Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Начертательная геометрия курс лекций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

8.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 215 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>


получения	фронтального следа		V	и	его	одноименной	проек
ции ѵ' надо		горизонтальную	проекцию			прямой ab	пересечь
с осью ОХ и точку пересечения				их	(и)	спроецировать		на
фронтальную		(a'bJ) проекцию	прямой.

На рис. 33,6 этот отрезок лииии изображен своими проек циями ab я dfb'. Для построения проекции горизонтального следа продолжим фронтальную проекцию а'Ь' до пересечения с осью ОХ ,в точке hf. Это фромтальна;я проекция горизон тального следа. Спроецировав h' на ab, получим горизонталь ную проекцию h горизонтального следа прямой. Горизонталь-

Рис.	33
ная проекция ab продолжена	до пересечения	с	осью ОХ
в точке v, являющейся горизонтальной проекцией			фронталь
ного следа. Спроецировав точку	ѵ н,а проекцию	а'Ь',	получим

точку ѵ', являющуюся фронтальной проекцией фронтального


следа	прямой. Если		отрезок	продолжить под	горизонтальную
плоскость проекций			(точка	F, рис. 33, в), то часть HF отрез
ка AB	будет	находиться в		четвертой четверти	пространства.
Если	отрезок	продолжить		за фронтальную	плоскость, то

часть ѴЕ отрезка будет наіходитьоя во второй четверти. На

рис. 33, в показаны		видимые чаісти		линии по		четвертям про
странства.
Построение	трех	следов	прямой.	На	рис.	34 дано		нагляд
ное изображение линии AB,			ее проекций и следов. Построе
ние (следов H и	V уже было пояснено на рис. 33.						Пересекаясь
с фронтальной	плоскостью		проекций и		проходя		во	второй
угол, линии AB	встречается с задней полой профильной пло-

скости и, пересекаясь

нею, образует

свой третий

след —

профильный. На рис. 34 видно, что профильный след

W опре

делится,

если

продолжить

фронтальную

h'a'b'v'

проекцию'

прямой до пересечения

с осью

OZ и, ів полученной

точке w'

провести

перпендикуляр

к 0Z

до

пересечения

продолже

нием h"a"b"v"

в точке w"

либо

если

продолжить

горизон

тальную

проекцию

habv

до

пересечения

отрицательной

частью оси — OY и

ів

точке

w восставить

перпендикуляра

к — OY до пересечения с линией НАВѴ

в точіке w". При раз

вороте плоскостей след

W вместе с задней полой

профильной

плоскости

повернется влево и будет располагаться

слева o r

						Рис. 34
оси 0Z. Из выполненных выше построений можно										вывести
основное		положение: след				(W)	и его одноименная			проекция
(w")	располагаются			на	той плоскости			проекций,	с	которой
линия	пересекается,			две	другие		проекции	следа (w	и w') на
ходятся		на	осях проекций			и являются		точками	пересечения
Одноименных			проекций		линии		с осями	проекций.

Пусть теперь на рис. 35 даны три проекции линии AB. Продолжив ab' до пересечении с ОХ в точке h' и спроециро вав последнюю на ab, будем иметь горизонтальную проек цию h следа Я. Профильная проекция а"Ъ", пересекаясь с 0YW, образует профильную проекцию h". Точки h, h', h" — проекции горизонтального следа. Две проекции h' и h" рас полагаются на осях, а третья (h) принадлежит одноименной плоскости и проекции линии. Продолжив горизонтальную проекцию ab до пересечения с осью ОХ в точке ѵ и спроеци ровав точку V на фронтальную проекцию а'Ь', будем иметь фронтальную проекцию ѵ' фронтального следа линии. Про-

филыная проекция a"b", пересекаясь с осью OZ, образует третью профильную проекцию ѵ" .фронтального следа. Точки и, ѵ', ѵ" есть проекции фронтального следа прямой. Две про екции его V и ѵ" располагаются иа осях, а третья проекция (ѵ ) лежит на фронтальной плоскости, на проекции линии.

Продолжив	фронтальную проекцию	a'W	до	пересечения
с осью 0Z,	получим фронтальную проекцию		w'	профильного
следа. Восстановив в точке w' перпендикуляр			к 0Z и		продол
жив его до пересечения с продолжением а"Ь",				получим про
фильный след W и его одноименную проекцию				w".	Продол
жив горизонтальную проекцию ab до		пересечения во			втором

углу с отрицательным направлением оси ОУд, получим

\Ун(-г)

Рис. 35

точку w — горизонтальную проекцию профильного следа. Проекции w и по' располагаются на одном перпендикуляре (OZ) к оси ОХ. Горизонтальная проекция w профильного следа принадлежит горизонтальной проекции ab.


Если	линию		AB	продолжить		под	горизонтальную				пло
скость проекций			(под іслед), то она своим					отрезком		ЕН будет
располагаться в 4-м углу пространства								(рис.	36).	Если	AB
продолжить		вверх		за профильную		плоскость			(за	след	W),
то своим отрезком WF она находится							в	б-м	углу	простран
ства. Линия		AB	проходит через 4, 1, 2 и					6-й	углы	простран
ства. На	рис. 36 показано, как				разграничить				на	проекциях
части линии,		расположенные в			разных		углах		пространства.
Отрезки линии измеряются от следа до следа									и от	следа до
конца линии. Проекции отрезков линии показаны оплошными


или	штриховыми в соответствии с видимостью линии в каж
дом	углу пространства. Таким образом,				для	построения
следа		необходимо		проекции прямой линии	продолжить		до
пересечения			с осями проекций, ограничивающими ту				пло
скость,		след	на	которой определяется. Так,	например,		для

построения профильного	следа	необходимо	пересечь	фрон
тальную проекцию с осью	0Z	либо горизонтальную		с осью

Рис. 36

OYh. В любых углах пространства проекции следов прямой строятся по этому общему методу.

Прямая линия имеет два следа. Прямая линия, параллель ная плоскости проекций,* пересекается с двумя другими и

				X
		Рис.	37
имеет	поэтому	двіа следа. На	рис. 37, а	изображена фрон-
таль	MN. Она	имеет горизонтальный Я		и профильный W
следы.

На рис. 37, б тремя проекциями дан отрезок MN прямой.. Для построения проекций следов Я и W проекции линии продолжают до пересечения с осями ОХ, OY, OZ. На черте жах обычно показывают только проекции следа, полагай, что сам /след уходит вместе с линией при развороте плоскостей

в плоскость чертежа.	Если	MN	продолжить за	следы H и W
(рис. 37, в), то часть	ее АН	выйдет в 4-й угол,		а часть ее BW
будет расположена в	5-м углу		пространства.

Горизонталь CD на рис. 38, а не пересекается с горизон тальной плоскостью проекций и имеет только фіронтальный V и профильный W следы. Для построения проекций фронталь ного следа продолжают горизонтальную проекцию cd до пе-

d w\Vc" d"w«

г-

Рис. 38

реоечения с осью ОХ в точке vi. Проецирование точки о на проекцию c'd' дает фронтальную проекцию ѵ' следа. Пересе чение проекции c'd' с осью OZ образует профильную проек цию ѵ" фронтального следа. Для построения проекций про фильного следа W горизонтальную проекцию cd продолжают

до пересечения с

осью OY и в точке w. Спроецировав

точку

на продолжение

c"d",

получают

профильную

проекцию

следа. Продолжение проекции c"d"

до пересечения с осью

дает фронтальную проекцию w' профильного следа.

Профильная прямая

линия

на

рис. 38,6

не

пересе

кается с профильной шююкастью

проекций и имеет фронталь

ный V (ѵ') и горизонтальный Я

(h) іследы, полученные в

ре

зультате пересечения профильной

проекции

e"f"

с осью

в точке

ѵ" и с осью OYw

в точке

h".

двумя

проекциями,

Если

прямая

линия

задана

только

как на рис. 39, а,

то для определения проекций

іследов V іи

мысленно предполагая ось ZOY

проходящей по проекциям

и а'Ь', откладывают проекцию

ab от точки О 0

на

оси

ОХ

вле

во (либо вправо). Восставив перпендикуляры

к оси ОХ в

аф\

до пересечения с линиями, параллельными ОХ и проведен ными через а' и Ь', получим а0Ь0. Продолжив теперь а0Ь0 до пересечения с продолжением а'Ь*', будем иметь фронтальную проекцию ѵ' следа. Горизонтальная проекция о расположена на оси ОХ. Продолжив проекцию а0Ь0 до пересечения с осью ОХ, получим проекцию h' горизонта линого следа Н. Отрезок h'a0 сносим обратно на горизонтальную проекцию ab. Фрон тальная проекция h' ра-сположена на оси ОХ. То же самое можно сделать приемом пропорционального деления линии (рис. 39,6).

Рис.

Следы H и V линии CD делят

ее в

том

же

отношении,

в каком проекции

следов

делят

соответствующие, проекции

этой

линии:

cd:cv

c'd':d'h'.

Обозначим

cd =

cv = k,

c'a! = m, d'h" = p. Из

конца d'

фронтальной

проекции

прове

дем

линию под любым углом ік проекции cfd' іи отложим на

ней

(величины

горизонтальной проекции

cd =

расстояния

cv =

k. Конец

отрезка

(точка

1) соединяется

точкой с'.

Проведем теперь из конца отрезка k (точка 2) линию, парал лельную с'1, и в пересечении с продолжением c'd' получим точку ѵ', являющуюся фронтальной проекцией фронтального

следа.	Горизонтальная			его	проекция		ѵ проецируется			на
ось ОХ. Проведем из конца					с	горизонтальной проекции				cd
линию под любым		углом		к	cd,	отложим	на	ней	величины
c'd' = m	(точка 3)	и	d'h'	=	р (точка 4).		Соединим		точку	3
с точкой d. Проведем			через точку 4 линию, параллельную							3d.
В пересечении с продолжением						cd получим		точку h, являю-

щуюся горизонтальной проекцией горизонтального следа линии CD. Фронтальная проекция h' следа проецируется на ось ОХ.

с'		6)
с'
е'	е"	е'
h'	А"	h'	h",
	-Р	% X-
ceh			d"
ceh		б-	-
		б-	-
		cehd

Рис. 40

Прямая линия имеет один след (рис. 40, а). Отрезок СЕ

перпендикулярен плоскости. Я и параллелен фронтальной и профильной плоскостям .проекций. Линия СЕ может пересе каться только с горизонтальной плоскостью проекций и имеет

	а)				5)		л"
	e'J'V	J'			5)
	e'J'V	J'						1
							w	1
	I	k					0 II	/i
					m		0 II	/i	•у»
			/ /		m		A.
			/
							У,
				Рис.	41
только один горизонтальный след Я . След						(точка Я) принад
лежит СЕ и			горизонтальной		плоскости	проекций,		поэтому
фронтальная проекция h' іследа должна						цроецироіваться				на
ось	ОХ,	а профильная		h" — на	ось OY. На		рис. 40,6		даны
три	проекции		прямой,	перпендикулярной		к	плоскости		Н,	и.

показаны три проекции следа. Отрезок СЕ расположен в пер вом углу пространства. Продолжив его за след под горизон

тальную,, плоскость, будем		иметь часть		его HD		(h'd',	h"d")y
расположенную в 4-м углу		(рис. 40,в).
Линия EF (рис. 41, а) перпендикулярна					фронтальной		пло
скости проекций.	Она пересекается		только с			фронтальной
плоскостью проекций и будет иметь один фронтальный							след
V. Часть линии VF после следа за фронтальной						плоскостью
расположена во 2-м углу пространства. Линия MN						(рис.	41,6)
перпендикулярна	к профильной плоскости				проекций. Она пе
ресекается только	с нею	и имеет	лишь		один	профильный
след W. На пересечении двух проекций				прямой с осями			OYh
и OZ расположены горизонтальная			и фронтальная проекции
(w, w') следа.

§ 10. Взаимное положение прямых линий

Две прямые линии в пространстве могут быть: а) парал лельными, б) пересекающимися, в) скрещивающимися.

Параллельные прямые линии. Пусть два отрезка AB и MN прямых линий взаимно параллельны (рис. 42,а) . Про

ведя через все точки AB и MN перпендикуляры, проецирую щие их ш Н, получим, очевидно, две проецирующие на Я плосости, пересекающиеся с горизонтальной плоскостью по линиям ab и тп. Последние также взаимно параллельны на

основании положения геометрии о том, что две				параллельные
плоскости	пересекаются	какой-либо	третьей	плоскостью
всегда по	линиям, также	параллельным.

Очевидно, если проецировать линии AB и MN на фрон тальную и профильную плоскости проекций, то на этом же основании проекции линий на них будут также взаимно па раллельными. Отсюда выводится основное •положение: если


•две	прямые	линии	в пространстве		параллельны, то		одноимен
ные	проекции	их	также параллельны.		На	рис. 42, б тремя		про
текциями изображены				две параллельные		прямые	линии	AB
и MN, занимающие				в пространстве общее положение отно

сительно плоскостей проекций. Одноименные проекции этих

прямых линий' параллельны,	т.	е.	ab \\ тп,	а'Ь'\\т'п',
а"Ь"\\ т"п", но каждая пара проекций			относительно двух		пар
других проекций занимает произвольное положение,				так	же
как и относительно, плоскостей	H,	V и	W. В частном	случае
г,

—	;	/	/	/
		/		/
р			/
			/
		/
		У	/
		г	/
		/
и		//
и		Ун
Рис.	43	Ун
Рис.	43
все пары проекций могут быть		взаимно параллельными.

.Две линии, будучи взаимно (параллельны, могут быть одно временно параллельны какой-либо из плоскостей проекций, например горизонтальной плоскости (рис. 43, а). Фронталь ные c'd' и e'f и профильные c"d" и е"\" проекции прямых линий параллельны осям ОХ и 0YW, а следовательно, и пло скости Н. Горизонтальные проекции их cd и ef взаимно параллельны, но не параллельны осям ОХ и OYh. Обычно за дают линии двумя проекциями, горизонтальной и фронталь

ной, например на рис. 43, б	изображены две фронтали, на
рис. 43, в — две профильные	линии, одноименные проекции
которых параллельны.
48

Пересекающиеся прямые линии. Если две прямые линии пересекаются, то они имеют общую точку. Такие линии рас

положены	в одной плоскости	и задают ее ів	пространстве
(рис. 44,а,	б). Одноименные	проекции прямых	(см. рис. 45)

Рис. 44

пересекаются на проекциях е, е', е" одной точки Е, являю щейся точкой пересечения AB и CD в пространстве. Взаимно пересекающиеся прямые линии могут быть параллельны и перпендикулярны к плоскости проекций. Например, на

			Рис. 45
рис. 46, а прямая EF		параллельна		плоскости			V, а на рис. 46,6
линия MN	параллельна		плоакости	H,	a EF		перпендикулярна
плоскости	Н.
Скрещивающиеся		прямые линии.			Две	прямые линии, не
лежащие в одной плоскости, называются						скрещивающимися.
Такие линии взаимно			не пересекаются			и	не параллельны;

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 215 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ