книги из ГПНТБ / Начертательная геометрия курс лекций

Сечение цилиндра может проходить и через нижнее осно­ вание; тогда фигура сечения с двух сторон будет ограничена хордами, а с других двух сторон —лекальными кривыми

Рис. 155

(частями эллипса). Если же сечение цилиндра пойдет парал­ лельно его оси, то в этом случае оно будет иметь форму прямоугольника.

§ 36. Построение разверток поверхностей геометрических тел

Развертка поверхности призмы. На рис. 156 показано по­ строение развертки поверхности четырехугольной прямой призмы. Призма взята прямая и стоит она на плоскости проекций, следовательно, на чертеже этой призмы имеются йсе необходимые данные для построения ее развертки.

В самом деле, боковые ребра призмы проецируются на плоскость V в свою натуральную величину, потому что они

150

параллельны этой плоскости. Ребра основания проецируются без искажения на плоскость Я в силу того, что основание лежит на этой плоскости. Ребра основания определяют собою и ширину граней, а сумма их (периметр фигуры основания) дает на развертке длину развертки боковой поверхности.

Для получения полной развертки поверхности призмы надо к развертке ее боковой поверхности пристроить у любой из

построение развертки поверхности прямого кругового ци­ линдра. Развертка боковой поверхности цилиндра представ­ ляет собою прямоугольник, длина которого равна длине окружности, лежащей в основании цилиндра, а ширина рав­ няется высоте или образующей цилиндра.

При таком расположении цилиндра эти данные легко на­ ходятся из проекций цилиндра на Я и V.

Длину окружности основания можно вычислить, но для

цилиндра надо всю длину окружности основания разделить, например, на 12 равных частей, полученные вспомогательные образующие нанести на развертку боковой поверхности и на них перенести соответствующие точки с фронтальной проек­ ции цилиндра.

151

Развертка цилиндра будет полной, если к развертке его боковой поверхности пристроить еще два основания — верхнее и нижнее. _

Рис. 157

Развертка поверхности пирамиды. На рис. 158, а и б по­ казано построение развертки поверхности четырехугольной

s'

Рис. 158

пирамиды. Боковые грани полной пирамиды (не усеченной) всегда представляют собою треугольники. Таким образом,.

152

для построения развертки боковой поверхности пирамиды не­ обходимо иметь величину сторон этих треугольников. При таком расположении пирамиды, как показано на рис. 158, а, ее основание проецируется на плоскость Я в натуральную ве­ личину. Ребро SA расположено параллельно плоскости V, по­ этому на фронтальную плоскость проекции оно проецируется без искажения. Остальные ребра спроецировались с искаже­ нием как на плоскость Я, так и на плоскость V, поэтому не­ обходимо предварительно определить их истинную величину. На рис. 158, а они построены способом вращения.

ды) . Число треугольников зависит от количества граней у пи­ рамиды. Основание пирамиды можно пристроить к любой из граней.

Задача решается несколько проще, когда приходится строить развертку поверхности правильной прямой пирамиды. В этом случае все грани пирамиды будут равны между собой, поэтому достаточно определить истинную величину одного из ребер; приняв эту величину за радиус, проведем дугу окруж­ ности и отложим на ней соответствующее число ребер осно­ вания. Найденные точки соединяем с центром дуги и между собою и получаем развертку боковой поверхности пирамиды.

При нанесении точек и линии сечения на развертку пира­ миды следует считаться с тем, что на развертке ребра строятся в натуральную величину, поэтому при переносе точек сечения ребер сначала следует определить истинную величину отрезка ребра, а затем полученную точку нанести на соответ­

нанести на развертку пирамиды и тогда поместить на нее дан­ ную точку.

угол а со сторонами, равными /. Дуга, стягивающая этот угол,, и будет как раз равняться длине данной окружности.

Радиус основания R, если конус стоит на плоскости Я г

153

При вычерчивании развертки боковой поверхности конуса допускается и другой, правда, менее точный способ построе­ ния.

Основание конуса делим на 12 равных частей и при по­ мощи циркуля эти мелкие дуги (или хорды, их стягивающие) откладываем по дуге круга, проведенного радиусом, равным образующей конуса. Отсчитав, таким образом, нужное количе-

Рис. 159

ство точек, соединяем их с центром дуги. Нанесенные на дуге точки используются для проведения вспомогательных обра­ зующих на развертке; они будут необходимы для построения на развертке линии сечения.

Линия сечения на развертке строится следующим образом. Сначала на развертку наносим тонкой сплошной линией вспо­ могательные образующие, и ставим на них соответствующие точки. Следует иметь в виду, что на развертке все образую- > щие равны своей истинной величине, поэтому, нанося на них точки сечения, следует предварительно определить истинную величину каждой образующей конуса, а следовательно, и тех частей, на которые делятся образующие точками сечения. Если учесть, что у прямого кругового конуса все образующие равны, то достаточно снести точки сечения на крайние обра­ зующие той проекции, где конус проецируется в виде равно-

154

бедренного треугольника. Полученные таким образом точки

необходимо поступать следующим образом. Там, где на плос­ кости V каждая из 12 образующих конуса пересечется со сле­ дом плоскости Рѵ, будет находиться точка, принадлежащая линии сечения. На фронтальной проекции эта фигура сечения проецируется в прямую линию, совпадающую со следом се­ кущей плоскости, а на горизонтальной проекции это будет плавная кривая (искаженная проекция эллипса). В ряде слу­ чаев при малых углах наклона секущих плоскостей проекция сечения на ту плоскость, на которой стоит конус, приближа­ ется к окружности.

Следует особо отметить способ построения на горизонталь­ ной проекции точек 4 и 10, т. е. точек, проекции которых на V совпадают с фронтальной проекцией оси конуса. В этом слу­ чае через фронтальные проекции точек 4 я 10 проводим допол­ нительную секущую плоскость, которая в пересечении с кону­ сом даст,круг, радиус которого будет равен половине линии среза конуса (4'40'). Там, где вспомогательная окружность пересечет на горизонтальной проекции образующие, совпа­ дающие на V с осью, и будут находиться горизонтальные проекции точек 4 и 10. При наличии на чертеже третьей про­

верхности шара существует несколько, и все они дают с из­ вестной точностью приближенные решения.

На рис. 160,а и б показан один из способов построения развертки поверхности шара. Он весьма прост, и им широко пользуются.

Сущность этого способа заключается в следующем. Длину

то получим лепесток, длина которого будет равна половине длины окружности меридиана (большого сечения шара), а ширина—1/12 длины экватора. Двенадцать таких лепест­

Построение самих лепестков производится следующим об­ разом. Проводим прямую, на которой откладываем длину экватора шара, и делим ее на 12 равных частей. К серединам полученных отрезков восстанавливаем перпендикуляры, на

.которых вверх и вниз откладываем отрезки, равные 1/4 длины

155

окружности главного меридиана. Затем верхнюю и нижнюю части перпендикуляров делим на три равные части и через эти деления проводим отрезки, равные длине дуг, лежащих между меридианными сечениями на соответствующих парал­ лельных кругах / и /У (см. рис. 160,6). Соединив теперь все полученные точки по лекалу, получим полное очертание каж­ дого лепестка.

Рассмотрим, как наносятся на развертку шара точки, ле­ жащие на его поверхности.

X

Рис. 160

Точка А расположена на грани двух лепестков на первой параллели. Находим на лепестке отрезок, соответствующий длине дуги этой параллели, и ставим точку на контур ле­ пестка. Эта точка А должна быть нанесена на оба соседних лепестка, так как она принадлежит им обоим.

Если же точка В будет лежать на поверхности шара, но не на заданной параллели, то надо через нее провести допол­ нительную параллель; затем соответствующую часть этой па­ раллели нанести на лепесток развертки шара, и тогда уже на этот отрезок поставить и точку В. Для построения отрезка параллели на лепестке сносим горизонтальную проекцию точ­ ки В на главное сечение шара. Получим точку Ь 0 , затем най­ дем фронтальную проекцию точки В0. Она расположится на

156

соответствующий лепесток развертки по средней линии и на этом расстоянии от верхней точки лепестка провести прямую, на которой слева от средней линии поместить точку В.

При построении линии сечения шара плоскостью на раз­ вертке шара следует брать точки пересечения контуров ле­ пестков с линией сечения, и эти точки, подобно точке А, на­ носить на соответствующие лепестки развертки шара. Соеди­ нив точки, найденные на лепестках, получим линию сечения, которая будет по всей длине разомкнутой.

§37. Пересечение прямой

споверхностью прямых геометрических тел

Пересечение прямой с поверхностью призмы. На рис. 161 показано пересечение прямой с поверхностью призмы. По­ строим точки встречи, или точки пересечения, прямой MN с поверхностью призмы. Боковые грани призмы представляют собой части горизонтально-проецирующих плоскостей. По­ этому там, где горизонтальная проекция прямой пгп встре­ тится с гранями призмы ad и cb, будут находиться точки пересечения прямой с поверхностью призмы. Для построения фронтальной проекции этих точек надо их снести на фрон­ тальную проекцию прямой ш'п'.

На рис. 161 дана прямая KL и найдены ее точки пересе­ чения с поверхностью призмы. Эта прямая вошла в призму через грань ab, а вышла через верхнее основание, В этом слу­

У цилиндра нет проецирующих граней, как у призмы, но зато вся боковая поверхность цилиндра представляет собою проецирующую поверхность, так как она состоит из образую­ щих, перпендикулярных плоскости Я . Поэтому решение за­ дачи на пересечение прямой с поверхностью цилиндра анало­ гично решению задачи на пересечение прямой с поверхностью призмы.

В самом деле, прямая, пересекаясь с боковой поверх­ ностью цилиндра, должна обязательно встретиться с двумя образующими, горизонтальные проекции которых располага­ ются на окружности основания. Таким образом, там, где горизонтальная проекция прямой MN пересечется с окруж­ ностью основания цилиндра, и будут находиться горизонталь-

157

L'

Рис. 161 Рис. 162

с этими образующими, должны находиться фронтальные про­

показано построение точек пересечения прямой общего поло­

мой с поверхностью пирамиды, прибегают к вспомогательным секущим проецирующим плоскостям, проходящим через дан­ ную прямую. Через любую прямую можно провести фронталь­ но-проецирующую или горизонтально-проецирующую плос­ кости.

На рис. 163 взята вспомогательная фронтально-проеци­ рующая плоскость Р, с помощью которой получено сечение

158

пирамиды 1, 2, 3, 4. В плоскости этого сечения расположена прямая MN; следовательно, точки пересечения этой прямой со сторонами сечения должны быть общими как для прямой, так и для поверхности пирамиды. Для построения фронтальных проекций этих точек пересечения достаточно спроецировать их на фронтальную проекцию прямой т'п'.

Пересечение прямой с поверхностью конуса. На рис. 164 показано пересечение прямых линий AB и MN с поверх­ ностью конуса. При этом прямые расположены частным об­

X

кость Р, проходящая через нее, должна быть перпендикуляр­ на Н, т. е. она будет горизонтально-проецирующей плос­ костью. Но через прямую AB можно провести любое количе­ ство горизонтально-проецирующих плоскостей, и все они, за исключением одной плоскости, проходящей вместе с тем и через вершину (высоту) конуса, дадут в пересечении с кону­ сом гиперболы. Такие плоскости для нас интереса не пред­ ставляют, так как они дают в пересечении с конусом сложные построения. Воспользуемся плоскостью, проходящей через

159