книги из ГПНТБ / Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах

Полагая, что для газа выполняется уравнение Клапейрона

и соотношение е — сѵТ, R = cp—сѵ, а для частицы es — cBTs, полу­ чим

+ + W (св7\ + = Е0= const. (1.11)

Дифференциальные уравнения (1.3), (1.5) и (1.8), а также конечные соотношения (1.6), (1.7), (1.10) и (1.11) определяют семь неизвестных (р, q, qs, w, ws, T и Ts) в любом сечении сопла заданной формы.

Для удобства вычислений преобразуем полученную систему. Исключим Q, Qs, р и dT из уравнений — расхода, Клапейрона и энергии и подставим в уравнение импульсов (1.8). После пре­ образований получим

В правой части дифференциального уравнения (1.12) в соот­ ветствии с уравнениями (1.3) и (1.5) отсутствуют неизвестные производные. Его численное интегрирование можно производить, например, методом Рунге—Кутта.

Отрицательный член, стоящий в правой части этого уравне­ ния в фигурных скобках, обусловливает сдвиг критического се­ чения, т. е. сечения, где М = 1, в расширяющуюся часть сопла, что характерно для неизэнтропических течений. Как следует из уравнения (1.12), сдвиг увеличивается с ростом содержания час­ тиц в газе, а также с ростом производных dws/dx и dTs/dx.

Соотношение (1.12) можно представить и в несколько иной форме. Выразим w через М и Т и исключим dT с помощью уравнения энергии. Окончательно получим

Уравнения (1.3), (1.5), (1.11) и (1.13) позволяют определить неизвестные М (х), Т(х), ws(x) и Ts(x), так как скорость w(x)

выражается через М(х) и T(x). Граничными условиями для ин­ тегрирования уравнений (1.3) и (1.5) будут значения ws и Ts в начальном сечении (х = хп). Температура в этом сечении опре­ деляется уравнением энергии (1.11). Начальное же значение чи­ сла Маха (или скорости газа), как и при течениях чистого газа, не может задаваться произвольно, а зависит от формы дозвуко­ вой части сопла. Как будет показано ниже, определение началь­ ной скорости газа сопряжено со значительными трудностями.

§1.2. Течения с постоянными отставаниями частиц

ипредельные случаи

Остановимся на случае, когда относительные отставания час­

где индекс «с» относится к началу сопла, а x/t — условный пока­ затель адиабаты псевдогаза:

Как следует из уравнений (1.14), движение двухфазной сре­ ды с постоянными относительными отставаниями (псевдогаза)

18

подчиняется тем же законам, что и движение обычного идеаль­ ного газа Е Этот интересный факт был отмечен впервые Клиге-

лем '65] в 1960 г.

Как следует из соотношения (1.15), показатель адиабаты псевдогаза х* зависит как от содержания частиц в газе (1F), так и от величин отставаний k и L. Как будет показано ниже, вели­

eÄ= p (l- f 117/г);

wk= w; pu-=p\ Tk= T.

Обратимся теперь к уравнениям, описывающим движение и охлаждение (или нагревание) частиц. Из уравнения (1.3) при ws = kw следует (при срі= const):

причем начало координат помещено в точку, где да = 0.1

1 Интересно отметить, что при некоторых сочетаниях параметров зависи­ мость Xk(k) — немонотонная: одному значению Xk могут соответствовать два значения k, отвечающие большим и меньшим отставаниям.

19

Подставив уравнение (1.16) в уравнение энергии (1.11), по­ лучим

Таким образом, при постоянных относительных отставаниях скорости изменяются вдоль сопла по линейному закону, а тем­ пература — по квадратичному.

Обратимся теперь к урав­ нению (1.5), характеризующе­ му теплообмен между частицей и газом. Подставляя в него со­ отношения (1.16) и (1.17) и

пользуясь условиями постоян­ ства относительных отстава­ ний, получим соотношение, связывающее отставания по скорости и температуре

;і. і8)

ходного сечения F = F/Fm выражается соотношением

ч іѵ - 1.

х* + 1

С помощью последнего соотношения и условия (1.16) можно построить контуры сопел, сответствующие течениям с постоян­ ными отставаниями. При этом

20

тическую область. С ростом отставаний контуры становятся бо­

Vf-k

Вминимальном сечении сопла М^=1 из выражения (1.19)

получаем М = 1 / ----- —----- <"1. Аналогично этому сечение,

у* (1 + Wk)

где М = 1, определяется из условия

м * = і / л £ ± т > 1.

Естественно, что с уменьшением W и k различие между F* и Fm уменьшается, а при W = 0 или при k = 0 оно исчезает вовсе.

Статическое давление в любом сечении сопла определяется по формуле

A = A o c ( l + ^ M f p ^ \

где рос — давление торможения на входе в сопло, равное посто­ янному по всему соплу давлению торможения псевдогаза. С дру­ гой стороны, для параметров газа в любом сечении сопла

где ро — давление торможения газа в данном сечении, т. е. дав­ ление, получающееся при его адиабатическом торможении.

Используя последние два соотношения и формулу (1.19), за­ пишем выражение для коэффициента восстановления полного давления в сопле в виде

21

Как показывают расчеты (рис. 1.3), с ростом Мь и k проис­ ходит интенсивный рост потерь полного давления, т. е. падение

деляется формулой

ется и осевая сила, действующая на сопло. Интересно отметить,

ха идеального газа Мид. Эта замена является весьма существен­ ной, так как ѵр< 1, а | р> 1.

При проведении анализа двухфазных течений в соплах осо­ бый интерес представляет исследование их расходных и тяго­ вых характеристик. Расходный комплекс ß может быть представ­ лен в следующей форме:

22

где индекс «с» означает, что параметры, стоящие в квадратной скобке, взяты на входе в сопло, а Fm = ny2m.

При течениях с постоянными отставаниями

ных выше соотношений для течений с постоянными относитель­ ными отставаниями.

При k = L= 1 в любой точке потока скорость и температура частиц совпадают с соответствующими параметрами газа. Этот

При равновесном движении газа и частиц в сопле расходный комплекс

где индекс «е» придается параметрам равновесного двухфазного потока. В частности

наибольшего значения при равновесном течении. Различие меж­ ду удельными импульсами равновесного и '.неравновесного тече­

причем все параметры, стоящие в фигурных скобках, относятся к начальному сечению сопла.

Для всего сопла потери из-за двухфазности характеризуются коэффициентом удельного импульса Фі s=/y.n//y.iie. При течении с постоянными отставаниями

а в общем случае коэффициент удельного импульса может опре­ деляться, например, по формуле

24

причем все входящие в эту формулу параметры должны вычис­ ляться для выходного сечения сопла. Очевидно, что с ростом от­

женном течении газ сохраняет свои параметры такими же, ка­ кими они были бы при отсутствии частиц. Этот случай может быть получен из рассмотрения класса двухфазных течений с по­ стоянными отставаниями, если принять условия k = L = 0.

Расходный комплекс замороженного течения

ßW o

фазное™ расходного комплекса и удельного импульса при тече­

25

ниях с постоянными отставаниямиК Как и выше, принято св/Ср= 1 и Nu = 2fDPr. Предельные случаи — /г =1 и /г = 0 харак­ теризуют соответственно равновесное и замороженное течения (в последнем случае ws принято близким к нулю и вторым сла­ гаемым в квадратной скобке формулы (1.28) пренебрежено).

Как следует из рассмотрения рис. 1.5 и 1.6, увеличение отста­ ваний (уменьшение k) приводит к резкому увеличению потерь

Рис. 1.5. Кривые изменения потерь Рис. 1.6. Кривые изменения потерь расходного комплекса W для течений удельного импульса в зависимости от с постоянными отставаниями частиц: изменения W для течений с постоян­

из-за двухфазное™. Эти потери вначале возрастают с уве­ личением содержания частиц в газе, а затем несколько умень­ шаются1.2 Эти выводы качественно могут быть перенесены и на случаи движений двухфазных потоков в соплах иной формы, когда отставания не являются постоянными, а суждение о тече­ нии в сопле можно получить лишь после численного интегриро­ вания системы дифференциальных уравнений. При этом, однако, следует иметь в виду, что в применяемых на практике соплах наибольшие отставания частиц от газа имеют место в области минимального сечения сопла, где градиенты скоростей газа мак­ симальные. Поэтому за минимальным сечением происходит не­ которое уменьшение отставаний, в результате чего коэффициент Фis увеличивается и становится заметно большим коэффициента

<Рр*-

§1.3. Методы решений

Система уравнений

степеней расширения сопел для равновесного течения и течения с отставанием. 2 Более подробно этот вопрос рассмотрен в § 1.4.

26