Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Начертательная геометрия курс лекций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

8.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

их можно представить себе расположенными в двух взаимно параллельных плоскостях, занимающих оібщее положение относительно плоскостей проекций H, V, W. На риіс. 47, а по казаны прямые AB я CD, не лежащие в одной плоскости, не пересекающиеся и не параллельные. Одноименные проек ции их могут пересекаться, но не на проекциях одной точки.

				Рис. 46
На	рис. 47, б	даіны	три проекции скрещивающихся			прямых
AB	и CD. Горизонтальные			проекции	ab и de пересекаются
в точке 1, 2,		но эта	точка	не служит	одновременно	точкой

Рис. 47

пересечения и фронтальных проекций линий, так как проек


ция точки	/ ' на d'e'	расположена			выше	проекции точки				2'
на а'Ь'. Следовательно, точка /				расположена			на	DC,	а точ
ка 2—на	линии AB	и в	месте	кажущегося пересечения						на
кладываются одна на другую.				Фронтальные			проекции			а'Ь'
и d'-cf линий пересекаются			в точке 3', 4',			но эта		точка	также
не является одновременно			точкой		пересечения		и	горизонталь

ных проекций линий, так как проекция точки 3, расположенная на ab, отстоит дальше от плоскости V, нежели проекция точ-

ки 4, расположенная на	de.	Следовательно, и здесь точки 3
и 4 накладываются одна	на	другую. Положение профильных

проекций линий показывает, что они явно не пересекаются. Может быть и такое положение скрещивающихся прямых в пространстве, когда на трех плоскостях проекции их пере секаются, как, например, на рис. 48, а.

В этом случае на прямых имеются три пары точек, накла дывающихся друг на друга на каждой из плоскостейпроек ций.- Такие точки мнимого пересечения равно удале ны от какой-нибудь (плоскости проекций и расположены на одном проецирующем перпендикуляре к этой плоскости. Так, например, точки 1, 2 расположены на одном перпендикуляре

Рис. 48

к плоскости V (рис. 48, б). При этом точка 1 расположена дальше от фронтальной плоскости, так как расстояние /, 1Х


больше 2, 2Х и ближе	к глазу наблюдателя.	Точки		мнимого
пересечения прямых линий, расположенные на		одном		перпен
дикуляре к плоскости проекций, называются			конкурирую
щими. Посредством	таких точек определяется		видимость

частей пересекающихся прямых линий, плоскостей, поверхно стей тел. На рис. 48, б точка / и линия CD, которой она при надлежит, расположены ближе к глазу наблюдателя, поэтому

точка V	будет перекрывать точку 2' на	прямой	линии AB.
Пусть AB	и CD представляют собой края	линеек	(рис. 49, а ) ,

одна из которых перекрывает другую. Чтобы определить, ко торая из линеек будет частично закрыта на фронтальной пло


скости,	следует отметить точки			1 м 2	мнимого		пересечения,
т. е. конкурирующие		точки. Условимся, что точка V						принад
лежит c'df, а точка 2'		•—проекции		а'Ъ'.	Спроецировав			точку 2
на abym 1 на cd, видим, что точка				1 расположена			на cd ближе
к глазу	наблюдателя		(дальше	от оси		ОХ),	поэтому она
будет видна, а с нею			будет видима		и	вся линейка		CDEF.


Фронтальная проекция линейки	c'd'é]'	перекрывает		проек
цию линейки а'Ут'п'. Для определения		видимости на		каждой
Проекции следует брать пару конкурирующих точек				на	этой'
же проекции. На рис. 49, б даны	два круглых		стержня,		скре
щивающихся в пространстве. Если проекции			eff точек		скре

щивания их осей а'Ь' и c'd' на фронтальной плоскости спрое

цировать на горивоніташьную проекцию, то проекция				точки е,
расположенная	дальше от		плоскости V, а потому	ближе
к глазу наблюдателя,		будет видна и закроет точку f		на пло
скости V. Стало быть,		фронтальная проекция стержня с осью
а'Ь' и точка е'	будут	видны	и частично в месте скрещивания

Рис. 49

закроют стержень с осью c'd' и точкой /' на ней. Для опре деления видимости горизонтальных проекций воізьмем проек ции тп точек скрещивании. Фронтальные проекции а'Ь' и c'd? показывают, что т' расположена выше, а следовательно, ближе к глазу (при взгляде сверху на плоакость Н), поэтому она будет видна и перекроет горизонтальную проекцию точ ки п на стержне с осью ab.

§ 11. Проекции прямого угла

Частным случаем пересекающимся прямых являются ли нии, составляющие в пространстве примой угол. Если сто роны прямого угла и плоскость его относительно плоскостей проекций имеют общее положение, то прямой угол будет проецироваться тупым или острым. Однако бывают случаи, когда прямой угол может проецироваться прямым. Это воз можно, если: а) стороны его параллельны какой-нибудь пло-

.окости проекции; б) одна сторона параллельна плоскости проекций или лежит в какой-либо плоскости проекций.

Стороны угла	параллельны	плоскости	проекций. Линии	AB
и ВС составляют	угол в 90°	(рис. 50,а).	Если стороны AB	и

.52


ВС	параллельны Плоскости Я, то,			очевидно, плоскость угла
АБС	параллельна	горизонтальной		плоскости	проекций, и
поэтому угол сяроецируется иа			последнюю ів истинную вели
чину. Так как ABC		\|\| Я \|\| abc, то	abc = ABC. На		фронтальную

и профильную плоскости проекций угол слроецируетіся пря


мыми линиями		а'Ь'с' \|\| ОХ	и a"b"c" \\OYw.		На рис 50,6			пока
заны проекции угла ABC, параллельного плоскости Я . Его
Горизонтальная		проекция abc изображает			истинную		величину
прямого	угла,	фронтальная • проекция			а'Ь'с'	параллельна
оси ОХ,	профильная а"Ь"с"		параллельна		OYw.	Угол DEF рас
положен	параллельно фронтальной			плоскости. Его			горизон
тальная	проекция в виде		линии def	параллельна			оси	ОХ,

Рис. 50

а фронтальная d'e'f изображает истинную величину прямого

угла	(рис. 50, в).
Одна		сторона угла параллельна					плоскости		проекций.		Путь
дан прямой			угол	ABC	(рис. 51,а), у			которого		сторона ВС
параллельна			горизонтальной			плоскости, а сторона AB					накло
нена	к	этой	плоскости		проекций, но перпендикулярна^ к ВС.
Здесь	ВС II be и ВС=Ьс,				но АВфЬа,			так как AB		не	парал
лельна		плоскости		Я. Прямоугольник				ВЬсС	перпендикулярен
к плоскости			Я.	Трапеция		АаЬВ	также		перпендикулярна

к плоскости Я. Плоскости прямоугольника ВЬсС и трапеции АаЬВ составляют между собой прямой угол, так как AB пер пендикулярна ВС. Линия ВЬ здесь ребро двугранного угла между АаЬВ и ВЬсС. Мерою двугранного угла іслужит линей ный угол abc, ^стороны которого ab и be перпендикулярны к ребру ВЬ. Угол этот образован пересечением плоскости Я (перпендикулярной ребру ВЬ) с двумя взаимно перпендику

лярными	плоскостями			ВЬсС	и АаЬВ.		Стало		быть,	горизон
тальная	проекция		abc	прямого		угла	ABC,	у	которого		одна
сторона	ВС	параллельна			горизонтальной				плоскости,		есть
также прямой		угол.	Проекции			сторон	AB	и ВС на		плоскости
											£3

V показывают, что b'c' параллельна оси ОХ и а'Ь' не парал

лельна ОХ. Проекции a'bJ			и b'c'	составляют тупой угол. Если
(рис.	51, а)	сторону AB	ів .плоскости		AabB	поворачивать
вокруг	конца	В, поднимая	конец	А выше	(или	ниже), то го

ризонтальные проекции ее {аф; аф) будут неизменно на проекции ab, но фронтальные проекции а / ; а% точки А будут располагаться выше (или ниже) и проекции сторон a{b'\ а2'Ь'' будут составлять с b'c' всегда тупой угол. Теперь повернем

сторону AB вокруг ВС	так, чтобы она	заняла	положение
линии BD на рис. 51,6,	сохраняя прямой	угол с	ВС. Проек

ции be и bd составят прямой угол на плоскости Я . Фронталь ная проекция dr точки D спроецируется теперь справа от Ь',

Рис. 51

а поэтому проекции b'df и b'c' сторон прямого угла будут составлять острый угол. Следовательно, в зависимости от по ложения, занимаемого стороной AB (или BD), не параллель ной плоскости Я, на фронтальную и профильную плоскости

проекций прямой	угол	проецируется тупым		либо	острым.
На рис. 52, а показаны		проекции	прямого угла	по	рис. 51, а.
Горизонтальная	проекция .угла		изображает	неискаженную

величину прямого угла. Положение проекции ab левее про екции стороны be дает на фронтальной проекции положение

а'Ь', составляющее с b'c1 тупой,			а на	профильной проекции —
острый	угол. На рис. 52, б положение			проекции bd правее be
дает на	фронтальной проекции		положение b'd', составляющее
с b'c' острый,		а на профильной	проекций — тупой угол.
Бели	одну	сторону угла расположить параллельно фрон

тальной плоскости проекций, то, применив здесь все сказан

ное относительно стороны, параллельной Я, получим						анало
гичные результаты. На			рис. 52, в сторона	NK	параллельна
плоскости	V,	поэтому nk	параллельна оси	ОХ,	а тп	не па
раллельна	ОХ.	Проекции т'п' и n'k' 'составляют			прямой угол,
а тп и nk	— тупой. Изменив положение проекции т'п'					на п'1',
54

Рис. 53


на фронтальной плоскости				будем		иметь	прямой	угол,		а на
горизонтальной — острый			угол		(рис. 52, г).
Если	сторона NK	прямого			угла	лежит на плоскости				про
екций Я	(рис. 53, а),	то	на	эту плоскость			угол проецируется;
прямым	(проекция knm),		а на		две	другие — тупым			или	ост
рым (рис. 53,6). Если сторона					ВС прямого угла			ABC	парал
лельна	двум плоскостям		проекций			(Я и	V), то< на эти			пло
скости угол проецируется прямым. Сторона AB в этом										слу
чае параллельна профильной плоскости проекций								(рис. 53, в).

На профильную плоскость проекций угол проецируется пря мой линией.


На основании всего сказанного можно					сформулировать
общее	положение: прямой		угол	проецируется	прямым		на ту
плоскость проекций,		на	которой	или параллельно		которой
располагается хотя		бы одна сторона угла; ѣа две				другие	пло
скости	проекции	прямой	угол	проецируется		тупым	или

острым.

Г Л А В А I I

пл о с к о с т ь

§12. Способы задания плоскости

Плоскость в пространстве может быть задана:

1)	тремя точками, не лежащими на		одной прямой линии
(рис.	54,а);	(рис. 54, б) ;
2)	точкой и примой линией	(рис. 54, б) ;
3)	двумя параллельными,	прямыми	линиями (рис. 54, в) ;

	Рис. 54
4)	двумя пересекающимися прямыми линиями (рис. 54, г) ;
5)	следами.

Как видно на рис. 54, от первого способа легко	перейти
к последующим. Соединив, например, проекции точек	be и Ь'сг

прямыми линиями, получим второй способ. ЕІСЛІИ через точку аа' провести проекции прямой линии ad, a'd', параллельной be, b'c', то будем иметь третий способ задания плоскости. Проведя через точку аа' прямую линию до пересечения с пря мой be, b'c' в точке dd', получим четвертый способ. Перечис ленные способы позволяют решать разнообразные задачи. Однако наиболее широко в начертательной геометрии приме няется задание плоскости ее следами.

§ 13. Плоскость, заданная следами

•Плоскость, заданную в пространстве отрезками прямых линий, можно проложить так, чтобы прямые, задающие ее,

пересеклись с плоскостями проекций.	На рис.	55, а отрезки
АЕ и СВ прямых, пересекающихся в	точке D,	задают пло

скость Р. Продолженные в сторону фронтальной плоскости

проекций	отрезки пересекают ее		в точках Ѵ\ и	Ѵ2. Эти точ
ки — следы линий АЕ я СВ. Прямая линия,					проведенная
через следы Ѵ\ и Ѵ2,		будет, очевидно., линией			пересечения
плоскости Р с фронтальной плоскостью проекций.
Линия	пересечения	какой-либо	плоскости	с	плоскостью
проекций называется следом плоскости. Обычно					плоскости,
задаваемые в пространстве следами, оібозігаачают					буквами Р,
Q, R, Т,	S.

Следу плоскости присваивается название плоскости про екций, в пересечении с которой он образовался. Линия пере сечения плоскости Р с фронтальной плоскостью проекций, проводящая через следы Ѵ\ и Ѵ2 прямых АЕ и СВ, назы вается фронтальным следом. След обозначается той же бук вой, что и сама плоскость, но с индексом плоскости проек ций. Так, фронтальный след плоскости на рис. 55, а обозна чается Рѵ. Отрезки АЕ и СВ прямых, продолженные в сто рону горизонтальной плоскости проекций, пересекут ее в точ

кам	Hi	и	#2, являющихся горизонтальными следами линий
АЕ	и	СВ.	Прямая, проведенная	через следы Hi	и Я 2 ,	есть
линия пересечения плоскости Р с горизонтальной					плоскостью
проекций,			т. е. горизонтальный	след, и в дальнейшем		будет

обозначаться Рн- Линия пересечения плоскости Р с профиль

ной плоскостью проекций называется				профильным		следом
плоскости	и будет	обозначаться	Pw.	Каждая	пара	следов
плоскости	вваимно	пересекается на		одной какой-либо оси
проекций	в точках,	обозначенных	на	рис. 55, а	буквами Рх,

Ру, Рг. Эти точки называются точками схода следов шюскости.

Обычно плоскость задают на чертеже двумя произвольно расположенными .следами в первом углу пространства. Одна ко /можіно задать направление следов, а потому и положение

ЬТ

плоскою™ ів .пространстве точками схода					следов	(тремя	точ
ками). В этом случае задают				численные	величины (в каком-
нибудь принятом			масштабе)	отрезками	осей проекций		0РХ,
ОРу,	0PZ.	На рис.	55, а дано наглядное изображение плоско
сти.	На	рис. 55, б	плоскость	изображена	тремя	проекциями
двух	пересекающихся в точке			d, d', d" отрезков		прямых	ли

ний. Здесь построены следы прямых и через проекции их h\ и h2 на горизонтальной плоскости проведен горизонтальный след плоскости Ph, через .фронтальные проекции фронтальных

следов Ѵ\ и К2 — фронтальный след Рѵ.	Следы Ph и Рѵ долж
ны обязательно пересечься на оси ОХ	в точке Рх. След	Рѵ
пересекается с осью 0Z в точке Pz, а	след Ph — с осью	OY

Рис.

точке Ру. Беля перенести PVh с плоскости

на плоскость

соединить Pyw

Pz,

то

образуется

.след

на профильной

плоскости проекций. Наглядное изображение плоскости R,

заданной

двумя

параллельными

отрезками

AB и СЕ

прямых

линий, показано

на рис. 56, а. Продолжение отрезков до пере

сечения с плоскостями

и К дало горизонтальные

(Яі и Я 2 )

фронтальные

(Кі и К2 ) следы прямых,

через

последние

прошли

следы

и Rv

плоскости,

пересекающиеся

на

ОХ

в точке Rx-

На рис. 56, б

показаны проекции этих прямых, построение

проекций

следов

Я і Я 2

и КіК2

отрезков

следов

Rh и

.плоскости. Могут быть заданы такие положения прямых, при


которых точка			схода следов		плоскости Тх			выходит		за преде
лы чертежа		(рис. 56,в). В этих случаях						необходимо			наличие
двух	фронтальных и			двух	горизонтальных				следов		прямых,
определяющих			направление		и	положение			каждого		следа.
Из рис. 55, а,			б и 56, а, б видно,			что	задание плоскости сле
дами	более	наглядно,		чем	точками		и	прямыми		линиями.

В дальнейшем изложении /плоскости будут изображаться пре имущественно следами. Из оказанного выше вытекают два важных положения:

1) іоледы плоскости проходят через следы прямых линий, задающих эту плоскость;

Рис. 56

2) следы прямых линий, расположенных в плоскости, ле жат на одноименных следах этой плоскости (см. рис. 55 и 56).

	Необходимо						отметить
еще		одну		условность					изо
бражения				проекций				следов
плоскости. На рис. 57 сле
дами			Рѵ	и Ph		дана			пло
скость			Р.	След			плоскости
лежит на той плоскости про
екций, в пересечении с ко
торой			он	образовался.					Из
этого			следует,		что		каждый
след совпадает со своей од
ноименной				проекцией.					На
пример, фронтальный								след и
его		фронтальная					проекция
Рѵ'	совпадают				(сливаются),
а	горизонтальная					его		проек
ция Рѵ			проецируется					на	ось	р и с	57
ОХ.		Поэтому			любая			точка
А	(а,	а'),		лежащая			на	следе Рѵ,		будет иметь	свою фронталь
ную		проекцию			а'	на Рѵ,			а горизонтальную проекцию а — н а

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ