Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Начертательная геометрия курс лекций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

8.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 212 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

лению Т и образующих проецирующую плоскость (поверх ность), пересечение «отарой с /плоскостью К дает проекции точек А, Е, В ищи прямой MN. Направление проецирования составляет с плоскостью К некоторый угол, который можно (Изменять. В зависимости от угла, составляемого иаправлешием проецирования с плоскостью проекций, различают два

вида	параллельных	проекций: косоугольные проекции, когда
этот	угол не равен	90°; прямоугольные	проекции, когда на

правление проецирования перпендикулярно -плоскости про екций.

Рис.	4	Рис. 5
Очевидно, что	при косоугольном	проецировании может

быть принято бесчисленное множество углов для проецирую щих линий, и если еще брать различные положения плоско сти К, то будет бесчисленное количество проекций точек, пря мых и пр.

Если направление проецирования перпендикулярно пло скости проекций, то проекция предмета будет единственной (рис. 5). При удаічноім расположении предмета относительно плоскости проекций очертания его и размеры могут спроецироваться без искажений, т. е. проекции 'будут обладать 'изме римостью, что необходимо для целей производства. В этом

случае можно делать	различные измерения — проітяженно-
стей, углов, площадей,	соотношений* между частями предме
та, его поверхностями	и т. п.

Приемлемых для производственных целей изображений можно достигнуть тремя способами параллельного проециро вания: с числовыми отметками; прямоугольного и аксономет рического.

За основу примем следующие положения метода прямо угольного проецирования;

1)проецирующие линии взаимно параллельны;

2)проецирующие линии перпендикулярны плоскости про

екций;

3)проецирование производится в системе взаимно пер

пендикулярных плоскостей проекций.

,§ 2. Плоскости проекций

Предмет изображается на плоскостях проекций. В каче стве таковых принимают три взаимно перпендикулярные пло скости (рис. 6,а) . За основную принимается плоскость, обов-

6)	7

V	W
Фронтальная	Профильная
плоскость	плоскость
проекций	проекций
	Уы
	0
Гіризонтальная
плоскость
проекций
	У,
Рис 6
начѳнная буквой V, расположенная вертикально и назы
ваемая фронтальной плоскостью проекций.	Перпендикулярно

к ней расположена горизонтальная плоскость проекций, обоз наченная ібуіивой Я . Перпендикулярно первым двум плоско


стям находится третья — профильная плоскость проекций					W.
Фронтальная плоскость V расположена перед зрителем так,
что направление взгляда			(и проецирования)	перпендикуляр
но к ней. Две		другие плоскости H ,и W, перпендикулярные
фронтальной	и	параллельные направлению		проецирования
на V, должны		были бы изображаться в виде		линий, но	это
неудобно для наблюдения іи восприятия				изборажѳния.
Поэтому их условно как			бы наклоняют вниз и поворачивают
вправо так,	чтобы левая		и правая 'стороны плоскости H изо-

бражались (см. риіс. 6, а) под углом в 45° к продолжению го ризонтальной стороны плоскости V иди делили угол между вертикальной и горизонтальной сторонами плоскости попо лам. Надо помнить, что действительный угол между плоско стями равен 90°. Поворот и наклон искажают форму плоско стей H и W, [поэтому они изображены параллелограммами, условно обозначающими прямоугольники.

Плоскости Я и V взаимно пересекаются по линии ОХ, на зываемой осью проекций и перпендикулярной плоскости W. Плоскости Я и W пересекаются по оси проекций OY, перпен дикулярной плоскости V. Плоскости V и W пересекаются по оси проекций OZ, перпендикулярной плоскости Я.

Три оси проекций пересекаются ;в одной точке О, назы ваемой началом осей проекций (координат). Задавая по осям ОХ, OY, OZ расстояния от каждой из плоскостей проекций, можно расположить проецируемый предмет в пространстве по заданным условиям. Изображение плоскостей проекций, даяаное на рис. 6, а, выполняется лишь тогда, когда необхо димо наглядно пояснить положение проецируемого предмета в пространстве. В этом .случае видны его поверхности по трем

направлениям		и изображение 'будет как бы объемным, зри
тельно	легко	воспринимаемым.
Для	того	чтобы было удобно без искажения					выполнять
различные геометрические построения и проекции							предмета,
плоскости Я,		V и	W приводят		в положение,	показанное		на
рис. 6, б.				V,
Фронтальную			плоскость		принятую за основную (глав
ную), оставляют неподвижной. Горизонтальную плоскость								Я
поворачивают		вниз (как		показано стрелкой		на	рис. 6, а)

вокруг оси ОХ до положения, когда она будет продолжением

фронтальной плоскости		V	(изображено		штрихами		на
рис. 6,а) .	Профильную плоскость			W поворачивают		вправо
вокруг оси OZ до положения, когда она 'будет продолжением
плоскости	V. При повороте плоскостей Я ,и IF ось OY, общая
для них,	условно делится	на	две	части.	Одна из	них	OYk

вместе с плоскостью Я опускается вниз и будет продолже

нием оси OZ. Вторая половина

OYw

вместе

плоскостью

поворачивается вправо и будет продолжением

оси ОХ.

Поло

жение плоскостей

проекций

развернутом

совмещенном

с плоскостью V состоянии при наличии на них изображений

предмета называется

чертежом

(эпюром). Плоскости

Я,

и W предполагаются

беспредельными

непрозрачными.

§ 3. Проецирование на однѵ плоскость проекций

Проекции

числовыми

отметками.

Дана

плоскость

(рис. 7,а).

Над

плоскостью

расположена точка А, которую

надо спроецировать

на Я.


Спроецировать			— это	значит провести		перпендикуляр			из
точки	на плоскость		проекций.		Точка пересечения			перпендику
ляра	іс плоскостью проекций называется проекцией							точки.
Из точки А		опускают		перпендикуляр		на	плоскость Я		и
отмечают точку		а	пересечения		его с Я. Точка		а есть горизон

тальная проекция точки А. Положение проекции а выбирают

на чертеже

произвольно. Затем

плоскость

поворачивают

в положение, совмещенное іс плоскостью чертежа

(рис.

7,6).

При этом точка

А и проецирующий

ее

перпендикуляр

уби

раются и тогда

на

плоскости

изобразится

только

проек

ция а. На

рис.

7, а

наглядно

видно

положение

точки

над

плоскостью

Я.

іНа рис. 7, б такой наглядности

нет. Здесь не

прочитать,

где

расположена точка

А:

на

самой

плоскости,

Рис. 7

выше или ниже ее и на каком удалении. Чтобы по проекции а можно было представить себе положение точки А в простран стве, задают расстояние, на которое отстоит точка А от пло


скости	Я, измеряя его в каком-либо принятом		масштабе.
Пусть	на р«с. 7, а точка А отстоит от плоскости Я		на	расстоя
нии 6 условных единиц. Тогда		на рис. 7, б рядом	с	обозначе
нием проекции точки в скобках		(или 'без скобок ниже буквы)

указывается цифра, показывающая величину удаления. Такое


обозначение		называют числовой отметкой			точки.	При этом
положение точки над плоскостью проекции					шитают		положи
тельным,	а	под	плоскостью	Я •— отрицательным.		Теперь		на
рис. 7, б	положение точки в			пространстве	определено.			Она
расположена		над	своей горизонтальной проекцией				на	рас

стоянии 6 единиц. Точка В на рис. 7,6 расположена на рас стоянии 4 единиц под плоскостью Я, о чем свидетельствует отрицательный знак у отметки проекции Ь (—4). Точка С расположена на самой плоскости Я, что подтверждает от метка с(0).

На рис. 8, а даны две точки с отметками А (6) и В (•— 4). Прямая, проходящая через точки А и В, пересекает пло скость Я в точке С(0). На чертеже (рис. 8,6) такая прямая изображается своей горизонтальной проекцией а (6), Ь (—4). Отметки 6 и —4 (см. рис. 8, а) показывают лишь расстояние

от плоскости Я концов A іи В, но не длину самой линии. Рас стояние между А я В может 'быть увеличено или уменьшено;, и от этого будет меняться [соответственно длина ab, но не расстояния точек от плоскости Я. Если через каждое деление на 'Перпендикулярах Аа и ВЬ провести линии Kl, G2, F3, Е4, D5 параллельноплоскости Я, то на линии AB отметятся точ ки К, G, F, Е, D, расположенные на соответствующих paie-

Рис. 8

стояниях над или под плоскостью Я . Отсюда следует, что на проекции ab (юм. рис. 8, б) можно всегда построить какуюлибо точку и узнать ее отметку (расстояние от Я ) . Как видно на рис. 8, а, на AB будет 10 точек, 4 из которых расположены под плоскостью H, а 6—над нею. Таким образом, чтобы опре делить (см. рис. 8,ö), на сколько частей следует делить про-

Рис. 9

екцию ab, необходимо иметь алгебраическую разность, пока

зывающую	превышение точки А над В, а именно				а — Ь =
= 6 — ( — 4 ) = 10.		Разделив ab на десять равных		частей и
обозначив	их, как	показано на	рис. 8, б, можно	построить
проекцию любой точки. Очевидно, точка С, имеющая					нулевую
отметку, будет проекцией точки			пересечения AB	с	плоско
стью Я . На рис. 8,а наглядно видно: чтобы подняться от В

к А, надо переступить 10 ступеней в выбранном				масштабе.
На	рис. 9, а дано положение	отрезка	линии	EF. В	этом
случае	точка F выше точки Е на три отметки, и, стало				быть,
чтобы	подняться от точки Е к	точке F,	следует	переступить
14

три ступени: D (4), С (5), F (6). Чхобы узнать количества делений на проекции, следует получить алгебраическую раз ность отметок, а именно / — е — 6 — 3 = 3. Отсюда между е и / три промежуточные ступени. Проекция ef делится на три части. Отметки промежуточных точек ібудут d (4), с (5).

Как видно на рис. 8, а и 9, а, при увеличении расстояния между точками А и В, а также Е и F, увеличивается длина каждой ступени — расстояния между точками ED, CF и т. д., а отметки их (расстояния от плоскости Я) остаются посто янными.

Опосо'б числовых отметок применяется при	строительных
и подземных работах, в геодезии, картографии	и др.

§ 4. Проецирование на две плоскости проекций

Точка

Две взаимно перпендикулярные плоскости образуют дву гранный угол (рис. 10, а). В пространстве двугранного угла взята точка А. Перпендикуляры, проведенные из А на пло-

Рис. 10

скости H и V, в пересечении с ними образуют проекции а • и а'. Условимся проецирующие линии изображать штрихами. Проецирующий луч Аа, проведенный через точку, пересекает

ся с плоскостью H в точке а. Точка а есть прямоугольная	про
екция А. Проекция обозначается той же буквой, но	только-

малой (.строчной), и ей присваивается наименование пло

скости проекции, в пересечении				с которой она образована.
Поэтому	а — горизонтальная		проекция		точки А.
Для построения проекция на плоскости V через точку А
проводят	перпендикуляр	Аа'.		Однако	определение	точки
а'— пересечения перпендикуляра Аа' с плоскостью V имеет
некоторую особенность: ее		уже		нельзя	выбирать (намечать)
произвольно, как* это было			с	горизонтальной проекцией			а.
Проецирующие линии Аа		и	Аа'	образуют плоскость,		перпен
дикулярную к плоскостям		проекций H,			V и оси ОХ. Точки		А,

а, а'—' вершины прямоугольного четырехугольника. Для опре деления положении проекции а' через горизонтальную проек


цию а (см. рис.		10, а)	надо провести		линию aax-LOX,			в ре
зультате чего образуется точка ах.				От точки		ах в плоскости V
проводят	линию,	перпендикулярную			ОХ,	до	пересечения
с проецирующим на плоскость V перпендикуляром. Точка а'
есть результат пересечения аха'А^ОХ					с Aa'JLV.		Точка	а' на
зывается	фронтальной		проекцией	точки А.		Не	обязательно

горизонтальную проекцию принимать за первую. Можно сна чала построить фронтальную а' проекцию, а потом горизон тальную а.


Рассмотрев			прямоугольник			Аааха',	видим,		что		Аа
и а'ах	равны	и	параллельны как			противолежащие			стороны
и как параллельные отрезки прямых между								параллельными
линиями Аа'		іи аах.		Точно	так. же Аа'		параллельна			аах	и
равна	ей. Из	этого		следует,	что	расстояние		от точки		А	до
фронтальной		плоскости проекций,				равное	Аа',	изображается

на горизонтальной плоскости проекций равным и параллель ным ему расстоянием аах от горизонтальной проекции а до оси ОХ. Расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций, равное Аа, изображается на фронтальной плоско сти V равным и параллельным ему расстоянием а'ах от фрон тальной проекции а' до оси ОХ. Известно, что если плоскость перпендикулярна к двум пересекающимся плоскостям, то она перпендикулярна к линии их пересечения. Прямоуголь

ник Аааха'	перпендикулярен		к	плоскостям Я		и	V,	следова
тельно, и к оси ОХ. Линии аах				и а'ах	составляют			линейный
угол плоскостей H я V, равный				90°. Прямые		аах	и	а'ах	пер
пендикулярны к оси ОХ и проходят через точку ах,								являясь
продолжением одна другой.
Если теперь (рис. 10,6)			повернуть		плоскость		H вниз			так,
чтобы она стала		продолжением		фронтальной			плоскости			V,
то линии Аа	и Аа'	отбрасываются, а			линия	аах,		лежащая
в плоскости Н, вместе с последней повернется вокруг ах									вниз,
расположится перпендикулярно ОХ и вместе с а'ах								будет		со
ставлять одну линию ааха',				перпендикулярную				оси		ОХ.
Отсюда выводится		основное	положение прямоугольного						про-

ецирования: две		проекции	точки располагаются				на	одной	ли
нии, перпендикулярной			оси	проекций.
Совокупность двух прямоугольных проекций а я а' назы
вается	эпюром	(фр. épure — чертеж).			Линия		ааха', связы
вающая	расположенные		на ней проекции			а и а',		называется
линией	связи. На рис. 10,6			расстояния	аах	и а'ах		перенесены
с рис. 10, а.								а и а'
Таким образом, іна рис. 10,6 двумя					проекциями				за

дана точка А в пространстве двугранного уігла. Но изобра

жение это не наглядное. Поэтому,	чтобы представить _ .себе
положение точки А по проекциям,	необходимо иметь разви

тую способность представления в пространстве, иначе говоря, уметь читать чертеж.

Использование совокупности двух прямоугольных проек ций на две взаимно перпендикулярные плоскости есть основа


метода	прямоугольного		(ортогонального)	проецирования.
Чтобы	прочитать чертеж		(рис. 10,6), надо	выполнить	обрат
ный процесс: по оси ОХ согнуть плоскости, образовав						пря
мой угол,		восставить перпендикуляры к плоскостям			Я	и V
в точках		а и а' и в пересечении их получить точку А.			Глядя

на проекции, надо мысленно представлять себе точку А в про

странстве рис. 10, а — воссоздавать		положение	объекта про
ецирования	по его прямоугольным	проекциям.
На рис. 10, а точка А взята на произвольных				расстояниях
от плоскостей Я и V. Можно располагать точку ближе или
дальше от	плоскости V и выше • иди ниже		по	отношению
к плоскости	Я. Это будет отражаться на положении				проек
ций а и а' относительно оси ОХ — ближе или дальше					от нее.

Но может быть задано и такое положение, когда точка не

имеет одного	расстояния. Например,	точка	В	(см. рис. 10, а)
не имеет расстояния до фронтальной		(V) плоскости проекций.
Очевидно, она расположена в іэтой		плоскости. В таком слу
чае точка В	и ее фронтальная проекция		а'	совмещаются

в одной точке. Перпендикуляр ВЬ, проецирующий точку В на


плоскость Я, будет расположен в плоскости						V и пересечет Я
в точке Ъ=.ЬХ	на оси ОХ.		Точка Ь — горизонтальная				проек
ция точки А. Расстояние Ob, взятое на ОХ						(см. рис. 10, а) и
перенесенное	на рис. 10, б,		определяет		положение		горизон
тальной проекции		Ь. Расстояние		ЪЬ', отложенное перпендику
лярно ОХ в точке		Ьх (см. рис. 10,6), ідает				положение фрон
тальной проекции		Ь'. Читая	чертеж (эпюр),			видим отсутствие
расстояния от	горизонтальной			проекции	b	до оси ОХ. Это

свидетельствует о том, что точка В расположена в плоско сти V. Отрезок bb' показывает, на каткое расстояние точка В приподнята над плоскостью Я.

Точка	С не имеет расстояния	до	плоскости Я (см.
рис. 10,а),	она лежит в ней. Точка	С и	ее горизонтальная

проекция с совмещаются. Проецирующий перпендикуляр Ссг можно провести. Он расположен в плоскости Я и пересекает

плоскость V в точке с' на оси ОХ. На			рис. 10, б	показаны
проекции с и С, расстояния для которых взяты с				рис. 10, а.
Читая чертеж	(см. рис. 10,6),	видим, что нет расстояния от
фронтальной	проекции с' до	оси ОХ.	Это свидетельствует
о том, что точка С лежит в		плоскости Я . Точка D (см.
рис. 10, а) расположена на оси ОХ и принадлежит				двум пло-
акостяім проекций H и V. Очевидно, ее проекции d и				d'совме
щаются на оси ОХ (см. рис. 10,6).

Прямая линия

Прямая линия бесконечна. В дальнейшем будет рассмат риваться всегда отрезок прямой линии. Линия, не параллель ная, не .перпендикулярная плоскостям проекций и располо женная в пространстве двугранного угла, будет иметь общее положение. Пусть дан отрезок EF прямой общего положения

Рис. П

(рис. 11). Две точки Е и F вполне определяют положение отрезка прямой в пространстве. Проекции этих точек вполне определяют положение проекций отрезка и положение его в пространстве. Чтобы спроецировать отрезок на плоскость Я,


через, все его точки (например, Е, D, К, F)			проводят		перпен
дикуляры и строят точки пересечения		их с плоскостью Я .
Все проецирующие перпендикуляры и сам отрезок EF						обра
зуют проецирующую на Я плоскость Т,		пересекающую				пло
скость Я . Две плоскости	пересекаются	по	прямой		линии.
Линия ef — пересечение плоскостей Г и Я есть проекция							ли
нии EF. Точки пересечения проецирующих			перпендикуляров
для точек D я К будут	принадлежать	проекции		линии			ef.
Таким образом, в общем	случае проекция	прямой		линии			есть

также

прямая

линия.

Если

через точку

провести

прямую

eF0, параллельную EF,

то

образуется

прямоугольный

тре

угольник

F oje, где

eF0 =

EF— гипотенуза,

а е/—< катет. Катет

меньше гипотенузы. Очевидно, что в общем

случае

проекция

отрезка

прямой

линии

всегда

меньше

самого

отрезка.

На

прямой

EF взята

точка D, делящая

EF в

отношении

m : п. Отношение отрезков прямой линии

равно

отношению

их

проекций.

Отрезки

ED и ed; DF

и df

пропорциональны,

так

как

заключены

между

параллельными

проецирующими

линиями

Ее,

Dd,

Ff.

пространстве

двугранного

угла

(рис. 12, а) взят отрезок

прямой. Проецирование

отрезка

			Рис. 12
сводится к построению проекций концов А и ß .							Из А		и В
опускают перпендикуляры на плоскость Я и произвольно									вы
бирают положения		горизонтальных		проекций		а и 6.		Затем
способом, изложенным			для рис. 10, а,	определяют			положение
фронтальной проекции			а'Ь' отрезка	AB.	Для		построения
эпюра плоскость	Я	поворачивают вокруг			оси	ОХ вниз.			При
этом отрезок AB	и проецирующие его на плоскости Я							перпен

дикуляры отбрасываются и остаются только проекции ab и

а'Ь',	линии связи ааха'	и	bbxb',	равные сумме				'соответствую
щих	проецирующих перпендикуляров				Аа	и	Аа';		ВЬ	и	ВЬ'.
На	рис. 12,6 плоскости		Я и	V показаны			в	развернутом
виде. По оси ОХ откладывают				расстояния		ОЬх		и Оах,		взятые
с рис. 12, а.
На рис. 12, а, если		смотреть прямо			на	плоскость				по	на
правлению проецирования,			AB	будет	наблюдаться				на	фрон
тальной проекции в виде			а'Ь'.	Если смотреть			сверху,			то	AB

будет наблюдаться на -горизонтальной проекции в виде ab. Проекции ab и а'Ь' меньше длины AB. Если какая-либо точ-

<<< < Предыдущая 12 / 212 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ