Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Начертательная геометрия курс лекций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

8.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

на которого ограничена точкой пересечения его с плоскостью. Следовательно, если, например, вместо плоскости проекций V

взять 'новую плоскость Vi,		перпендикулярную плоскости	Р,
то она будет	параллельна	перпендикуляру, опущенному	из
точки А на плоскость Р.
Так как в	системе Н/Ѵі	плоскость Р становится верти

кально-проецирующей, то новая ось Х\ проводится перпенди


кулярно	следу Ph	(см. рис.		114).	Воспользовавшись точкой
V (ѵ, ѵ')	— фронтальным		следом		горизонтали плоскости		Р,.
построим новый след Рѵ\			на	плоскости Ѵ\. С учетом равен
ства а'ах=а\'ах\		построена		проекция а/ .		Перпендикуляр,
проведенный из а /		на Рѵ\,	при пересечении с ним в точке				k{

определит основание его	на	плоскости Р,				а	отрезок		ax'kxr
будет искомым расстоянием от точки А до						плоскости Р.
Проекции этого расстояния		ak и a'k'		в старой			системе		V/ff
построены следующим образом: из точек а и а'							под	прямым
углом соответственно к следам Ph и Рѵ				проведены				проекции
перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость Р, а									за
тем в проекционной связи с kx		получена			точка		k и	в проек
ционной связи с ней — точка k'.
Угол а, отмеченный на	рис.	114 между РѵХ				и осью Хх,			есть
		угол		наклона			плоскости			Р
У		к	плоскости				проекций			И,
		так	как		плоскость			Р в	си
		стеме Н/Ѵі				преобразована				в
		вертикально - проецирующее
		положение				(см. также			пре
		дыдущий			пример).

Рис.	114	Рис. 115
П р и м е р 4. На рис.		115 изображены плоскость Р (Ph	и	Рѵ)
и прямая AB (ab, а'Ь').		Требуется определить точку их	пере
сечения.
Известно, что	если	плоскость является проецирующей,		то

точка пересечения прямой линии с такой плоскостью опреде

ляется	без каких-либо вспомогательных построений (см.
рис. 97).	Поэтому выбираем новую плоскость проекций Ѵх

110

перпендикулярно плоскости Р и строим на ней новые след Рѵ\ и проекцию прямой а.\Ъ\.

Так как плоскость Р в системе ЩѴ\ стала вертикальнопроецирующей, то в пересечении а\Ь\ с Рѵ\ определилась проекция k\ точки пересечения. В проекционной связи най дены проекции k и к! в системе Ѵ/Н и по известным правилам отмечена видимость прямой AB относительно плоскости Р.

§ 25. Перемена двух плоскостей проекций

П р и м е р 1. На рис. 116 заданы точка А и	прямая ВС
своими проекциями. Найти расстояние между ними.
Выше было проанализировано решение этой	задачи в за

висимости от расположения проекций заданных геометриче


ских		элементов (см. рис. 109)
и	показано,., что				самым		про
стым		был	случай,		изображен
ный		на рис. 109, а.
	Чтобы		в	данном		примере		X
получить			положение			проекций
прямой ВС и точки А, сходное
с	рис. 109, а,			необходимо			взять
новую плоскость проекций пер
пендикулярно				прямой ВС. Но
так как ВС				есть	прямая об-
щего		положения, то				плоскость,
перпендикулярная						ей,	будет	Р л с - 1 1 6
тоже		общего		положения,			т. е.

не перпендикулярна ни плоскости проекций Н, ни плоскости

проекций V, а значит,			принять		ее за плоскость проекций						мы
не можем. Нужна последовательная перемена							двух		плоско
стей	проекций	так,	чтобы		вначале	получить		ВС		и	А
в положении, сходном			с	рис. 109,6, где ВС			станет			парал
лельной плоскости проекций, а затем						после	перемены				вто
рой	плоскости	получить		ВС	и Л в	положении,			сходном
с рис. 109, а.
Итак, от системы VIH				(см. рис. 116)		переходим к			системе
Н/Ѵі,	где Vi параллельна			ВС,	и строим	проекции		Ь/с/		и	а /
прямой и точки		(подробнее см. § 24, пример 1, рис. 112). За

тем переходим к системе Ѵ У # ь в которой Hi перпендикулярна прямой ВС. Это следует из того, что новая ось проекций Х2 проведена перпендикулярно b\'cî. Построив проекции ЬіСі и аи


видим, что отрезок агкі	будет искомым расстоянием. В проек
ционной связи получены проекции kx', к и k'		точки К и,	сле
довательно, проекции a,\k\, ak и a'k' искомого		расстояния	АК
сначала в системе HjVu	а затем в системе VfH.

111

П р и м е р 2. На рис. 117		изображен	своими	проекциями
abc и а'Ь'с'	треугольник ABC	общего положения. Найти его
величину.
Решение этой задачи также требует			двойной перемены
плоскостей	проекций, так как плоскость,		взятая	сразу парал

лельной плоскости треугольника, будет тоже общего положе ния и принять ее за плоскость проекций нельзя.

Первая перемена заключается в том, что плоскость тре угольника преобразовывается в проецирующую. Для этого новая плоскость проекций Vi взята перпендикулярной тре угольнику ABC, так как она перпендикулярна прямой AI (горизонтали), проведенной в треугольнике. На эпюре новая

СИ,


ось проекций Xt системы					Н/Ѵі перпендикулярна горизонталь
ной проекции al горизонтали плоскости							треугольника.			Новая
плоскость	проекций Vi			перпендикулярна			к	старой	плоскости
проекций Я, так как она перпендикулярна прямой AI,										парал
лельной плоскости			Я.
На плоскость Vi треугольник ABC спроецировался										в пря
мую линию а\'Ъх'с\			'. Заметим			при этом, что а есть угол				накло
на плоскости ABC			к плоскости проекций				Я.
Произведя вторую				перемену, выбираем				новую	плоскость
проекций	Яі	параллельной				плоскости	треугольника			ABC.
Новая ось		проекций Х2			системы Ѵі/Ні			проведена		парал
лельно	а,\Ьі'С\.
Построенная на плоскости Нх проекция								афхСі	определяет
величину	треугольника			ABC.

§ 26. Способ вращения

Сущность этого способа состоит в том, что заданные гео метрические элементы преобразуются в частное положение путем вращения их вокруг одной или нескольких соответст-

112

вующим образом выбранных осей, при этом положение плос

костей проекций

не

изменяется.

Если

обратиться

к рис. 118, где

показано

вращение точ

ки

вокруг

оси

Iii, то можно установить ряд положений,

которым

оно

подчиняется.

Точка

перемещается в плоскости, перпендикулярной оси

вращения: RAA_IIi.

называется

плоскостью вращения

точки.

Траекторией

движения

точки

является

окружность.

Центр

этой

окружно

сти

(точка

О)

находится

пересечении

оси

вращения

плоскостью

вращения

называется

центром

враще

ния

точки.

4. Радиус

этой

окружно

сти

(отрезок

АО)

есть

рас-

тояние от вращаемой

точки

до

оси

вращения

или,

что

все

равно, до

центра

враще

Рис.

118

ния

и называется

радиусом

вращения точки.

5. Точка, взятая

на

оси

вращения, при вращении геомет

рического элемента, которому она принадлежит, не изменит

своего положения

пространстве.

27.

Вращение вокруг

оси,

перпендикулярной

плоскости проекций

а) Вращение

точки

На рис. 119, а изображены точка А

и ось Пи

перпендику

лярная

плоскости проекций Я.

Вращаясь вокруг оси Пі, точка А будет перемещаться по

дуге окружности в плоскости

R A ,

которая

перпендикулярна

оси

/ / ] ,

следовательно, параллельна плоскости

проекций

Я и

перпендикулярна

плоскости

Точка О — центр

вращения, а

отрезок

АО — радиус вра

щения точки

А.

Так как-плоскость RA параллельна Я, то радиус

вращения

и окружность, по

которой

перемещается

точка

процессе

вращения, на плоскость Я спроецируются

без

искажения, а

на

плоскость проекций

V они

будут проецироваться

в прямую

линию,

совпадающую

со следом

RAV

плоскости

вращения,

так

как

последняя является

фронтально-проецирующей.

На рис.

119,6

изображен

эпюр точки А (а{а')

оси

II\

(ііи

i'ii),

также

показано

вращение

точки

вокруг

этой оси.

ИЗ

Из построения видно, что поворот точки Л в пространстве ъа угол ЛОЛ] или АОА2 изобразится на эпюре поворотом

горизонтальной проекции a	на такие же по величине углы aoax
или aoa2, так как точка Л	с ее радиусом вращения и траек

торией движения проецируется на плоскость Я без искаже ния, потому что лежит в плоскости R A , ей параллельной.

Фронтальные проекции точки Л после ее поворота		а / и а/
будут находиться в проекционной связи	на прямой,	парал
лельной оси X (на следе RAV П Л О С К О С Т И	вращения).

Рис.

119

На

рис.

120 показано

вращение

точки

(b,

Ь')

вокруг

оси

I I

(м'і,

перпендикулярной

плоскости

проекций

Обобщая

построения,

выполненные

на

рис. 119,6

120,

можно сделать вывод: при вращении какой-либо точки вокруг

оси,

перпендикулярной плоскости

проекций, проекция

точки

ка этой плоскости проекций перемещается

по

дуге окруж-

ности, а проекция той же точки на другой плоскости проек

ций

перемещается

по прямой,

параллельной оси проекций.

б) Вращение

отрезка

прямой

линии

Две точки прямой определяют ее положение в простран

стве, следовательно, поворот

отрезка

прямой

на

некоторый

угол а сводится к повороту на этот угол в

одном

направле

нии двух

точек Л и В, определяющих

его

концы.

Таким

образом,

задача

вращения

отрезка

вокруг

сси

/ / ] ,

перпендикулярной плоскости проекций Я, на

угол

свелась

повторению дважды задачи на

вращение

точки,

114

поэтому построения, выполненные на рис. 121, а, не требуют пояснений. Однако обращает на себя внимание равенство тре

угольников аЫ и й\Ь\і по двум	сторонам		(они есть радиусы
вращения точек А и В) аі=<Х\1	и b i = b ä		и углу,	заключен
ному между ними; значит, равны		третьи	стороны	этих тре
угольников, т. е. аЬ = аф\.
Из последнего равенства можно		сделать вывод о том, что

при вращении отрезка прямой линии вокруг оси, перпендику лярной плоскости проекций, длина проекции отрезка на этой плоскости проекций не изменяется, следовательно, не изме няется угол наклона отрезка к этой плоскости, проекций.

Рис. 120					Рис.	121
Последнее обстоятельство используется при решении за
дач по определению			углов	наклона		прямой к	плоскостям
іроекций способом			вращения.
Полученный нами вывод				позволяет		сделать	заключение
о том, что	если	в	треугольнике аЫ из точки і				(проекции
оси Hi на плоскости			проекций Н) опустим перпендикуляр на
ab в точку	с, то и после поворота				в треугольнике			ахЬ\і эта
перпендикулярность			сохранится, а		также сохранится равен
ство ас=а\С\	и	bc=b\C\.					AB
Использовав		сделанное		заключение,		отрезок		прямой

можно повернуть вокруг оси Пи перпендикулярной, например, плоскости проекций Н, с несколько меньшими построениями,

так как вращать придется не	две точки отрезка,	как на
рис. 121, a, a лишь одну точку	С, радиус вращения	которой

перпендикулярен самому отрезку (рис. 121,6).

Для поворота отрезка на угол а здесь выполнены следую щие построения. Из точки іі\ на ab в точку с опущен перпен

дикуляр, который вместе с ab,		как жесткая	система,	повернут
на заданный	угол а.
Точки ах	и Ь] отложены на	прямой, расположенной под
прямым углом к перпендикуляру, исходя из равенств				ахСі = ас
и b\C[ — bc.	Фронтальные проекции концов		А и В	отрезка
8*				115

перемещаются	по прямым, параллельным	оси X,	на	которых
в проекционной	связи с Û I и &і получены	а{ и Ь{,	определяю
щие фронтальную проекцию отрезка после поворота.
Еще более существенное упрощение в		повороте		отрезка

прямой линии оказывается тогда, когда ось вращения не за дана, а предоставляется право наиболее рационального ее вы


бора так, чтобы она проходила через какую-либо						точку		от
резка,	которая в этом случае при вращении не будет						менять
своего	положения в пространстве.		отрезок AB			(ab,		a'b')
П р и м е р		1. На рис. 122 изображен
прямой	общего положения. Требуется		определить			его	вели
чину и угол наклона к плоскости проекций				Н.
Так	как	по условию задачи требуется		найти	угол		накло
на AB	к Н, то отрезок надо вращать вокруг оси,				перпендику

лярной к плоскости проекций Н, ибо только в этом случае не будет меняться угол наклона его к плоскости H (см. вывод, полученный в п. «б» данного параграфа).

Но условие задачи требует еще нахождения величины AB, значит, отрезок надо повернуть еще и так, чтобы он был па раллелен плоскости проекций V, т. е. после преобразования его положения способом вращения стал бы фронталью. Как

известно, фронтальная проекция фронтали	равна	ее	длине,
а угол между ней и осью X равен углу	наклона	фронтали
к плоскости проекций Н.
Для выполнения намеченного плана на рис. 122 проводим
ось вращения Пи перпендикулярную к H и проходящую через
точку В отрезка; фронтальная проекция ее	прошла		через
Ь' и перпендикулярно к оси X, а горизонтальная проекция ііх

совпала с Ь. Затем, вращая точку А, приводим отрезок в по ложение фронтали: горизонтальная проекция а точки А по

вернута на угол, при котором горизонтальная

проекция

отрезка

оказалась

положении аф,

параллельном

оси

Фронтальная

проекция

а/

получена

по

правилам, изложен

ным в п. «а» данного параграфа.

В итоге U\b'=AB,

а угол

есть

угол наклона AB

плос

кости проекций

Н.

П р и м е р

На

рис. 123

представлены фронтальная

пря

мая ВС

(be, b'c')

и точка А

(а,

а'). Требуется определить

рас

стояние

между

ними.

В § 24, а также на рис. 109 показано, что наиболее удоб

ным положением прямой и точки для

определения

расстоя

ния

между

ними

является

случай,

изображенный

на

рис.

109, а. Рассматриваемый

пример

подобен

аналогичному

на рис. 109,6. Как от него перейти к первому случаю?

Проводим

ось вращения

П\

(ü\,

через точку

(с,

с')

перпендикулярно плоскости

проекций

и вращаем

вокруг

нее

отрезок

ВС

до

положения,

перпендикулярного

плос-

116

кости Я: фронтальная проекция

с'Ь'

приведена

положение

с'Ь\,

перпендикулярное

оси X, а

горизонтальная

получилась

точке

cbi.

ВС

Чтобы не нарушить взаимного расположения

отрезка

точки

А, последняя повернута

(см. п.

«а»)

вокруг

той

же

оси

I I

в ту же сторону и на тот же

угол

(отмечено

стрел

ками)

до положения ща/.

Отрезки ü\kx

и a\k\

есть

проекции

искомого

расстояния, причем a\kx = AK

есть его

истинная

величина. Проекции этого расстояния в исходном

положении

ВС

и А

получены обратным построением, процесс которого

указан на рис. 123 стрелками от k\

на

и на

		Рис. 122		Рис.	123
Если	бы отрезок ВС		находился	в общем	положении				(см.
рис. 123), то сначала нужно было				бы повернуть			его	вокруг
оси, перпендикулярной			плоскости	проекций	V,	до	положения
фронтали		(см. пример	1 данного	параграфа),		помня,		что		на
тот же угол следовало бы повернуть в					ту	же	сторону			и
точку А,	а	затем продолжить решение задачи					только		что

рассмотренным путем. Как видим, в этом случае требуется

двойной		поворот	вокруг двух	различных осей.
			в) Вращение	плоскости
На	рис. 124 изображены следами Рн и Рѵ				плоскость Р	и
ось I I	х	(iii, i'h'),	перпендикулярная плоскости		проекций	Я.

Каким образом повернуть плоскость Р вокруг оси Пу на не который угол?

Как известно, прямая и точка вне этой прямой опреде ляют плоскость. В данном случае ими могут быть горизон-

117

тальный след Ph и точка К (k, k') пересечения оси U\ с плос костью Р, найденная с помощью горизонтали.

Следовательно, для вращения плоскости Р достаточно вращать один лишь ее след Рк\ точка К, не лежащая на нем и в совокупности с ним определяющая плоскость Р, не изме нит своего положения в пространстве, так как принадлежит оси Iii вращения.

След Ph, как прямая линия, на рис. 124 повернут на неко торый угол с помощью точки С, радиус вращения которой перпендикулярен самой прямой Ph (см. п. «б», рис. 121,6). Для этого из точки О (о, о') опущен в точку С (с, с') пер-

Рис. 124

пендикуляр к следу Ph и вместе с ним, как жесткая система, повернут на нужный угол а. След Phi в новом положении остается расположенным под прямым углом к этому перпен дикуляру и в пересечении с осью X даст новую точку схода следов Рх\.

Второй точкой, через которую после поворота пройдет новый фронтальный след РѵХ плоскости Р, будет новый фрон тальный след горизонтали Vi (ии их'). Для построения его проведем горизонтальную проекцию горизонтали, которая и

после	поворота			осталась		параллельной		горизонтальному
следу	Phi	плоскости			и проходящей через			горизонтальную
проекцию		k	точки	К.	Отметим в пересечении			с	осью X	гори
зонтальную			проекцию		Оі, а	в	проекционной связи — фрон
тальную Ѵ\			проекцию		точки Vi, затем через Рх\				и ѵ/	прове
дем след Рѵі			плоскости Р.				следы Рм и Рѵ\		плоскости Р
Таким		образом, мы получили
после поворота ее на некоторый угол а.
Процесс			вращения		плоскости,		заданной	следами,		значи-

118

тельно упрощается, если ось-вращения не задана, а, следова тельно, можно ее выбрать перпендикулярной одной плос кости и лежащей в другой плоскости проекций. Рассмотрим это на конкретных примерах.

П р и м е р 3. Для плоскости Р [Ph, Рѵ), изображенной на рис. 125, требуется определить угол наклона ее к плоскости проекций Я.

Известно, что если плоскость находится в положении фронтально-проецирующей, то искомый угол определится

между	ее	фронтальным следом		и	осью X. Горизонтальный
след такой плоскости перпендикулярен оси X.
Для преобразования плоскости общего положения Р в по
ложение фронтально-проецирующей						проводим ось вращения
Iii ("ь i'h		) перпендикулярно плоскости Я и лежащей					в плос
кости V. Неподвижная точка К				(К	k')	пересечения Яі	с плос
костью Р определилась без построений в пересечении							со
следом	Рѵ.
След Ph до положения Phi, перпендикулярного оси X, по
вернут так же, как на рис. 124.				Через		получившуюся	точку
схода	Рхі	и точку k'	проводим	след РѵХ.
Угол а		между РѵХ	и осью X	является искомым.

	Рис. 125			Рис. 126
П р и м е р 4. На рис. 126		изображены		своими	следами Рн
и Рѵ плоскость Р и проекциями точка			А	(а, а').	Необходимо
определить расстояние между		ними.			А на
Чтобы	перпендикуляр, опущенный		из	точки		плос
кость Р,	отрезком которого	измеряется		расстояние		между

ними, спроецировался на плоскость проекций без искажения, следует провести его параллельно этой плоскости проекций. Такое положение получим, если плоскость Р сделаем, напри мер, фронтально-проецирующей.

На рис. 126 вращение плоскости Р до фронтально-проеци рующего положения выполнено по аналогии с рис. 125.

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ