книги из ГПНТБ / Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах

те [103] анализируется обтекание клина двумерным двухфазным потоком. Исследуется форма ударной волны и поведение пара­ метров на ней, в зоне релаксации.

Представленные ниже формулы легко обобщаются для поли­ дисперсной среды.

§ 5.1. Основные уравнения

Для большинства важных для инженерной практики задач объемом, занимаемым частицами, можно пренебречь. В этом слу­ чае представленная в предыдущей главе исходная система урав­ нений существенно упрощается, поскольку рг~ е ‘. е/бв~0 ; Qs/Qb^

« 0.

Примем, кроме того, для простоты, что внешние массовые силы и источники тепла отсутствуют, т. е.

P= P s= Q = Q s= 0 ,

адвижение является двумерным и стационарным.

При этом из соотношений (4.5) и (4.6) получим уравнения движения и энергии частиц в форме

е —+е^

д х 1 д у ' д х 1 д у у.

(5.2)

° *дгх і + е*дгу г+ й- дгх г+ г''Гд у г+ ѵ—«/ = о-

Уравнения движения газа вытекают из равенства (4.12)

И, наконец, уравнение сохранения энергии газа для рассмат­ риваемого случая следует из выражения (4.15)

ми — и , Us, V, Vs, т, Ts, Q, Qs, es, i И p.

Приращение энтропии газа dS вдоль его линий тока опреде­ ляется из равенства

TdS = d t — Ф = Щ { Ѵ - Ѵ а) У - ч \ dx.

Q QU

Отсюда видно что повышение энтропии газа происходит как вследствие трения, так и вследствие его нагревания (q<cO). Ес­ ли f — q = 0, то течение газа изэнтропическое.

Уравнения характеристик могут быть получены из соотноше­ ния (4.62). Пренебрегая вторым слагаемым в фигурных скоб­ ках, получим, что характеристиками являются линии тока газа, частиц, а также линии, удовлетворяющие уравнению

Решая это уравнение относительно у', получим

, uv ± a l' u 2 -f i/2 — a2

Это уравнение выглядит так же, как и аналогичное уравне­ ние характеристик газодинамики однофазной среды, из-за того, что в определитель системы, из которого оно получено, не вхо­ дят диссипативные члены, связанные с присутствием частиц.

Вводя тангенс угла наклона вектора скорости к оси х форму­ лой tgO =t, — v/u и котангенс угла Маха ß = ctga, последнее уравнение после элементарных тригонометрических преобразо­ ваний можно привести к виду

Условия совместности, выполняющиеся вдоль характеристик (5.7), следуют из условия совместности (4.64):

р' {а2у’-)- Аи) 4-a2qvu' -f (а?у'* — А2)uv'е + Ava2vQy~x—

—Аа2cpQ-f es(а2у' -f Au) [ f x-f y’f y)= 0 ,

где

A = v — y'a.

148

Исключая из этого соотношения при помощи уравнения (5.6) члены, содержащие у'2, и приводя подобные члены, получим

Использование условия совместности в формуле (5 .11) осо­ бенно удобно при анализе случаев, когда скольжение, пропор­ циональное Д, мало.

При использовании вычислительной техники уравнения ха­ рактеристик целесообразно иметь в форме, не содержащей три­ гонометрических функций.

Используя очевидные тождества (У = | Ѵ\)

соотношений (5.3) и (5.4) следует, что вдоль линий тока газа

Из уравнения (5.15) видно, что при отсутствии взаимодейст­

150

Уравнение неразрывности частиц, записанное в дивергентном виде

с помощью формулы Грина можно преобразовать к интегралу

т

где у — произвольный замкнутый контур в области течения. Введем в рассмотрение функции тока газа и частиц, опреде­

ляемые соответственно уравнениями

di} = cywq (adу — vdx);

(5. 20)

= csy'‘Qs{“sdy — v/lx),

где постоянные множители с и cs определяются, например, из условия равенства единице величин ф и ф8 на одной из гранич­ ных линий тока газа и частиц.

Систему (5.20) можно представить и в форме

(5.21)

CsQsH-s dy1+' — csy'Qsv/lx .

1 + V

Отсчет ф и ф8 удобно вести от линии 1 симметрии, где функ­ ции тока газа и частиц равны нулю. При этом соотношения (5.22) позволяют определить ошибки вычислений по ф и ф«.

Представим уравнения движения и энергии смеси в дивер­ гентной форме.

Из соотношений (5.1) и (5.3) следует

1 Ниже под линией симметрии понимается либо ось симметрии — для случая ѵ=1, либо пересечение плоскости симметрии с плоскостью чертежа — для случая ѵ= 0.

152

На основании уравнений неразрывности для газа и для час­ тиц последнее равенство можно записать в дивергентной форме

Помножим первые два соотношения (5. 1) на Qs y 4, а соот­ ношения (5.3) —на Q2/v, исключим из этих уравнений f x и f y и, воспользовавшись уравнениями неразрывности, внесем произведе­ ния Qyu,s y ', \ Qsv s y v; Q u y 1 и Q v y под знаки частных производных. Получим

153

Интегралами (5.19), (5.25), (5.28) и (5.29) можно пользо­ ваться для контроля вычислений.

§5.2. Уравнения в конечно-разностном виде

ирешение элементарных задач

по прямой схеме метода характеристик

Для численного решения конкретных задач необходимо диф­ ференциальные уравнения, представленные в предыдущем пара­ графе, записать в конечно-разностной форме. Кроме того, всю область течения можно разбить на подобласти нескольких ти­ пов. В пределах каждой такой подобласти расчеты выполняются

dty— ldyl+',—ldx-,

dbs= М у1+’— kdx,

где верхний знак в первых двух равенствах соответствует харак­ теристикам первого семейства, а нижний — второго.

154

Записывая соотношения (5.30) в конечно-разностном виде на отрезках 1—3 и 2—3 и решая уравнения относительно неизвест­ ных параметров в точке 3, получим

Если характеристика второго семейства становится более близкой к горизонтальному направлению, чем к вертикальному (то есть I ߣ— 1 1< I ß - K |), то вместо первого соотношения (5.31) лучше пользоваться равенством

Аі/21—Ах21 (т 23) 1

Уз — Ух

1

Аналогичные замены целесообразно производить и примени­ тельно к характеристикам первого семейства.

Входящие в формулы (5.31—5.34) коэффициенты при прира­

оказывается достаточно для определения параметров в точке 3 с высокой точностью2.

1 N ij — любой из параметров Li}, Rij и т. д.

2 Изложенным способом после выполнения итераций параметры определя­ ются с точностью до второго порядка включительно. Действительно, рассмот­ рим модельное уравнение dy=f(x, y)dx. Значение у с точностью до Ах2 вклю­

+ h'Ax, то различие между записанными выражениями для у, с точностью до малых второго порядка, отсутствует.

155

После того, как х, у, р, £, -ф и -фв в точке 3 определены, мож­ но найти точки 4 и 5, являющиеся соответственно точками пере­ сечения линий тока газа и частиц, приходящих в точку 3, с ха­ рактеристикой второго семейства 1"—1. Параметры газа и частиц в точках 4 и 5 по известным значениям ф4= ф3 и ijiS5= могут быть найдены интерполяцией вдоль отрезка \"—1, причем, чтобы не потерять точность второго порядка, интерполяция дол­ жна быть квадратичной. (Точки, в которых параметры опреде­ лены интерполяцией, на рис. 5.1 и других обозначены светлыми кружками).

Воспользуемся теперь выполняющимися вдоль линий тока га­ за соотношением (5.15) и вторым равенством (5.14), в котором дифференциал энтальпии выражен через дифференциалы тем­ пературы и давления {di = iTdT + iPdT, где іт^ді/дТ, ір= ді/др).

Получим

156