Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2211 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Еп_т =

Ет,

натянутое

на

векторы

а т + 1 ,

. . ., а„ и]

являющееся,

как

известно, линейным

дополнением

подпространства

Ет

до

полного

пространства

Еп,

называется

ортогональным

дополне

нием Ет

да

Еп.

Из (93)

det 335L = 0 и потому по

теореме

Е„-т - L Ет.

Перейдем к рассмотрению линейных многообразий в простран

стве

Еп,

т. е. множеств

векторов

вида

или

х — х1Ъ1

+ ХоЪ2+

. . . +

xrbr-\-d.

x = %x + d,

(94)

где

Й =

{Ьг,

Ъо,

. . .,

ЪГ]

—

заданный

каркас (будем

считать,

что

он

имеет полный

ранг),

d — заданный вектор

(смещение),

а х — произвольный столбец подходящего порядка. Теперь убе

димся,		что операция скалярного произведения, определенная
в	Еп,	позволяет описать то же многообразие другим способом.
	Д	Рассмотрим		ортогональное	дополнение подпространства
L	[33]. Пусть 91 = {аг + 1 , аг + 2 , . .. ., а„}				— базис этого дополнения.
Тогда		по	(93) WS =	0 и потому из (94)
				5lx=5L93z + 5 U = 5 l d ,
где 2ld =			b — фиксированный столбец. Как видим, всякий вектор х
многообразия (94) удовлетворяет условию
				5 U = 6 .	(95)

Напротив, пусть вектор х удовлетворяет условию (95). Раз ложим его по рассмотренному выше базису b j , b 2 , . ., br ,

. . ., a„

			x =	23c +	5lc'.	(96)
Тогда	(95) примет вид
		5 U =	(518) с + (5151) С = Ъ = 51d,
или, так	как 2123 — О,
			(5151) С = 5Xd!			(97)
Теперь		разложим	по тому	же	базису	вектор d
			d =	33d +	5W'.	(98)
Тогда	с	учетом (97)

5 l d = (5151) d' = (5151) С

Так как det (Ж) ф О, то d' = с' и %d' = Sic'. Вычтем (98) из (96). Получим

x = 2 3 ( c - d ) + d.

Это означает, что х принадлежит линейному многообразию (94)

при х — с — d.

Итак, доказана следующая теорема.

Теорема 22. Вектор х принадлежит

линейному

многообра

зию (94)

x = 23z +

с базисом 33 тогда и только тогда, когда он удовлетворяет усло

вию (95)

Six = 6 ,

где каркас 2Ї состоит из базисных векторов ортогонального

допол

нения

[33] до полного пространства Еп,

Ь =

2td.

Уравнения (94) и (95) называют уравнениями

линейного

много

образия

соответственно

в параметрической

неявной

формах.

35. ИЗМЕРЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ УГЛОВ

МЕЖДУ

ПОДПРОСТРАНСТВАМИ

До сих пор были рассмотрены условия, отражающие идею

ортогональности

подпространств

евклидовых

пространствах.

между тем можно

измерять и произвольные

углы между

под

пространствами. Фундаментальную роль в этом направлении

играет следующая теорема.

Теорема 23. Пусть каркасы

31 =

{alt

а2 ,

. . .,

а,„}

{Ъ±,

Ь2 ,

. . .,

bm }

одинакового

порядка

имеют

полный

ранг.

Тогда

справедливо

следующее

обобщенное

неравенство Коши

—

Буняковского

det2 (5133) «S det (5151) det (2323),

(99)

которое

обращается

равенство

тогда

только

тогда,

когда

[31 ] =

[33 ].

По формуле (88)

2133 =

A * B r

2121 =

А*А

3323 =

В*В,

где А

В — матрицы

каркасов

5L и

33 в

ортонормированном

базисе. Отсюда по формуле (63) Вине — Коши

det (5123) =

det А*В =

• • • * » b w ,

. . . 1 п ,

l < 5 i i < £ 2 < . .

.<tm<n

det (5151) =

det A * A =

аі,с"-

• • •

lmattt

Kit

<ij

. . .

<lm4n

det (2323) =

det B*B =

b( , l «

• • • ' т &м,

hit

где числа

a£'<» • • •

ailt,

... l m

Ь'Л • • • lm

btll, ...

опре

деляются по правилу (62) как все возможные миноры т-то порядка

матриц А*, А, В* и В. Применяя

неравенство

(81') Коши к полу

ченным суммам, сразу приходим к неравенству (99). Остается

убедиться,

что

оно

обращается

равенство

лишь

при L

[21]

L [23].

Пусть L \%\ =			L [23]. Тогда по	теореме	18	найдется такая
невырожденная матрица М, что % =				23М или	23 =	21М- 1 .	Отсюда
Ш =	(3123) М	и	2323 = (2331) М " 1	= (ЗШ)* М~\ а			следова
тельно,	*

det (2121) = det (2123) det М, det (2323) = det (2L23) det M " 1 .

Перемножая эти два равенства и учитывая, что det М det М - 1 =

=det (ММ - 1 ) = 1, получим требуемое равенство

det (2121) det (2323) = [det (2123)]2.

(99')

Значительно труднее доказать обратное утверждение: если

справедливо

равенство (99'), то

[21 ] =

[23]. Последнее,

как

мы помним, означает, что если произвольный вектор х

£ L [21J,

то

£L

[23], и

наоборот.

Убедимся

вначале,

что

при т

<.п

6 L

[2І ]

тогда

только

тогда,

когда 1

I а,

X \hlht

• • •

ftmftm+i=

ak.2

O-h.m

Xh,

= 0

актХ

•

O-hmin

ahm+il

аЬт+і1

•

akm+ini

(100)

при

любых

кг,

к2,

. . .,

кт,

кт+1,

удовлетворяющих

условию

кг

< к2 < . . . < кт

fcm+1

sc п

[29 ].

Здесь

aik.

—

эле

менты матрицы А каркаса 21, a xk[

—

элементы

столбца

х коор

динат вектора х в некотором базисе.

самом деле, условие

(100)

по

теореме о

ранге означает,

что

% 1

а 1 2

rang [| A, x|| =

rang ^21 ^22

'2m

Х2

< m +

l .

а„

В то же время столбцы

аг, а2 ,.

. .,

ат линейно

независимы,

так как каркас 31 полного

ранга,

и потому по той же теореме

rang

|| А, х

|| =

rang А

т. Но тогда, как видно было из доказа

тельства теоремы 14 Кронекера — Капелли, столбец х линейно

выражается		через		столбцы	а1,	а0,	. . ., ат.	Это и	означает, что
х	£ L [31].
	Если же дано, что х g L				[ЗІ], т. е. х линейно выражается					через
а1	а2, . . .,	ат,	то	rang А	=	rang	\|\| А, х \|\|, откуда		следует	(100).
Заметим еще,			что	разложение определителя				(100)	по элементам

1 \а, x\k,k'

kmkm+i — обозначение для определителя из условия (100),

последнего столбца приводит, с учетом обозначений (62) для мино ров этого определителя, к выражению

\|а> x\h,k2 • • . hmhm+1=	( — l)m+1xkiab*	• • -йтЬт+і-}- . . .	+
- f	а ^ т + і а М . • • •	й/я.	(101)
Теперь все подготовлено для доказательства того, что из ра"
венства (99') вытекает условие L [2t ] =		L [231.

Пусть справедливо равенство (99'). Это означает на основании условия обращения неравенства Коши в равенство, что имеет

место пропорциональность

чисел

ас,и-

• • • i m

bii1*-

• • l m , т. е.

аиіг

. . . іт

уЦгі,

. . . im

02)

при

всех i l t i 2 , . . .,

iml

таких,

что 1 ^ г\

< • • • < г ' т

n -

По теореме о

ранге не все миноры Фіг

• • • і т матрицы А

равны

нулю, так как каркас 21 —

{а 1 5

а.,,

. . .,

а т }

этой

матрицей А

имеет полный ранг. Поэтому у Ф 0. Из выражения (102) по усло

вию (101) получается,

что

| Д ) х

jft.ft,

. . . hmhm+i =

y\b,

X\hikt

&т'<п

(ЮЗ)

Если теперь х

6 L

[21 ], то по условию (100) | а, хhik, . . . h m f e m + 1 _ _

0. Тогда по

(103)

| b, х \hlh'

• • • V w

0. Но это опять же

по

(100) означает, что

£ £ [ 3 3 ] . Точно

так

же

из х 6 L

[53]

следует х £ L Ш1.

Теорема 23 позволяет определить понятие угла

между

под

пространствами

одинаковых размерностей по

формуле

СОЭф :

Vdet

det (ШВ)

(104)

(9151) det (ЭЗЭЗ)'

При этом угол между совпадающими подпространствами равен нулю. Следствие 1 теоремы 21 вместе с (104) утверждает, что угол между ортогональными подпространствами равен 90°. Так что определение (104) соответствует представлениям геометрической модели V3. Более того, можно заметить, что в модели V3 в орто нормированием базисе миноры

а 1 , 2 =

« п

«12

«21.

«22

«31

«82

«21

«22

«31

«32

«11

«12

для

системы

51 =

{а3 ,

а2 ) являются координатами векторного

произведения

а х

X а 2 ,

так что формула (104) с учетом (63) опре

деляет в

этом случае

угол между

векторными

произведениями

а 2

и Ъх

Ь2

и,

следовательно, между плоскостями L [51]

и L

[33], натянутыми

на каркасы 21 =

{а х , а2 }

и 33

= {Ьх ,

Ь 2 } .

Докажем

теперь

теорему, которая

еще раз

подтвердит,

что

определение угла между подпространствами по формуле (104) согласуется с геометрической интуицией.

Теорема 24. Угол между подпространствами L

и L [23]

равен углу между ортогональными дополнениями L \^Х] и L [S3] к ним.

Д Без ограничения общности будем считать, что каркасы 21 и 23 имеют полный ранг. Выберем в пространстве L n , содер жащем L [21] и L [23], ортонормировацный базис. Пусть в нем

А и В — матрицы каркасов 21 и 23, а 4								л 5	-	матрицы	каких-
либо фиксированных			базисных каркасов					21 и		23 подпространств
L	[21] и L	[23 ]. Так	как	L	[21 ]	L	[21] и		L	[S3] _L L	[53], то
с	учетом	(88")									(105)
		Ж=А*А		= 0 и		2323 =	5	* 5	= 0.		(105)
	Рассмотрим теперь матрицы (в блочном виде)
		А = \|\|І4,	А\\, В =		\|\|£,	В\\ и С = \\А, В

Так как совокупности векторов каркасов 21 и 21 или 23 и 23 линейно независимы в L n и содержат по п векторов, то А, В и CJ— квадратные матрицы и det А Ф 0, det В Ф 0.

По правилам умножения блочных матриц с учетом (105) имеем:

		А*			її	А* А	0
АА = \| А			м . А '=11			о	А*А
в*в =		В*			\\В*В		0	J
в*в =		А*			Ч!	о	А*В1	1
	1В*		\\в,	в			в*в
А*С =		~А*	м .	в\	- \
		~А*			- \	7	А*В\\
		А*\			\\А*В		А*В	І
С*В =		В*\	II в, в\\~1			0	5*51

А отсюда по формуле (60) и теореме 11

det А*А = (det А ) 2 = det A*A det А* А,

det В*В = (det В) 2 = det В*В det В*В,

det А*С = det A det С = det A* A det А*~В,

det С* В = det С det В = det А*В det В*В.

Из этих соотношений следует, что

detC =	d e t A * C
	det А
	det C * B
	d e t B

det A*A	det А*В	Vdet	А*А	detA*B
] / d e t A*A	det A*A	] / det A*A
det AB det~BB		det A*B	] / d e t	B*B
У det BB det 5 5		К det Б*В

или

	det 34*2?	det А*В
	l/det A* A det B*B	>Adet AA det BB '
что	и требовалось доказать. V
	§ 36. ТЕОРЕМА О ПЕРПЕНДИКУЛЯРЕ
	Рассмотрим так называемую	задачу о	перпендикуляре [21,
33,	341. В пространстве Еп задано	r-мерное	многообразие уравне

нием (94)

x= 23a:-f-d

сбазисным каркасом 58 = {Ъг, Ь2 , . . ., Ьг). Найти вектор х этого многообразия, ортогональный к подпространству L [23 1. Такой вектор х называют перпендикуля

ром	к	L [23 ]	в данном	многообразии		Рис. 4
(рис.	4).
По		теореме	20 для решения этой задачи достаточно потребо
вать,	чтобы		23x =	(2323)a: +	23d =	0
или
				(2323) х =	-23d.	(106)

Так		как det 2323 ф 0, то

-(2323)"1(23d).

Подставляя это в (94), получаем окончательное решение задачи

х - -23[(2323)'1(23d)l + d.

Если многообразие задано неявным уравнением (95)

то	задачу	о	перпендикуляре можно			решить так.		Векторы			а1,
а 2 ,	. . ., a m ,		b j , b 2 , . . .,	Ьл каркасов		21 и 23 совместно			образуют
базис в Еп.		Поэтому искомый вектор х можно разложить по этому
базису: х		=	21А: + Ш'.	Так как 23х		=	(2321) k X (2323)		к'	=	0,
2321 = 0 и det (2323) Ф 0, то к' =					0 и,	следовательно,
				х^Пк.						(107)
	Для нахождения столбца к достаточно						подставить	(107)		в (95).
Получим
				(ПП)	к =Ъ.					(108)
Отсюда k = (ЖЩ-Ч и х = П [(ШуЧ						] .

Для фактических вычислений во всех полученных отношениях удобно перейти к матричным представлениям в каком-либо базисе пространства Еп. Пусть G — метрическая матрица, В — матрица каркаса 93, а А ' — матрица каркаса 21 в этом базисе. Обозначим через v и d столбцы координат векторов х и d в этом базисе. Тогда в соответствии с § 27 уравнение (94) цримет вид

v =

Bx + dt

(94')

а уравнение

(106), с учетом

(88) и

(88'),

Так

что

B * G B i = - B * G d .

(106")

x =

—(B*GB)-}B*Gd

y =

- B ( B * G B ) - i B * G d + d.

(109)

Уравнение (95) примет вид (A')*Gv

— Ь

или, если обозначить

А = (A')*G,

Av =

Ъ.

(95')

Также

в соответствии

§ 27 равенство (107)

запишется

как

v =

А'к

или, принимая

во внимание,

что

(А')*

A G - 1

и потому

А '

= G ^ A * ,

v = G~1A*k.

(107')

Уравнение (108) примет вид (A')*GA'/e

или,

так

как

(A')*GA' =

A G - 1 G G _

1 A * =

A G ^ A * ,

Отсюда

(AG-X A*)A: = 6.

(108')

ft = (AG - 1 A*)" 1 b

z J = G " 1 A * ( A G - 1 A * ) - 1 b .

(110)

Отметим следующую связь между матрицами А и В каркасов

% и 23, которые по условию

являются

базисами ортогонально

дополняющих друг друга подпространства L

[21] и L [53] (см. § 34).

По

условию

(93) при

этом 2123 =

и потому

АВ

= 0,

так как

по

формуле

(88)

2123 =

(A')*GB

A G - 1

G B = АВ = 0.

По

след

ствию

3 теоремы

21 (см. § 34), если

В -

r-матрица,

а А —

— т X

п-матрица, то

т +

г = п. Поэтому

в соответствии

§ 26

заключаем, что (94') является общим решением уравнений (95'). В модели V3 известно основное свойство перпендикуляра, опущенного из некоторой точки на прямую или плоскость: он является кратчайшим из всех отрезков, соединяющих данную точку с точками этой прямой или плоскости. Это свойство оказы вается справедливыми в произвольном евклидовом пространстве.

Докажем это.

Д Рассмотрим произвольный вектор х = 23л; + d линейного многообразия и перпендикуляр х = Ъх + d. Тогда х — х =

= 23 (х — х) = 23с, где с = х — х. Иначе, х = х + 23 с и при этом х _1_23с. Поэтому по теореме Пифагора |х |2 = |х|2 X |23с|23г

^	\|х\|2. Отсюда и получаем, что				\|х\| ^	\| х\| для любого х из линей
ного многообразия			(94).	v
	Следовательно, справедливо				следующее.
	Теорема 25	(о перпендикуляре). Если: а) вектор х линейного
многообразия		(94) имеет кратчайшую				длину, т. е. (х, х)	= m i n ,
б)	а вектор х	этого	многообразия ортогонален подпространству
L	[23], т. е.	23х =	0, то	х =	х.
	З а м е ч а н и е .		Стоит	отметить,		что теорема 2 из	§ 6 * яв

ляется всего лишь координатной формой теоремы 25. Но раньше мы были вынуждены минимизировать функцию

\|x\|s = (x,	x) = (23a;+d, 23a:-i-d)	=
= а*$Щх	+ 2а*($д) + (й, d)	(111)

по переменным элементам х1, х'2, . . ., хг столбца х средствами диф ференциального исчисления [в координатном представлении (111) как раз принимает вид (18) с точностью до обозначений]. Теперь аппарат линейной алгебры у нас развит настолько, что для реше ния задачи линейной алгебры обращения к математическому анализу не потребовалось.

§ 37*. О СВЯЗИ УСЛОВНЫХ УРАВНЕНИЙ И УРАВНЕНИЙ ПОПРАВОК; АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Если в задаче о перпендикуляре в качестве пространства Еп рассмотреть пространство столбцов п-то порядка, то выражение (93') имеет структуру уравнений поправок, а уравнение (95') — структуру условных уравнений. Если к тому же в этом простран стве определить скалярное произведение правилом (а, Ъ) = a*Gb, то условие задачи о перпендикуляре (х, х) = m i n становится усло

вием общего принципа наименьших квадратов v*Gv	= m i n ,
а уравнения (106') и (108'), приводящие к решению этой	задачи,
являются нормальными уравнениями метода наименьших	квадра

тов соответственно для уравнений поправок и условных уравне

ний. В этой трактовке теорема 2 из § 6* совпадает				с теоремой 25
о перпендикуляре.
Отсюда на основании результатов предыдущих параграфов
сразу	следует ряд	важных	выводов.
1.	Уравнения	поправок	v = Вх + d должны	быть общим

решением условных уравнений Av = —w и потому по (72) их матрицы должны удовлетворять условию

А В = 0 .

(112)

107

Из § 16 можно усмотреть, что		в действительности уравнения
поправок	и строятся как общее решение условных уравнений.
2. На	основании следствия 2	теоремы	21	матрицы	B*GB
и A G " 1 А*	нормальных уравнений	(106') и	(108')	тогда и	только

тогда не вырождены, когда столбцы матрицы В и строки матрицы А линейно независимы. В этом алгебраически выражается основная причина, приводящая к требованию выбора условных уравнений так, чтобы они не были линейно зависимыми. По той же причине неизвестными уравнений поправок должны быть лишь поправки к необходимым величинам, что обеспечивает линейную независи

мость столбцов матрицы уравнений по правок.

3. Формулы (109) и (110) приводят к одному и тому же вектору У, т. е. с точки зрения окончательного результата методы уравнивания измерений с помощью урав нений поправок и условных уравнений равнозначны х .

Так, средства теории евклидовых про странств дают простую геометрическую трактовку метода наименьших квадратов с вытекающими отсюда следствиями. Более

того, средства теории евклидовых пространств уже достаточно сильны и для того, чтобы попытаться обосновать методнаименьших квадратов.

Вспомним кратко основные рассуждения, связанные с уравни ванием измерений. В сетях измерений возникают уравнения поправок

v = Вх -f- d.

Их можно рассматривать как уравнения линейного много образия с базисом* составленным из столбцов Ъг, Ь2, . . ., Ът ма трицы В, и сдвигом d. Одним из векторов этого многообразия является вектор-столбец (—А) истинных поправок в измерения.

Однако	у нас нет данных, позволяющих выделить этот столбец
из всего	многообразия. Поэтому' все векторы	v можно	допустить
к участию в соревновании стать оценкой для		вектора	(—А). Во

прос состоит лишь в том, чтобы выбрать тот из них, для которого риск сильно ошибиться наименьший; Только до сих пор мы не могли дать сколько-нибудь удовлетворительное математическое определение такого риска. Понятия теории евклидовых про странств предоставляют такую возможность.

Полезно сначала проиллюстрировать основную мысль на модели У3 , пользуясь ее наглядностью (рис. 5).

1 Впрочем, если коэффициенты матриц А и В подсчитаны грубо, так что условие А В = 0 не выполняется с необходимой точностью, результаты уравни вания двумя методами могут заметно разойтись.

Основное качество оценки v для вектора ( — А ) состоит в бли зости этих векторов, которую можно измерять длиной а = | v + А |. Но мы не знаем Д , а потому неизвестна и величина а- В связи с этим можно поступить так. Если бы была известна длина s


вектора	А , то мы знали бы,		что ( — А ) является одной							из обра
зующих	круглого конуса с уравнением \| А \|						=	s и	основанием
на L [В ]. Мы не могли бы только сказать: какой именно										образу
ющей он является. Поэтому если взять в качестве оценки										вектора
( — Д ) какой-нибудь		произвольный			вектор v,		самое худшее, что
можно	представить	— это	вектор		( — А ) занимает				положение
( — Д ) ,	диаметрально	противоположное				по	основанию			конуса
вектору	v. В таком случае о		=	\| v	+ Д \| является максимальным
из всех возможных величин а			=	\| У +		А\|. Существует риск того,
что этот худший или близкий к нему случай может								реализоваться

в действительности. Можно, правда, возразить, что а зависит от s, величину которой мы фактически не знаем. Но какова бы ни была величина s, геометрически из чертежа видно, что для перпендику

ляра	v в данном многообразии а = \| у + Д \| = ^ а , т . е. независимо
от s	вектор v, если принять его в качестве оценки вектора ( — А ) >

приведет к наименьшей максимальной ошибке. Так что указанный способ сравнения оценок v вектора ( — А ) , несмотря на отсутствие знания величины s, вполне удовлетворителен для целей теории уравнивания измерений.

Теперь изложенные геометрические соображения нужно офор мить аналитически с тем, чтобы убедиться в пригодности их для

произвольных евклидовых пространств.
О п р е д е л е н и е .			Максимальной		ошибкой	оценки	v вектора
( — Д ) назовем величину
			0s (y) = max\|u +		A\|.		(113)
			\|A\|=s	,
Из анализа известно 1 , что такой максимум существует в силу
непрерывности \| у		+	А \| как функции Д и			компактности мно
жества тех	Д , для	которых \| А \| =		s.
Теорема	26. Условие (У, У) = m i n				для уравнений		поправок

v = Вх + d приводит к вектору v, для которого максимальная ошибка 0 S (v) является наименьшей при любом s.

ДЛегко найти максимальную ошибку (113) перпендикулярам

к L [ В ] в данном многообразии. Так как						v _ L L	[ В ]	и (v +	Д ) 6
£L	[ В ] ,	то'	( У + Д) и поэтому по теореме Пифагора \| у +						Д \| 2 =
=	\| Д \| 2 —	\|;у\|2	=	s2	— \| у \|2 . Следовательно, \| v		+	А \| не	зависит
от	Д и потому
			as	=	as (у) = max \| У + Д \| =	\| У - ) - А \| .
					І Д І - s


1 В анализе это	утверждение		называется	теоремой	Вейерштрасса.
См., например, Г. Е .	Ш и л о в.	Математический		анализ,	функции одного
переменного, ч. 1—2.	М., изд-во	«Наука», 19S9.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2211 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20232.59 Mб6Дринфельд, Г. И. Квадратура круга и трансцендентность числа.pdf
#
30.10.202337.67 Mб15Дробление и грохочение углей И. В. Пономарев. 1960- 36 Мб.pdf
#
25.10.202315.96 Mб12Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины.pdf
#
30.10.202318.94 Mб8Дроздов Е.А. Основы вычислительной техники, 1961. - 426 с.pdf
#
25.10.202314.65 Mб7Дроздов Е.А. Основы построения и функционирования вычислительных систем.pdf
#
24.10.20239.33 Mб2Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений.pdf
#
19.10.20232.57 Mб1Дроздов, Б. М. Нормативная информация в АСУ лекции.pdf
#
30.10.202328.35 Mб17Дроздовский Б.А. Влияние трещин на механические свойства конструкционных сталей.pdf
#
29.10.20231.76 Mб8Дрочнев Я.Г. Подготовительные работы на подсочке.pdf
#
29.10.20236.06 Mб26Дружинин Г.В. Надежность электрических схем авиационных систем.pdf
#
21.10.20239.99 Mб9Дружинин, В. В. Магнитные свойства электротехнической стали.pdf