книги из ГПНТБ / Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах

Q и Qs, представляют собой отношения соответственно масс газа и частиц к объему, в которой они заключены, и не являются по­ этому собственно плотностями газа и вещества частиц.

где Ps и P—соответственно векторы внешних массовых сил, дей­ ствующих на частицы и на газ; знак минус перед поверхностным

интегралом означает, что нормаль п — внешняя; второе слагае­ мое в этом интеграле отражает приобретение (или потерю) коли­ чества движения вследствие захвата (или потери) объемом т новых частиц. Следует отметить, что в отличие от уравнений (4.1) и (4.2) уравнение (4.3) записано для объема т, связанного с газом и, следовательно, подвижного, поэтому внесение произ­ водной по времени под знак тройного интеграла, стоящего слева, недопустимо. В то же время При переходе от подвижного к фик­ сированному контуру вид слагаемых, стоящих справа, остается тем же.

127

Интегральное уравнение (4.5) удобно тем, что оно записано применительно к фиксированному объему т и может быть ис­ пользовано для непосредственных расчетов. Кроме того, оно име­ ет ясный физический смысл; изменение по времени количества движения в фиксированном объеме т определяется воздействием внешних массовых сил, работой сил давления на границе объема и потоком импульса газа и частиц в этот объем.

На основании неизменности объема т полная производная d/dt, стоящая перед тройным интегралом, может быть внесена под его знак и заменена частной производной.

Уравнение энергии в интегральной форме выводят аналогич­ но. При интегрировании по подвижному объему т, связанному с газом, получаем

-Ш [Q(-Q+^)+Q*(Qe+^y,)]rft+

t

f lf S = 0 .

(4. 7)

128

Уравнение (4.7), как и (4.5), также легко интерпретируется физически: изменение энергии, заключенной в фиксированном объеме т, равно подведенной энергии внешних источников, ра­ боте массовых сил, сил давления (на границе), а также энергии газа и частиц, проносимой через границу. Знак полной производ­ ной, стоящей перед первым интегралом уравнения (4.7), может быть внесен под интеграл и заменен частной производной d/dt.

Уравнения движения и энергии частиц можно представить в виде

dVs

dt f ~\-Ps — Qв 4P’

^ = g + Q s , dt

где полные производные взяты вдоль траекторий частиц, f и q — соответственно сила, обусловленная вязкостью, и тепловой по­ ток, отнесенные к единице массы частиц и вызванные взаимодей­ ствием частиц с газом. Последнее слагаемое в формуле для ус­ корения частиц соответствует воздействию градиента давления на поверхность, занятую частицами.

В эквивалентной форме эти уравнения получат вид

dt

Величины f и q могут быть представлены в виде f = i y - V , ) K

q = (T— Ts)<?2,

где <рі и <р2— функции от р, Т, Ts и (V— Vs).

Плотности собственно газа и частиц, а также их внутренние энергии связаны с давлением и температурой формулами

i = e{p,T) + p / Q r = i(p,T).

В подобластях непрерывности параметров соотношения (4.1), (4.2), (4.5) и (4.7), записанные в интегральной форме, могут быть заменены дифференциальными уравнениями.

Воспользуемся формулой Гаусса—Остроградского

Я™ М Я « '

S т

и произвольностью объема т; из выражений (4.1) и (4.2) в под­ областях непрерывности параметров получим

Эти соотношения часто записывают в виде

причем следует отметить, что для осесимметричного течения

а для плоского — последнее слагаемое отсутствует. Аналогич­ ным образом из уравнения (4.5) следует

~ (QV+ е Л ) - Q P - QSPS+ Ѵр+ VQl/2+ V Q ^ = о .

Подобным образом в подобластях непрерывности параметров можно получить и уравнение энергии в дифференциальной фор­ ме.

Из уравнения (4.6) получаем

130

давления).

Рассмотрим различные возможные случаи, полагая, что газ присутствует по обе стороны от разрыва, а частицы имеются хотя бы с одной, тогда д+> 0 , q_ > 0, е„ _ > 0, где индексы «+ » и «—» соответствуют значениям параметров после и до разрыва.

Тангенциальный разрыв газа и частиц. Пусть при переходе через поверх­

пересекает этот разрыв. Этот случай реализуется, например, в сопле при на­

распределении поменять местами характер задания плотностей газа и частиц.

Поверхность раздела между областями, занятыми частицами и свободны­ ми от них. Пусть, как и в предыдущем случае, 0, /,= 0 , Q»_>0, но qs+= 0.

132

Тогда Vsn_ = 0, а говорить о величине Ѵ,п+ не имеет смысла. Кроме того, из второго соотношения (4.19) следует, что [Ѵт] = 0. Далее, учитывая, что

Таким образом, разрыв представляет собой граничную поверхность меж­ ду областями, в которых присутствуют и отсутствуют частицы и при переходе

индекс «S» означает, что частные производные взяты при условии постоянст­ ва энтропии.

Удельный объем газа после разрыва может быть представлен в виде ряда

133

■преобразования с использованием равенства (4.29), получим уравнение удар­ ной адиабаты в виде

Величины p+, vs+, Уг+ и v+ определяются совместным решением первых двух уравнений (4.28), а также соотношений (4.29), (4.30) и уравнения состояния.

на линии разрыва параметры газа связаны между собой уравнением ударной адиабаты для газа, а параметры частиц проходят линию разрыва без измене­ ний.

Подставив теперь сюда два первых слагаемых по формулам (4.26) и (4.27), получим

134

Стоящее в фигурных скобках выражение отрицательно. Следовательно, на­ личие последнего слагаемого приводит к уменьшению роста энтропии.

Таким образом, при учете объема частиц при фиксированном значении [р] энтальпия и температура повышаются менее интенсивно. При этом скачок

ближе подходит к адиабатическому сжатию, чем в чистом газе.

§ 4.3. Одномерные стационарные течения

Рассмотрим вначале случай, когда все параметры зависят только от одной пространственной переменной, например, х.

Обозначим проекции на ось х векторов Р, f, V и Vs соответствен­ но через Р, f, и и us. Из уравнений (4.5), (4.6), (4.8), (4.10), (4.11) и (4.13) получим

где

Последние два уравнения системы (4.31) интегрируем при усло­ вии отсутствия массовых сил и подвода (отвода) тепла. Получа­ ем

Теперь решение сводится к интегрированию двух дифферен­ циальных уравнений

Рассмотренное решение может быть применено, например, к исследованию транспортировки взвешенных частиц в цилиндри­ ческих трубах.

Рассмотрим одномерное движение двухфазной среды в сопле с учетом объема, занимаемого частицами. Строго говоря, такое течение не является одномерным, так как в данном случае име­ ются радиальные составляющие скоростей, меняющиеся в попе­ речных сечениях, однако они не учитываются. (Как отмечалось в гл. I, такие течения иногда называются квазиодномерными). Основные уравнения и методы их решений для случая одномер­ ного течения в сопле, когда пренебрегается объемом частиц, бы­ ли рассмотрены в гл. I.

135

Уравнения расхода газа и частиц следуют из уравнений

(4.1), (4.2) и имеют вид

qwF = const; qsw sF = const,

где w — скорость газа, постоянная в поперечном сечении сопла F. (Считается, что w и ws направлены по оси сопла, а их ради­ альные составляющие условно полагаются равными нулю, хотя это и противоречит граничным условиям).

Из уравнений (4.5) и (4.6) после интегрирования уравнений (4.3) и (4.4) для участка сопла длиной dx получим 1

Заметим, что при F = const, полученные соотношения есть точные уравнения одномерного стационарного течения (течение

вцилиндрической трубе).

§4.4. Одномерные нестационарные течения

Рассмотрим одномерные нестационарные течения с плоской, цилиндрической и сферической симметрией. Пусть х — расстоя­ ние от плоскости, оси или центра симметрии. Тогда все парамет­ ры зависят только от двух переменных — времени t и координа­ ты X . При этом уравнения (4.5), (4.6), (4.9), (4.12) и (4.15) при­ мут вид

1 При интегрировании по поверхности сопла векторы V и Ѵ3 следует счи-

тать нормальными п и, следовательно, члены, в которые входят Ѵп и Vsn, — равными нулю.

136