Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Начертательная геометрия курс лекций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

8.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 219 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

а следы другой Qh и Qv •— дальше от оси ОХ, так, чтобы отношение іраіастояниій фронтальных следов относительно ОХ равнялось соответственно отношению горизонтальных следов, т. е. m/n : t/k.

На рис. 80, а следы плоскостей Т и R также параллельны, но не соблюдается указанное равенство отношенийСледы плоскостей расположены на произвольных расстояниях. Это свидетельствует о иепараллельности друг другу самих пло скостей; они взаимно пересекаются, что и видно на рис. 80, а.

Характерное	рашоложение одноименных	'Следов	таких пло
скостей TVRV	и ThRh показано на, рис.	80, б.	Построение

третьих следов подтвердит пересечение плоскостей. Пользуясь обстоятельством, что у двух параллельных плоскостей каж-

Рис.	80
дая пара одноименных .следов	также	параллельна, можно
решать задачи на .построение	таких	плоакостей сообразно

различным условиям расположения	задающих		их геометри
ческих элементов.
Пусть даны плоскость Р и точка	А (аа')	во	втором	углу.
Через точку А провести плоскость	Q \|\| Р	(рис.	81, а) .	Упро

щаем решение: нет смысла проводить горизонталь либо фронталь данной плоскости Р и искомой Q, так как они будут всегда взаимно параллельны. Достаточно провести характер


ную линию только в искомой плоскости Q,							например				фрон-
таль. Тогда через а' проводят линию a'v' \\ Рѵ							и через			а	линию
аѵ II ОХ.	Точка	ѵѵ' — след фронтали. Через					ѵ	проводят			след
Qh II Ph, а через Qx			— след Qv II		Рѵ.	ММК и				А	(аа').
На	рис. 81, в		дан	треугольник				точка
Через А надо		провести плоскость				Q \|\| A MNK.		В	плоскости
треугольника		через вершину mm' проводят					горизонталь MP,
фронтальная проекция				которой	т'р'	параллельна			ОХ,	а гори
зонтальная тр получилась по					построению.

Через точку аа' проведена горизонталь ab \\ тр и а'Ь' || т'р'. Точка ѵѵ' — след горизонтали. Через вершину mm' прове-

дѳна еще фронталь ml \\ ОХ и ее фронтальная проекция т'Ѵ. Проекции горизонтали тр и фронтали т'Ѵ определяют на-

Рис. 81

правление следов искомой плоскости. Через проекцию следа ѵ'. проведен фронтальный іслѳд плоіакости Qv II т'Г, a через

Qx — след Qh II ab \\ тр.

§ 18. Плоскости пересекающиеся

Если плоскости, расположенные в пространстве, пересе каются, то: 1) должны пересекаться их одноименные сле ды хотя бы на одной плоскости проекций, если плоскости за даны следами; 2) если плоскости заданы не следами (или следы не пересекаются в пределах чертежа), то должно быть не менее двух точек, общих для пересекающихся плоскостей, через которые пройдет их линия пересечения.

Пересечение плоскостей, заданных следами

Рассматриваются случаи, когда одноименные 'следы пло скостей пересекаются. Пусть даны две пересекающие друг

			Рис. 82
друга плоскости Р		и Q	(рис. 82,а). Линия пересечения их
в пределах	первого угла		пространства своими концами	1 я 2
опирается	на точки	пересечения пар одноименных		следов

плоскостей Ph, Qh и Pv, Qv. Концы линии пересечения / и 2 являются следами ее. Для удобства восприятии линию пере

сечении

плоскостей

будем

обозначать

всегда

арабскими

цифрами.

На рис.

82,6

следами

заданы

проекции

двух

пересекаю

щихся плоскостей Р и Q. Для построения линии пересечении

отмечают

пересечение пары горизонтальных

.следов

Ph и

в точке

Ее

фронтальная

проекции

проецируется

на

ось ОХ. Фронтальные следы Рѵ и Qv пересекаются в точке

1'.

Горизонтальная

ее

проекция

расположится

на

оси

ОХ.

Соединив

одноименные горизонтальные 1 и 2, а

затем фрон

тальные

и 2'

проекции

точек, получим

проекции

линии

пе-

Рис. 83

ресечения плоскостей Р и Q. При любом положении и на правлении следов плоскостей надо отметить точки пересече

ния одноименных	следов	(если они имеются), будут ли они
в пределах первого угла		или при своем продолжении в одном
из остальных семи	углов	пространства. Через точки пересече

нии одноименных следов всегда проходил* линия пересечения плоскостей.

На рис. 83, а плоскость со сливающимися следами Р пере секается плоскостью Т общего положения. Пересечение фрон тальных следов дает фронтальную проекцию V одного конца линии пересечения. Пересечение горизонтальных .следов дает


горизонтальную проекцию		2 второго конца		линии сечения.
Соединение проекций 1, 2 и			2' образует проекции		линии
пересечения.	Если одна	из	пересекающихся	плоскостей ,Т
(рис. 83,6)	проецирующая,		то линия пересечения одну		свою

проекцию будет иметь на собирательном следе и именно на той плоскости проекций, к которой перпендикулярна пересе кающаяся плоскость. Так, горизонтальная проекция /, 2 ли


нии	пересечения расположена					на следе 7\ плоскости TLH.
Если	обе		пересекающиеся		плоскости порознь		перпендику
лярны		к	плоскостям Я	и V,	то	проекции линии	пересечении
1, 2 и		Г,	2' (рис. 83, в)	лежат	на	одноименных собирательных
следак		плоскостей.


	Если	обе	пересекающиеся	плоскости				перпендикулярны
к одной		плоскости проекций (рис. 84, а,					б),	то линия	пересе
чения также			перпендикулярна	к	этой		плоскости проекций.
На	рис. 84, а		наглядно изображены			пересекающиеся			плоско
сти	и их линия пересечении /,			2.	На	рис. 84, б да/ны			'следами

проекции этих.плоскостей. Пересекаются только фронтальные следы Рѵ, Тѵ. Так как плоскость и все, что в ней лежит, про ецируется на линию фронтального следа, то и линия пересе чения, расположенная в каждой из плоскостей, будет проеци-

Рнс.		84				Рис.	85
роваться в точку пересечения следов Тѵ						и Рѵ.	Горизонтальная
проекция линии	1,	2±0Х.		Р
На рис. 85 плоскости 5			и	Р	перпендикулярны к плоско
сти Н. Линия	пересечения		/,	2	тоже	перпендикулярна Н.

Горизонтальная проекция ее проецируется в виде точки, в ко торой пересекаются горизонтальные следы Рн и Sh. Фронталь ная проекция l'2'LOX.

В случае пересечения плоскостей, одна из которых общего положения, а другая параллельна плоскости проекций, линия

пересечения их	будет располагаться параллельно				этой	же
плоскости проекций.
На рис. 86, а	плоскость S \\ H		я плоскость R	общего		поло
жения. Линия пересечения их		1, 2	расположена	в плоскостях
R и S. Вместе с	плоскостью	5 она параллельна		Н,	следова

тельно, является горизонталью. Как горизонталь, расположен ная в плоскости R, своей горизонтальной проекцией /, 2 она

должна быть параллельна следу Rh. Фронтальная ее проек


ция Г2'		II	ОХ и	совмещается		со	следом	Sv.	Начало		линии
будет	от	точки		1, Г пересечения следов Rv				и	Sv	(рис.	86,6).
На рис. 86, в линия пересечения плоскостей R и 5 есть фрон
таль,	так		как	плоскость		5 \|\| V.	Стало	быть,		2' \|\| Rv,
а /, 2II ОХ и /,				2 совмещается со			следом	Sh.
Построение				линии	пересечения		плоскостей		по	точке	пере
сечения		следов		при	их продолжении (рис. 87, а).					Бели	одна

из пар одноименных следов в пределах первого угла не пере секается, то почти всегда представляется возможность по строить пересечение, продолжив зги следы за пределы 1-го угла. Так, на рис. 87, а в 1-м углу в точке / ' пересекаются

Рис. 87

только 'следы Рѵ и Тѵ. Следы Ph и Th пересекаются лишь при продолжении во 2-м углу в точке 3. Линия пересечения пло скостей проходит через точки 3, I , 2.

На рис. 87,6	следы Тѵ	и Рѵ пересекаются	в точке	1', ее
горизонтальная	проекция /	раіаполагается на	оси ОХ.	Следы

Ph и Th не пересекаются. Для определения направления и по ложения линии пересечения необходима еще одна точка — точка пересечения пары горизонтальных следов. Продолжив Ph и Th за ось ОХ, получим пересечение их в точке 3 — гори зонтальной проекции второй точки. Ее фронтальная проек ция 3' должна быть на оси ОХ. Горизонтальная проекция ли нии пересечения пройдет через горизонтальные проекции то чек 1 и 3, а фронтальная — через проекции / ' и 3' точек. Этот Отрезок расположен во 2-м углу. Продолжение отрезка в ле

вую сторону до произвольной точки				2, 2' дает отрезок 1, 2;
Г,	2' линии пересечения		в 1-м углу.	Продолжение	отрезка
в	правую	'сторону до произвольной точки 4, 4' дает			отрезок
3, 4; 3', 4'		линии пересечения в 3-м углу пространства.
	Общий	элемент трех	плоскостей.	Рассматриваются при

меры, когда следы плоскостей не пересекаются в пределах поля чертежа.

Точка, принадлежащая одновременно трем плоскостям, называется общим элементом этих плоскостей. На чертеже общий элемент определяется как точка пересечения трех ли ний, по которым взаимно пересекаются каждые две плоско сти. В частном случае общим элементом трех плоскостей мо


жет быть линия их пересечения. На рис. 88, а плоскости S							и R
пересекаются		по линии AB. Пересечем их третьей плоскостью
Р,	как угодно	расположенной. Плоскости R и 5				пересекаются
с	плоскостью	Р по линии ЕС и FC, а		последние — в точке С,
через которую проходит и AB.			Здесь	точка	С—общий		эле
мент дли линий АС, ЕС, FC,			следовательно,		и	для плоско
стей S, R, Р. Очевидно, если эти же плоскости пересечь							еще
раз плоскостью Q, то точка D,			как результат		пересечения		ли-

Рис. 88

ний MD и HD, будет общим элементом плоскостей S, R, Q. Линия AB проходит через два общих элемента—точки С и D. Этим обстоятельством пользуются для построения линии пересечения плоскостей, как-либо произвольно расположен ных в пространстве и заданных так, что на чертеже нет точек пересечения следов, либо, когда плоскость не имеет следов. Пусть даны две плоскости общего положения S и У?, пересе кающиеся, как изображено на рис. 88, б. Они имеют линию пересечения при своем продолжении. Построение направле ния и положения линии AB осуществляется с помощью об щих элементов.


Пересечение плоскостей S и R плоскостью Р дает				линии
ЕК и FG, которые в свою очередь пересекаются в точке С,
если	их продолжить. Точка С — общий элемент, через			кото
рый	обязательно пройдет линия AB.	Следует	получить вто
рую	точку D —) место пересечения линий МТ		и NL. Точки С
и D определяют направление и положение линии пересечения
плоскостей S и R. Вспомогательные		плоскости Q и Р		могут

иметь любое положение в пространстве, но лучше их распо лагать параллельно плоскостям проекции Я и V, так как при

этом вспомогательные линии пересечения плоскостей будут горизонталями либо фроитадями, удобными ири построениях.


	Принципиальное			построе
	ние общего	элемента			трех
	плоскостей	на	обычном		чер
	теже показано на рис. 89.
	Пусть даны	следами		плоско
	сти Р, S, R. Взаимное пере
	сечение плоскостей S к R
	дает линию 1, 2; Г, 2' из пе
	ресечения	пары		горизон
	тальных (Sh, Rh) и фрон
	тальных (Sv, Rv) следов
	плоскостей.	Плоскости			5 и
	R пересекаются третьей пло-
Рис. 89	скостью Р II Я .		Результатом
	пересечения	плоскостей			Р и
R будет горизонталь 3, с, 3',	с', параллельная		горизонталь

ному следу Rh- Фронтальная проекция горизонтали 3', с'

совмещается со

следом

Рѵ.

пересечении

плоскостей

и Р

будет

горизонталь

с,

4',

с'.

Горизонтальная

проекция

горизонтали 4,

с параллельна

следу

S h, а фронтальная

4', с'

сливается с Рѵ.

Горизонтальные проекции

трех линий

пере

сечения

пересекаются в одной

точке с — горизонтальной

про

екции

общего элемента

трех

плоскостей.

Фронтальная

про

екция с' этой точки расположена на следе Рѵ,

так

как

фрон

тальные проекции 3', с' и 4', с', как горизонтали, лежат

в пло

скостях S, R я Р. Фронтальная проекция

1',

2' пересекается

со следом Рѵ обязательно в точке С.

Теперь взяты две плоскости R и 5, горизонтальные

следы

которых

пересекаются

(рис. 90),

фронтальные

в пределах чертежа не пересекаются. Для

линии пересечения

имеется

лишь одна

точка. — пересечение горизонтальных

сле

дов плоскостей

Rh и Sh.

На рис. 90, а показано построение проекции линии пересе чения плоскостей R -и 5. Вспомогательная плоскость Р || Я рассекает плоскости R я S по горизонталям 3, с и 4, с, пере сечением которых является точка С — общий элемент трех плоскостей. Через точки С « 2 пройдет линия пересечения.

На рис 90, б это' же решение выполнено в двух проекциях. Следы Sh и Rh пересекаются в точке 2, 2', являющейся нача лом линии пересечения плоскостей. Направление и положе ние искомой линии определится еще какой-нибудь точкой, ей принадлежащей. Такой точкой всегда будет общий элемент

трех	плоскостей—точка		С (см. рис.	89).	Плоскости	R и S
пересекаются		плоскостью	Р \|\| Я . Третья	вспомогательная		пло
скость	всегда	должна быть перпендикулярна			к той плоскости

проекций, на которой расположены непересекающиеся следы.

В этом случае линии, полученные от пересечения плоскостей, обязательно пересекаются на другой плоскости проекций и


образуют	общий элемент.		В пересечении				плоскостей	Р и 5
получена	линия — горизонталь			4, С.	В	пересечении		плоско
стей R и Р получена		линия — горизонталь					3, С. Горизонталь
ные проекции горизонталей			4,	с я 3, с		пересекаются в			точке
с — I горизонтальной		проекции		оібщего		элемента. Соединение
на плоскости Я точек 2 и с дает 2,					с —		горизонтальную		про
екцию искомой линии пересечения					плоскостей R и 5.				Фрон

		Рис.	90
тальная	проекция	с' располагается на Рѵ.		Соединение	точек
2' и с'	образует 2', с' — фронтальную проекцию искомой ли
нии пересечения.
	Пересечение	плоскостей,	заданных	не следами
Через общий		элемент трех	плоскостей	обязательно	про

ходит линия пересечения двух любых пересекающихся пло^-

скостей. Этим свойством				пользуются		при	построении		линии
пересечения		плоскостей,		заданных		любым		способом		без
следов.
Пусть на рис. 91 даны две пересекающиеся								плоскости,		за
данные:	а)	двумя	параллельными			прямыми		KL и	MN	и
б) треугольником			ABC.	Для	построения		линии пересечения
данных	плоскостей		достаточно		построить		две	точки,	общие

для трех плоскостей. Рассекают заданные плоскости двумя


вспомогательными		плоскостями.		Вспомогательную				плоскость
Гі IIЯ	проводят так, чтобы фронтальный					след	Тіѵ	прошел
через одноименную проекцию п' точки N, с целью уменьшения
числа	построений.	В пересечения			с k', V	след	ТІѴ	образует
точку V. Горизонтальная проекция / спроецируется на гори
зонтальную проекцию kl.			Тогда	линия 1,		п — горизонтальная,
а V,	п' — фронтальная		проекция		горизонтали,		являющейся

линией

пересечения плоскости Т\ с плоскостью,

заданной

пря

мыми KL, MN. Эта же плоскость

пересекает и треугольник

(abc, а'Ь'с').

След Тіѵ,

пересекая

фронтальные

проекции

а'Ь'

а'е',

образует

точки

2' и 3',

принадлежащие

фронтальной

проекции линии

пересечения —

горизонтали. Тогда

линия

будет горизонтальной

проекцией линии сечения плоскостей

Тх

A ABC.

Горизонтальные проекции линий пересечения

2, 3

пересекаются

в точке

/ —• горизонтальной

проекции

общего

элемента

трех

плоскостей — Tu

А ABC

плоскости,

заданной прямыми KL и MN. Фронтальная проекция / '

должна

располагаться

на следе

Тіѵ. Но

одна точка

/, /',

при

надлежащая искомой

линии пересечения данных плоскостей,

Рис. 91

не определяет ее направления. Надо иметь две точки. Про

водим вторую вспомогательную плоскость	Тг II # II	7Ѵ Проек
ции горизонталей k, 4 и 5, 6 пересекаются	в точке	/ / — гори

зонтальной проекции общего элемента плоскостей. Фронталь


ная	проекция / / ' располагается на						следе	Т2ѵ, с которым		сов
мещены		фронтальные проекции k', 4' и 5', 6'. Две точки								/, / '
и //,	/ / '	определяют направление и положение проекций								ли
нии	пересечения заданных				плоскостей.
§ 19.		Взаимное положение прямой линии и плоскости
Прямая			линия	может:		а)	принадлежать плоскости;
б) быть		параллельной плоскости;					в) пересекаться		с	пло
скостью под любым				углом к ней и под углом в 90d .
Если дан чертеж с изоібражіѳшем прямой линии и пло
скости, то			для выяснения		их	взаимного		положения	необхо

димо знание некоторых геометрических условий. То же самое 88

необходимо, если требуется изобразить наперед заданное их


взаимное положение.				Рассмотрим			эти	геометрические усло
вия. Пусть даны плоскость Q и прямая линия MN										(рис.	92).
Если через MN			провести		какую-либо			произвольно		располо
женную плоакость Р, то плоскости Р и Q пересекутся по ли
нии AB,	общей для Р и Q. Рассматривая теперь взаимное по
ложение	прямых		линий AB			и MN,	можно установить				сле
дующие	условия:
1) заданная прямая MN лежит в								плоскости	Q,	если	ли
нии AB	и MN	совмещаются				(т. е. все их точки общие);
2) прямые		AB и M2N2			имеют одну			общую точку К. Сле
довательно,		M2N2 и		плоскость			Q	взаимно	пересекаются

вточке К;

3)прямые AB и MiN\ не имеют и не могут иметь общих точек. Очевидно, они взаимно параллельны. Стало быть, пря мая MiNi параллельна плоскости Q, так как параллельна линии AB, лежащей в плоскости Q.

Рис.

Рис. 93

Прямая

линия

принадлежит

плоскости

Выше

уже

было

отмечено: если

прямая

линия

принадле

жит плоскости,

то она должна

иметь

с нею

по крайней

мере

две

общие

точки. Линия

(a,

а',

Ь')

принадлежит

пло

скости Р, потому что следы ее V и H (две точки) лежат на

следах

Рѵ

и Рн (рис. 93,а). Отрезок прямой

линии

(е,

/;.

е',

/')

принадлежит

плоскости

Т,

потому что

концы

его

е,

е'

и /, /'

лежат на горизонталях плоскости Т

(рис.

93,6).

Прямая

линия

и плоскость

взаимно

параллельны

Из третьего условии, сформулированного выше, следует,,

что

прямая линия

параллельна

плоскости,

если

она

парал

лельна

какой-либо

другой

прямой

линии,

принадлежащей

этой плоскости.

На

рис. 94

линия

параллельна

плоско

сти

Р,

так как

последней

имеется

линия

AB,

параллель

ная

MN.

Рассматривая

проекции

прямой

плоскости,

это

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 219 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ