Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Непосредственно из основных свойств (аксиом) скалярного произведения получаются такие свойства произведений каркасов:

1)	2Ц№3) = Ц2133),
2)	21 (23 + <£) = 2123 + Ш,

3)2X23 = (3321)*,

4)2I(23C) = (2t23)C (С —матрица).

Свойства			1—3	проверяются			элементарно.		Проверим		свой
ство	4. Пусть ЗЗС =			2) = {dj, d 2			, . . .,	d; }! По определению,			d.- =
k
— 2	cjfo-	Тогда матрица				F =	21 (03 С) = 213)			имеет своими
элементами			числа
		/// = (*/,		d y	) =	а „ 2 с / £ Ь 4		= 2 t y ( a j ,		Ь,).
					\	«-і	/	І=І
Но это и означает, что					F =	(2Г23) С.
Из свойства 3 как следствие вытекает, что матрица вида											21 21
является		симметричной.
Рассмотрим теперь					(3IC) 93. По свойствам				3 и	4, а также по
свойствам умножения и транспозиции матриц получаем
	(21Q23 = [23(ВД]* =					[(2321)С]* =		С* (2321)* = С* (2123).
Итак,		справедливо			свойство
					(21С) 23 =		С* (2123).				(85)

§31. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СКАЛЯРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ

ВДАННОМ БАЗИСЕ

Пусть в евклидовом				пространстве				Еп	задан базпс		$ = {кг,
к 2 , . . ., к л } .	Тогда		произвольные				векторы а и Ь этого				простран
ства можно задать столбцами координат									а =	\|\|alt а 8 ,	. . . , ап\\*
ж b — \\ bt,	b2,	. . .', bn\\* в			этом		базисе.		Это	означает,	что а = Ra
и b = Stb. Отсюда			по доказанным выше						свойствам
		(а, Ь) = (Йо,				Щ	=	а*(ЩЪ.
Приняв	обозначение
					tfft	=	G,				(86)
получим выражение скалярного произведения двух векторов
				(a,	b) =		a*Gb				(87)
через столбцы а и 6 их координат и матрицу
			(къ	к,)	(кг,	кв ) . . .			(к1 ;	К)
	G	= =	(кв,	k i )	(к2 ,	к2 ) . . .			(кц,	кп)
			(к„,	kj.)	(кП 1	к2 ) . . .			(к„,	к„)

которую называют метрической матрицей базиса Я. Из свойства 3 произведений каркасов видно, что метрическая матрица является симметричной, а из свойства 4 скалярных произведений следует, что она положительно определена.

Аналогично можно рассмотреть представление произведения 2193 каркасов в данном базисе Я. В самом деле, пусть

£1 = ЯА, 23 = ЯВ, где А и В — матрицы каркасов 21 и 93 в базисе Я. Тогда

т.	е.	£123 =	(ЯА) (ЯВ) = А* (ЯЯ) В,
			£123 = A * G B .			(88)
	В	частности,
			$ lb = A*Gfc,			(88')

где	Ъ — столбец координат вектора Ь в базисе Я.
	Наиболее простой вид выражения (87), (88) и (88') приобретают,
когда		G = Е, т. е. когда	базисные векторы обладают свойствами
		(k„	k.-)=	( 0	при	іф)
				,	v	. .
			; /	( І	при	і==].

Это значит, что всякие два вектора такого базиса ортогональны и по длине все они равны единице. Такой базис называют ортонормированным. Координаты векторов в ортонормированном ба зисе называют декартовыми координатами. В ортонормированном базисе

и	(а, Ь) = а*/3		(87')
и	5193 = А*В.		(88")
	5193 = А*В.		(88")
Если	(к,-, к;-) = 0 при і Ф ]' и (kt-, к; ) =	р{	(по свойству 4 ска~
лярных	произведений, очевидно, pi > 0 ) ,	т.	е. метрическая ма

трица G диагональная, то базисные векторы ортогональны, но их длины YPi произвольные, отличные от нуля. Такой базис назы вают ортогональным.

Раньше было показано, что выражение (77) с любой положи тельно определенной матрицей задает скалярное произведение в Rn. Теперь из (87) видно, что и, напротив, всякий способ зада ния скалярного произведения можно представить в виде. (77). Этому можно дать важное геометрическое истолкование. В раз говоре об изоморфизме линейных пространств упоминалось, что всякий столбец га-го порядка можно трактовать как координаты вектора произвольного пространства L n в некотором базисе. Разумеется, один и тот же столбец будет характеризовать разные векторы, если рассматривать разные базисы в L n . С другой сто роны, в этой трактовке нет никаких указаний на то, какой же

базис в L n следует иметь в виду. Если же наряду с пространством L n иметь в виду положительно определенную матрицу С, то это можно понимать так: столбцы из Rn являются столбцами коорди нат векторов из L n , но уже не в произвольном базисе, а в таком, для которого метрическая матрица G = С. Так что матрица С

определяет взаимное	расположение таких базисных	векторов.
В частности, при С =	Е базисные векторы Еп мыслятся	попарно

ортогональными и имеют единичные длины. В этом случае, как

уже	сказано,			п
				п
		(а,	Ъ) = а*Ь= 2 А		Л	=	IаЬ],
где	[a b ] — гауссов		символ	суммы		попарных			произведений.
При С = Р,		где Р — диагональная			матрица			с неотрицательными
элементами		= 0,	если і Ф	j , и ра		=	pt	> 0 ) ,	базисные век

торы мыслятся ортогональными, но не нормированными по длине.

При	этом	п.
		п.
	(а, Ъ) = а*РЬ = 2 Pflibi		— [pa b],
		i-l
где	[pa b]— гауссов	символ суммы произведений трех		ч и с е л 1 .
Как видим, символ		(а, Ь) скалярного	произведения двух век
торов не нужно отождествлять с символом [ab ] гауссовой				суммы.

Они имеют одинаковый смысл лишь при дополнительном условии, что числа а{ и Ь[ рассматриваются как координаты векторов а и b в ортонормированном базисе. В произвольном ортогональном

базисе

символ

(а, Ь) уже тождествен символу [pa,

b ]; для

описа

ния же (а, Ь) в более общем случае выбора базиса

гауссову

сумму

можно написать в виде

[Ga Ъ], понимая ее как сумму произведе

ний элементов столбца Ga на элементы столбца Ъ.

заключение

рассмотрим

следующую

задачу.

Пусть

и 5t2 — Д в а

базиса в Еп

и М — матрица перехода от $ 2

По

теореме 18

Какова

тогда

связь

между

метрическими матрицами

G x

и G 2

= $ 2

$ 2 ? Очевидно,

Итяк

Gx =

= ( £ 2 М) ( £ 2 М) = М* ( £ 2 £ 2 )

М =

M*G 2 M .

G x = M*G 2 M; G 2

(М-1 )* G ^ " 1 .

(89)

Отсюда видно, в частности, что матрица перехода М пере

водит

ортонормированный базис

$ 2 ( G 2 =

Е) в ортонормиро-

1 По поводу

символов Гаусса [а Ь] a

[pa Ь] см.,

напрймор,

[5,

16,

23,

32, 35].

ванный же базис Stx (G1 = Е) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию

М*М = Е. - (90) Такие матрицы называют ортогональными.

§32. ПОСТРОЕНИЕ ОРТОНОРМИРОВАННОГО БАЗИСА В Еп

Ввекторной алгебре обычно не обсуждается вопрос: можно ли

вгеометрическом пространстве V3 выбрать ортонормированный базис — настолько он опытно ясен. Но стоит задуматься над вопросом: является ли возможность выбрать ортонормированный базис индивидуальным качеством модели V3 или она свойственна

всей

структуре

евклидовых

пространств?

Здесь

докажем,

что существование

ортогональных

и ортонормированных

базисов

вытекает из аксиом евклидовых пространств и, следовательно,

свойственно всей этой структуре.

Доказательство проведем, указав способ построения такого

базиса. Этот способ называют процессом

ортогонализации

Грама

—

Шмидта. Он состоит в следующем.

Выберем

пространстве

Еп

произвольный базис

= {ац

а 2 , . . ., ая } и рассмотрим новый каркас %' — \&\, а'2, . . ., а^},

построенный на основе данного

по

следующему

правилу:

a i

—a i )

&2 =

а 2

~\~ &2®1»

а з

~ а 3

&За 1>

ап

— а„ -)-

kn&i,

или %' =

где матрица

к3

. .

кп

. .

0 0 0 . . 1

имеет пока неопределенные коэффициенты к\. Ясно, что при лю бых к\ det К х = і 0, и поэтому каркас 31' снова является базисом. Теперь докажем, что коэффициенты к\ (г = 2, 3, . . ., п) можно подобрать так, что все векторы а{' будут ортогональны вектору аі. В самом деле, условие

(аї, a i ) = ( a i ,	а^ + кЦа^ 3^ = 0
выполняется при
к'=	а'^
'	(ai, aj)

Предположим теперь, что удалось построить базис

Ч і ' = { а і , . . .		а{_х,		af,	а,'+ 1 ,	. . .,	aj,}
такой, что все векторы его, начиная					с Z-ro, ортогональны первым
I — 1 векторам, а эти последние				все	попарно		ортогональны друг
другу. Построим	теперь каркас
2Х — \|ах , . . . а ^ , аг					, а/+ 1 , . . ., а„ \|
по правилу	= %'К[+1,	где		матрица
	1 . .	0		0	0	. .	0
	0 . .	1	* ! «				п-п
	0 . .	0		і	0	. .	0
	0 . .	0			0	. .	0
	0 . .	0		0	1	. .	0
	0 . .	0		0	0	. . .	1

имеет	пока неопределенные			коэффициенты	/с'/1	(/ =	I, I -f-
+ 1,	. . ., п). Так	как det К; + 1 = 1 =7^=0, то			каркас	2l' + 1	— базис.
При этом для т <		I и любых		и /
	(a't\	aj+ 1 ) =	( a ^ s	а{-) + А}« (аЦ,	а£ 1 ) =
		= (а^,	aft +	A'/^aj-x, а^) =	0,

так как по условию (а„, а') = 0 и (a'-i, &'т) = 0. Потребуем теперь, чтобы выполнялись условия

		(а<+\		a f t j =		(a<, a{_x) + A;}«(af-i, а Ц ) = 0
при	= I,	I +	її	• • га. Ясно, что для этого достаточно принять
							( а / - 1 > а / - х )
Итак, базис 2 l / + 1					обладает		тем свойством, что все его векторы,
начиная с		I +	1-го,		ортогональны первым I векторам, а первые
I векторов попарно ортогональны между собой.
Из полученной индукции и следует возможность построить
ортогональный			базис
	^ « - ^ { а Г 1 ,			аГ\		. -	а Г 1 } = 3 3 = { Ь 1 , Ь2 , . . ., Ь„} =
					=	2LKjK2 . .. Кп_1ш
Здесь К		=	К ] К 2		. . . Кп _х		— матрица перехода от исходного
базиса 21 к		ортогональному базису "23.
Для построения ортонормированного базиса достаточно каж
дый	из полученных				векторов		Ь, поделить на свою длину. При

этом их ортогональность, очевидно, не нарушится, так как по свойству 3 скалярных произведений

ибо (Ъ{, by) = 0 при і Ф ) . Не нарушится и линейная независи мость векторов каркаса 93. v

Следует обратить внимание на то, что процесс ортогонализации можно рассматривать и как эффективный метод установле ния линейной зависимости тех или иных т векторов.

Действительно, рассмотрим	каркас 9t =	а2 , . . .,	ат},
составленный из этих векторов,	и начнем его	ортогонализовать

по методу Грама — Шмидта. Пусть, на некотором к-ом этапе

этого

процесса в

каркасе

21* =

№

. . . К*

получился нулевой вектор а^- 1 —

ж потому

процесс далее

идти не может, так как (а£_ 1 ,

а*- 1 )

= 0. Это значит, что

векторы

каркаса

%к по свойству 2 линейной зависимости (см.

стр. 33)

линейно

зависимы. А

так как det ( К х . . . Kk)

1 Ф

то

это

означает по теореме 18 и линейную зависимость векторов %.

Если

же,

напротив,

все

т — 1 действий

ортогонализации

не приводят к нулевому вектору (и потому весь процесс

проходит

без

останова), то

получившийся ортогональный

каркас %т ~х

[Ьх,

Ь2 ,

. . .,

Ьш }

обязательно

линейно

независим. Дей

ствительно, если нулевую линейную комбинацию

умножить скалярно на bt,

то

получим

или,

MW,

ьл+

. . .

+ ь,(ь„

ь,.)+ . . .

+Кг(ъ,п,

ь,) =

так

как

(Ь;-, Ьг) =

при і ф

] и

(Ь; , Ь,) =#=0,

то

получаем

%І = 0 (і

= 1, 2, . . ., т). Из независимости же 93 = $1 К

следует

по теореме 18 независимость векторов каркаса 21.

Итак, процесс ортогонализации останавливается тогда и только

тогда,

когда

ортогонализуемые векторы линейно

зависимы.

§ 33. ИЗОМОРФИЗМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

Два евклидовых пространства Е' ж Е" называются изоморф ными, если существует такое взаимно однозначное соответствие ср между, ними, что:

1)ф ( х Ц - х 2 ) = ф ( х і ) + ф ( х 2 ) ;

2)ф 0л') = Хф (»•);

3)(хі, х 2 ) = (ф(хі), ф(х2 )).

Всякое такое соответствие называют изоморфизмом евклидовых пространств Е' и Е".

Понятие изоморфизма евклидовых пространств является уси лением понятия изоморфизма линейных векторных пространств за счет добавления условия 3. Но это новое условие не нару шает признака изоморфности пространств, заключающегося в сов падении их размерностей. Докажем это.

Теорема 19 (об изоморфизме евклидовых пространств). Необ-^ ходимым и достаточным признаком изоморфности евклидовых пространств является совпадение их размерностей.

Д Что изоморфные евклидовы пространства Е' и Е" имеют одинаковую размерность, доказывается так же, как для линей ных пространств, так как скалярное произведение не участвует в определении размерности. Остается доказать, что всякие два евклидовых пространства Е'п и Е'п одинаковой размерности изо морфны.

Выберем в Е'п и Е'п ортонормированные базисы % ' и ЭД,". Тогда каждому вектору а ' = %'а со столбцом координат а можно поставить в соответствие в качестве а" = ср (а') вектор а" = 91"а с тем же столбцом координат. Это соответствие взаимно однознач ное. Условия ф (аі + а2 ) = ф (ai) + ф (а2 ) и ф (Аа') = Яф (а') проверяются так же, как это делалось для линейных пространств.

Осталось

проверить

правильность равенства

(а'г,

аг )

(ф (а^),

Ф (а2')) = (а'ї, а'з). Но оно очевидно, так как в

ортонормированном

базисе (а{,

а2') = я*а2

и (а^,

а») = ala*,

где

аг и я 2

—

столбцы

координат

векторов

а^

а2

базисе

% '

они

же

—

столбцы

координат

векторов

а'{

ф (а^)

и а2

Ф (а2 ) в

базисе

9 1 " . V

§ 34. ПОДПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ

ЕВКЛИДОВЫХ

ПРОСТРАНСТВ

Рассмотрим некоторое

евклидово пространство

Еп

как линей

ное векторное пространство, т. е. не принимая пока во внимание способ задания скалярного произведения в нем. Пусть Ет — его линейное подпространство. Если теперь над векторами Ет опре делить скалярное произведение так же, как оно определено над

ними в Еп	(в	принципе ничто			не	мешает	определить скалярное
произведение		в Ет	и иначе),		то	будем	говорить,	что	Ет	есть
ерклидово подпространство				евклидова пространства				Еп.	При	этом
применяют	тот же		символ	Ет	с	Еп.
Подпространства евклидовых пространств, обладая всеми свой
ствами линейных подпространств, имеют и ряд важных									специфи
ческих свойств. Рассмотрим их.
Пусть Ет		с Еп.	Назовем вектор а 6 Еп				ортогональным к под
пространству		Е1П	(символически			а _1_ Ет),	если он	ортогонален
всякому вектору х 6 Ет.				Можно		доказать следующее.
Теорема 20. Если некоторый вектор &(ЦЕп ортогонален										всем
векторамЬ/ базиса 03 = {Ь1 ; Ь2 , . . . ,Ь т } подпространства Ет										сЕп,
т. е. 93а =	(а93)*		= 0, то	а _!_	Ет.
Д По условию теоремы а 03 =						I K a j b J ,	(а, Ь2 ), . . ., (a, bm )			\|\| =
= 0. Рассмотрим произвольный вектор х							£ Ет. Пусть х = 93а; —

его разложение по базису 93. Тогда по свойствам произведений каркасов (см. § 30)

(a, x) = a(iBa:) = (a33)a; = Oa: = 0. v

Понятие ортогональности для подпространств и теорему 20 можно обобщить следующим образом. Рассмотрим два подпро

странства Е'	и Е" евклидова пространства Еп.					По аналогии с гео
метрическим	пространством естественно				считать		Е' и Е"		ортого
нальными (Е'	_\|_ Е"), если среди ненулевых векторов Е' найдется
вектор, ортогональный		к Е",	а среди ненулевых				векторов Е" —
вектор, ортогональный		к Е'	[11].
Теорема	21 . Пусть	51 =	(а^	а2 ,	ат]	и	93 =	[Ъг,	Ъ2,
bk} — базисы	соответственно		для	Е' и Е". Тогда			Е'	_1_ Е"	в том

и только в том случае, если ранг матрицы 5t93 меньше ее мини мального размера.

Д Пусть ранг матрицы 5L93 меньше ее минимального										размера,
или иначе,	строки матриц			и 9391 — (5193)*				линейно зави
симы. Для 5193 это означает существование						таких у ± , v 2 ,				• • .,	vm,
среди которых не все равны нулю, что
V i t e i , Ьг ) + v 2 ( a 2 , Ь,)+ . . . +vm{am,					Ь,) =	0	(i = l ,		2,	. . .,	к).
Но тогда по свойствам			скалярных		произведений
	(v1 a1 +	v a a 2	+	• • • + v m a m ,		Ь,) =	0.
Значит,	ненулевой	вектор		а = v1a1	+	v 2 a 2		+	. . . +		vmam
ортогонален	ко всем базисным векторам Е",					т. е.		a _ L Е". Анало

гично линейная зависимость столбцов матрицы 9351 означает

существование

ненулевого

вектора

_ L Е',

так что

E ' _ L E " .

Будем теперь идти от условия Е'

JL Е".

Тогда имеется ненуле

вой вектор а =

v1a1

+ v 2 a 2

+ . . . +

v m a m

g E',

такой, что a _L

E",

т. e.

(a, b;) =

(

i + v 2 a 2 +

. . • + v m

a m ,

Ь,) =

(i =

l ,

2, . . .,

k).

Но

это

означает, что

v i ( a x ,

bf ) +

v 2 ( a 2 ,

bt)+

. . . + v m

( a m

Ь,) =

. . .,

k).

Так

как

a l

5 a 3 ,

. . .,

— базис

а Ф 0,

то

не

все

Поэтому столбцы матрицы 5193 линейно зависимы. Аналогично

из	существования		b £ Е" такого, что	b ..]_/?', следует	линейная
зависимость		столбцов 9351- V
	Когда Е'	жЕ"	имеют одинаковую размерность, матрица 5193 —
квадратная		[см.	определение (84) ] и	по теореме 9 и	следствию
1	из теоремы 12 столбцы или строки ее линейно зависимы в том

и только в том случае, если det 5193 =		0. Отсюда вытекает следу
ющее.
Следствие 1. Если размерности подпространств			Е" и Е"		сов
падают, то	Е' J _ Е" тогда и только	тогда, когда	det 5193	=	0,
где 51 и 93	— базисы Е' ж Е".

7 заказ 2041

97:

Рассмотрим теперь произвольный каркас (необязательно пол ного ранга) 21 = {aj, а 2 , . . ., а,„} в евклидовом пространстве Еп и так называемую матрицу Грама

	( а и a l ) i (а и а г)		• • • (a l> а т )
Г = 2 І 2 1 =	(а2 , ах )	(а2 і а2)	. . .	(а2, а т )
Г = 2 І 2 1 =				(91)
	(а ті а і )	(а ті а г)	• • • ( а ті а т )

для этого каркаса, т. е. его квадрат в смысле определения (84).


Определитель		det Г называют определителем			Грама.
Следствие 2. Определитель Грама для каркаса 2L равен нулю
тогда	и только тогда, когда векторы			из 2L линейно		зависимы.
Д	Действительно, если при линейной независимости						векторов
из 21 предположить, что			det Г = 0, то по		следствию	1	получи
лось	бы, что	L [21 ] _L L	[211. Это означает, что найдется ненуле
вой вектор а		Є L [21], ортогональный		всем	векторам из L [21 ]•
Тогда он ортогонален и сам себе, т. е.				(а, а)	= 0, что для ненуле

вого вектора не может быть. Так что, если векторы каркаса 21

линейно

независимы,

то

det Г ^ = 0 .

Пусть

теперь дано,

что

векторы 21 линейно зависимы,

т. е.

существуют такие числа Klf

Я2 ,

. . ., Хт,

не все равные нулю,

что

Xjaj

- j - Я,а2

. . . +

A m a m

0. Тогда

= M

a i >

а 2 . а <) +

М г т

• • • + b m a m ,

а,)

, 2 , . . . , m ) .

• •

• +

а,„, а «) =

(i =

/) +

А это означает линейную зависимость строк матрицы Г, т. е.

что

det Г =

Метрическая

матрица G

5tS? вычисляется

по

формуле

вида

(91) и потому является матрицей Грама для базиса Я простран ства ЕП. Поэтому по доказанному метрическая матрица G всегда невырожденная. Пусть А — матрица каркаса 21 в некотором

базисе & с метрической матрицей G. Тогда по формуле (88) 2121

A*GA .

Кроме

того, как было выяснено (см. § 27),

rang 21

rang А. Поэтому

следствие 2 теоремы 21 можно сформулиро

вать

по-другому.

Следствие 2". При любой положительно определенной ма

трице

det A * G A

0 тогда

и только тогда,

когда столбцы

матрицы А линейно

зависимы.

Докажем еще одно важное следствие теоремы 21.

Следствие 3. Если EmczEn,

то существует п—т и не

более

линейно независимых векторов

из Еп,

каждый из которых

орто

гонален

Ет.

Пусть 33 =

{Ьц

Ь2 , . . .,

b,„J — базис Ет.

Уже

известно,

что в

Еп

можно

найти каркас 2 1 ' =

{а,'„+1, . . .,

а^|,

состоящий

из п — т векторов, которые вместе с векторами каркаса 93 обра

зуют базис в Еп.	Рассмотрим теперь	векторы
a/ = fc,1b1 +	fc,2b2+ . . . +klmbm +	al (i = m + i, . . ., п).

Так

что

21 = 8К + ЗДЛ

(92)

где ЭД, =

{ а т +

1 ,

. . ., ап},

матрица

\\к1{

пока

не опре

делена.

Убедимся

сначала,

что при

любых

kt]-

векторы

Ь 2 ,

. . ., b m ,

а ш + 1

. . ., а„ также линейно

независимы. Так

как

Еп

изоморфно

пространству

Лп

столбцов

координат

его

векторов

в базисе

[Ъ1г

Ь2 , .

. .,

b m , &т+г, • . .,

a,'J,

то

векторы

Ь 3 ,

Ь2 ,

. . .,

Ь т ,

а т + 1 ,

. . .,

а„ линейно

независимы

тогда

только

тогда, когда столбцы их координат линейно независимы или иначе

определитель матрицы,		составленной из этих столбцов, отличен
от нуля. Но с учетом		(92)	этот определитель
Ьі	0ь2	.. . .		ат+1
1	0ь2	.. . .	0	^ 1 . т+1 •
0	1	. . .	0	т+1 • •		к2п
0	0	. . .	1			= 1
0	0	. . .	0	1	.	0
0	0	. . .	0	0	.	1

(по правилу вычисления определителей треугольных матриц). Теперь требуется подобрать матрицу К так, чтобы все векторы

а{ были ортогональны Ет, т. е. чтобы выполнялось условие

или,

с учетом (92),

= 0

(93)

(3333) К + $ 5 1 ' = 0.

По следствию

2 det (9393) ф 0.

Отсюда

К =

-(ЪЩ-1

Предположим теперь, что,

кроме

а т + 1 ,

. . .,

ал ,

существует

еще вектор с _1_ Еп,

линейно независимый

вместе

с а ш + 1 ,

. . ., а„.

Так как

b l t b 2 , •

•

b m , a m + 1 ,

. . ., ,„a„ —

базис,

то с

9 3 ^

К 1

столбец (в блочном виде) координат

вектора

+ $ i c 2 ,

где

с в этом базисе. По построению 9351

0, а по условию

с _1_

Ет,

93с =

Поэтому

(93с =

(9393) сх

(9351) с2 =

(9393)C

l = 0.

Отсюда с 1

= (9393)"1

0 и потому с

%с2.

Это

противо

речит

предположению

линейной независимости

системы а т + 1 ,

. . .,

а„,

с.

Если

векторы

а т + 1 ,

. . .,

а„ линейно

независимы

ортого

нальны

всем

векторам

подпространства Ет,

то подпространство

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20232.59 Mб10Дринфельд, Г. И. Квадратура круга и трансцендентность числа.pdf
#
30.10.202337.67 Mб25Дробление и грохочение углей И. В. Пономарев. 1960- 36 Мб.pdf
#
25.10.202315.96 Mб22Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины.pdf
#
30.10.202318.94 Mб18Дроздов Е.А. Основы вычислительной техники, 1961. - 426 с.pdf
#
25.10.202314.65 Mб15Дроздов Е.А. Основы построения и функционирования вычислительных систем.pdf
#
24.10.20239.33 Mб9Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений.pdf
#
19.10.20232.57 Mб4Дроздов, Б. М. Нормативная информация в АСУ лекции.pdf
#
30.10.202328.35 Mб26Дроздовский Б.А. Влияние трещин на механические свойства конструкционных сталей.pdf
#
29.10.20231.76 Mб9Дрочнев Я.Г. Подготовительные работы на подсочке.pdf
#
29.10.20236.06 Mб30Дружинин Г.В. Надежность электрических схем авиационных систем.pdf
#
21.10.20239.99 Mб14Дружинин, В. В. Магнитные свойства электротехнической стали.pdf