Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2219 20 21 22 > Следующая >>>

По теореме 54 при С =			^ВК =	~гВ К получим
\|\| (Л"*) (-Щ		К И =	\|\| (А-1)	(рВ) К \|\| ^		\|\| (АР)	(рВ)	К \|\|.
А это с учетом (185)		и (179) и означает,			что	\|\| К	\|\|	\|\| В"К \|\|.
Тик как согласно		§ 55 норма столбцов совпадает с их евклидо
вой длиной, то, когда К =			к — столбец		и потому В + к и В~ к —
столбцы, выполняется неравенство				\| В +	к] ==; \|В~/с\|.		v
Решение X, = 5	+	К уравнений В Х =			К назовем главным				реше
нием.
Если уравнение	ВХ =		К несовместно, то матрицыX' =						В _ К ,

естественно, не являются его решениями. Но если за меру неудо влетворения произвольной матрицы X ' нужных размеров уравне

нию ВХ	=	К	принимать	норму	невязки, т. е. ЦК — В Х '	\|\|, то
матрица	X	=	В + К менее	всего	не удовлетворяет ему.	Иначе
говоря, имеет место такое утверждение.
Следствие			3.

||К-ВВ+ К||^ЦК-ВВ-К||.

В частности, когда К

= к — столбец,

|fc-BB+ /c|

| /с — BB-fc |.

Мы уже

видели на

стр. 177, что

ВВ~ = В

(рВ),

где В

—

столбцово-невырожденнып

сомножитель

представления

(178):

В =

ВА. Поэтому с учетом (173) К -

В В " К =

[Е —В

(рВ))К

(Ар)

АК,

где L

[Р*]

_]_ L

[R],

& L

[В

] A-

L [В].

частности,

при

[R]

L \В ]

и,

следовательно,

[Р*]

\А*],

имеем:

К — В В +

А-КАК.

Но по теореме 54 при С -

АК

\\(А-1)АК\\^\\(АР)АК\\.

Это

означает,

что

ЦК -

В В +

|| <

|| К

—

В В " К

||. Так

как норма' столбцов совпадает

с их евклидовой длиной, то,

когда

к — столбец и

потому

к — ВВ~ к — столбцы,

\к — ВВ+к\

^\к

— ВВ'к\.

Отметим еще одну особенность главных g-обратных

матриц.

Уже говорилось, что для квадратных невырожденных

матриц

может выполняться условие А* =

А -

(матрица А — ортогональ

ная).

Оказывается,

что для произвольных матриц В условие

В*

В~

не

может

быть

удовлетворено, если В" не главная

обратная. Иначе говоря, справедлива такая теорема.

Теорема 55. Если для

матрицы В и g-обратной к ней

В"

вы

полняется

условие В* =

В - , то В" =

В + .

Это утверждение, очевидно,

вытекает из определения

глав

ных ^-обратных матриц, так как ВВ*В

В по условию, что В*

В",

(ВВ*)* =

ВВ*

и (В*В)* =

В*В

— по правилам

транс

понирования,

Матрицы В, для которых В* =

В +

, естественно назвать

g-opmo-

гоналъными.

§66*. ЛИНЕЙНЫЕ Ф У Н К Ц И И СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Если

вектор

х =

\\хх, х2,

. . .,

хт, хт+

ц . . . ,

хп\\*

имеет

распределение

плотностью

вероятностей

(хх,

х2,

. . .,

хт,

хт+ і, • • ., хп),

то

плотность

вероятностей

(хх,

х2,

. . .,

хт)

•определяется в теории вероятностей

[4] как

р (хх, х2, . . ., жт) =

J . . . J р

(х1,

х2, . . ., хт,

хт+1,

. . ., хп)

dxm+1.

. . dxn.

(189)

-оо

Тогда, согласно (139) и (189), математическое ожидание эле-,

ментов вектора	\|\|ж1( х2,		. . .,	хт \|\|*
&i — ^	. . . ^ Х{Р {хх-, x2l			. . ., Хцї) dxx		dx2	. . . dxm —•
-oo
+oo	Г	+ oo
J . . . J a ^ \|		J • . • § P (^i,			2%, • .' •, £mi		xm+ii • • •> xn)
	y.dxm+i,.		. .,	dxn	dxx . . .	dxm.

Так как xl (і — 1, 2, . . ., лі) не зависит от переменных вну треннего интегрирования х т + 1 , . . ., хп, то его можно внести под этот интеграл, и тогда по правилу последовательного вычисления кратных интегралов

	+0О
	- со
			X cfo^	»	.	. dXfli	. . .	dxm
т. е. элементы а(		(i =	1,	2,	.	. ., т) математического					ожидания
вектора	\|\| хх, х2,	. . .,	хт \|\|* совпадают с соответствующими по но
меру элементами		щ (г: = 1,			2, . . .,		т,	т -f- 1,		. . ., п)	математи
ческого	ожидания	вектора			Ца^, х2,		. .	., хт,		хт + 1 , .	. ., х„ \|\|*.
Рассмотрим теперь элемент kl}(i,							/	=	1, 2,	. . ., т)	ковариа
ционной матрицы вектора				\\хх, х2,			. . .,	хт	\\*.	Рассуждая вполне
аналогично предыдущему,				получим
	+оо
кЧ~	I ' • • J	~~а ' ) (ХІ ~~ад Р ^ 1 ' Ж а ' • • •' Хт) d x l - • • dxm =

1 -00

+00 .

=J . . . J f a — flfcHar/ — а у ) Х

т со						dxx	• , •• dXffi —'
X						dxx	• , •• dXffi —'
J • -	• J	Р (3"1>	• • ч xmi 3-rn+lj	• • ч ^п)	• • •	dxn
- оо
		ТОО
=	J	. . . j	(з,— щ) (Xj —	afipfa,	. . ., xm, xm+1,	. . .,	x„)x
		- c o

X dxx . . . dxm

. . . dxn,

т. е. элементы

кц

(i, 7 =

2, . . ., m)

ковариационной

матрицы

вектора

\\xx,

x\,

. . .,

И* совпадают

соответствующими

по

индексам

элементами кц (і, / =

1, 2, . . ., m, wi-f-1,

. . .,. п)

ковари

ационной

матрицы

вектора

Ца^,

ж2 , . . ., хт,

х1П+ х,

. . .,

a?rt

||*.

Пусть л; =

\\xlt

Хо,

. . .,

, хп

||* имеет распределение с матема

тическим

ожиданием

а — ||а1? а 2 , . . ., ап

|| и

ковариационной

матрицей Кд. =

\\k{j\\

или весовой матрицей К*1

Рх

|| тп^ \\.

Каковы

математическое ожидание и ковариационная матрица

для g

\\ух, у2,

. . .,

у,п ||*, где

m <Сп, связанного

с х

отноше

нием у —

Ах со строчно-невырожденной m X гг-матрпцей?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим сначала преобра

зование с квадратной невырожденной матрицей

у' =

Ах = | | ^ | : г ^ | ,

(190)

где Я* и t удовлетворяют условию теоремы 47. Для такого

случая

в § 46* установлено, что случайный вектор

\\ух,

уг,

. . ,

Ут*

*т+ !•>••••> tn

II*

имеет

ожидание

(тео

математическое

рема

32):

Аа

1 Ъ ||

и ковариационную матрицу (теорема 34):

К , = АК,А* =

|| А

\АКХА*

AKXR

(192)

Кх\ А*, ^ || =

| д #

к .

Ф К

„

Отсюда математическое ожидание и ковариационная матрица

вектора

у — Ах получаются

как

Ш(у) =

АМ(х)

КЯ=АКХА*.

Так что правило, полученное в § 46* для полного невырожден ного преобразования Ах случайного вектора, сохраняется и для его преобразования Ах с прямоугольной строчно-невырожденной матрицей.

В частности, для линейной функции

У = с1х1 + сгх2+ . . . + спхп = с*х

математическое	ожидание	М (у)	и	дисперсия			D (у)		случайной
величины у определяется как М			(у)	— с*М		(х)	и D	(у)	=	с*Кхс.
Свойство М (у) = AM		(х) называется			свойством				линейности
математических	ожиданий.
Рассмотрим	теперь случай,		когда		х =	\\хи		х2,	. . .,	хп \|\|*

распределен нормально с математическим ожиданием а и ковари

ационной матрицей				К.х.	В	§ 46* было доказано, что и вектор
Ах	(det Агт^ 0)		распределен			нормально. Будет ли это верно для
вектора		у =	Ах,	когда		А — строчно-невырожденная т	X
X	?г-матрица?
	Для	выяснения		этого	вопроса выберем в (190) матрицу		R*

так, чтобы она была фундаментальной матрицей решений уравне

ния AKxz

0. Тогда в (192) AKXR

0 и R*KXA*

= (AKXR)* =

и Kyi принимает более простой квазидиагональный вид

•

1АКХА*

к ,

Поэтому

К " '

R*KrR

к ,

det Ку> =

det Ку

det К,;

det РИ> = det Ру det Р<;

II {У - Ь ) * ,

(* -

с)* || Ру, JVt

2] J =

(У -

Ъ)* Ру (y-b)

+ (t- с)* Р,

(t—c),

и, следовательно,

по

(135)

Р ІУі> Уг> • • -і Уті

• • •> tn) —

- V -

d e t p

(У-Ь)* Ру (и-ЬНУ-с)* Р, (1-е)

(2я)

= '

—

і / d e t P

(У-Ь)* Р„(1/-Ь) •

(1.-е)* Р, (1-е)

- " "

л [

d e t l .

~~ V

( 2 л ) т в

. - ^ . . р (

(Ы)п-т

Здесь существенно то, что плотность разбилась на два множи теля, один из которых зависит только от у, а другой только от t. Поэтому при интегрировании по t в прямоугольной области мно житель, зависящий от у, выносится за знак интеграла, т. е. со гласно (189)

	p—Z —		\а(У-/-Ь)*^ у \Я Рц Ш-Ь)
р(Уп ft, • •.. ym) =	(2я)"		*
р(Уп ft, • •.. ym) =	V~^r	6	*	х
+оо	(t-c)*	P .	(t-c)
П

+ ОЭ	p	U-c)*V,{l-c)
	p	*

так как слева стоит вероятность J • • -§р (t,n+ 1 ( . . ., tn) dtm+ г

—СО

. . . dtn попадания во всю область изменения нормально распре деленного случайного вектора Ц * ш + і , • • •, tn \\*. Поэтому окон чательно получаем

d e t P ,,	„	^
{2л)т	Є	2

Ответ на поставленный вопрос оказался положительным.

§ 67*. ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ФИКСИРОВАННОГО ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ

Пусть требуется найти решение х = —Ajfw системы уравне ний Ах -f- и) = 0 со строчно-невырожденной матрицей. Рассу ждая, как в § 56*, придем к неравенству

•«slUIIIIA?

оценивающему связь относительной ошибки решения х с относи

тельной ошибкой отыскания Ajf.					При этом число		\\А \\\\Ар \|\| s»
^ 1. Его естественно			считать		числом обусловленности					системы
Ах	= w относительно		фиксированного			псевдообращения			А~у. Здесь
для	разных	фиксаций	псевдообращения получаем					разные числа
о бусло вленно сти.
	По теореме 54 при С = Е из условия L \Р\ф						L	[А]	вытекает
неравенство		[\|<;\|\|ЛрЕ		\|\| и, следовательно,				\\А \|\|		\|j^1_ 1 (\| <Г
<	\\А \|\| \\Ajf \|\|. Оно утверждает,					что обусловленность				системы
Ах	-\- w = 0	относительно		главного		псевдообращения				наилуч-
ffiW.	ОГСЩЯ ЗЩВО, WG 0№&ЄИШ№9					ШВД&обЩЩЗШй,- Рхличных

от главного, идеальной-обусловленности быть не может, так как иначе было бы || А || WA'1 || < 1 .

Относительно главного псевдообращения идеальная обусло вленность может быть при том и только при том условии, когда АА* — к2Е (А g-ортогональна с точностью до произвольного мно жителя). Действительно, по свойствам 2 и 1 псевдообратных

матриц	(см. § 60)
	(АА*)'1	=-- у . (A) AS = (4-і). (А-*).
Поэтому	по (158)
	«А ЦІ А-Ц	= /\|\| АА* «I (АА*)~Ц = / - ^ щ ? ,	(193)

где Х{ — собственные числа положительно определенной матрицы АА*. Дальнейшие рассуждения проводятся точно так же, как при доказательстве теоремы 43. Относительно главного псевдо-

обращения остаются справедливыми и теорема 44, а также заме чания об улучшении обусловленности.

Одна тонкость. Из теоремы 55 следует, что главное и только


главное решение уравнения Ах				+	w = 0 можно отыскивать мето
дом	ортогонализации.		Ранее	(см.	§ 38*)	отмечалось, что		метод
ортогонализации дает решение непосредственно							уравнении Ах		-(-
-\|- w — 0		по принципу наименьших квадратов. Методом же Гаусса
решаются		нормальные уравнения			АА*к	+ w =	0. Из (193) еле-
дует,	что	\\АА* \|\| \|\| (АА*)-1		\\=(\\А		\|\| \|\| А - 1 \|\|)2, т.		е.	обусло
вленность нормальных уравнений всегда не лучше обусловлен
ности условных уравнений относительно главного псевдообраще
ния.	А	при больших	числах		\\А \|\| WA'1		\|\| обусловленность

нормальных уравнений значительно хуже обусловленности услов ных уравнений [10] .

( 1 9 6 )

Г л а в а 9

ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ, ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПРИБЛИЖЕННОГО УРАВНИВАНИЯ

§68*. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ И ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПОДХОДЫ

КРЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ УРАВНИВАНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

Ранее	(см. § 3 7 * ) уже	было	дано	алгебраическое обоснование
метода наименьших квадратов			как	задачи о	перпендикуляре
в базисе	с произвольно	заданной метрической			матрицей G. Это

обоснование можно повторить в несколько иной форме, используя

псевдообратные

матрицы.

По

теореме

4 7 произвольное

решение

v—Вх-\- d

системы

условных уравнений

Av +

w =

(согласно § 3 7 *

оно

предста

вляет

собой систему

уравнений

поправок)

можно

рассматривать

как решение полной системы уравнений

—

ы> II

\-В

( Ш )

II R

А II

где ~£В — фиксированное

псевдообращение

матрицы В

системы

уравнений поправок, а блок-столбец х может принимать все

возможные значения. Из ( 1 9 4 ) получаем с учетом									( 1 7 4 ' )
	А	— w \|\|			w	-	-AP*w		+ Bx.		( 1 9 5 )

		х	\|\|=	И ? '	В

где Р — фундаментальная				матрица решений				системы		R*z = О,
и потому по ( 7 2 ) PR =			0 . В частности, при некотором неизвестном
нам значении х0 блока			х должно		получиться			решение			v — — А ,
где Д —	столбец истинных ошибок, т. е. по ( 1 9 5 )							— А =		—A P *w +
-f- Вх0.	Если здесь отбросить неизвестный						столбец Вх0			и	принять

за результат уравнивания столбец

v=-APew,

то его отличие от — А будет А v = —Вх0, где по (194) при х — = х0 и, следовательно, при v — — Д х0 = дЕ Б (— Д) . Поэтому окончательно


		-	( А + v) =		Вх„	х й = -	R-ВД.		( 1 9 7 )
Так как PR	=	0 ,	то из ( 1 9 6 ) с учетом ( 1 6 5 ' ) и ( 1 6 5 " )						видно, что
-~&Bv	=	-ABAP*w =			{R*B)'i	RP {AP*)-iw		= 0 .
Поэтому, умножая				уравнение		поправок	у =	Вх	- f d слева
на R * B , получаем		0 =		^ВВх	+ ^Bd	= х -f- ~j£Bd.

Следовательно, решению (196) условных уравнений отвечает решение

уравнений поправок.			x'=--£Bd							(198)
уравнений поправок.
Из тождества А +		v =	( А + v) +			(v —	v), где v = А^Ь-1			w—
перпендикуляр к	L	[В],	по	неравенству			треугольника		следует,
что а = \| А + у \| ^ \| А + у				\| +	\| v — v \ и потому
c s (у)	=	max	\| У + А \| =		\| Д - Ь У 1 + \| У — У I.
		І Д І - s
Величина as{v)	принимает			наименьшее			значение	при	v	= v.
Поэтому псевдообращение A^G-i					или ~QBB		приводит	к	наилуч
шему решению задачи уравнивания						измерений в алгебраическом
смысле. Но неоднозначность выбора						G ведет к тому, что на				этом

уровне обоснования задача уравнивания измерений не имеет един ственного решения.

решению

задачи

уравнивания

можно

подойти

по-

другому, если считать вектор — А частным

значением

случай

ного

вектора

1162,63,

. . ., 6„|| *• с

заданной

плотностью

вероятностей

р ( б 1 (

6 2 , . . ., 6„). Тогда и ха

из

(197)

будет

част

ным значением некоторого случайного вектора

£ =

Ц^,

| 2 , . .

£г ||*,

где І=~£ВЬ.

Поэтому

плотность

PR{1±,

£3,

• - -, 1Г)

будет

определяться

плотностью

р ( 6 l t 6 2)

• • •> б„)

фиксацией

її В. В

связи

с этим естественно выбрать

такую

фиксацию,

при

которой

вектор

| наименее

случаен, т. е.

лучше

векторов,

отве

чающих другим фиксациям, фокусируется около некоторого

постоянного вектора с. При этом естественно желать, чтобы с=	0 ,
так как ему по (197) будет отвечать нулевой столбец Вс =	О,
около которого будет фокусироваться столбец А + v.

Этп соображения высказаны пока лишь на интуитивном уровне. Чтобы они могли быть сформулированы как математическая задача, нужно уточнить многие моменты.

§69*. СРАВНЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ИСЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ

Как понимать большую или меньшую случайность вектора или величины?

Для случайной величины х распространенным приемом яв ляется сравнение вероятностей

a+t

ФР (0 = Р (I ж — а j > < ) = 1 — J p(x)dx

a-l

непопадания в произвольную ^-окрестность математического ожи дания а. Функцию фр (і) назовем функцией рассеяния величины х. Она зависит как от t, так и от плотности р (х). Если для двух

распределений с плотностями рг	(х)	и	р2 (х) неравенство cpPl (t) <
< Фр2 (t) выполняется при всех	t,	то	первое из них задает менее

случайную, т. е. теснее группирующуюся около своего матема

тического		ожидания,	величину.
Д	Для	нормальной случайной			величины			с плотностью
			р (X) =	1	<£-аГ
			р (X) =	у=	Є	2°3
функция рассеяния			w	а У2л
функция рассеяния						(х-а)
						(х-а)
		^ t )	= i - v m { ae-t ~			2°'	d x -
Если произвести замену переменных у							=	(х — а)/а,	то dx =
— ady.	При х = а —		t у =	—t/a,	а при х		=	a - f t у =	t/o• По
этому,	учитывая четность функции е'у1",					имеем:
			t_					t_

Так как подннтегральная функция положительна, то интеграл монотонно возрастает с возрастанием верхнего предела интегриро вания. Он же при заданном значении t монотонно убывает с воз растанием а или а 2 - V

Итак, доказана теорема.

Теорема 56. Из двух нормальных случайных величин та и только та менее случайна в смысле функцпп рассеянпя, у кото рой дисперспя меньше.

Если р (х) не принадлежит к классу нормальных распределе ний, то проследить характер изменения функции срр (t) в зависи

мости	от	изменения функций плотности р (х) очень	трудно. Но
в теории		вероятностей доказывается следующее	неравенство
Л. Л.	Чебышева:
		Ф р ( 0 = Р ( \| х - а \| > г ) ^ ,

справедливое для любого распределения р (х) с математическим

ожиданием а	и дисперсией а 2 .		Из него	не	следует уменьшение
Фр (t) с уменьшением а 2		при	заданном	t.	Но	гарантированная
неравенством	Чебышева	верхняя граница а 2 / £ 2				функции рассея

ния при этом, очевидно, уменьшается. Поэтому сравнение случай ных величин по дисперсии имеет некоторый смысл и для произ вольных распределений, если только для них существуют мате матическое ожидание и дисперсия (т. е. несобственные интегралы, определяющие математическое ожидание и дисперсию, сходятся). Но, конечно, сравнение случайных величин по дисперсии имеет более слабый смысл, чем сравнение по функции рассеяния.

Перейдем к сравнению случайных векторов. Здесь тоже можи о бы рассмотреть функцию рассеяния

Р (\| ж — a\|> £ ) = l — j . . . \| р(хх, х2, . . ., xn)dxxdx2	. . . dxn,
Iх-а I < *

где I х — a I — евклидова длина в ортогональной метрике (так как интеграл берется в ортогональной метрике) отклонения х — а вектора х от математического ожидания а. Но даже для нормаль ных распределений она не имеет сколько-нибудь простого выраже ния через ковариационную или весовую матрицу.

А. А. Марковым [25, 20] предложен другой путь сравнения случайных векторов по вероятностям

mp(bx, Ъ2, . . ., bn, t) = V 2 bite — at) >t

непопадания значений любой линейной формы от случайного век

тора х — и в произвольную

if-окрестность нуля. Функцию тпр(Ь1,

Ь2,

• . .,

bn,

называют

функцией

Маркова.

частности,

если

для любого

фиксированного

принять

І, =

1 и

Ь; =

0 при

всех

/ Ф

і, функция

Маркова

совпадает

функцией рассеяния

для

г-й координаты вектора

\\хх, х2,

. . .,

хп\\ *.

Если

для двух

случайных векторов с плотностями вероятно

стей

рх

(хх,

х2,

. .,

хп)

р2 (хх,

х2,

. . .,

хп)

неравенство

mPl (bx,

b2,

. .

bn,

<іпгРг

(bx,

b2,

. . .,

bn,

выполняется

при всех bx,

b2,

. . .,

и t,

то первый из этих векторов считается

менее случайным, чем второй. В этом случае и каждая

компонента

у первого вектора менее случайна в смысле функции рассеяния,

чем у	второго.
д	Если вектор х	= Ца^, х2,	. . ., хп\\* распределен				нормально
с математическим ожиданием			а = \\ах, а2,	. . .,		ап\\* и ковариа
ционной матрицей К;., то по результатам				§ 66*		линейная		функ-
п	(ХІ — аі)—Ь*	(х — а) распределена нормально с нулевым
ция 2
математическим ожиданием и дисперсией				а 2	(Ь,	Кх) =	Ъг~КхЪ. V
Поэтому с учетом теоремы 56 получаем следующее.
Теорема 57. Из двух нормально распределенных							случайных
векторов с ковариационными			матрицами	Кх	и	К 2 первый		будет

менее случайным в смысле функций Маркова тогда и только тогда,

когда b*Kxb		-<b*K2b		при	всех Ъ.
Если	р (хХ1		х2, . . .,	хп)	не	входят в	класс нормальных	рас
пределений,		то	справедливость			теоремы	57 утверждать нельзя.
Но если	в	неравенстве		Чебышева (см.			стр. 188) принять	х —
п

— а = 2 °i (xi — аі)' т 0 согласно результату в § 66*, дисперсия

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2219 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20232.59 Mб10Дринфельд, Г. И. Квадратура круга и трансцендентность числа.pdf
#
30.10.202337.67 Mб25Дробление и грохочение углей И. В. Пономарев. 1960- 36 Мб.pdf
#
25.10.202315.96 Mб22Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины.pdf
#
30.10.202318.94 Mб18Дроздов Е.А. Основы вычислительной техники, 1961. - 426 с.pdf
#
25.10.202314.65 Mб15Дроздов Е.А. Основы построения и функционирования вычислительных систем.pdf
#
24.10.20239.33 Mб9Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений.pdf
#
19.10.20232.57 Mб4Дроздов, Б. М. Нормативная информация в АСУ лекции.pdf
#
30.10.202328.35 Mб25Дроздовский Б.А. Влияние трещин на механические свойства конструкционных сталей.pdf
#
29.10.20231.76 Mб9Дрочнев Я.Г. Подготовительные работы на подсочке.pdf
#
29.10.20236.06 Mб30Дружинин Г.В. Надежность электрических схем авиационных систем.pdf
#
21.10.20239.99 Mб13Дружинин, В. В. Магнитные свойства электротехнической стали.pdf