Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Начертательная геометрия курс лекций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

8.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

Следовательно,
'/Cj. =	cos a; /Cy = COsß;	Kz— cos f.
Пусть точка Oi имеет координаты x, y,			z (рис. 192). Тогда
можно написать	OOx2=x2+y2+z2,	так	как	ОК2=х2+у2г
а O O i 2 = 0 / p + z 2 .

Но

x = ООх cos аг; у = ООх cos ßx ; г =ООх cos После подстановки и сокращения получим:

cos2 Clj - f cos2 ßi -f- cos2 Ti = 1 •

Сумма квадратов косинусов углов, составляемых осями координат с отрезком 00\, проходящим через начало коорди нат, равна единице.

Рис. 191				Рис*	192
Так как треугольник		ОхХО	прямоугольный		(рис. 191), то
угол а і = 9 0 ° — а, т. е.
cos а, =		cos ^	=	sin а,
и по аналогии
cos	=	sin ß;	cos "h =	sin y . 1
Тогда
sin2 et -f- sin2			ß -f- sin2 'i = 1
или
1 — cos2	а +	1 — cos2 ß + 1 — cos2 f = 2,
откуда

cos2 a - f cos2 ß + cos2 f = 2.

Следовательно, Kx2 + Ky2 коэффициентов искажения ской проекции равна двум.

+ Kz2—2, г. е. сумма квадратов в прямоугольной аксонометриче

1 На рис. 191 показан только угол а,; углы ßi и ^ см. на рис. 192.

190

Д ля	изометрической проекции Кх=Кѵ			— Кг.	Обозначая
коэффициенты		искажения	по всем трем	осям	(так	как они
равны	между	собой) через	К, будем иметь З Л ? = 2 ,			откуда
к= Y	4 - ~ ° > 8 2 -

Таким образом, в прямоугольной изометрической проекции все отрезки, параллельные в пространстве осям X, Y и Z, со кращаются в 0,82 раза.

Для прямоугольной диметрической проекции принимают

Кх = Кz и Ку = ~y Кх,

тогда после подстановки имеем

2/Сж 2

4 - К , 2

откуда

Следовательно,

К х

К г ^ У

± . =

М .

Ку^0Л7,

т. е. проекции отрезков, параллельных осям X или

будут

сокращены

до 0,94

истинных

их величин,

параллельных

оси Y — до

0,47.

Прежде чем перейти к определению углов между аксоно

метрическими

осями, докажем

следующие

положения.

1. В прямоугольных аксонометрических проекциях аксоно

метрические оси являются высотами треугольника следов

XYZ

(рис.

193).

ZOx

XY и

Для

доказательства продолжим

до

стороны

точку

их пересечения

соединим

с началом

координат

О.

Треугольник

OKZ перпендикулярен

к плоскости

Я,

так

как

проходит через ось OZ. Тот же

треугольник

OKZ

перпендику

лярен к треугольнику XYZ,

так как

проходит

через

перпенди

куляр

ООх

к треугольнику

XYZ.

Если

плоскость

треугольника

OKZ

перпендикулярна к двум

пересекающимся

плоскостям

(Я и XYZ),

то она

перпендикулярна

их

линии

пересече

ния XY,

потому линия KZ, лежащая в плоскости

треуголь

ника

OKZ,

также перпендикулярна

к XY. Следовательно,

OxZ

перпендикулярна к XY. Аналогично рассуждая, можно дока

зать, что OxY

перпендикулярна

к XZ

и ОхХ — к

YZ;

Ох

явля

ется точкой

пересечения

высот

(ортоцентром)

треугольника

следов.

2. В прямоугольных аксонометрических проекциях тре угольник следов XYZ является остроугольным. Если предста-

191


вить на рис. 193 точки X и Z треугольника следов XYZ							закреп
ленными неподвижно, а	точку	Y	перемещать			по	оси OY
к точке О, то в этом случае угол			при	вершине Y			начинает
увеличиваться и, когда точка Y		совпадет с			О,	превратится		в
прямой, а при удалении	точки	Y	от	начала		координат		О
будет уменьшаться. На	этом	основании			рассматриваемый

угол должен быть острым. Если так же рассуждать по отно шению к углам при вершинах X и Z, то придем к выводу, что и эти углы должны оказаться острыми. Поэтому ортоцентр расположен внутри этого треугольника, так как данное поло жение ортоцентра бывает только в остроугольном треуголь нике.

3. Отсюда вытекает, что углы XOxY, YOxZ и XOxZ между аксонометрическими осями должны быть тупыми. В самом деле, треугольник XYZ остроугольный; следовательно, угол между высотами дополняет острый угол до 180°, например ZKOxM= 180° — KYM, но ZKYM острый, поэтому ZKOxM тупой.

Переходим к определению углов между аксонометриче скими осями.

В	случае	прямоугольной	изометрической проекции
(рис.	193) прямая ООх перпендикулярна плоскости Р, в кото
рой расположен		треугольник следов XYZ, а коэффициенты
искажения равны между собою:			КХ=КУ=К2.

Таким образом, cos <x=cos ß = c o s у, что при острых угдах соответствует равенству самих углов a = ß = y . Поэтому плос кость Р будет иметь одинаковый наклон к плоскостям проек ции.

Отрезок		ООх	является		катетом	прямоугольных					треуголь
ников	00{Х,		OOxY	и	OOxZ.	Поэтому			ОхО = ОХ sin а;
OxO = OYsm§;			OxO = OZsmy; следовательно,							OX=OY=OZ.
Так как эти			отрезки являются катетами следующих трех
прямоугольных			треугольников: XOZ,			XOY		и ZOY,			то и гипо
тенузы их также равны, т. е. XZ=XY=ZY,									и	треугольник
следов	XYZ	будет равносторонним. Углы XOxZ,								XOxY и ZOxY
равны между собою, и каждый из них равен									120°, потому что
их стороны ОхХ,			О!У и OxZ		лежат	на	высотах			равносторон
него треугольника.
Итак, в прямоугольной изометрической проекции коорди
наты по всем трем осям имеют один и тот								же		коэффициент
искажения /(=0,82, а углы между осями равны 120°.
На чертеже ось OZ обычно располагают вертикально и под
углом	в 120° к ней (или 30° к горизонтальной								линии) оси ОХ
и OY	(рис.	194).
При вычерчивании				прямоугольной			изометрии				каких-либо

геометрических элементов или предметов каждую координату 192

приходится умножать на 0,82. Чтобы не делать подсчетоз, обычно пользуются масштабом искажения.

Выше было установлено, что в случае прямоугольной изо метрической проекции отрезки осей ОХ, OY и OZ равны

				Рис.		193				Рис.	194
между	собою, между							собою равны		также их	проекции ОхХ,
OjF и OxZ.			В связи с этим (см. рис.							193) оси ОХ, OY и OZ со
ставляют		с линиями					XY,		XZ
и YZ углы в 45°, а								проек
ции 0\Х,		Оі У и			0\Z		с	этими
же линиями				образуют углы
в 30°.
Для		изображения							мас
штаба		у		горизонтальной
прямой		(рис.			195)			строим
вверх	угол		30°, а			вниз — 45°.
Любую координату							х,	у	или
z откладываем						по	нижней
наклонной			линии				и	конец
проецируем				на	верхнюю				на
клонную		линию				перпенди
кулярно				горизонтальной
прямой.		Полученный						таким
образом		отрезок				будет иска
жен по сравнению с перво
начально		взятой				координа				Рис.	195
той в	0,82		раза.
В	случае			диметрической

проекции два коэффициента искажения из трех будут равны

между	собою. Обычно принимают	Кх — Кг — %КУ, поэтому
cos а =	cosy, что означает равенство	углов а и у (см. рис. 191).
13		193

Так как OiO==OXsin a=OZsin_Y,								то	OX=OZ.	Принимая
ОХ=1	и 02=	1, получим			XZ=V2.
Выше было установлено,					что для диметрической проекции
		^ - ( ^ 0 , 9 4 )				и	Ку- - ^ ( - 0 , 4 7 ) ,
поэтому	O i X = O j Z		=	2 / 2 "
Так	как OX=OZ,			то XY=YZ		и	треугольник			следов	XYZ
равнобедренный (рис.				196).
Высота YL,		совпадающая			с направлением 0{Y,					делит	по-
						XZ			2
полам сторону		XZ,	т. е. XL — LZ =-?r					=	~^r~ •

Рис. 196 Рис. 197

Из	прямоугольного треугольника		0\LZ	имеем
	ZL	/ 2 " .	2 / 2	0,75.
	S i n О :			0,75.
Угол ô«48°35' ; 2ÔA;97 o 10' .
Из	рис. 196 видно, что	Zip =	7°10'	(OjS _L 0]Z), a угол
Ѳ=:ô—ф=48°35'—7° 10'=41 °25'.

	Направление осей для прямоугольной диметрии показано
на	рис. 197
	На этом чертеже также указано, как могут быть построе
ны	оси ОХ и OY, если принять	t g 7 ° 1 0 ' = 1/8 и tg41°25' = 7/8.
	Таким образом, отрезки, расположенные в пространстве и
параллельные осям ОХ, OY и OZ, претерпевают сокращения,
установленные тем или иным		коэффициентом искажения.

Однако в числе этих отрезков имеются такие, которые не из меняются в прямоугольных аксонометрических проекциях. К ним относятся отрезки, параллельные плоскости треуголь-

Ось OZ обычно изображают вертикально.

194

ника следов и, в частности, его сторонам. В самом деле, от резки, параллельные, например, следу XY (см. рис. 193), как и сам след, проецируются на плоскость Р без искажения. Так как аксонометрические оси являются высотами треугольника следов, то несокращаемые отрезки располагаются перпенди кулярно к аксонометрическим осям (рис. 198).

Эти два вида прямо угольных аксонометриче ских проекций, в особен ности изометрия, явля ются наиболее распрост раненными в курсе ма шиностроительного чер чения.

§ 44. Примеры построения
в	прямоугольных			0	901
аксонометрических				0	901
аксонометрических
	проекциях
На	рис.	199,6	изобра
жена изометрическая про
екция	точки	А,	которая
задана	своими		ортого	Рис. 198
нальными проекциями на				Рис. 198

рис. 199, а.

Откладывая координаты параллельно соответствующим осям, получим вторичные проекции на Я, V и W, а также изо-

а)

Рис. 199

метрическую проекцию точки А. Коэффициент искажения по всем трем осям принимаем равным единице.

Чтобы перейти к построению в прямоугольной изометрии или диметрии тел вращения, нужно предварительно хорошо

13*

195

усвоить изображение в этих проекциях окружностей, различ но расположенных в отношении плоскостей проекций. Для этого в грани куба, параллельные плоскостям проекций, впи сываем окружности (рис. 200, а) и строим этот куб вместе с окружностями в изометрической проекции (на рис. 200,6 коэффициент искажения равен единице).

A6=A,ârA,Bf1,}!d,

CD=C,DrC,D,~0.1d,

		Рис.		200
Построение	куба	начинаем		с его основания. Начало		коор
динат О помещаем		в одной	из	вершин	куба {точка 7).		На
правление оси	X совпадает		с ребром 7—8, направление				оси
Y — с ребром 7—3,		оси OZ — с ребром			7—6.
Откладывая	на рис. 200, б от точки О отрезки 0—8					и	0—3

в истинную величину, получаем точки 8 и 3. Проведя из этих точек прямые, параллельные осям X и Y, будем иметь точку 4. Далее из точек нижнего основания проводим прямые, парал-

196

лельные оси Z, и откладываем на них длину ребер куба. По лучаем верхнее основание 1—5—6—2 и изометрию самого куба, контур которого изобразится в виде правильного шести угольника. Окружности в изометрии превратятся в эллипсы,

вписанные в ромбы, представляющие собой проекции					граней
куба.
Большие диагонали ромбов 5—2, 2—4 и 4—5, перпендику
лярные к осям OZ, OY и ОХ, проецируются			без	искажения,
так как они параллельны	плоскости	аксонометрических			проек
ций. Отсюда следует, что большие		оси эллипсов		AB,	АХВХ и
А2В2, совпадающие с	этими диагоналями,		представляют

собой истинную величину диаметров окружностей, вписанных в грани куба (при коэффициенте искажения, равном 0,82).

Малые оси эллипсов CD, CXDX		и C2D2 совпадают с малы
ми диагоналями	ромбов, они располагаются		перпендикулярно
к большим осям	эллипсов. На рис. 200, а видно, что			окруж
ности касаются	середин сторон	квадратов,	поэтому,	кроме

указанных четырех точек, соответствующих большим и малым осям эллипсов, для каждого эллипса имеются еще четыре точ ки касания сторон ромба с эллипсом (рис. 200,6). Эти точки

касания	M, N, Р, Q, К, L , I , Т	и R лежат на прямых, парал
лельных	изометрическим осям.
Если	/(=0,82, то большие	оси эллипсов равны истинной

величине первоначального диаметра d0, а малые оси получа

ются равными 0,58 d0 .					определяется отношением
Из	рис. 193 малая ось эллипса
- ö i r =	C0S(f-
Как	было установлено, / ( =				Следовательно,	cosy =
2
3-,		НО
ОіК		= cos <р =	cos	тг^ =	sin r = УI — cos2	т,
OK
откуда		^	=	1/7^4^0,58.

В практике машиностроительного черчения при построе нии изометрических проекций часто коэффициент искажения принимают равным единице. Сохраняя наглядность изобра жения, мы устраняем необходимость пересчета на 0,82, т. е. отрезки, откладываемые параллельно осям ОХ, OY и OZ, не сокращаем. В этом случае изометрическая проекция предме та получается увеличенной в отношении 1 : ~\f \ ' т ' е - П Р И "

мерно в 1,22 раза. Большие оси эллипсов будут равны 1,22 d0, малые оси 0,58 : 0,82=0,7 d0 (рис. 200,6).

197

Если окружности не параллельны плоскостям H, V и W, то эллипсы строятся по координатам ряда точек, взятых на этих же окружностях.

Диметрическая проекция куба со вписанными в его грани окружностями изображена на рис. 201 В этом случае по строение эллипсов происходит несколько сложнее, так как только передняя и задняя грани куба изобразятся в виде ромбов, остальные грани-—в виде параллелограммов.

Так же, как и в изометрической проекции, точки касания эллипсов M, N, Р, Q, К, L , I , Т и R окажутся "на серединах

		Рис. 201
сторон. Отрезки MN и PQ, а также MR			и ТК будут не главны
ми, а сопряженными осями эллипсов.
Направление же главных осей эллипсов можно увязать с
направлением аксонометрических осей: малые оси						эллипсов
параллельны этим осям, а большие —> перпендикулярны							к ма
лым осям	(направление	аксонометрических		осей	у	центров
эллипсов показано утолщенными отрезками). *
Длина больших и малых осей эллипсов				зависит		от	того,
на какой	грани куба	расположена	изображаемая			окруж
ность, а также от того		коэффициента	искажения,			который
принимается при построении диметрической проекции.
Для эллипса, находящегося на верхней				горизонтальной
грани куба /—2—6—5, параллельной Н, большая					ось AB		рас-

1 Этот куб в ортогональных проекциях приведен на рис. 200, а.

198

полагается горизонтально, а малая ось CD параллельна диметрической проекции оси Z.

Для эллипса, находящегося на боковой грани куба /—4—


8—5, параллельной W, малая ось C2D2		параллельна	диметри
ческой оси X,	а большая ось А2В2 перпендикулярна		к ней.
Построение	эллипса, находящегося	в передней грани		куба
1—2—3—4, параллельной V и проецирующейся ромбом,				зна

чительно упрощается ввиду перпендикулярности его диагона

лей, которые и будут служить направлением							большой и ма
лой осей	эллипса.
Если	диметрическая		проекция		куба	строится с коэффи
циентами искажения KX=KZ=0,94					и Ку=0,47,		то	большие
оси всех трех эллипсов AB=AlB1=A2B2=d0,							где d0 — диа
метр окружности, изображенной				на рис. 200, а.
Малая ось для эллипса, находящегося в грани ZOX,									состав
ляет 0,88 длины		большой оси, т. е. ClDl —0,88 d0.							XOY и
Малые оси для эллипсов, находящихся- в							гранях
ZOY, составляют		1/3 длины большой оси, т. е. CD —							C2D2=^.
Для простоты построения диметрической проекции обычно
принимают Кх~К2=\			и Ку=1/2	(рис. 201)			В этом		случае
большие	оси для	всех	эллипсов		будут	равны: D0=AB =
=AlBl=A2B2	=	1 : 0 , 9 4 4 = l,06d0.			Малая		ось	СА==
=0,88- 1,06 d0=0,944,;			CD =	C2D2=DJ3.				эллипсы,
На рис. 202 в диметрической				проекции построены
изображающие окружности, параллельные плоскостям H, V и
W при KX=KZ=\		и / ( „ = 1 / 2 .

Как видно из чертежа, большие оси эллипсов расположены перпендикулярно соответствующим диметрическим осям, ма лые — в направлении осей X, Y и Z. Величины осей приведены на чертеже в зависимости . от диаметра D изображаемых окружностей.

Таким образом, во всех рассмотренных нами примерах (рис. 200,6 и 201) построение изометрии и диметрии окруж ностей свелось к изображению эллипсов по восьми точкам, которые соединяются между собою по лекалу или циркулем.

Перейдем теперь к построению в изометрической и димет рической проекциях тел вращения.

На рис. 203, а изображен цилиндр в ортогональных проек циях, а на рис. 203, б построена его изометрическая проекция. Коэффициент искажения / ( = 0 , 8 2 . З а м е т и м , что круги, пред ставляющие собой основания цилиндра, располагаются подоб но кругу, вписанному в верхнюю горизонтальную грань куба (см. рис. 200, б). Следовательно, изображение цилиндра

1 Изображение в таком случае получается увеличенным в 1,06 раза и на наглядности чертежа почти не отражается.

199

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ