Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Начертательная геометрия курс лекций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

8.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 217 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

оси ОХ. Горизонтальный след Ph

совпадает со своей

горизон

тальной проекцией Ph,

а фронтальная проекция Ph'

проеци

руется на

ось ОХ.

Поэтому

и точка В (Ь, Ь'),

лежащая

на

следе

Ph,

имеет

свою

горизонтальную проекцию b

на следе

Ph,

фронтальную

Ь'—на

оси ОХ. Очевидно, то же самое

можно сказать и о следе Pw

на плоскости W. Если линия

лежит

на следе Рѵ,

то

горизонтальная проекция е/ будет на

оси

ОХ. Для удобства

изображения

и чтения

чертежа

пло

скости

проекции

следов

на

осях

ОХ,

OY, OZ не

изображают.

В этом и заключается

одна

из условностей изображения

пло

скости ее следами.

§ 14. Положение плоскости относительно

,плоскостей и осей проекций

Плоскость в пространстве может быть:
а)	общего	положения;
б)	перпендикулярной		одной из		плоскостей проекций;
в)	проходящей через		ось	проекций;
г) параллельной одной из плоскостей						проекций.
		Плоскость	общего		положения
За	общее положение плоскости принимают такое, когда
она наклонена		к плоскостям		проекций		и осям под любым

углом меньше прямого. На рис. 58 изображено наиболее рас

пространенное	задание	плоскости, когда	она имеет	точки
схода следов Рх,	Ру, Рг	«а положительных	направлениях	осей

проекций. Плоскость проходит и через другие углы простран ства. Будем пользоваться частью плоскости :и ее следами, расположенными в первом углу пространства, и лишь в слу

чае

необходимости — следами и

точками

схода

следов,

на

ходящимися

в других углах,

когда без

последних

нельзя

вы

полнить построения в первом углу. На

рис. 59, а даны

следы

плоскости Р.

Положение плоскости

Пространстве

задано

точками схода следов с параметрами

РХ = Ь; Ру

— 4;

= 6,

выраженными в некотором масштабе. Часто для решения

за

дачи

достаточно

двух

проекций.

этом

случае

плоскость

задают на чертеже обычно следами Рн и Рѵ,

как на рис. 59, б.

У плоскостей, изображенных

на

рис. 55 — 58, на

всех

проек

циях

видна

только

одна

верхняя

сторона,

обращенная

к зрителю, поэтому она называется плоскостью с

односторон

ней

видимостью.

Это

обстоятельство

будет

использовано

в дальнейшем при определении видимости частей плоскостей,

плоских	фигур, пересекающихся с плоскостью общего			поло
жения	или с прямой линией.
Плоскость с отрицательной точкой		схода	следов. Плоско
сти, представленные на рис. 55 — 58,		имели	точки схода	сле-

дов Рх, Ру, Pz, расположенные на положительных направле ниях осей ОХ, OY, OZ. Однако плоскость может иметь такое

Рис. 58

положение, когда какая-нибудь точка схода будет располо* жена на отрицательном направлении оси проекций.

Рис. 59

На рис. 60, а дано изображение плоакости, верхней частью наклоненной к зрителю. Плоскость в первом углу не пѳресе-

кается с осью OZ. Однако точка схода следовимеется, но на отрицательном направлении — OZ. В этом случае параметр OP-z отрицательный. Такая плоакость обычно задается двумя следами Рѵ и /V, Рѵ и Pw либо Рн и Pw, а направление и по ложение третьего следа определяются посредством отрица

тельной точки схода следов P-z,

Р-у

или Р-х.

следа

плоско

На рис. 60, б

показано построение

третьего

сти, заданной

на

рис. 60, а. Даны два

следа Ръ. и Рѵ\

имеются

точки схода

следов Рх

и Руп- Определить направление

следа

Pw. След

Pw начинается

от точки

Pyw

и проходит через

P~z.

Точка P-z определяется пересечением

следа Рѵ

с осью

— OZ.

Соединив

P-z

Pyw, как

указано

стрелками,

получают

на

правление

и положение

следа

Pw.

Рис.

На рис. 60, в плоскость дана

двумя следами

Рѵ

и Ph. Если

для решения задачи необходим третий

след, то

строят,

как

на рис.

60,6.

На

рис. 61, а изображена

плоскость

с отрицательным

па

раметром

Р-у.

Здесь

положение следов Ph,

Рѵ

опреде

ляется положительными точками схода следов Рх

и Рг

и отри

цательной Р-у.

и Рѵ,

Если

(рис.

61,6)

заданы

следы

то

направление

следа Pw

определяется так:

след

начнется

от

точки Р 2 ;

направление его определяется еще точкой Ру.

Но

первом

углу Ру

нет. Тогда

продолжение

следа Рн во

второй

угол

в пересечении с осью — OY образует точку Р-Ѵк.

Надо пере

нести эту точку налево, на ось

— O Y w

совмещающуюся

с ОХ

(перенос показан дугой со стрелкой), и получить точку

P-yw.

Соединив

ее с

Рг,

получают

направление следа

Pw,

который

проводится от Pz

вправо.

На	рис. 61,е	следами	задана		плоскость подобного		вида,
но имеющая больший угол с плоскостью Я.
На	рис. 62, а	показана	плоскость с отрицательной				точкой
схода	следов Р^х	в пределах		5-го угла. Точка		Р-х определяет
направление следов Рѵ и			Pu-	Построение следа Ръ. для			такой
плоскости показано на рис.				62, б	стрелками.	Плоскости на

		Рис. 61
ріис. 60 — 62 имеют	двустороннюю		видимость. Например, на
рис. 60, а передняя	сторона видна		при взгляде прямо спе
реди (на плоскости V) и слева (на			плоскости W), а задняя
сторона, обращенная к		плоскостям	V и W, будет видима
при взгляде сверху	(на	плоскости Я ) .

			Рис.	62
Плоскость		со	сливающимися	следами. Это	частное	поло
жение	плоскости		общего* положения, когда после разворота
плоскостей проекций H и V два каких-либо следа ее, про
должая	один	другой, будут составлять одну			прямую	линию

(рис. 63,а, б). Плоскость характерна тем, что одинаково на-

іклонена к двум плоскостям проекций и именно						к тем, следы
на которых сливаются в одну прямую линию.. Два							параметра
(такой плоскости	всегда равны	по	В'еличине		и	о>братны		по
знаку. Например,	на рис. 63, в	плоскость		Р	имеет		Py =	P-z;
на рис. 63, г плоскость Р имеет		Pz	= Р-ѵ,	а на		рис.	63, е пло-

«кость Р имеет Ту = Т-х. Направление третьего следа опреде ляют именно эти равные по величине, но обратные по знаку

параметры,		представляющие отбою на	рис. 63, в	стороны			рав
нобедренного прямоугольного треугольника P-zOPy.					45°	Гииоте-
шуэа. P-zPy		этого треугольника составляет углы		в		с	кате
тами	0Ру и	ОР_2 , поэтому след Pw,	являющийся		продолже
нием	гипотенузы, будет всегда составлять угол			в	45°	с	осью

Рис. 63

OY. Следует заметить, что третий след любой плоскости, имеющей два .сливающихся следа, всегда будет распола гаться под углом в 45° к оси проекции.


Плоскость,		перпендикулярная		к плоскости	проекций
Чтобы показать ,на чертеже такую плоскость, необходимо
изобразить	хотя	бы одну прямую		линию, лежащую		в	этой
плоскости	и перпендикулярную к			плоскости	проекций.		Пло
скость, заданная следами, должна				иметь один	или два		следа,
перпендикулярные к заданной плоскости проекций.
Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций, назы
вается проецирующей			плоскостью.	Она содержит в		себе все

линяй, проецирующие любую точку плоатаати на плоскость

проекций. Плоскость Т на рис.			64, а называется			горизонталь
но-проецирующей		плоскостью,	так	как	является	геометриче
ским	местом	перпендикуляров,		проецирующих		на	пло
скость	Н. На рис. 64, б следы		Тѵ и	Tw	параллельны оси		0Z
и перпендикулярны осям ОХ			и	OY.	Это свидетельствует
64

о -перпендикулярности плоскостей Т и Я. Однако таікую пло

скость

можно

представить

себе

двумя

пересекающимися

в точке Тх линиями (следами) Тѵ

(ри(с. 64,в),

из кото

рых Tv_LOX,

следовательно,

ТѴ1Н

плоскость

TJ-H.

Пло

скость

Т, перпендикулярная к плоскости Я, вся

проецируется

в виде

линии,

совпадающей

горизонтальным

.следом

Ты,

поэтому все,

что расположено

плоскости Т,

будет

иметь

свою горизонтальную проекцию на горизонтальном следе

Th.

Такой

след плоскости называется

собирательным.

На

рис. 64

горизонтальные проекции точки, прямой и треугольника

рас

полагаются

на

собирательном

следе

Th,

фронтальные

(и профильные)

не лежат на следах. Как видно на

рис. 64, а,

точка,

расположенная в плоскости

Г, проецируется

обычно

Рис. 64

проведением перпендикуляров к плоскостям H, V, W. Пока зателем принадлежности точки А к плоскости Т служит поло жение проекции точки на следе. Так как .след Тк изображает

всю	плоскость,	то,	очевидно,		углы ß и у. составляемые ли
нией следа Th с осями ОХ				и	OY,	характеризуют истинные
углы,	составляемые		плоскостью			Т с	плоскостями	проек
ций V и W.
Фронтально-проецирующая					плоскость		— плоскость,	пер
пендикулярная		к фронтальной		плоскости проекций (рис. 65, а).

Характеристика горизонтально-проецирующей плоскости при

менима

и для

фронтально-проецирующей, а именно.: два .сле

да плоскости перпендикулярны

осям,

лежащим

во

фрон

тальной

плоскости

проекций,

т.

е.

Rh -L ОХ

-L OZ

(рис. 65,6). Эти же следы параллельны оси OY.

След

располагается наклонно и является собирательным.

Можно

представить себе такую

плоскость

(рис. 65, в),

заданную

двумя пересекающимися линиями (следами) Rh

и Rv,

из

ко

торых Rh-LOX,

следовательно, и сама

плоскость

перпенди

кулярна

плоскости

Угол

а,

составляемый

следом

с осью

ОХ, — истинная

величина

угла.,

образуемого плоско

стью R с плоскостью Я. Угол у, составляемый

фронтальным

следом

с осью

0Z,

— истинная

величина

угла,

образуемого

плоскостью і? с плоскостью W. Точка В	(b,	b', Ь"), располо
женная в плоскости R, и треугольник	EFD	(см. рис. 65, в)'

свою фронтальную проекцию имеют на фронтальном следе RVv так как вся плоскость R и все, что в ней расположено, проеци

руется на след	Rv.	плоскость	—плоскость,	перпен
Профильно-проецирующая
дикулярная к	профильной	плоскости	проекций (рис.	66, а ) .

		Рис.	65
Для нее	характерно	положение		следов, перпендикулярное
к осям	01 и OY.	Следы Тѵ	и	Th параллельны оси ОХ

(рис. 66,6). Углы, (составляемые плоскостью Г с плоскостями проекций V и Н, выражаются в истинную величину углоім ß между следом Tw и осью OZ и углом а между следом Tw

			Рис. 66
и осью OYw.		Точка С, расположенная в плоскости Т, свою
профильную проекцию с" будет иметь на профильном				следе
Tw.	Проекции	с и с' лежат	между сл^едом и осью проекций.
На	рис. 66, в	изображена	профильно-проецирующая	пло

скость двумя следами Тѵ и Th, как она обычно задается в за дачах, и показана точка С, лежащая в этой плоскости. Про екции с, с' расположены на одноименных проекциях отрезка прямой, следы которого лежат на следах плоскости. Во всех случаях при изображении точки, прямой линии или плоской фигуры в проецирующей плоскости сначала следует задать

проекцию

на

собирательном

следе,

а потом уже

располагать

остальные

проекции.

Бели, '.например, на

плоскости

(рис. 67)" задать сначала

проекции

т\

т",

то

при построении

горизонтальной

про

екции

піі

оказывается,

что

точка Мі расположена за пло

скостью 5. Точно так же, если

взять

проекции

т2

т2",

горизонтальная

проекция

т2

оказывается

ниже

следа

5л,

а это свидетельство того, что

точка

М2

расположена перед

плоскостью 5.

Если

же

за

дать

сначала

положение

го

ризонтальной

проекции

на

следе

S н,

то

точка

будет

расположена

плоско

сти

ПЛОСКОСТЬ,

проходящая

через

ось

проекции

— частный

случай

положения проецирующей

плоскости. На рис. 68, а

пло

скость

R проходит через ось ОХ.

Очевидно, она

будет

про-

а)

а'?

1 У

M \

г) г

Ун

О*

Рис. 68

фильно-ироецирующей плоскостью. Два ее следа Rv и Rh сливаются с осью ОХ, а след Rw может занимать любое поло жение между осями OZ и OYw. Углы а и ß (рис. 68,6), со ставляемые следам Rw с осями OF и OZ, будут истинными величинами углов плоскости R с плоскостями Я и V. Точка А, расположенная в плоскости R, свою профильную проекцию а" имеет на профильном следе Rw, две другие проекции а и а'

занимают любое положение в проекционной связи с проек


цией а". Если такую плоскость задавать							двумя следами Рѵ				и
Rh (рис. 68, в), то положение ее относительно плоскостей V и											Я
будет	неопределенным. В этом					случае	задают		еще	двумя
проекциями		а	и	а' какую-либо точку			А,	принадлежащую
этой плоскости. Точка А и следы Rv и Rh вполне									определяют
положение плоскости R в пространстве.
На	рис. 68, г			изображена		горизонтально-проецирующая
плоскость Т, проходящая через ось 0Z,							на	рис. 68, д — фрон
тально-проецирующая плоскость						Т, щроходящая через ось OY;
на рис. 68, б,		г	и	д	показаны и	углы, составляемые				плоско
стями	с плоакоотами				проекций.
	Плоскость,			параллельная		плоскости		проекций

Плоскость Р, параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис 69, а, б), должна быть перпендикулярной (про ецирующей) к двум другим плоскостям проекций V и W.

5) г

Два следа ее Рѵ	и Pw в точіке Pz перпендикулярны к оси OZ
и изображаются одной линией. Точка А, лежащая в плоско
сти Р, имеет фронтальную а' и профильную а" проекции, рас
положенные на	собирательных одноименных следах плоско

стей Рѵ	и Pw,	а третью	проекцию	а — на	плоскости Я.		Если
в такой ІШВДСКООТИ имеется прямая				линия	либо	плоская	фи
гура, то	горизонтальные		проекции	их будут		изображаться
в истинную		величину.

На рис. 69, в изображена плоскость Т, параллельная плоокоспи W. Ее следы Th и Тѵ сливаются в одну линию, перпен дикулярную к оси ОХ в точке схода следов Тх; все, что рас-

положено в	плоскости Т, проецируется	на плоскость W
в истинную	величину. Так, проекция d"b"	изображает вели

чину прямой DB, лежащей в плоскости Т. Проекции db и d'b' расположены на собирательных следах плоскостей 7\ и Тѵ.


На	рис. 69, г изображена плоскость				S,	параллельная пло
скости	V. Ее следы Sh и Sw		перпендикулярны к оси OF в точ
ке схода следов Sy;		след Sh параллелен				оси ОХ,	а след Sw
параллелен оси OZ; все, что расположено в плоскости S, про
ецируется на фронтальную плоскость V в натуральную вели
чину.	Так, проекция	k'l'm'	изображает			истинную	величину
треугольника КЕМ.		Проекции		Ыпг	и	k"l"m'	сливаются
с одноименными собирательными				следами плоскости.

§ 15. Прямая линия и точка в плоскости

Прямая линия расположена в плоскости, если: 1) она имеет іс нею хотя бы две общие точки; 2) имеет с нею одну общую точку и параллельна какой-либо линии, лежащей

вэтой плоскости.

Впервом случае общими точками могут быть: а) следы прямых линий, которые должны лежать на одноименных .сле дах плоскости; б) точки пересечения прямой с какими-нибудь

двумя прямыми линиями, цринадлежащими этой		плоскости.
На рис. 70, а изображена	плоскость Р общего	положения
и в ней отрезок AB прямой.	Если отрезок продолжить, он

пересечет фронтальную и горизонтальную плоскости в точ ках H и V, являющихся следами отрезка и лежащих на одно именных следах Ph и Рѵ плоскости. Чтобы изо<бразиіть проек ции отрезка AB, лежащего в плоскости Р (рис. 70,6), данной следами, следует задать положение одной какой-либо проек

ции	отрезка, например горизонтальной ab. Продолжение ab
до	пересечения с Ph дает точку h — горизонтальную проек

цию его горизонтального следа Н. Фронтальная проекция h' горизонтального следа должна быть на оаи ОХ. Продолже ние ab до пересечения с осью ОХ дает точку ѵ •— горизон тальную проекцию фронтального следа отрезка. Фронтальная

проекция ѵ' следа будет на	следе Рѵ. Соединение h' с и'				ли
нией и проецирование на нее концов отрезка а и b дает				а'Ь'—
фронтальную проекцию AB.	Отрезок расположен в плоско
сти Р, так как его следы H и V лежат на одноименных					сле
дах плоскости. Можно показать		принадлежность отрезка			AB
к плоскости Р и без построения		следов его. В	этом	случае
(см. рис. 70, а) через концы	отрезка проводят		вспомогатель
ные линии, например СЕ и	KL,	имеющие две общие		точки
(следы) с этой плоскостью.

На; рис. 70, в следы Ph и Рѵ задают плоскость. Пусть дана хотя бы горизонтальная проекция ab. Через точку а прово-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 217 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ