Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Начертательная геометрия курс лекций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

8.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 214 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

позволяющих в •совокупности решать многообразные задачи на проецирование.

Эти углы называют еще октантами (от греческого слова акто—'восемь). На рис. 22 углы пронумерованы в направ лении от зрителя против движения часовой стрелки. Направ ление осей проекций (координат) в первом углу принимается за положительное. Тогда ось ОХ в первых левых четырех углах имеет положительное направление. Ее продолжение вправо от W принимается за отрицательное. В 5, б, 7 и 8-м углах ось ОХ имеет отрицательное направление. Ось OY, продолженная за плоскость V, будет иметь отрицательное

йугол

Рис.

направление для 2, 3, 6 и 7-го углов, расположенных за

фрон

тальной плоскостью проекций. Для

1, 4, 5 и 8-го углов ось

имеет положительное направление. Ось 01

над плоскостью

для 1, 2, 5 и

6-го

углов имеет

положительное

направление.

Ее продолжение под плоскость Я для

4, 7, и 8-го

углов

будет

отрицательным.

Чтобы представить себе, в каком

углу пространства

дана

точка

А (X, Y,

—Z)

— А (4, 3,

— 6),

требуется

хорошее про

странственное

представление.

На

рис.

23, а

дана

сводная

таблица, знаков

координат по

углам

пространства

соот

ветствии с рис. 22. Знаки при

цифровых

значениях

для тон

ки А

(4, 3, —6)

соответствуют

четвертому

углу. При

разво

роте

плоскостей

проекций (см. рис. 22)

положение,

совме

щенное с плоскостью чертежа на

рис. 23, б, наблюдатель на

ходится в основном первом углу, а поэтому ему будут видны фронтальная, повернутая вниз горизонтальная и отвернутая

вправо профильная плоскости проекций. Обозначение осей проекций нанесено в соответствии с рис. 22.

, При повороте перещней полы Я «низ задняя ее пола под

нимется

вверх,

присоединится

сзади

плоскости

(на

рис. 23,6

показана

скобках)

будет

ею

закрываться.

Вместе с задней полой Я вверх поднимется

и ось

—OYh,

на

правление

которой

принято за отрицательное

(ее обозначе

ние показано в скобках, как невидимой). Передняя пола

Я,

опустившись

вниз,

закроет нижнюю

лолу плоскости

V, а

пе

редняя

положительная

часть оси

OYh

перекроет

отрицатель

ную —• OZ, показанную поэтому в

скобках.

а)

У (ну)

w(ny)

Углы

Знаки координат

15,6.7

—

yj-x)

—

ІЗЛ.7

—

H(v,w)

У(ну)

Рис. 23

При повороте передней полы плоскости

W вправо

верхняя

и нижняя

ее

части

закрывают в 5-м углу плоскость V выше

оси ОХ

и ниже

оси

ОХ,

а в 8-м

углу

закрывают

переднюю

опущенную полу Я. Половина передней положительной части


оси OYw		вместе	с плоскостью			W закроет отрицательный уча
сток оси		—ОХ,	показанной поэтому в окобкаіх. Задние						(верх
няя и нижняя) - полы плоскости W повернутся вокруг									оси	OZ
влево,	присоединятся			сзади	к	совмещенным плоскостям Я				и
V и не	будут видны, почему				и показаны в скобках. Половина
задней,	отрицательной части					оси OYw	(показана в	скобках),
принадлежащая			плоскости W,			вместе с нею повернется			влево
и совместится			(сзади) с положительной частью оси ОХ.							На
рис. 23,6		видно, что		ось OY		дважды	обозначается	положи
тельным		и дважды		отрицательным			знаками. Оси	ОХ и		OZ

имеют по одному положительному и отрицательному знаку.

Обозначения, нанесенные на рис. 23, б,		свидетельствуют	о том,
что на чертеже	проекции предмета	могут располагаться
в любом из четырех углов, образованных пересечением			осей
проекций. Так, в	верхнем левом углу	могут быть расположе-

!ны проекции предмета, находящегося в 1, 2, 3 и 6-ім углах пространства. В левом нижнем углу могут быть расположены Проекции предмета, находящегося в 1, 3, 4 и 7-,м углах и т. д. (см. рис. 23,(5).

Проецирование точки в первом углу и расположение ее проекций было .-показано на рис. 10. Пусть теперь точка В расположена во 2-м углу (см. рис. 22). Проецирующие линии снабжены -стрелками. Проекции b и Ь' расположены в пло

скости прямоугольника Bbbxb',					при	повороте задней				полы Я
горизонтальная		проекция b поднимется -вверх и							наложится
на линию УЬХ,		сливаясь		с нею	(рис. 24, а) . Профильная Ь" и
фронтальная Ь'		проекции		расположены			в	плоскости		прямо
угольника	Btfbjb".		При	повороте задней				полы W влево ли-
ния b"bz	наложится		на	линию	b'bz	и	проекция		Ь" располо-
	I	Аь7
	I							V
	I	-Au ун					4	V
							1	/
			Л—M-*)		хм»)		k	1
		-yw	Л—M-*)		хм»)			0
		-yw						0
			Ш					yj-z)
								yj-z)
				Рис.	24
жится справа		(рис. 24, а) либо			слева		(рис. 24,6)		от	проек

ции Ь'. Положение профильной проекции Ь" определяется так: через горизонтальную проекцию b проводится линия, пер


пендикулярная к —• Yh и					пересекающая	ее в точке	b-Vh.	Рас
твором		циркуля		отрезок	ОЬ-ѵи переносится по стрелке			влево
вниз	на	ось — Yw,		где отмечается точка		b_yw. Перпендикуляр
к оси	— OYw		в точке b-yw,		проведенный	до пересечения		с bJbz,
определяет			положение		Ь" — третьей	проекции	точки В.

"Три проекции расположились в верхнем левом углу, что .соот ветствует обозначению актантов на рис. 23, а, где видно, что проекций, принадлежащих второму углу, в других частях

чертежа	не имеется.			(рис. 25, а).
Точка	С расположена в третьем углу			(рис. 25, а).	Ее фрон
тальная	.проекция с' спроецировалась ниже оси ОХ,				горизон
тальная	проекция	с — на	задней поле	плоскости	H, а	про
фильная	с" — на задней нижней поле плоскости W.				При	раз
вороте в	плоскость	чертежа	(рис. 25, б)	проекции с	и с'	рас

полагаются на одном перпендикуляре к оси ОХ, причем гори зонтальная проекция с выше оси ОХ. Третья проекция с" при развороте плоскостей повернется влево от оси — OZ. Для опре деления положения с" через горизонтальную проекцию с про32

водят 'перпендикуляр ,к оси — Yh (рис. 25, б). Полученную точку c-yh переносят на ось — Yw и от точки c-yw прочерчи вают перпендикуляр до пересечения с линией с'сг в точке с". Как видно на рис. 24 и 25, для построения профильной про екции необходимы точки Ь-у и с_у на оси — OY, на перпенди куляре к которой и располагаются профильная и горизон тальная проекции точек.

а) г(-у")

'С-Ун

Рис. 25

Точка D дана в четвертом углу (рис. 26,а). Фронтальная проекция ее d' проецируется на нижнюю полу плоскости V и располагается ниже оси ОХ (рис. 26,6). Горизонтальная проекция d будет лежать на передней поле плоскости Я и

	а)	О	5)	tf-Ун)
		О		.0
		du ЯШ		.0
		du ЯШ
I	*			.ils-*'
		\d-z	4 -	.ils-*'
	-z	\d-z	4 -
	-z	\		-od
		ч
			Рис. 26
опускается вместе с		нею	вниз, размещаясь на одной линии
вместе с фронтальной проекцией d'. Передняя нижняя					пола
W, а с нею и проекция d"			отворачивается вправо от оси		—OZ.
Профильнаія	проекция d"		расположена	имеете с фронтальной

проекцией d'на перпендикуляре к оси — OZ.

В пятом углу (или в первом правом) взята точка Е (рис. 27,а). Ее проекции е и е' располагаются на перпенди куляре к оси —ОХ справа от оси OZ (рис. 27,6), как в пер вом левом углу. Профильная проекция е" располагается (см. рис. 27, а) на передней поле плоскости W и вместе с нею по-

ворачивается вправо		от	оси	0Z. Построение отрезков		осей
OYh = OYw	и проекции	е"	показано		стрелками.
Точка	F раісположена в 6-м углу				(или во втором правом)
на рис. 28, а. Как и во втором				левом	углу, проекции / и /'	рас
положены	на одном перпендикуляре к оси — ОХ и выше ее,

но только справа от оси 0Z.	Профильная проекция /" и фрон
тальная /' располагаются на	перпендикуляре	к оси 01.
а)	б)	е"
е'

\еу

і /

Рис.

В 7-м углу

(рис. 29, а)

взята

точка

G. Ее проекции

g и

располагаются

на

перпендикуляре

оси

— ОХ,

причем

ниже,

выше оси

— ОХ

(рис. 29, б).

Профильная

проек

ция g"

расположена

на

задней нижней

поле

W и

вместе

с нею

поворачивается

влево от

оси

— 0Z.

Построение

точек

г(-Ун)

•УМ

U-г)

Рис.

g-yh и g~yw

проекции g"

показано

стрелками

понятно

из

чертежа.

(рис. 30, а)

К. Ее гори

іВ последнем 8-м

углу

взята

точка

зонтальная проекции k расположена на передней поле пло


скости	Я и «месте с нею опускается под ось —ОХ (рис. 30,6)
при развороте		плоскостей	проекций. Фронтальная		проекция
k', расположенная на нижней поле фронтальной плоскости						Ѵг
будет	также	ниже оси	— ОХ. Профильная	проекция		k",.
лежащая на нижней передней поле W, вместе				с нею	повара -

чивается вправо от оси — OZ и располагается					вместе с к' на
перпендикуляре	к оси — OZ.	Проведенный через k				перпенди
куляр на ось OY	дает точку	kyh, перенос ее		на	ось	OYw дает
		5)	\9--Ун'HI	9
			•	-о J
		Г		1
		\9-У~		\9-Х
		1	о	\
		1	о	\
		t		1
		t		1

%(-г)

точку kyW, а перпендикуляр в точке kyw к оси OYw дает в пе ресечении с k'k-z профильную проекцию k". Три проекции точки К располагаются в правом нижнем углу. Умея изобра-

а)	5) г(-Уи)
0
	к.
	о—п~
1 JA' 1	/\	I
1 JA' 1	•	і
- Z	LÀ н'
- Z
	У (-г) /г"
Рис.	30

жать проекции одной точки, можно задавать проекции двух, трех и более точек и выполнять изображения (проекции) отрезков прямых линий, треугольников, многоугольников и пр.

§ 8. Особые положения прямой линии

Из возможных положений прямой линии в пространстве два ее положения примем за особые: а) прямая линии пер

пендикулярна	плоскости проекций; б)		прямая	параллельна
одной плоскости проекций.
Проекции	таких прямых	обладают	некоторыми		особен
ностями, которые в дальнейшем облегчат решение					многих
задач. Эти прямые имеют специальные наименования.
Горизонтально-проецирующая		прямая	линия.	Прямая ли
ния, перпендикулярная к горизонтальной			плоскости проекций,

называется горизонтально-проецирующей прямой (рис. 31,о). Она параллельна оси 0Z и плоскостям проекций V и W. Отрезок прямой AB может быть приподнят над ллоакостью Я или опираться концом на плоскость Я . На рис. 31,6 отрезок AB имеет ювою горизонтальную проекцию ab в виде точки. Фронтальная а'Ь' и профильная а'Ь" проекции параллельны оси 0Z и изображают истинную длину AB, Положение пря мой записывается так: Ло_і_Я.

Фронтально-проецирующая прямая линия. Прямая CD,

перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций, назы

вается фронтально-проецирующей (рис. 31,в).	Ее	фронталь-
# d'c'	С"	d"
1		1
1		1
		1
С		1
С	о	1
		У
		/
а	и
	и

I О

Рис. 31

ная проекция c'd! изображается в виде точки, горизонталь ная cd перпендикулярна оси ОХ и параллельна оси OYn- Про

фильная проекция c"d"		перпендикулярна				оси 0Z	и парал
лельна оси 0YW.	Линия CD конном				С упирается в		плоскость
V, что явствует из отсутствия				расстояния		между	проекцией
cd и осью ОХ. Проекции		cd	и	c"d"	изображают		истинную
длину линии, так как CD \|\| Я			и	W. Положение такой				прямой
записывается	CDA.V.
Профильно-проецирующая			прямая		линия.	Линия		EF, пер

пендикулярная к профильной плоскости проекции, называется профильно-проецирующей (рис. 31,г). Ее профильная проек ция e"f изображается в виде точки, горизонтальная ef и /фронтальная e'f проекции параллельны оси ОХ ,и перпенди кулярны (соответственно осям 0Z и 0Yh. проекции ef и e'f изображают истинную длину EF. Положение такой прямой записывается EFA.W.


Если линия		MN расположена				на плоскости V, то ее гори
зонтальная	проекция		тп	будет		располагаться на оси	ОХ,
а проекция т"п" — на оси				OZ	(рис. 31, д). Линия KL, совме
щенная с осью ОХ, имеете с последней перпендикулярна							пло
скости W. Ее проекции M и k'l'					будут расположены на оси		ОХ
и совмещены		в одну	линию,		а	.профильная проекция	k"l"
ів виде точки	шроецируется			в начало осей — точку О.

Горизонталь. Прямая линия AB, параллельная горизон тальной плоскости проекций, называется горизонталью (рис. 32, а). Все точки AB расположены на одной высоте над


			Рис.
плоскостью Н,		'следовательно,		проецирующие			линии Аа — ВЬ
и Аа II ВЬ. Тогда AB			\\ ab, а так как		Аа \|\| ВЪ,		то	параллельные
отрезки AB и		ab между параллельными Аа и ВЬ будут рав
ны.	Следовательно,		горизонтальная		проекция			горизонтали
изображает истинную длину				линии	AB.	Вследствие			парал
лельности AB		и плоскости H углы, вставляемые AB							с пло
тностями V и W, проецируются на плоскость H в истинную
величину. На		рис. 32,6 изображены проекции горизонтали
AB.	Линия AB	может занимать любое положение относи
тельно плоіакостей проекций V и W. На						чертеже		это	положе

ние выражается тем, что горизонтальная проекция ab может

быть	расположена как угодно относительно осей ОХ и О Уд и
в любом положении будет изображать		истинную длину AB.
Угол	ß между проекцией ab и осью ОХ	выражает угол между
		37

AB и плоскостью проекций V. Угол у между ab и осью OYh есть угол между AB и плоскостью W. Фронтальная a'f и профильная а"Ь" проекции будут соответственно параллель ны осям ОХ и 0YW. Величины этих проекцией всегда мень

ше AB и зависят от углов ß и у. Такая прямая записывается

AB II Я .

Фронталь. Прямая линия CD, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронталью (рис. 32, в). Фронтальная проекция c'd' изображает собою истинную дли

ну CD,	так как CD \|\| V. Угол а		между	проекцией c'd'		и осью
ОХ выражает угол между CD и плоскостью Я . Угол у между
проекцией c'd? и осью		OZ есть	угол	между	CD и	плоско
стью W. Таким образом, фронтальная				проекция c'd'		относи
тельно	осей проекций	может	иметь	любое	расположение,

а горизонтальная и профильная проекции соответственно па раллельны осям ОХ и OZ. Такая прямая записывается CD II V.

Профильная линия. Прямая линия EF, параллельная про фильной плоскости проекций, называется профильной линией


(рис. 32,г). Профильная проекция						e"f"	изображает		собой
истинную длину EF. Угол ß между проекцией e"f" и осью										OZ
выражает истинную величину угла между EF и плоскостью V;
угол	а между проекцией			e"f" и осью		OYw	есть истинная		вели
чина	угла между	EF	и	плоскостью		Я . Таким образом, про
фильная проекция прямой линии 'относительно осей									проек
ций	располагается	произвольно,			а	горизонтальная		и	фрон
тальная проекции		ее	(Соответственно			параллельны		осям		OYh
и OZ. Такая прямая			записывается		EF \\ W.

Если характерная прямая линия, например фронталь MN (рис. 32, д), расположена на фронтальной плоскости проек ций, то одна ее проекция т'п' располагается на этой плоско сти, а две другие тп и т"п" проецируются на оси проекций

ОХ и OZ.

§ 9. Следы прямой линии

Точка пересечения линии с плоскостью проекций назы вается следом линии. Условимся обозначать след буквой» присвоенной той плоскости проекций, в пересечении с кото рой он образован. Точку пересечения прямой с горизонталь ной плоскостью проекций назовем горизонтальным следом и обозначим буквой Я.

Проекции следа именуются соответственно плоскостям про екций, на которые они проецируются: h — горизонтальная проекция горизонтального следа; h'— фронтальная проекция горизонтального іследа; h" — профильная проекция горизон тального следа. Точку пересечения прямой линии с фронталь ной плоскостью проекций назовем фронтальным следом и обозначим буквой V, а проекции — соответственно плоюко-

стям проекций v, v', ѵ". Точку пересечения прямой с про

фильной плоскостью	проекций назовем профильным	(следом
и обозначим буквой	W, іа проекции—•соответственно	плоско

стям проекций w, w', w". При наличии на плоскостях проек

ций нескольких одноименных следов		(нескольких		линий)		им
присваивают цифровые индексы ѵь ѵ\,		Ѵ\"\ ѵ2,	ѵ2',	ѵ";	Уз,	ѵ3',
ѵ3" и	т. д.
Прямая линия может иметь: один		след,	когда располо
жена	перпендикулярно к плоскости	проекций;		два	следа,

когда расположена параллельно одной плоскости проекций; три следа, когда имеет общее положение ів пространстве.

При выполнении задания на определение следов и их про екций надо:

1)построить следы прямой линии;

2)определить, через какие углы пространства проходит

линия;

3) показать,		какие чаісти		линии	расположены				в	каждом
из углов;
4) определить видимость частей					линий по			углам		прост
ранства.
Прямая	линия	имеет	три следа.		Отрезок AB			прямой,			про
извольно наклоненный			к трем плоскостям				проекций,				при
своем продолжении проходит				через		четыре	угла		(октанта)
и при этом пересекает три плоскости						проекций. Следователь
но, прямая	в общем положении имеет					три следа. Для				облег

чения усвоения методики построения следов определим сна

чала горизонтальный и фронтальный		следы	отрезка	AB
(рис. 33,а). При	продолжении линии	AB вниз	налево	она
пересекает плоскость проекций в точке Я, где проекция				ab
встречается с AB.	Положение горизонтального следа Я и			его

одноименной проекции h определится еще, если продолжить

фронтальную проекцию а'Ь' до пересечения с осью

ОX в точ

ке h', являющейся фронтальной проекцией

горизонтального

следа. Спроецировав h' на продолжение AB

и ab,

получим

след

его

горизонтальную

проекцию

Следовательно,

для

получения

горизонтального

следа

его

одноименной

проекции

надо

фронтальную

проекцию

а'Ь'

пересечь

осью

ОХ

и точку пересечения

спроецировать

на

горизонтальную

проекцию

прямой.

При продолжении прямой вверх направо она пересечет

фронтальную

плоскость

проекций в

точке

V — месте

встречи

проекцией а'Ь'.

Положение

фронтального

следа

V и

его одноименной проекции ѵ' определится еще, если гори зонтальную проекцию ab пересечь с осью ОХ. Точка пересе чения v есть горизонтальная проекция фронтального следа.

Спроецировав	точку и на AB	и а'Ь',	получим фронтальный
след V и его	одноименную	проекцию	ѵ'. Стало быть, для

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 214 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ