книги из ГПНТБ / Начертательная геометрия курс лекций

вершину конуса. При пересечении с конусом она даст равно­

при пересечении с конусом даст круг, который, будучи парал­ лельным плоскости Я, должен спроецироваться на нее без искажения. Там, где круг пересечется с горизонтальной проек-

дится также прибегать к вспомогательным плоскостям и сече­ ниям.

На рис. 165 даны шар и произвольная прямая AB. Для по­ строения точек пересечения прямой AB с шаром через пря­ мую проводим вспомогательную горизонтально-проецирую­ щую плоскость Р. Эта плоскость рассечет шар по кругу, диа­ метр которого будет равен хорде CD. Делим эту хорду по­ полам и полученную точку К совмещаем с плоскостью V. За­ тем из этой точки, как из центра, проводим окружность ука- - занного диаметра. Совмещаем с плоскостью V и прямую AB. Полученные точки пересечения прямой AB с окружностью

160

Si

/77

Рис. 168

разующие, которые в местах встречи с прямой MN дадут иско­ мые точки 1 н 2.

Если случится так, что этих точек на чертеже не полу­ чится, то это значит, что прямая не пересекается с телом.

Для того чтобы получить на чертеже фронтальные проек­ ции точек пересечения V и 2', надо просто снести их на фрон­ тальную проекцию прямой MN. Если на фронтальной проек­ ции построить проекции образующих, по которым произошло сечение конуса плоскостью Р, то они должны пройти через точки 1'2'.

В случае, когда конус будет несколько приподнят над плоскостью Н, горизонтальный след секущей плоскости уже нельзя пересекать с проекцией основания, так как они не будут находиться в одной общей плоскости.

ностью пирамиды точки можно построить при помощи вспо­ могательных проецирующих плоскостей. Такой чертеж полу­ чится достаточно простым и весьма точным (см. рис. 163).

На рис. 169 показано построение точек пересечения прямой с поверхностью пирамиды при помощи вспомогательной плос­ кости общего положения, проходящей через вершину пира­ миды и данную прямую MN. Пример аналогичен пересечению прямой с поверхностью конуса.

Рис. 169

При пересечении прямой общего положения с поверх­ ностью наклонной призмы следует проводить вспомогатель­ ную секущую плоскость через прямую параллельно боковым ребрам призмы.

На рис. 170 дано наглядное изображение наклонной приз­ мы и прямой MN, пересекающейся с ее поверхностью.

Через прямую MN проходит вспомогательная плоскость/3 , образованная прямыми, параллельными ребрам призмы, ко­ торая пересекается с поверхностью призмы по линиям К и С, параллельным боковым ребрам призмы. Эти линии, так же как и прямая MN, расположены в плоскости Р\ поэтому их точки встречи и должны являться точками пересечения пря­ мой с поверхностью призмы, т. е. искомыми точками / и 2.

На рис. 171 пересечение прямой с поверхностью наклонной призмы показано в прямоугольных проекциях.

Чтобы построить горизонтальный след вспомогательной плоскости, берем две пересекающиеся прямые и находим их горизонтальные следы. Одной из них является данная прямая

164

V AW, а другую — вспомогательную проводим через точку M

Рис. 170

ках К и С. Затем через полученные точки проводим вспомо­ гательные прямые параллельно боковым ребрам призмы.

Рис. 171

Точки встречи этих вспомогательных линий с горизонтальной проекцией прямой и будут являться горизонтальными проек­

165

Найденные точки пересечения соединяются в определен­ ном порядке прямыми линиями, в результате чего получается замкнутая ломаная линия, звенья которой представляют -собою линии пересечения граней обоих многогранников. Эта ломаная линия и будет являться линией пересечения (линией (перехода).

Рис. 173

•ки, которые лежат на одних и тех же гранях первого и вто­

щихся тел линия пересечения может представлять собой одну

точки пересечения ребер горизонтальной призмы с поверх­ ностью вертикальной призмы, рассматривая их как отдельно взятые прямые линии. По горизонтальной проекции этих

167

тимся к профильной проекции призм. По расположению этих проекций видим, что в пересечении участвует только одно ребро вертикальной призмы А. Ребра В и С в пересечении не

и Н. Теперь остается все эти точки правильно соединить, т. е. построить линию перехода, что в ряде случаев вызывает больше затруднений, чем нахождение самих точек.

Существует два способа соединения точек линии перехода. Один из них заключается в том, что точки соединяют, следуя по контуру тел. Так, например, в правой части (см. рис. 173) горизонтальная призма пересекается только с гранью 5 С вер­

этих точек пересечения определяем, что точку 7 можно соеди­ нить только с точкой /, а 8 — с точкой 3, в противном случае линия пересечения на проекции не пойдет по контуру гори­ зонтальной призмы, а эти должно быть исключено.

На видимых гранях линия пересечения должна быть вид­ на, следовательно, в этой части ее нужно провести сплошной линией; там, где она окажется невидимой, ее необходимо по­ казать штрихами.

Такой способ соединения точек в некоторых наиболее сложных положениях, особенно при пересечении призмы с пирамидой, все же вызывает большие затруднения и нередко ведет к ошибкам, Пооф. Д. Г. Ананов предложил весьма про­ стой и вместе с тем точный способ соединения точек линии пересечения, названный им механическим способом соедине­ ния точек.

Сущность этого метода в следующем. Строим сетку (см. рис. 173). По вертикали наносим три широкие полосы, что соответствует числу граней вертикальной призмы (напоми­ нает развертку боковой поверхности вертикальной призмы), и около линий ставим соответственно те буквы, которыми обо­ значены ребра этой призмы. Не имеет значения, с какой

v буквы начинать обозначение, но буквы следует ставить по по­ рядку следования ребер, не перемешивая, слева направо или справа налево. Затем точно так же наносим поперечные горизонтальные линии, которые должны соответствовать реб­ рам горизонтальной призмы, и на них ставим те же буквы,

168

которыми обозначены ребра этой призмы. Получилось как бы наложение развертки боковой поверхности горизонтальной призмы на развертку вертикальной призмы.

Узкие полоски слева и сверху называются характеристи­ кой. В этих полосках проводим короткую сплошную линию в том случае, если эта грань видна на виде спереди, и штрихо­

N на сетке повторяется дважды, поэтому точку 6 следует от­ ложить на обеих линиях сетки. На этом же ребре (на той же

линия, соединяющая точки, не пересекала линий сетки. Так,,

системе координат сплошная линия характеристики лежит против сплошной линии, точки соединяем сплошной, а там, где сплошная или штриховая будут лежать _ против штриховой, точки соединяем штрихами.

В соответствии с этой схемой на фронтальной проекции поизм точки соединяем в том же порядке и такими же линия­ ми, как и на сетке.

Фигуры на сетке могут получаться различными даже при одних и тех же телах, если только по-иному развернуть по­ верхности (с иного ребра начинать обозначение на сетке). Фигура может оказаться разделенной на части, но при всем этом суть сохраняется.

Вспомогательные плоскости нужно по возможности выби­ рать так, чтобы они пересекали каждую поверхность по линиям, которые проецировались бы в виде прямых или окруж­ ностей.

169