Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Начертательная геометрия курс лекций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

8.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

условие можно сформулировать так: прямая MN						параллель
на плоскости Р, если проекции				ее m, п и п', т' соответственно
параллельны одноименным проекциям a, b и а', Ь'						прямой	AB,
принадлежащей		плоскости	Р	(рис. 94, б).	Пусть	будет	дана
задача:	через	точку Т (t,	t')	провести	прямую	линию	MN
(m, п;	m', п'),	параллельную		заданной плоскости		Р.
На	горизонтальной (либо			фронтальной) плоокости проек

ций проводят какую-либо горизонтальную проекцию прямой

ab,	конец а которой лежит на следе	Pu, а конец	b — на оси
ОХ.	Положение фронтальной проекции а'Ь' определено поло
жением горизонтальных проекций а		и Ь. Через	горизонталь-

			Рис. 94
ную проекцию t проводят отрезок тп				\|\| ab,	а	через	фронталь
ную проекцию f	— отрезок т'п'\\а'Ь'.			Прямая			линия MN
параллельна плоскости Р, так как mn\\ab					и	т'п'\\а'Ь'.
Прямая	линия	и	плоскость	пересекаются
Еісли у прямой	линии	и	плоскости	имеется общая точка,

то согласно второму геометрическому условию, определяю щему взаимное положение линии и плоскости, это будет точ ка пересечения данной линии с линией пересечения двух пло скостей —' заданной и вспомогательной, проведенной через данную прямую. Отсюда выводится общий способ построе ния точки пересечения прямой линии с плоскостью, заданной любым споісоібом и; как угодно раісположѳнной. Он выра жается в следующих трех построениях:

1) через данную прямую провести вспомогательную секу

щую	плоскость;
2)	построить линию пересечения вспомогательной и		задан
ной плоскостей;		х	задан
3)	отметить точку пересечения построенной линии с
ной — искомую точку		пересечения.
Рис. 95, а наглядно		иллюстрирует этот способ. Линия AB
пересекает плоскость		R в точке К. Для ее построения	через

t90

AB проводят вспомогательную плоскость QJLH. Такую пло скость выгоднее брать проецирующей, так как при этом меньше .построений. В результате построения получают ли


нию пересечения /,			2	.плоскостей R и		Q. Точка К		является
местом пересечения AB с линией					1, 2.	Из множества возмож
ных в	пространстве		положений		плоскостей и прямых линий
выделим		характерные.
Прямая		линия	и	плоскость	имеют		общее	положение.
На рис. 95, б даны				проекции	ab и а'Ь' линии AB и следы
Rh и Rv	плоскости		R.	Построить	точку		пересечения	линии и

плоскости. Через горизонтальную проекцию ab проводят одно именный след Qh вспомогательной плоскости Q-LH. Фрон тальный след QJ-H. Построить линию пересечения. Горизон

а)

Рис. 95
тальные следы Qh и Rh пересекаются в		точке		/. Фронтальные
следы Qvsa Rv пересекаются	в точке 2';		горизонтальная				про
екция линии пересечения /,	2 .сшивается		со следам			Qh и не
дает искомой точки. Фронтальная проекция				2' пересекает
одноименную проекцию а'Ь'	в точке k',		являющейся				фрон
тальной проекцией искомой	точки. Горизонтальная					проекция
k спроецирована на ab. Часть прямой линии ak, a'k'						располо
жена над плоскостью R и видима, нижняя ее часть						kb,	k'b',
расположенная под плоскостью, невидима. Здесь					плоскость R
имеет одностороннюю видимость. На		рис. 95, а			видна		верх
няя поверхность R, поэтому	виден и	отрезок АК,				располо

женный над верхней поверхностью, как на горизонтальной, так и на фронтальной проекциях (рис. 95,6). Отрезок kb, k'b',

расположенный	<со стороны нижней, невидимой, обращенной
к оси ОХ поверхности плоскости, невидим на		обеих	проек
циях. Вспомогательную плоскость Q следует проводить пер
пендикулярно	к плоскостям Я, V или W. В	общем	случае

можно проводить через прямую линию любую плоскость общего положения, но тогда чертеж затемнится лишними по-

строениями. Поэтому выгоднее проводить проецирующую пло


скость		(ом. рис. 95,		б).
	Прямая		линия		перпендикулярна			плоскости		проекций,
а плоскость имеет				общее		положение.		Наглядное		представле
ние о плоскости, линии и пересечении									их дает рис. 96, с.
	Через		прямую AB		проведена		плоскость S \|\| V. Линия сече
ния	1, 2 параллельна				плоскости		V и пересекает AB в точке К.
На	рис. 96, б показано построение							точки	пересечения		линии
АВ±Н		с	плоскостью Р.			Через	точку		ab—горизонтальную
проекцию			линии AB		проведен .след Sh вспомогательной пло
скости		S,	параллельной			плоскости V, так			как в	этом	случае
в пересечении будет					фронталь,		которую		легко	построить по

		Рис. 96
одной	точке 1, Г, 'полученной от пересечения		горизонтальных
следов	Sh	и Ph- От фронтальной проекции	/ ' проведена ли
ния	2'	сечения, параллельная следу Рѵ.	Горизонтальная

проекция ее совмещается со следам Sh. Пересечение фрон тальной проекции Г, 2' с а'Ь' дает фронтальную проекцию k' искомой точки пересечения. Горизонтальная проекция ее k проецируется в одну точку с горизонтальной проекцией линии ah. На рис. 96, б показано, что можно было бы провести в качестве вспомогательной -плоскости любую другую проеци рующую плоскость, например следами 7\, Тѵ. Тогда линия пересечения 3, 4; 3', 4' плоскостей Р и Т своей фронтальной проекцией обязательно пересечет а'Ь' в той же точке k'. Отре

зок

a'k', расположенный

над

плоскостью, видим, а

часть

его

k'b'

невидима, так как находится под плоскостью

Р.

Плоскость

перпендикулярна

плоскости

проекций,

пря

мая

линия

имеет

общее

положение.

Как видно на

рис. 97, а,

в этом .случае нет необходимости проводить

вспомогатель

ную плоскость

через AB,

так

как

заданная

плоскость

сама

перпендикулярна

горизонтальной

плоскости

проекций.

Здесь вся

плоскость

Р проецируется

на H

виде

линии —

горизонтального собирательного следа Ph- Точка	пересече
ния должна быть тоже на следе Ph, потому что все,	что лежит

в плоскости, обязательно будет проецироваться на след Ph-

Точка

пересечения К определится

из

пересечения

горизон

тальной проекции ab со следом Ph-

На рис. 97, б даны проекции

ab,

а'Ь' прямой

линии и

сле

ды Ph,

Рѵ

плоскоісти. Точка

пересечения ab

с Ph

проеци

руется

на

а'Ь'

и образуется

фронтальная

проекция

k'.

Если

смотреть

на

плоскость Р

AB сверху,

то плоашсть

Р, не

закрывает

линии. Поэтому

проекция

изображается

види

мой линией. На фронтальной

проекции,

если

смотреть

по

стрелке с,

отрезок b'k', как

расположенный перед плоскостью,

			Рис. 97
будет видим,		а часть a'k'	— невидимой,			как	.расположенная
за плоскостью Р.
Прямая	линия параллельна			плоскости		проекций,		а пло
скость задана		треугольником.		В этом задании и в случае,
если плоскость изображается				двумя	параллельными			прямы
ми линиями, способ построения точки						пересечения		будет
одинаков	и соответствен трем			действиям, которые применены
выше. Через		линию MN	(тп,	т'п')	проводят		вспомогатель

ную секущую проецирующую плоскость параллельно той пло

скости проекций, которой параллельна данная	прямая. Тогда
в -сечении плоскостей получится характерная	линия — гори
зонталь (или фронталь), что очень удобно.
На рис. 98 через тп проведен след Qh плоскости Q \|\| V

и перпендикулярной плоскости Н. В пересечении следа с ab

образуется точка	1,	а в пересечении с be — точка			2. Точка /'
проецируется на	а'Ь', а точка 2'		— на	проекцию	Ь'с'. Фрон
тальные проекции		данной линии	т'п'	и линии	пересечения

Г, 2' пересекаются и образуют фронтальную проекцию k' искомой точки. Горизонтальная проекция ее k, как показано стрелікой, проецируется на тп. Теперь следует определить

видимость частей проекции отрезка тп, m п при помощи кон курирующих точек. Пусть иа фронтальной плоскости в пере

сечении проекций т'п' с а'с'		будут	'сливаться в одной		точке
две конкурирующие	точки 3'	и 4', из которых, как		это	видно
на горизонтальной	проекции, точка		3 принадлежит	ас,	& точ

ка 4 лежит на тп. Точка, расположенная ближе к глазу на

блюдателя (дальше от	плоско
сти проекций), будет	видимой.

Для уяснения этого следует,по смотреть на горизонтальную пло скость проекций. Точка 3, лежа щая на стороне ас, расположена дальше от оси ОХ и, следова тельно, от плоскости V. Поэтому она ближе к глазу наблюдателя (стрелка F) и будет видна, а

снею виден и треугольник,,

закрывающий		часть		(n'k')	пря
мой	линии,	как		показано	на
рис.	98.
Для определении видимости	на горизонтальной проекции
воспользуемся конкурирующими	точками	5	и	Чтобы выяс
нить, какая из точек видна на плоскости		Н,	надо посмотреть
на фронтальную проекцию. Точка 5' на		т'п'		расположена

выше точки Г на а'Ь', поэтому на горизонтальной проекции отрезок линии mk будет видимым. Вторая его часть после точки k будет невидима до точки 2 до тех пор, пока линия не выйдет из-под треугольника.

§ 20. Некоторые случаи пересечения плоскостей

Рассмотренные выше примеры пересечения дают основ ные сведения для построения линии пересечения двух как угодно 'расположенных фигур и плоскостей. Следует рассмот реть наиболее характерные из них.


Пересечение		плоскости Р, заданной следами и	перпенди
кулярной	к плоскости проекций, с треугольником.		Пусть на

рис. 99 изображено заданное положение плоскости Р и тре

угольника. Так как Р±Ѵ,			то-след Рѵ собирательный				и на нем
расположены все точки, лежащие в плоскости Р,						стало быть,
и точки	пересечения	сторон		треугольника	ABC	с	плоско
стью Р.	Фронтальный	след	Рѵ,	пересекая Ь'с'	в точке / ' и а'с'

в точке 2', определяет фронтальную проекцию 1'2' линии пе ресечения, сливающуюся со 'следом Рѵ. Спроецировав точку 1 на be и точку 2 на ас, будем иметь горизонтальную проекцию линии пересечения. На фронтальной плоскости проекций пло скость Р, проецирующаяся в виде следа Рѵ, не закрывает 94

треугольника, поэтому проекция его а'Ь'с' изображает тре угольник видимым. На этой же проекции наблюдается, что


верхняя		часть		треугольника				а', 2', V,	Ь', расположенная над
следом Рѵ,			при взгляде				сверху будет видна, а поэтому гори
зонтальная			проекция части тре
угольника			а,	2, 1,	Ь	показана
сплошными			линиями.				Вторая
его часть с', 1\ 2',					находящая
ся под плоскостью (под сле
дом	Рѵ),	при		взгляде			сверху
закрывается				плоскостью Р,				и
на	горизонтальной					проекции
часть треугольника					с,	1, 2, как
невидимая,			изобразится				штри
ховыми		линиями.
Пересечение				плоскости				и
треугольника				общего			положе
ния. Наглядное представление								о пересечении таких плоскостей
дано	на	рис. 100, а. На					рис. 100,6 выполнено построение ли
нии пересечения в проекциях. Следуя									общему методу, вопрос

о пересечении плоскости треугольника с плоскостью Р необ ходимо свести к пересечению каждой из сторон треугольника с плоскостью Р. Но у треугольника должны пересекаться

Рис. 100

только две стороны. Из рассмотрения положения сторон отно сительно плоскости Р видно, что сторона AB (ab, а'Ь') своей фронтальной проекцией а'Ь' расположена выше следа Рѵ (над плоскостью), а потому в пересечении не участвует. Остаются две стороны АС и ВС, очевидно, участвующие в пе ресечении, Через сторону ВС проводят вспомогательную секу щую плоскость Т, перпендикулярную к горизонтальной пло скости проекций. С этой целью на рис. 100,6 через be про-

водят след Th вспомогательной плоскости. Фронтальный след ее Тѵ±.ОХ. Строят линию пересечения плоскостей Т и Р. Гори зонтальная проекция линии 1, 2 не дает точки пересечении.

Фронтальная

проекция

линии

пересечения

пересе

кается с одноименной

проекцией стороны

Ь'с'

в точке

кото

р а я

проецируется

на

be. В точке

сторона

ВС

пересекает

плоскость

Р.

Через

сторону

АС

проводят

вспомогательную

плоскость

R-LV.

Горизонтальная

проекция

4 линии

пере

сечения

пересекается

с одноименной проекцией

ас

в точке

которая

проецируется

на а'е'.

точке kk'

сторона

АС

пере

секает плоскость

Р.

Точки

[kk')

(IV)

— концы

линии

пересечения

треуголь

ника

ABC

и плоскости

Р.

Часть

треугольника

klc,

k'l'c',

расположенная

под

плоскостью

Р,

изображе

на

невидимой.

Пересечение

двух

тре-

угольников

общего

поло

жения.

этом

случае

- применяется общий спо-

—0

соб построения точки пе

ресечения

прямой

пло

скостью.

Из

рассмотре

ния

взаимного

положе

ния каждой из сторон од

ного и

плоскости

другого

треугольника

(рис.

101)

можно

заключить,

что

Рис. 101

некоторые

стороны

их

пересечении явно

не

уча

ствуют.

Так,

например,

сторона AB находится вне пересечения,

так

как

фронталь

ная

проекция

ее

а'Ь'

расположена

вне

очерка

фронталь

ной

проекции

â'e'Y

другого

треугольника.

Горизонтальные

проекции

и ef расположены

віне

пределов

одноименной

проекции

abc

треугольника

ABC

и,

очевидно, тоже

не участ

вуют в пересечении. Остаются для проверки участия в пере


сечении стороны DE, АС, ВС				треугольников.
Проверяется сторона АС. Через АС проводят вспомога
тельную плоскость		Р±Ѵ.	Горизонтальная проекция		2 ля<-
нии пересечения	плоскости Р			и треугольника DEF	пересе
кает одноименную проекцию проверяемой стороны ас					в точ
ке t. Проецируют	f	на	проекцию а'е'. Следовательно,		сторо

на АС пересекает треугольник DEF в точке Т (W). Проверяется сторона ВС. Через нее проведена вспомога

тельная плоскость Q _L V. Горизонтальная проекция линии 3, 4

пересекает одноименную проекцию be в точке k, которая про ецируется на фронтальную проекцию Ъ'с'. Сторона ВС пере секает треугольник DEF в точке К (kk1). Линия пересечения (tk, t'k') определилась по пересечению двух сторон треуголь ников. Проверка стороны DE поэтому не нужна. Видимость частей треугольников на проекциях определяется по конку рирующим точкам 5 и 6. Точка 5' на с'Ь' располагается выше точки 6' на d'Y, поэтому она находится ближе к главу наблю дателя и ее горизонтальная проекция 5, а с нею и отрезок kb


стороны ab будут	видны. Следовательно,	вое,	граничащее
с отрезком kb до tk, а именно часть треугольника			bâta,	долж
но быть показано	видимым, как на рис. 101. На фронтальной
проекции «конкурируют на видимость точки		І1 на стороне			d'e'
и 7' на стороне а'с'. На горизонтальной проекции			видно, что
точка 7 находится дальше от плоскости V и ближе к глазу
наблюдателя, поэтому ее фронтальная проекция			7' на a'f		и
часть фронтальной проекции треугольника a't'k'b'				изобра
зятся как видимые. Все примеры на пересечения,			рассмотрен

ные выше, были решены 'способом вспомогательной секущей

плоскости,	проведенной через		сторону как прямую линию.
Их можно	было	бы решить	общим способом — с помощью
общего элемента		трех плоскостей. Однако этот способ трудо
емкий и здесь мало нагляден.

Пересечение треугольника с прямоугольником. Плоскость прямоугольника (рис. 102) горизонтальяо-щроецирующая, поэтому горизонтальная проекция его mnkl, как след Рь. про ецирующей плоскости Р, разрезает все, что с ним встре чается. На горизонтальной проекции видно, что проекции сторон ас в точке / и be в точке 2 пересекают проекцию прямоугольника.

Проецирование

точки

/ '

на

а'с' и 2' на

с'Ь' дает

фрон

тальную

проекцию

линии

пересечения.

Часть

горизон

тальной

проекции

а, 2,

1, b

треугольника расположена

перед

прямоугольником

и ближе

глазу

наблюдателя,

поэтому

фронтальная проекция a'l'2'b' будет изображена как

видимая.

Здесь плоскость

треугольника

полностью

пронизывает пря

моугольник. На

рис. 103, а изображены

треугольник

прямо

угольник, врезающиеся один в другой. Горизонтальная про

екция nk стороны треугольника в точке / пересекает проек

цию прямоугольника aedb,

так

как последний

перпендикуля

рен к плоскости H и проецируется в виде линии. Очевидно,

если плоскость

прямоугольника (его горизонтальную

проек

цию abed) продолжить

до пересечения

в точке 2 с проекцией

тп, то он полностью рассечет

треугольник

по линии,

гори

зонтальной проекцией которой является отрезок 1, 2. Проеци

рование 1' на n'k',

а 2'

на т'п'

дает фронтальную

проекцию

линии полного сечения.

Но

последняя

пересекает а'Ь'

в точ-

ке 3' и линия пересечения фигур должна	закончиться	в точ
ке 3, 3'. Таким образом, линия 3, 1; 3', Г	есть искомая	линия
пересечения.

Рис. 102				Рис.	103
На	рис.	103,6	изображен	второй	способ построения
рис. 103, а без		линий построения		и невидимых частей фигур
с целью	придания		изображению	большей	наглядности.

§ 21. Прямая линия, перпендикулярная к плоскости

Выше было отмечено, что прямая может пересекать пло скость и под углом в 90°. В чертежах, в практике проециро вания часто приходится изображать прямые линии, перпен дикулярные к любым произвольно расположенным в' про странстве плоскостям. Кроме того, ряд задач на определение кратчайших расстояний между точкой и плоскостью, между двумя плоскостями, проецирование ребер, образующих и вы сот геометрических тел, расположенных перпендикулярно к наклонным плоскостям, также решается в зависимости от геометрических свойств расположения проекций перпендику ляра и плоскости. Рассмотрим, как будут располагаться проекции линии, перпендикулярной к плоскости, заданной любым способом и расположенной как угодно.

Как уже известно, прямой угол проецируется прямым на ту плоскость проекций, на которой или параллельно которой расположена хотя бы одна сторона этого угла. Воспользуем ся этим свойством. Пусть имеются плоскость R общего поло жения и отрезок MN прямой линии, перпендикулярной к пло скости R (рис. 104,а). Через точку А^, служащую основанием перпендикуляра, в плоскости R можно провести множество линий, и все они будут составлять с MN прямые углы. Одна ко при проецировании прямой угол между MN и любой из

этих прямых искажается и на чертеже не будет доказательств взаимной перпендикулярности MN и R. Если же через осно вание перпендикуляра — точку N провести характерную ли нию, т. е. горизонталь AB либо фронталь CD, то проекции их на одной из плоскостей проекций, а именно на той, которой они параллельны, будут составлять прямой угол с проекцией перпендикуляра MN.

Пусть на	рис.	104,6	даны следы	Rh и Rv плоскости	R.
На плоскости	R	задают	основание	перпендикуляра — точ
ку N ее горизонтальной проекцией п. Через п проводят про
екцию фронтали de II ОХ,			а фронтальная ее проекция c'd' \|\|		Rv.

Рис. 104

На проекцию c'd' проецируют п'. Через п' проводят фрон тальную проекцию а'Ь' || ОХ горизонтали, а через п — гори зонтальную проекцию ее ab \\Rh- Теперь основание перпенди куляра — точка пп' лежит в плоскости R на пересечении горизонтали и фронтали. Так как прямой угол проецируется прямым на ту плоскость проекций, параллельно которой рас полагается одна сторона его (здесь горизонталь), то горизон

тальная	проекция	тп перпендикуляра	будет перпендикуляр
на к горизонтальной проекции ab			горизонтали. Проводят
mnLab.	Но ab\\Rh,	тогда mn±Rh, т.	е. горизонтальная про

екция перпендикуляра составляет угол в 90° с одноименным

(Rh)

следом

плоскости. Очевидно, что проекция

т'п'

будет

составлять угол 90° с фронталью

c'd'

и со

следом Rv

плоско

сти. На

основании

всего

сказанного

можно

вывести

общее

положение: если

прямая

линия

пространстве

перпендику

лярна

плоскости,

то проекции

этой линии

перпендикулярны

к одноименным

следам

плоскости

либо

проекциям

гори

зонтали

фронтали,

параллельным

следам

плоскости

(рис.

104,6).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ