Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Начертательная геометрия курс лекций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

8.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Чтобы не изменилось расположение точки А по отноше

нию к	плоскости			Р, она повернута в			том	же направлении			и
на тот	же угол		(отмечены			стрелками)	до	положения		а\ах'.
Отрезки		Ö I ^	I	и	axt\	являются проекциями искомого рас- -
стояния, а отрезок ai'tl/=AT						— его величинрй.			Построение
проекций at		и а'?		на	рис.	126 показано		стрелками		от	/ /
к V и	t.
Вращение		плоскости,				заданной не следами,			сводится		к

вращению геометрических элементов, ее определяющих. Обра тимся к конкретному примеру.

П р и м е р 5.	Вращением	вокруг	надлежащим					образом
выбранных осей	определить	величину		треугольника					ABC
		(abc,		а'Ь'с'),		заданного				на
	ос,	рис.		127.
о; _\-			Чтобы			преобразовать
		треугольник				в	положение,
		параллельное					плоскости
		проекций,			на		которую			он
		спроецируется					без		иска
		жения, нужны					два		после
		довательных					его		пово
		рота.
			Первый			поворот			про
		изведем			вокруг			оси		П\
					проведенной					че
		рез вершину					треугольни
		ка	С	и	перпендикулярно
		плоскости			проекций				Н,	до
		положения,					когда		тре
		угольник			стал фронталь
		но-проецирующим.							Для
		этой		цели		в	плоскости
		ABC		проведем				горизон
		таль		CD	(cd,		c'd')	и вме

сте с треугольником повернем до положения, перпендикуляр

ного плоскости V. Так как в плоскости ABC

оказалась

пря

мая CD, перпендикулярная плоскости V, то

сама

плоскость

ABC

стала

перпендикулярна плоскости

V. Построения выпол

нены

следующим образом.

Горизонтальную проекцию горизонтали cd повернем в по

ложение cdu

перпендикулярное

оси

Положение

точек

йі

и Ьі определим

с помощью дуг окружностей

радиусов са

и cb

и засечек

на

них из

точки

а{

радиусами

d\a\ =

d]bi = db.

Фронтальные

проекции

а/, с', Ь / найдем

проекционной

связи на прямых, параллельных

оси

120

Точки

а/,

с',

Ь\

оказались

после

поворота

расположен

ными на одной прямой, так как плоскость ABC

стала перпен

дикулярна

плоскости проекций

ІЛ-

Затем выполним второй поворот вокруг оси I2h

(kh,

h'h'),

проведенной через

точку

Вх

(bu 6/)

перпендикулярной

плоскости V, до положения треугольника ABC,

параллельного

плоскости

проекций

Я. Для

этого

фронтальную

проекцию

а\'с'Ь\

повернем

до

положения

а2'с2Ь1',

параллельного

оси

X, а в проекционной связи на прямых, параллельных оси X,

найдем

горизонтальные

проекции

а2

с2 вершин А

и С.

Точка Bi

(bi,

bi)

своего

положения не

меняла, так

как через

нее проведена

ось вращения

hh-

а2сфх

Полученная горизонтальная

проекция

треугольника

является его величиной, так как в повернутом положении тре угольник стал параллелен плоскости проекций Я.

§ 28. Вращение вокруг оси, параллельной плоскости проекций

а) Вращение точки

На рис. 128, а в системе взаимно перпендикулярных пло скостей H я V изображены прямая BD, параллельная пло скости Я, и точка А. Приняв прямую BD — горизонталь за ось вращения, повернем вокруг нее точку А на некоторый угол.

Рис.

Согласно основным положениям способа вращения (см. § 26, рис. 118) точка А будет перемещаться по дуге окруж ности в плоскости RA, перпендикулярной к оси вращения BD. Так как последняя есть горизонталь, то RA будет плоскостью- горизонтально-проецирующей. В пересечении BD и RA опре-

121

делится

центр

вращения — точка

О,

отрезок

будет

радиусом

вращения точки

А.

Дуга окружности, по которой перемещается точка А,

будет

проецироваться

на

плоскость

проекций

в прямую

линию,

совпадающую со следом RAk,

на

плоскость

V — в

виде

эллипса.

На рис. 128, а точка А повернута на угол,

при

котором

радиус ее вращения АО в новом положении АхО

стал

парал

лелен плоскости Я и на нее спроецировался

без

искажения:

що

есть величина

АхО=АО

и совпадает

со

следом RAh-

на

На рис.

128,6

аналогичные

построения

выполнены

эпюре: RAh

проведен

через а

перпендикулярно

bd;

RAv

—

через точку

схода

перпендикулярно

оси

пересечении

•bd с RAh

найдена

горизонтальная

о, а

проекционной

связи

на

b'df — фронтальная проекция о'

центра вращения;

отрезки

оа

и о'а'

есть

проекции

радиуса

вращения.

Для получения повернутого положения а\ точки А

найдем

величину радиуса вращения Л 0 О

способом

прямоугольного

треугольника и отложим от точки О по следу RAh

плоскости

вращения. Проекции

ахо

а\'о'

соответствуют тому

положе

нию точки А, когда радиус

ее

вращения

стал

параллелен

плоскости

проекций

Я.

Обобщая

приведенные

рассуждения,

можно

сделать

вы

вод о том, что при вращении точки вокруг горизонтали гори


зонтальная	проекция этой точки			перемещается		по	прямой,
перпендикулярной		горизонтальной		проекции горизонтали.
Если бы вращение точки производилось вокруг фронтали,
то точка перемещалась бы в плоскости					фронтально-проеци
рующей, перпендикулярной фронтали, а ее фронтальная								проек
ция перемещалась бы по прямой,				перпендикулярной				фрон
тальной проекции фронтали, т. е. по фронтальному								следу
плоскости вращения.
	б) Вращение		отрезка	прямой	линии
На рис. 128, а		такой	отрезок получен		соединением			точек Л
и В, а на рис. 128,6 показаны его проекции ab и a'd'.							Для по
ворота отрезка AB		до положения, когда он станет параллелен
плоскости H и на нее спроецируется без искажения, вращаем
точку А, как это было рассмотрено в п. «а». Точка В								своего
положения не меняет, так как она				принадлежит		оси		враще
ния — горизонтали		BD.
В новом	положении		отрезок стал параллелен			плоскости Я,

а его проекция на этой плоскости стала равна величине от

резка	axb=ÀB.	угол
Две пересекающиеся прямые AB и BD образуют		угол
A BD,	одной стороной которого является горизонталь, а	дру-
422

гая повернута до такого же положения. Следовательно, про екция этого угла афа на плоскости проекций Я равна вели чине угла ABD.

	в)	Вращение плоскости
П р и м е р 6.	Определим		величину плоской	фигуры — тре
угольника ABC	(abc,	a'b'c'),	представленного	на рис. 129.

Чтобы треугольник спроецировался без искажения, нужно вращать его до положения, параллельного какой-либо плос кости проекций, например Я, причем вокруг оси, параллель

ной

той же

плоскости

проекций. Такой

осью может

служить

горизонталь

(bd,

b'd')

плоскости

треугольника.

Прежде

чем

перейти

к выполнению

вращения,

обратим внимание на пол

ную

аналогию

тех

по

строений,

которые

могут

быть проведены

прямы

ми

СВ — сторона

ми

треугольника

ABC

прямой

AB,

рассмотрен

ной в п. «б»

(см. рис.

128).

Поэтому

данном

при

мере объясним

только

те

построения,

которые

вы

полнены

на

рис. 129

для

получения

требуемого

по

ложения

треугольника,

Через точки с и а прове

bd, — горизонтальные

дем

прямые,

перпендикулярные к

сле

ды

плоскостей

вращения

точек

Л.

Отметим

точку

(о,

о') — центр

вращения точки А.

По

проекциям ао, а'о'

ра

диуса вращения

точки А построим его величину А0О,

а затем

отложим

на

прямой

оа.

Так получим

повернутое положение

Gl точки

А.

АС

Так как

сторона

треугольника

процессе

вращения

остается

прямой, то

из полученной точки ах через неподвиж

ную точку d

(точка D лежит на оси вращения BD)

проведем

прямую

axd

до

пересечения в точке сх

перпендикуляром,

проведенным

ранее через точку с к

bd.

Соединив повернутые положения ах

и сх вершин треуголь

ника ABC

с неподвижной

точкой

(она принадлежит

оси

вращения BD),

получим

горизонтальную

проекцию

афсх

тре

угольника ABC

в положении, параллельном плоскости Я . Сви

детельством

этого

является

его фронтальная проекция

axb'c{,

123

которая стала прямой линией, параллельной оси X. Следова

тельно,	axbc\—ABC	и есть его искомая величина.
Так	как любые две стороны треугольника есть пересекаю
щиеся	прямые, то	определение величины	угла между	ними
ничем	не отличается от рассмотренной задачи.
В том случае, когда плоскость задана			следами (на	при

мере треугольника мы рассмотрели вращение плоскости, за данной не следами), вращать ее оказывается значительно удобнее вокруг оси, которая не только параллельна плоскости проекций, а лежит в ней.

§ 29. Вращение вокруг оси, лежащей в плоскости проекций (совмещение)

В качестве такой оси берут какой-либо след плоскости. Вращая плоскость вокруг одного из ее следов, можно совме стить эту плоскость с плоскостью проекций. Тогда все, что находится в плоскости, на этой плоскости проекций оказыза-

Рис. 130

ется представленным без искажения. Поэтому такое враще

ние плоскости		называют совмещением.
На	рис. 130, а		представлена	плоскость Р	в наглядном из
ображении, а		на	рис. 130,6	она задана	своими следами
Ph и	Рѵ.

Рассмотрим, каким образом плоскость Р, вращая вокруг следа Ph, можно совместить с плоскостью проекций Я.

Оказывается, для этого достаточно совместить с плос костью Я какую-либо одну точку плоскости Р, которая в со вокупности со следом Ph (он является осью вращения и своего положения не меняет) определит эту плоскость в ее совмещенном положении.

124

ку	На	рис.	130, а в плоскости		Р на ее следе Рѵ	возьмем	точ
ку	V	(ѵ, ѵ')	и по аналогии	с	правилами, рассмотренными в
§	28,	рис. 128, повернем до		положения, когда		радиус ее	вра

щения ОѴ займет горизонтальное положение ОѴ0, совместив шись тем самым с плоскостью проекций Я. Это действительно

так,

ибо точка О — центр

вращения точки

найдена

пере

сечении

оси вращения

Pjt

с плоскостью

вращения

нахо

дится в плоскости проекций Я.

Через неподвижную

точку

схода Рх и через точку

Ѵ0

про

ведем

совмещенном

положении с плоскостью Я след

Рѵ0

плоскости

Р.

Геометрические

построения,

необходимые

для

получения

следа

Рѵ0

на

эпюре,

показаны

на

рис.

130,6.

Возьмем

точку

(ѵ,

ѵ')

на

следе Рѵ и через нее

проведем

плоскость R

(Rh,

Rv) — плоскость

вращения ее вокруг следа Ph-

Отметим

точку О

(о, о') — центр

вращения

ov,

o'v'—проекции

радиуса вращения точки V. Спо

собом

прямоугольного

треуголь

ника

построим отрезок

ОѴ0

— ве

личину

радиуса

вращения

точки

V, а затем отложим по следу

плоскости

вращения

Через

точку

У 0

на

этом

следе

точку

схода

Рх

проведем

след Рѵ0.

Рис. 131

Обратив

внимание

на

отрезки

Рхѵ'

и РХѴ0,

видим, что они равны: Рхѵ'

РХУ0; следователь

но, можно сказать, что точки

ѵ' и У0 лежат

на

одной

дуге

окружности радиуса Рхѵ'

= РХѴ0

с центром в точке

Рх.

Этот вывод дает возможность упростить процесс построе

ния

совмещенного положения

плоскости

ее

следа

Рѵо с

плоскостью Я, так как отпадает необходимость строить прямо

угольный треугольник для определения		величины		радиуса
вращения ОѴ0.			на	рис. 131,
Построения с учетом сказанного выполнены
где через точку ѵ проведена прямая линия,		перпендикулярная
Ph, и на ней для получения точки Ѵ0	сделана		засечка		дугой
окружности радиуса Рхѵ' из центра Рх.	Через точки			Рх	и Ѵ0
проведен след Рѵа.

На рис. 130, а и 131 в плоскости Р проведена горизонталь через точку V (ѵ, ѵ'). Последняя для этой горизонтали явля ется фронтальным следом. Так как положение горизонтали по отношению к горизонтальному следу Ph в процессе вращения плоскости Р не изменялось, то в совмещенном положении она осталась по-прежнему параллельной Ph- По аналогии можем

125

отметить, что фронталь плоскости в совмещенном положении? остается параллельной фронтальному следу этой плоскости.

Сделанные выводы используются для построения совме

щенного положения			других точек плоскости Р.
На	рис. 130, а	и	131	в плоскости Р на ее	горизонтали
возьмем	точку А (а,		а').	Для построения ее совмещенного с
плоскостью Я положения				А0 можно было бы повторить всю
цепь рассуждений,		что и для точки V, взятой			на следе Рѵ.

Однако, ограничившись проведением через ее горизонтальнуюпроекцию а прямой, перпендикулярной к следу Ph, в пересе чении с совмещенным положением горизонтали получим со вмещенное положение А0 точки А.

Подобным образом можно было бы построить совмещен ное положение еще ряда точек. Рассмотрим это на примерах.

П р и м е р 7. Совмещением с плоскостью проекций Я опре делить величину треугольника ABC (abc, а'Ь'с'), лежащего в плоскости Р (Ph, Рѵ) • На рис. 132, а плоскость Р общего по ложения, на рис. 132,6 — частного положения.

Рис. 132

Построения выполнены в следующем порядке: построены


следы Рѵ0		в совмещенном	положении		с	помощью точки V
(ѵ, ѵ'),	взятой в плоскости Р на следе				Рѵ	(см. рис. 131).
На	рис. 132,6 след Рѵо совпал с осью				X.
Затем построены в совмещенном положении горизонтали,
на которых лежат вершины треугольника.
Проведя через точки а, Ь, с прямые					(направление их по
казано	стрелками), перпендикулярные			оси		вращения — следу
Ph, в пересечении их с совмещенным				положением соответст
вующей горизонтали получим точки А0,					В0,	С0 . Треугольники
А0В0С0	есть искомые.		форме и размерам плоской фигуры
Если		бы по заданным

126

Ло-ßoCo, лежащей в заданной плоскости, требовалось найти ее проекции, то построения следовало бы выполнять в обратном порядке (см. § 30, п. «в»).

Сопоставление рис. 132,а и б показывает, насколько проще построения во втором случае по сравнению с первым. Однако построения и в первом случае (см. рис. 132, а) могут быть сведены к рис. 132,6, если воспользоваться способом перемены и преобразовать плоскость общего положения в проецирующую (см. рис. 113).

В заключение заметим, что в результате совмещения плоскости Р (см. рис. 132) с плоскостью проекций Я на ней без искажения изобразились углы, образованные в простран стве следами Рн и Рѵ, как углы между двумя пересекаю щимися прямыми линиями.

§ 30. Примеры и указания к решению задач способом преобразования проекций

Остановимся на рассмотрении лишь тех задач, в которых приходится определять расстояния, углы и строить геометри ческие элементы по заданным условиям.

а) Определение расстояний

1. Расстояние между двумя точками — нахождение егосводится к определению длины отрезка прямой линии (см. рис. 112, 122).

2.Расстояние от точки до прямой линии (см. рис. 116,

123).

3.Расстояние между двумя параллельными прямыми ли ниями определяется аналогично предыдущей задаче: пере меной плоскостей проекций или вращением прямые преобра зуются в положение, когда они проецируются в точки, рас стояние между которыми будет искомым.

4.Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми: одна из прямых преобразуется в положение, когда она

проецируется в точку, перпендикуляр из					которой	на	проек
цию другой прямой			будет	искомым расстоянием.
5.	Расстояние	от	точки до плоскости		(см. рис. 114,		126).
6.	Расстояние	между		параллельными	плоскостями. Для
определения его		надо в одной из плоскостей взять					произ
вольную точку и найти расстояние от нее до другой						плоскости.
Таким образом,		эта	задача сводится к предыдущей.

б) Определение углов

1. Угол между двумя пересекающимися прямыми. Приме ром его может служить угол, образованный двумя пересекаю щимися сторонами треугольника, величина которого, а следо-

127

вательно, и угол при любой из вершин находилась в приме рах, представленных на рис. 117, 127, 129 и 132.

2.Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых параллельна одной из скрещивающихся прямых. Поэтому сначала нужно построить такие прямые, а затем, как в пре дыдущем случае, найти величину угла между этими прямыми. Он будет искомым.

3.Угол между прямой и плоскостью есть угол, заключен ный между прямой и ее прямоугольной проекцией на эту плоскость. На рис. 133, а показано построение этого угла, для чего найдена точка К пересечения прямой AB с плоскостью Р.

Рис. 133

Затем из точки А опущен перпендикуляр на плоскость Р и в

пересечении его с ней построена проекция А\					точки А на этой
плоскости. Отрезок АХК			есть прямоугольная		проекция	отрез
ка АК	прямой AB	на	плоскость	Р, а угол	А[КА=ц>	есть
искомый.
Выполнив указанные построения на эпюре, задачу по оп
ределению угла ф можно свести				к определению угла		между
пересекающимися		прямыми А К и		АіК.
4.	Угол, образованный двумя			пересекающимися плоско

стями, называется двугранным. Как известно, мерой его явля

ется линейный угол, который образован линиями				пересечения
плоскости,	перпендикулярной к	ребру	двугранного		угла,
с плоскостями, образующими двугранный угол.
На рис.	133,6 плоскость R перпендикулярна прямой AB —
ребру двугранного угла. Угол CKD есть искомый.
При решении задачи на эпюре		очень	удобно	вместо	пло
скости R воспользоваться новой плоскостью проекций, приме
нив способ	перемены плоскостей	проекций.

128

На рис. 134,		где плоскости			Р и	Q заданы		их	следами,
такое решение выполнено в следующей							последовательности.
Построена линия пересечения плоскостей Р и Q, т. е.
найдено	ребро двугранного			угла	AB	(ab,	a'b'),	оказавшееся
прямой	общего положения. Поэтому					для	преобразования его
в точку	потребовалась		двойная		перемена		плоскостей			проек
ций.
Во первых,		выбрана	плоскость Ѵ Ь \| параллельная							прямой'
AB, которая в		системе	Н/Ѵ\	стала		фронталью.		Построены
следы Рѵ\ и Qui плоскостей				Я и	Q в	этой	системе		с	учетом

Рис. 134

того, что по фронтали пересекаются такие плоскости общего положения, у которых фронтальные следы параллельны.

Во-вторых, выбрана плоскость	# і ,	перпендикулярная	AB,
в результате чего плоскости Р и	Q в	системе ѴУЯ,	стали
проецирующими, а угол <р между	следами Рщ и Qh\ оказался

величиной искомого линейного угла, являющегося мерой дву гранного угла, образованного плоскостями Р и Q.

в) Построение геометрических элементов по заданным условиям

Здесь можно было бы привести большой перечень подоб ного рода задач: построение проекций прямой по заданным ее длине или углам наклона ее к плоскостям проекций, по строение плоскостей по заданным углам наклона их к плоско стям проекций или друг к другу, построение плоских фигур

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ