Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Начертательная геометрия курс лекций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

8.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

дягг проекцию какой-нибудь линии се так, чтобы она пере

секла след Рн и ось	ОХ. Точки	сие	проецируют	на	фрон
тальную проекцию.	Проекция с'	расположится на		Рѵ,	а е'—

на оси ОХ. На линию c'e? спроециріуется проекция а'. Точно так же, если пронести через b линию KL, получится фрон тальная проекция k'V и на ней проекция Ь'. Фронтальная проекция а'Ь' концами своими расположена на одноименных проекциях с'е' и k'V.

На рис. 70,г отрезок прямой ab, а'Ь' расположен в пло скости, заданной двумя параллельными прямыми линиями

Рис. 70

cd, c'd' и ef, e'f. Горизонтальные проекции cd в точке а и е\ в точке b пересекаются отрезком ab прямой линии. Фронталь ные проекции этих точек а' и Ь' принадлежат c'd' и e'f. Следовательно, точки аа' и ЬЬ' общие с плоскостью, а потому

прямая линия		ab, а'Ь',		проходящая через эти			точки,	лежит
в плоскости.
Во	втором	случае,	если прямая		линия	имеет	с плоскостью
одну	общую	точку	(на	рис. 70, б	линия	Ѵ2Т),	она	должна

быть параллельна какой-нибудь линии, принадлежащей пло скости, например следу ее. Линия Ѵ2Т имеет свой фронталь ный след (ѵ2) на следе Рѵ и параллельна следу Ph (горизон-

тальная проекция v2t\\Ph)> Очевидно, линия V2T принадле жит плоскости Р.

Точка в плоскости. Точка принадлежит плоскости, если она расположена на какой-либо линии, принадлежащей этой

плоскости. На	рис. 70, а	точка	M	принадлежит плоскости				Р,
так как она расположена на			прямой		линии	AB,	имеющей
свои следы на	.следах	плоскости,.		На	рис.	70,6	точка	ЬЬ'

лежит в плоскости Р, поскольку ее проекции расположены на


проекциях v2t и		v2't',	принадлежащих	плоскости		Р.	На
рис. 70, г точка M лежит в плоскости, заданной					двумя	парал
лельными прямыми линиями CD и EF, так как ее проекции
лежат	на проекциях ab		и а'Ь', принадлежащих		данной		пло
скости.	Точки Ш	и пп'	не лежат в плоскости, так как проек
ции их	не лежіат	на проекциях линии		AB, расположенной

вэтой плоіокости.

§16. Главные линии плоскости

В любой плоскости можно задать линии различного поло

жения	и	направления, но есть	особые		случаи,	когда	они
имеют	характерные положения:		а)	параллельны		плоскости
проекций		и б) перпендикулярны	к	следу	плоскости.		Такие

линии являются главными линиями плоскости и имеют спе-

діиал ьные наименования.
Линии,	параллельные	плоскостям	проекций
Г о р и з о н т	а л ь . Линия,	лежащая в	плоскости и парал

лельная горизонтальной плоскости проекций, называется го ризонталью плоскости (ряс. 71,а).

Линия AB и след Ph расположены в плоскости Р и парал лельны. Но след Ph лежит в плоскости Я. Очевидно, что AB, •параллельная Ph, параллельна и плоскости Я . Известно, что одноименные проекции двух параллельных прямых линий также параллельны. Из этого следует, что горизонтальная проекция ab параллельна следу Ph- Линия AB всеми своими точками расположена на одинаковом расстоянии от плоско сти Я, а эти расстояния проецируются на плоскостях V и W. Поэтому, как было показано выше, фронтальная и про фильная проекции горизонтали всегда параллельны соответ

ственно осям проекций: а'Ь' \|\| ОХ и				a"b"\\	OYw.
Итак, горизонталь, лежащая в плоскости, имеет свою го
ризонтальную	проекцию,	всегда	расположенную			параллельно
горизонтальному	следу	плоскости,	а	фронтальная		и профиль
ная проекции	параллельны соответственно				осям OX u OYw
и опираются на одноименные следы плоскости.
•На рис. 71,6 плоскость Р задана тремя следами. Горизон
тальная проекция ab		горизонтали		проведена		параллельно


следу Ph		до	пересечения		с осями ОХ и OF в				точках		а и Ъ.
Точки А и В—следы				горизонтали. Проекция а'					должна		быть
на	следе	Р„.кик точка, лежащая на					следе и на		плоскости V.
Проекция		Ь" расположена			на	следе	Pw	как точка,		лежащая
на	следе	и на	плоскости W. Фронтальная проекция							а'Ь' \\ ОХ
и	профильная		а"Ь" \|\| OYw.		Углы ß и у, составляемые					горизон
тальной		проекцией		ab с	ОХ	и OY h, — истинные				величины
углов, составляемых				горизонталью			с плоскостями			проекций
V	и W.	Горизонтальная			проекция		ab	изображает		истинную
длину линии AB. Если плоскость дана двумя следами Рѵ											и Рн

Рис. 71

(рис. 71,в), то горизонталь может быть

задана отрезком

ab,

а'Ь',

не доходящим

до плоскости V.

этом

случае для

по

строения горизонтальной

проекции

ab,

если

дана

проекция

а'Ь',

необходимо^

сначала

продолжить

последнюю

до Пересе- ,

чения ів точке ѵ'

со

следам Рѵ, построить

горизонтальную прот

екцию v на оси ОХ

іи от

этой точки провести

линию,

парал

лельную следу Ph, на которую и спроецировать

ab.

Пусть на рис. 71, г дана плоскость следами

Ph, Рѵ

и, гори

зонталь ab, а'Ь', лежащая в плоакости. Отрезок ab, а'Ь'

рас

положен в первом углу.

Однако можно

продолжить

его

за

(фронтальную плоскость іво второй

угол

пространства.

Отре

зок

горизонтали

ас,

а'с'

расположен после следа

аа'

во

вто

ром углу, признаком чего служит положение проекций отрез ка прямой выше оси ОХ. Точка ее' на горизонтали — точка, равноудаленная от плоскостей H и V.

На рис. 71, д в		плоюшсти со 'сливающимися					следами	изо
бражена	горизонталь		AB.	Здесь	ab \|\| Ph	и	а'6' \|\| ОХ.	Н а
ірис. 71, е	ів плоскости,		заданной		треугольником, построены
проекции	горизонтали		ае, а'е'.	Построение		наминают с фрон
тальной	проекции,	так	как отсутствие іследа плоскости не
дает направления		для	горизонтальной проекции				горизонтали.

В любом месте, например через вершину а', проводят фрон тальную проекцию а'е' горизонтали параллельно ОХ. Если, спроецировать е' на горизонтальную проекцию be, то ае будет горизонтальной проекцией горизонтали» Если построить го ризонтальный след плоакоісти, заданной треугольником ABC,.

Рис.

то проекция

ае

будет параллельна

ему. При построении

гори

зонтали MN в плоскости, заданной двумя

параллельными

отрезками

прямых

линий

и CD

(рис. 71,ж),

также

сле

дует сначала

провести на

любой

высоте

от

оси

ОХ

парал

лельно

ей -прямую

линию, пересекая

заданные

прямые,

на

пример, в

точках

т'п'.

Проецирование последних на горизон

тальные

проекции

образует проекцию

тп

гори

зонтали.

Ф р о н т а л ь .

Линия,

лежащая

в плоскости

параллель

ная фронтальной плоскости проекций, называется

ее

фрон-

талью. Все оказанное выше о

горизонтали

плоскости

приме

нимо и для фронтали.

Линия

CD,

расположенная

плоскости. Q

параллельно*

следу

(рис. 72,а),

будет

параллельна

плоскости

На рис. 72,6 проекция линии

d'c'

параллельна

следу

опирается

на

оси

ОХ и

0Z.

Горизонтальная

проекция

paie-

73'

^положена на следе Qh и «проекция

фронтали

cd || ОХ.

Про

фильная

проекция

с" расположена

на іследе Qw

профильная

•проекция

фронтали

c"d" || 0Z. Проекция

d'c'

— истинная

дли-

•ва

CD, а

углы а и у —истинные величины

углов,

составляе

мых линией CD с плоскостями проекций Я и W.

Итак, фронталь, лежащая в плоскости, имеет свою

фрон

тальную

проекцию,

расположенную

всегда

параллельно

фрон

тальному

следу

плоскости,

горизонтальную

профиль

ную — параллельно

осям

ОХ

соответственно.

На

рис. 72, в

фронталь de, d'c'

изображена

двумя

проекциями.

На

рис. 72, г показано построение

проекций

фронтали,

задан

ной

в плоскости Q своей горизонтальной

проекцией

de;

в этом

случае необходимо построение следа hh' отрезка CD,

кото

рый определяет положение c'd'.

На рис. 72, д построена

фрон-

і)

- I I -

п'

к\ Н І -

/ /

Рис' 73

-таль de, d'c' в плоскости Q; 'следы последней на чертеже сю- '.ставляют тупой угол. На рис. 7 2 , е в плоскости Q со сливаю щимися следами дан отрезок фронтали de, d'c', продолжен ный в 4-й угол пространства (отрезок eh, e'h'). На рис. 72, ж •фронталь nk, n'k' проведена в плоскости, заданной двумя

• пересекающимися отрезками прямых линий ab, a'b' и cb, c'b'.

Вэтом ^случае сначала строят горизонтальную проекцию

фронтали,	так как известно, что она должна быть параллель
н а оси ОХ.	На любом расстоянии от оси ОХ проводят линию,

параллельную ей и пересекающую оба задающие плоскость


отрезка в точках п и k. Как		видно на рис. 72, ж, для			построе
ния	точки k необходимо продолжить			проекцию отрезка		ab
до	пересечения с проекцией	фронтали. Проецирование п'				на
c'b' и k' на продолжение a'b'		дает n'k' — фронтальную проек
цию фронтали. Фронтальный			след плоскости (если		его	по
строить) будет параллелен		n'k'.
	П р о ф и л ь н а я л и; н и я.		Линия,	лежащая в	плоскости

и параллельная профильной плоскости проекций, называется ^профильной линией. Профильная проекция ее пг"п" обяза тельно параллельна следу Rw и опирается на оси 0 2 и 0YW

-74

(рис. 73, а, б). Фронтальная проекция т'п' \\ OZ, а горизон тальная тп параллельна оси OYh. Проекция т"п" изобра жает длину отрезка MN, а углы а и ß, 'составляемые проек цией т"п" іс осями 0YW и 0Z, суть истинные величины углов отрезка MN с плоскостями H и V.

Линия угла наклона плоскости

Линия, лежащая в плоскости и перпендикулярная к следу ее либо к линии в плоскости, параллельной следу, называется линией угла наклона плоскости. С ее помощью определяется угол, составляемый плоскостью общего положения и пло скостью проекций.

	Рис.	74
Определение угла	наклона	плоскости к	горизонтальной
плоскости проекций.	Линия AB,	перпендикулярная к горизон

тальному следу плоскости Rh, будет единственной линией, соютавляющей наибольший угол с плоскостью Н, из всех дру

гих линий,	проведенных в плоскости R (рис. 74,а). Она назы
вается еще	линией наибольшего	ската (падения) к плоско

сти Н. Если на плоскость капнуть крупную каплю воды, то последняя окатится вниз, к 'следу Rh по линии ABJ_Rh как кратчайшему расстоянию. Мерой двугранного угла, составляе

мого	плоскостями R и Н, в			этом		случае	служит	линейный
угол	а	(ВAb),	плоскость которого			должна	быть перпендику
лярна	к	ребру	двугранного	угла	(здесь к		следу Rh). Угол а,
составляемый			плоскостями	R и	Н,	определяется		линией AB

и ее горизонтальной проекцией ab. Плоскость				треугольника
ВАЬ	(или	b'ab)	перпендикулярна к плоскостям	R и Я , так
как	ABJ_Rh	и	bb'LH, следовательно, ЬЬ'±ОХ.	Очевидно, и

линии ab, лежащая в плоскости треугольника, и являющаяся линией пересечения треугольника АВЬ с плоскостью Я, тоже


перпендикулярна	к следу Rh.	Так	как AB±Rh	и ab±Rh,		сле
довательно, весь	треугольник	b'ab	перпендикулярен		к	Rh	и
служит мерой двугранного угла между плоскостями					R	и	Я .

Угол ВЬА прямой, следовательно, треугольник ВАЬ прямо угольный. Истинная величина угла а определяется способом прямоугольного треугольника.. С этой целью необходимо тре

угольник

ВЬА

(ЬЬ'а)

повернуть вокруг

ab и

положить

на

плоскость

(см. рис. 74, а),

что

показано

дугой ВВ0

со

стрелкой.

Если 'следами дана плоскость произвольного положения

(рис. 74,6), то для построения линии наибольшего

ската

не

обходимо: а)

провести на

горизонтальной

проекции

в любом

месте между

ОХ и. Rh линию

аЫ-Rh;

б)

построить

фронталь

ную проекцию а'Ь';

в)

для

построения

истинной

величины

угла а перпендикулярно

точке b провести

линию и

отложить на ней отрезок ЬЬ'. Для этого циркулем из точки b


радиусом ЬЬ'	проводят дугу		до^ пересечения в			точке В0	с	ли
нией, перпендикулярной		ab.	Тогда	AB	— (Истинная длина			ли
нии ската AB	и а — угол, составляемый				этой линией (а		следо
вательно, и плоскостью		R)	с плоскостью Я . В случае зада
ния плоскости Р следами,			как	изображено		на рис.	74, в,
горизонтальная	проекция ab		проводится перпендикулярно					Ph

с нижней стороны линии іследа Ph, что соответствует ее поло жению в 1-м углу пространства. Одним концоім а линия


должіна	упираться в след			Ph- Фронтальная проекции а' будет
на оси	ОХ. Проекцию Ь'			строят с помощью горизонтали			либо
фронтали. Линия		а'Ь'—фронтальная			проекции	линии	наи
большего ската.		Если	теперь отложить		b'bxLab	и (соединить
Во с А0,	то образуется		угол а. На рис.		74, г то же самое		вы

полнено посредством проведения через ЬЬ' фронтали. Отре

зок Ь'ЬХ можно откладывать в обе стороны от

ab.

Еши горизонтальную проекцию линии ската ab провести

над

(между

следом

осью

ОХ),

то,

как

видно на

рис. 74, д,

получится

положение

линии

наибольшего

ската

в 4-ім углу. Здесь ab±Ph,

проекция а' лежит

на

оаи ОХ,

про

екция b — на оси

ОХ

и проекция

Ь' — на

продолжении

следа

Рѵ в

4-м

углу. Отрезок В0Ь — ЬЬ' отложен перпендикулярно

ab. Линия

А0В0—'.истинная

длина

линии

ската. При задании

плоскости

двумя параллельными

(рис. 75, а)

либо пересекаю

щимися

прямыми

линиями

(рис. 75, б) линии

ската

(mb,

m'b')

строится с

помощью

горизонтали

(ck,

c'k').

На

рис.

75, а

параллельно оси

ОХ проведена фронтальная

про-

екция горизонтали ів любом месте, а на рис. 75, б — через

.вершину сс'. Точки c'k' пересечении горизонтали с прямыми плоскости проецируются на горизонтальные проекции ab и ed и образуют проекцию ck горизонтали. Последняя всегда парал лельна следу плоскости, поэтому через любую точку плоско-

Рис. 75

юии, например ЬЬ', проводится проекция линия наибольшего ската Ьт перпендикулярно ck (стало быть, и следу плоско сти). Проекция точки т' на c'k' дает возможность построить фронтальную т'Ь' проекцию линии оката. Бели разность пре-


		Рис.		76
вышения	проекции точки Ь'		над		т',	равную	b't',		отложить
в точке b	перпендикулярно к проекции Ьт, то образуется
истинная	величина В0М0	и	угол		а,	составляемый			заданной
плоскостью с плоскостью проекций H						(рис. 75, а,		б).
Линия	угла наклона	плоскости			к	фронтальной			плоскости
проекций.	Линия CD, лежащая			в плоскости			R	и	перпенди
кулярная	к фронтальному		следу		плоскости,		называется ли-

нией, определяющей угол наклона плоюкости общего положе


ния к фронтальной	плоскости		.проекций (рис.		76, а).	Фрон
тальная .проекция c'd'±RV		и опирается		на R V	и ОХ.	Линия
cd — горизонтальная	проекция		линии	CD±RV.	Если	отло

жить отрезок dd' на перпендикуляре к проекции c'd' и полу

ченную точку D 0 соединить	с с',	то	CQD0	— истинная длина
линии угла наклона, а угол	ß между		ç'd'	и CQDQ — истинная
.величина двугранного угла	между	плоскостями R и V.

На риіс. 76, б, в построения аналогичны рис. 76, а и 'соот ветственно одинаковы с построениями на рис. 74, в, г.

При определении угла, составляемого, какой-нибудь пло скостью с профильной плоскостью проекций, линия, опреде ляющая угол, должна быть перпендикулярна к профильному следу плоскости либо к линии, параллельной этому следу.

§ 17. Взаимное положение двух плоскостей. Плоскости параллельные

Если две пересекающиеся .прямые линии в одной плоско сти соответственно параллельны двум пересекающимся пря мым линиям в другой, то такие плоскости параллельны, (рис. 77).

Рис.	77
На рис. 78, а плоскости R и	Q .заданы	двумя		пересекаю
щимися прямыми линиями. Так, если AB		\|\| EF	и	CD\\PK,	то
.плоскость R параллельна плоскости Q. Следы			таких плоско

стей проходят через следы задающих их прямых линий.

Известно, что две	параллельные	плоюкости	пересекаются ,
какой-либо третьей	плоскостью всегда по линиям, также па
раллельным. Следовательно, плоскости R и Q			пересекаются
с плоскостью V по двум параллельным линиям				R V и QV	—
следам этих плоскостей. То же и		на плоскости	Н:	линии	пе-

рѳсечения плоскостей	R и Q с плоскостью Нѵ т.	е. следы их;
Rh и Q/i, параллельны.	Очевидно, и на плоскости	W следы Л?к

м Qw параллельны. Отсюда следует общее для всех плоско

стей положение: если две	плоскости	в пространстве	парал
лельны, то одноименные	следы их	также параллельны.	Оче
видно, одноименные проекции горизонталей, фронтален			и про--

			Рис.	78
фильных	линий	в этик	плоскостях будут		также	соответствен
но параллельны. На рис. 78, б взяты две					точки	/,	/ ' и II, II',
через них приведены			две пересекающиеся и			соответственно
параллельные		прямые	линии:	aby^cd,	a'b'Y^c'd'		и efxpk,
e'fXp'k'.	Концы.отрезков являются одновременно их следами.

Рис. 79

Через следы

отрезков

проведены следы

плоскостей Rh II Qh

и RvWQv-

Однако

имеются

случаи,

когда

параллельности

двух

пар

.одноименных

следов

недостаточно

для

доказа

тельства

параллельности

плоскостей

друг

другу.

Так, на

рис. 79, а

изображена

плоскость

Р \\ Q. Фронтальные

и гори

зонтальные

следы

таких

плоскостей

взаимно

параллельны.

Очевидно,

параллельны

и их профильные

.следы.

Задавая

следы

подобных

плоскостей

(рис. 79,6).,

надо

располагать

•следы

одной

из

них,

например

Rh и RB,

ближе к

оси ОХ,,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ