Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Начертательная геометрия курс лекций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

8.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 213 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

ка К делит отрезок

в отношении т:п,

то и

проекции

ее

ab и а'Ь' делятся проекциями k и k? в

этом

же

отношении.

Точка

(рис.

12,6)

принадлежит отрезку

AB,

так

как

про

екции

ее k и k' принадлежат

одноименным

проекциям

m а'Ь'.

Точка

L не

принадлежит

AB,

так

как

при

взгляде

сверху

видно,

что расстояние

больше, a

меньше

того,

если бы Z принадлежала AB.

В дальнейшем

с целью умень

шения буквенных обозначений не будут обозначаться точки

ах

и Ьх

(или

им подобные)

на ОХ, кроме

случаев,

необходимых

для

доказательства

положения

точки в

пространстве.

Треугольник

Взятые в пространстве двугранного угла

три

точки А,

В,

С, не лежащие на одной прямой, образуют

треугольник

об

щего

положения на

рис. 13, а. Проецирование

точек

на

пло-

			Рис.	13
'скости проекций H и		V дает две прямоугольные			проекции	abc
Иуа'Ь'с' треугольника. На			рис. 13, б перенесены		соответствую
щие расстояния по осям			проекций и построен чертеж (зпюр)
треугольника. В плоокости треугольника івзята					прямая	АК.
Известно, что	прямая	линия		принадлежит плоскости,		если
имеет хотя бы	две 'общие		точки с плоскостью.		Прямая А К

имеет общие точки Л и К, 'Следовательно, она лежит в пло

скости треугольника. Если в			плоскости	треугольника имеется
точка М, то она принадлежит			плоскости,	когда	располагается
на прямой,	лежащей	в этой	плоскости.	Точка	M лежит на
прямой АК.	Проекции	точки	расположены на		соответствую-

щих одноименных проекциях ak и afk' прямой, имеющей две общие точки с плоскостью ABC. Следовательно, точка К при надлежит плокости треугольника ABC.


Определение	длины	отрезка	прямой		линии
общего	положения и		углов,
составляемых	им с	плоскостями		проекций,
способом прямоугольного			треугольника

Проекция отрезка прямой общего положения всегда мень ше самого отрезка (юм. рис. 11). Прямая общего положения СВ (ірис. 14, а) составляет с плоскостью H угол а. Угол а образован гипотенузой СВ прямоугольного треугольника ВЬС

Рис. 14

,и катетам сЬ, являющимся горизонтальной проекцией СВ. Вертикальный катет ВЬ есть величина превышения верхнего

•конца В над нижним С.	Катет	ВЬ перпендикулярен проек
ции сЬ и плоскости Н.	Если	треугольник ВЬС повернуть

вокруг cb и положить на плоскость Н, то вместе с треуголь ником гипотенуза СВ и угол а изобразятся на плоскости H в истинную величину.

Пусть теперь задан отрезок AB прямой общего	положе
ния (рис. 14,6). Для определения истинной величины	отрезка

надо образовать прямоугольный треугольник. Для треуголь ника нужны два катета. Проведя линию AM, параллельную ab іи плоскости Я, получим один катет AB = ab. Для образо-

\вания второго катета ВМ надо знать разность превышения

конца В над концом А относительно плоскости Я. Для этого


следует	графически вычесть ВЬ — Аа.				Но		Аа =	МЬ.	Тогда
ВМ = Bb — Mb.		Рассмотрев	треугольник			BMA,		видим;		что
AB есть	сам	отрезок; AM=ab,		а угол		а	между AB		и	AM
(или AB	и ab)	есть угол, составляемый			AB		с плоскостью про
екций Я. Бсліи теперь треугольник BMA					повернуть вокруг					AM
в положение, параллельное			плоскости		Я	(или вокруг			ab),	то

на последней прямоугольный треугольник изобразится в ис тинную величину (см. рис. 14, б).

На рис. 14, в отрезок прямой представлен двумя проек циями. Чтобы определить длину отрезка AB и угол, состав ляемый им с плоскостью Н, по его проекциям следует пост роить прямоугольный треугольник, одним катетом которого должна быть горизонтальная проекция ab, а другим — раз ность превышения іконцов А и В над плоскостью Я. Эту раз

ность можіно получить, как было показано на

рис. 14,-6, толь

ко на фронтальной проекции. Проводят через а' прямую

а'т',

параллельную

оси ОХ,

отмечают

графическую

разность

Ь'т'.

На

горизонтальной

плоскости

проекций

точке

про

водят линию под углом 90° к ab и на ней откладывают

отре

зок Ь'т'.

Гипотенуза

треугольника есть

длина

(отмечена

нулем), а угол а между

гипотенузой

и 'горизонтальной

про

екцией отрезка

есть

угол, составляемый

отрезком

пло

скостью Я . Таким образом, длина

отрезка

прямой

общего

по

ложения

в проекциях

выражается

гипотенузой

прямоуголь

ного

треугольника,

одним

катетом

которого

служит

одна

проекция

отрезка,

вторым

катетом — разность

расстояний

концов

второй

проекции

отрезка

до

оси

проекций.

Определение, угла, составляемого отрезком AB с

фрон

тальной

плоскостью

проекций,

аналогично

показано

на

рис. 14,6. Через ближний к плоскости V конец А отрезка про

водят

линию AN=a'b',

параллельную

а'Ь'. Тогда

образуют

искомый

угол

ß.

Очевидно,

NB =

Bb' — Nb'

есть

графическая разность расстояний концов А

и В

до

плоско

сти V. На рис. 14, г

проекциями

изображен

отрезок

об

щего положения. Для построения длины отрезка и угла, со ставляемого им с фронтальной плоскостью проекций, фрон

тальную	проекцию	а'Ь' отрезка принимают за	один	катет.
На горизонтальной		проекции из ближайшего к оси ОХ		конца
отрезка	проводят линию an, параллельную ОХ.		Тогда	обра
зуется	bn = bbx — nbx — графическая разность		расстояний
22

концов А и В ДО1 плоскости V. На фронтальной плоскости проекций в конце Ъ' олрезка прямой восстанавливают пер пендикуляр к а'Ь' и откладывают на нем длину Ьп. Гипоте нуза AB (помечена нулем) есть длина отрезка, a ß — угол, составляемый AB іс фронтальной плоскостью проекций.

§ 5. Проецирование в четвертях пространства

До сих пор все 'точки располагались в пространстве дву гранного угла перед плоскостью V и над плоскостью Н. Однако точки могут находиться под плоскостью Я и за пло скостью У вне пределов угла. Для построения проекций таких

Т	W	f
	W	f
	1	1
	1	1
	1	1
	1
\		\	1
\		1	I
		1	I
		'	t '
и		i f	I
и			и
нМ			и
нМ

точек образуют новые двугранные углы. С этой целью про

должают плоскость Я эа плоскостью

V (рис. 15, а) и часть ее,

расположенную перед плоскостью V, называют передней

по

лой,

часть,

расположенную

за

плоскостью

именуют

задней

полой

горизонтальной

плоскости

проекций.

Фронталь

ную

плоскость V продолжают

вниз

под

плоскость

Я. Часть

ее над плоскостью Я называют

верхней

полой,

а под

плоско

стью

Я — нижней

полой фронтальной

плоскости

проекций.

Теперь плоскости Я и V, пересекаясь по оси ОХ,

образуют

четыре угла, называемые четвертями пространства.

Передняя

пола Я и верхняя пола V составляют первую четверть;

про

ецирование

этой

четверти

было

изложено

выше.

Задняя

пола

верхняя

пола

образуют

вторую

четверть.

Нижняя пола

задняя

пола

образуют

третью

чет

верть. Передняя пола Я и нижняя пола

V образуют

четвер

тую

четверть. Чтобы

получить

эпюр

(рис.

15,6)

плоскостей

проекций, составляющих четверти, переднюю полу Я повора чивают вокруг оси ОХ вниз (показано стрелкой на рис. 15, а),

а задняя пола ів это же время поднимется віверк и совместит ся с фронтальной плоскостью. В каждой из четвертей берется точка. Рассмотрим особенности расположения проекций то чек. В дальнейшем по этим особенностям можно легко узна вать, в какой четверти пространства расположена точка или прямая. Проекции точки А в первой четверти расположены так: фронтальная а' выше оси ОХ, a горизонтальная а ниже

ОХ.	Точка	В	взята	во	второй	четверти		(ом. рис.		15, а).
Ее	фронтальная проекция				Ь' расположена выше оси ОХ						на
плоскости		V;	горизонтальная проекция				b •— на		задней		поле
плоскости Я. При совмещении						плоскостей горизонтальная
проекция b поднимается вверх и своим расстоянием bbx										нале
жится на расстояние Ъ'ЬХ.					Линии	bbx	и	b'bx	сольются.		На
рис.	15,6	проекции		b и Ь'	расположены выше				оси ОХ.		Это
положение проекций характерно для всех точек,									расположен
ных в пространстве второй					четверти. Точка			С взята в третьей

четверти (см. рис. 15,а). Ее фронтальная проекция с' распо лагается на нижней поле плоскости V, ниже оси ОХ. Гори зонтальная проекция с проецируется на заднюю полу Я и при повороте плоскостей вместе с Я поднимется вверх и рас

положится выше оси	ОХ. На рис. 15, б			проекции	с	« с'	точ
ки С располагаются	на	одном	перпендикуляре		к	оси	ОХ,
причем горизонтальная		с—над	осью,	а фронтальная			с' —

под осью ОХ. Такое положение проекций на чертеже харак

терно для всех точек, взятых в пространстве третьей					четверти.
Точка D накопится в пространстве четвертой четверти						(см.
рис. 15,а). Ее фронтальная проекция d'проецируется					на	ниж
нюю полу плоскости		V и	ниже оси	ОХ. Горизонтальная		про
екция d	.проецируется	на	переднюю	полу плоскости	Я.	При
повороте	плоскостей проекций горизонтальная проекция					опу

стится вниз. На рис. 15,6 проекции d и df располагаются на одном перпендикуляре к оси ОХ ниже ее. Такое положение проекций характерно для всех точек и прямых, взятых в про странстве четвертой четверти.

Точка может быть расположена на любом удалении от плоскостей проекций Я и V, и на чертеже это будет выра жаться расстояниями от проекций точки до оси ОХ. Нащример, на рис. 16, а даны проекции точки Е во второй четверти. По положению проекций видно, что точка отстоит от плоско

сти Я дальше, чем от плоскости			V,	так	как	расстояние		е'вх
от фронтальной проекции до оси			ОХ	больше, нежели еех				от
горизонтальной проекции	до оси		ОХ.	Проекции: /			и f точки F
показывают обратное: точка		отстоит		дальше		от	фронталь
ной плоскости проекций и ближе			к горизонтальной, так					как
горизонтальная проекция	/	дальше от-оси ОХ.					Проекции k
и kf точки К сливаются	в одну		точку.		Это	свидетельствует
о том, что точка равно	удалена		от	плоскостей Я и V. Про-
24

ѳкции m и m' точки M показывают,

что она расположена

на

фронтальной

плоскости, так

как ее

горизонтальная

проекция

m лежит на

оси

ОХ,

это

'свидетельствует

об

отсутствии

расстояния от точки

M до плоскости

V. Фронтальная

проек

ция т' имеет расстояние до оси ОХ, 'следовательно, точка M

приподнята над плоскостью Я на расстояние

mm'.

Проекции

п и п' точки

І Ѵ

показывают,

что она расположена

на

гори-

а)

.S)

m 1

кк

f ' |

X — 6

rt'

/г,

} x

Рис.

зонтальной плоскости проекций. Аналогичное положение для тек же точек дано в четвертой четверти (.см. рис. 16,6). Таким образом, по проекциям читается положение самой точ ки в пространстве.

На рис. 17, а дан чертеж отрезка AB прямой линии, рас положенной во второй четверти. Всеми своими точками отре зок расположен на больших расстояниях от плоскости Я

Рис. 17

(рис. 17,6), чем от плоскости V, так как проекция Ь'а' даль

ше от	оси ОХ, нежели	ab.	Отрезок прямой MN		(рис. 17, в)
имеет	положение, при	котором конец N расположен ближе:
к плоскости V и дальше от H, а конец M ближе				к	плоскости
Я и дальше от V. Проекции			встречаются в точке	kkf. Это сви

детельствует о том, что на отрезке MN имеется точка К, равно» удаленная от плоскостей Я и V. Такая же точіка может быть

получена и на рис. 17,6, если	проекции ab и а'Ь' продолжить
до взаимного пересечения.	На рис. 17, г проекции ef	и e'f
отрезка EF прямой линии совпадают по всей длине. Это 'сви
детельство того, что отрезок	EF есть геометрическое	место

точек,	каждая	из которых	раівіно удалена	от плоскостей Я
и V.
Определение		видимости	проецируемых	элементов в чет
вертях.	При проецировании		предполагают	взгляд наблюда

теля устремленным по направлению проецирующего перпен дикуляра со стороны первой четверти. Поэтому в первой четверти предмет и его проекции всегда изображаются види мыми линиями. При направлении проецирования на горизон тальную плоскость всегда будем видеть проецируемый объект в пределах первой и второй четвертей и изображать горизон тальные проекции ів этих четвертях видимыми. В третьей и четвертой четвертях проецируемый объект расположен под горизонтальной плоскостью, а наблюдатель находится над нею, поэтому предмет, закрытый горизонтальной плоскостью,

будет невидим и его горизонтальные проекции-на нижней по верхности плоскости следует изображать штриховыми линия ми. На рис. 18, а, отрезок AB расположен в четвертой чет верти, его горизонтальная проекция ab изображена штрихами как невидимая при взгляде сверху. На рис. 17, б горизонталь ная проекция ab отрезка AB, находящегося во второй четвер ти, изображена видимой линией, так как отрезок AB распо ложен выше плоскости Я.

, При проецировании на фронтальную плоскость проекций наблюдатель находится перед нею (со стороны первой и чет вертой четвертей) и будет видеть проецируемый объект. Поэтому фронтальные проекции в этих четвертях изобра жаются видимыми сплошными линиями. Во второй и третьей четвертях проецируемый объект расположен за фронтальной, плоскостью проекций, поэтому наблюдатель не видит объекта и фронтальные проекции во второй и третьей четвертях сле дует изображать штриховыми линиями. На рис. 17,6, в фрон тальные проекции Ь'а' и n'm' изображены штрихами. На рис. 18,6 фронтальная проекция а'Ь' изображена сплошной линией. На рис. 17, г проекции сливаются, но одна из них е\ видима, a e'f невидима. Очевидно, что в третьей четверти обе проекции должны быть изображены невидимыми, так как 26

проецируемая линия CD закрывается задней полой горизон тальной и нижней полой фронтальной плоскостей проекций (рис. 18, г).

§ 6. Проецирование на три плоскости проекций

При проецировании	некоторых предметов две проекции
не всегда дают полное	представление о его' форме. Возни

кает необходимость дополнительной, третьей проекции. В этом


случае	проецируют		в пространстве	угла, образованного
тремя	взаимно	перпендикулярными		плоскостями	проекций.
На рис. 19,а. третья			плоскость перпендикулярна		плоскостям
Я и V. Ее называют профильной плоакостью проекций и обоз
начают	буквой	W. С горизонтальной		плоскостью	она пере

Рис. 19

секается по оси OY, а с фронтальной — по оси OZ. На рис. 19,6 плоскости проекций изображены в развернутом и совмещенном с плоскостью V положении.

В пространстве	трехгранного	угла	(см. рис.	19, а) взята
точка Л. Требуется получить три		ее проекции. Проецирование
на две плоскости	показано на	рис.	10,а., Для	построения

третьей проекции через точку Л проводят линию, перпенди кулярную к профильной плоскости проекций W. Для опреде ления точіки пересечения проецирующего луча с плоскостью W

через горизонтальную проекцию а проводят линию аау,						пер
пендикулярную оси OY,			и на	последней отмечают	точку	аѵ.
В точке	ау	по, плоскости	W проводят линию аѵа"		до пересе
чения с	проецирующим		перпендикуляром Аа".		Точка	их
пересечения		а" есть профильная		проекция точки Л. Она обоз
начается	'буквой а" с двумя штрихами.

Проекция а" может быть получена еще и другим путем. Через а' проводят линию a'az, перпендикулярную оси OZ, в пересечении іс которой образуется точка az. От точки аг

перпендикулярно OZ			на	плоскости		W проводят		линию		ага"
до пересечения с Аа" в				точке а".	Профильная		проекция а"
лежит в двух прямоугольных четырехугольниках Аааѵа"										и
Аа'ага".	Проекции а'		и а" лежагг на сторонах а'аг					и a"az,		ко
торые при развороте плоскостей составят линию								tfaza",		пер
пендикулярную оси OZ. Это подтверждает основное положе
ние, что	фронтальная		и профильная			проекции	(а'	и а")		рас
полагаются		на одном	перпендикуляре			к оси OZ. Проекция а"
расположена еще и			>в прямоугольнике Ааауа",					стало	быть,
проекции а и а" лежат на сторонах						ааѵ и а"ау,	которые			при
развороте плоскостей составят одну линию аауа",								перпенди
кулярную		к оси OY. Из		этого следует, что горизонтальная						и
					X	г
				с'	X	Сг YС" а)		в	!
				•\г.4		\г			+
									+
									'•4—V
										Л=3
				У=2					,у=г
				С		1
						Рис.	21
профильная		проекции	(а и а") располагаются				на	одном		пер
пендикуляре		к оси OY. Последнее			позволяет определять					по

ложение третьей проекции точки на чертеже.

На рис. 19,6 даны проекции а и а' точки А. Третья про екция а" располагается на линии, перпендикулярной к оси OZ и проведенной через фронтальную проекцию а'. Но проекция а" располагается еще на линии, перпендикулярной к оси OY и проходящей через горизонтальную проекцию а. Проведя

линию aaVh,		переводят ее под углом				в 45° на ось OYw и полу
чают	точку	ayw.	Теперь	по плоскости W вверх проводят ли
нию до пересечения с перпендикуляром к OZ — a'aza"									в точ
ке а"	(показано стрелками). Третья проекция а" лежиіт на
пересечении перпендикуляров					ік осям		OZ и OY. Отсюда сле
дует,	что две		проекции	одной	тонки		определяют	положение
третьей ее		проекции.
Задав профильную с"Ь" и горизонтальную сЬ проекции
линии	СВ	(рис. 20), фронтальную				проекцию ее		cfb'	полу
чают проведением перпендикулярных к осям OZ и ОХ линий
связи	до их взаимного			пересечения. Задав фронтальную с'Ь'

и профильную с"Ь" проекции, можно построить горизонталь ную проекцию cb.

Задание положения точки в пространстве способом коор динат. Положение точки в пространстве задавалось расстоя ниями от точки до плоскостей проекций, выбранными про извольно, например Аа, Аа', Аа" (см. рис. 19,а). Проекции этих расстояний на рис. 19,6, определяя положение про екций точки, позволяют представить себе тачку в простран стве. Расстояния от точки в пространстве до плоскостей про

екций на	чертеже соответственно		раины и	параллельны
отрезкам	осей проекций:	Аа"=ОХ;	Aa' — OY	и Aa =	OZ.
Задавая эти расстояния		отрезками	осей, измеряемыми в		не

котором, заранее принятом масштабе, можно придавать любое необходимое положение точке (или точкам) в пространстве.

Для этого следует			оси	проекций принять за оси координат
и откладывать		по	ним	от начала осей	координат	точки	О
заданные	величины.
Пусть	дана	точка С		координатами	Х = 2>, Y =	2, Z =	4

в каком-нибудь линейном .масштабе. В дальнейшем коорди наты точек будут задаваться в виде С (3, 2, 4). По данным

координатам

на рис.

21, а

по

оси

ОХ откладывают

отрезок

ОСх=3

единицам, по

оси

OY — отрезок

ОСу = 2 единицам,

по оси

OZ — отрезок

OCz

—4

единицам.

Через

Сх

проводят

линию

связи,

перпендикулярную

ОХ,

через

— линию

связи,

перпендикулярную

оси

OZ,

до

пересечения

точ

ке

с'

линией,

перпендикулярной

ОХ,

через

Сѵ —

линию, перпендикулярную

оси

OY,

до

пересечения

точке

с с

линией,

перпендикулярной

оси

ОХ.

Таким

образом,

построены

горизонтальная

фронтальная

с'

проекции

точки

С.

Третья проекция строится по двум полученным и имею

щимся

координатам.

Когда

необходимо

построить только

две

проекции,

поступают

так,

как

показано на рис.

21,6.

Если построены проекции точки по

произвольным

расстоя

ниям, то всегда

можно

измерить их по

осям ОХ,

OY,

и по

координатам проанализировать положение точки в простран

стве между тремя плоскостями проекций. На	рис.	21 пока
зано, что каждая координата повторяется	на	чертеже
дважды.

§7. Проецирование в восьми углах пространства

Впроцессе выполнения различных заданий в практике

машиностроения, строит ельств-а и т. п. приходится решать


задачи проецирования не только в одном				углу или четверти
пространства. Если взять	три	плоскости		H,	V и W,	.состав
ляющие первый основной	трехгранный		угол (рис. 22),			и про
должить каждую ив них под плоскость Н, за					плоскость V и
за плоскость W, то образуется		восемь	углов		пространства,

<<< < Предыдущая 1 23 / 213 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ