейных форм служит скалярное произведение-
векторов евклидова пространства. |
|
|
|
||
Пусть/ (х,у) — билинейная форма в L „ H ? I |
= {at, |
а 2 , . . ., а„} — |
|||
базис этого пространства. Если зафиксировать у, |
то |
по (122'),. |
|||
/(х, у) = г 1 / ( а 1 1 |
у)Ч-z.2 /(a2 , |
у) + . . . + |
s n / ( a „ , у) |
= |
|
|
л |
|
|
|
|
= |
2 *,/(*!, |
У) = |
|
|
(123> |
|
1=1 |
|
|
|
|
где х — столбец координат вектора х в 91, a d — столбец ||/ (аг , у) |[. Но раз а, фиксированы, то по (122')
di = H&i, У) = /(*«•» |
|
+ |
/ ( » ! . |
as )02 + |
- • • + / ( » ! . |
ап)Уп, |
|
||||
или, если |
обозначить Сц — |
/ |
(аг а,), т. е. |
ввести матрицу |
С = |
||||||
|
|
|
|
|
d = Cy. |
|
|
|
(124)- |
||
Сопоставляя (123) и (124), получим общее представление |
|||||||||||
билинейной формы в данном |
базисе в матричном виде |
|
|
||||||||
|
|
|
/(х, |
y) = z*Q/ |
|
|
|
(125) |
|||
и в координатном |
виде |
|
|
п |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ ( * . |
У ) = |
2 |
CiFiVi- |
|
|
|
(125'). |
|
|
|
|
|
|
|
і /=-1 |
|
|
|
|
|
Здесь х ж у — столбцы координат xt и у/ векторов х и у в ба |
|||||||||||
зисе 21, а С = |
|| Сц || = ||/ (а£-, а/) |
|| — матрица, которую называют |
|||||||||
матрицей |
заданной |
билинейной |
формы. |
|
|
|
|
||||
Наоборот, рассмотрим произвольную п X |
тг-матрицу С и опре |
||||||||||
делим функцию / (х, у) векторов х |
и у 6 L n (со |
столбцами |
ж и г / |
||||||||
координат |
в |
условленном |
базисе) |
правилом |
/ (х, у) |
= |
х*Су. |
||||
Эта функция является билинейной формой, так как она линейна,
относительно |
у |
|
|
|
/ (х, а У і . + р У г ) = х*С (аУі |
+ ру,) |
= |
= |
а(г*Су1 )+Р(а;*Су! ! ) = о/(х, |
У і ) + |
Р/(х, у2 ). |
Аналогично проверяется ее линейность относительно X .
И Т
Форму |
/* (х, у) |
= |
/ (у, х) 1 назовем сопряженной с / |
(х, у). |
По (125) / |
(х, у) = |
х*Су |
и, следовательно, с учетом свойств |
транс |
понирования и того, что число при транспонировании не меняется
/ (у, х) = у*Сх |
= |
(у*Сх)* = |
х*С*у. |
|
|
Поэтому /* (х, у) = х*С*у. |
Итак, если С — матрица билиней |
||||
ной формы в данном базисе, то С* — матрица сопряженной |
били |
||||
нейной формы в том же базисе. |
|
|
|
|
|
Билинейная форма / (х, у) называется |
симметричной, |
если |
|||
f (х, у) = /* (х, у). Отсюда х*Су |
= х*С*у |
для всех х |
и у. Тогда |
||
по теореме 1 С = С*, т. е. матрица симметричной |
билинейной |
||||
формы симметрична в любом базисе. Обратно, если матрица С билинейной формы / (х, у) симметрична в каком-нибудь одном базисе, то эта форма симметрична, так как
/(х, y) = :e*Cy = s*C*p = / * ( x , у)
и ее матрица симметрична и во всех других базисах.
Скалярные произведения векторов евклидова пространства дают пример симметричных билинейных форм в L„. Но не всякая симметричная билинейная форма / (х, у) в L n может определять скалярное произведение в нем. Согласно определению скалярного произведения, для этого необходимо еще, чтобы выполнялось
условие |
/ (х, х) i s 0 при всех х £ L n , |
причем |
/ (х, х) |
= |
О лишь |
|||||||||||
при х |
= |
0. |
При выполнении |
этого |
условия |
билинейная |
форма |
|||||||||
в L n |
удовлетворяет |
условиям |
скалярного |
произведения. |
|
|||||||||||
Как видим, для выяснения положительной определенности |
||||||||||||||||
любой билинейной формы / (х, у) нужно |
рассмотреть ее при усло |
|||||||||||||||
вии у = |
х, |
т. е. образовать функцию / (х, х) |
одного |
векторного |
||||||||||||
аргумента х. Ее называют квадратичной |
формой |
в L n . |
В соответ |
|||||||||||||
ствии |
с |
(125') |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ ( X , Х ) = |
2 |
ЪцХр^Ъ-цЗ?! |
+ |
blzx1x2 |
|
+ |
.. .+Ь1пх1хп |
+ |
|||||||
|
|
|
|
і, 7-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~Ь Ъо^Х-^Х^ -f- Ь2гХ\ |
- { - . . . - ( - |
b2l^t^Xn -\- |
|||||||||
|
|
|
|
|
+ |
ЬщХ-^Хп + Ъп2х2хп |
+ |
. . . - ) - Ъппх\ — |
|
|||||||
|
= |
bllX\ |
+ |
2 (Щї^) |
хгхг |
+ . |
. . + |
2 ( - ^ ± ^ 1 ) X l |
x a + |
|||||||
|
|
|
|
|
+ |
b22x\ |
+ . |
• • + |
2 |
( ^±Ь* |
) x,xn |
+ |
||||
1 Символ «=» означает тождественное равенство, т. е. равенство при лю бых значениях х и у.
і 18
Как видим,
/ ( х , х) = / * ( х , х ) = ^ х - * > + / * ( Х "
По (125), в данном базисе
f(x, х) = х*Вх = х*В*х = х* ( Л ± 5 1 ) а ; .
Однако теперь теорема 1 неприменима, так как при фиксирован ном х нельзя взять произвольное х*, и потому отсюда не следует, что В = В* = (В + В*)/2. Кроме того, для данной матрицы В = II Ьц || можно подобрать сколько угодно таких матриц D =
=что выполняется условие
|
|
|
|
В + |
В * |
D + D * |
|
_ |
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ~ ~ L - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для этого нужно лишь, чтобы выполнялись условия |
|
Ъи |
= |
d |
|||||||||||||||
и btj + |
bji = dij + |
djt, так |
что х*Вх |
= |
х* Вх и при этом В Ф |
D . |
|||||||||||||
Итак, существует |
множество |
билинейных |
форм, |
приводящих |
|||||||||||||||
к одной квадратичной форме. Среди них имеется одна |
симметрич |
||||||||||||||||||
ная билинейная форма, так как для любой |
квадратной |
матрицы |
|||||||||||||||||
В сумма В + В* симметрична. Эту билинейную форму |
назы |
||||||||||||||||||
вают полярной |
к данной |
квадратичной |
форме / (х, х). |
Матрицей |
|||||||||||||||
квадратичной |
формы в данном базисе называют матрицу С поляр |
||||||||||||||||||
ной ей билинейной |
формы. Поэтому |
в матричной |
форме |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
/ ( х , |
х)=х*Сх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(126) |
|||
и в координатной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x i х ) = |
cijxixj |
— с 1 \ х \ |
"Г %cizxix2 |
|
Н~ • • • ~Ь |
2,с1пх1хп~^~ |
|
|
|||||||||||
|
|
г, /=1 |
|
|
|
|
—|— С2^рС2 |
I |
. . . |
—J |
QCvflXftX™j (126 ): |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Из (126) при х = |
0 получаем / (х, х) |
= |
0. Если |
/ |
(х, х) |
> |
0 |
||||||||||||
(/ (х, х) |
0) при всех |
х Ф 0, то эта форма |
называется |
положи |
|||||||||||||||
тельно |
(неотрицательно) |
определенной. |
При / |
(х, х) |
<С 0 (/ |
(х, х) |
^ |
||||||||||||
=5 0) для всех |
х Ф |
0 |
она |
называется |
отрицательно |
|
(неположи |
||||||||||||
тельно) |
определенной. |
Наконец, |
форма |
/ |
(х, х) называется |
знако- |
|||||||||||||
неопределенной, |
если |
существует |
вектор |
х1 |
£ L n |
, для |
|
которого |
|||||||||||
/ (хц, х-,) > 0 , |
и вектор х 2 |
|
£ L n , для которого |
/ (х 2 , х 2 ) |
< ; 0 . Соот |
||||||||||||||
ветственно любую симметричную матрицу С называют положи |
|||||||||||||||||||
тельно |
(неотрицательно) |
определенной, отрицательно |
(неположи |
||||||||||||||||
тельно) |
определенной |
или |
знаконеопределенной. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Основная задача данной главы будет заключаться в исследова нии знакоопределенности квадратичных форм или симметричных матриц.