книги из ГПНТБ / Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах

Попутно отметим, что скорость звука а можно найти из условия

При использовании последних двух равенств из (4.40) следует выражение для скорости звука, подобное представленному в

§ 1 . 1 ,

Из уравнения (4.37) получим, что траектории газа являются характеристиками, вдоль которых

Аналогично этому из (4.38) получаем, что траектории частиц также являются характеристиками

Уравнение (4.33), пользуясь уравнениями (4.37), (4.39) и (4.40), можно преобразовать к виду

X

137

получим систему из восьми уравнений с восемью неизвестными производными ОТ и, Us, Qs и р по х и по t.

Условия однозначного нахождения этих производных опреде­ ляют характеристические направления и имеют вид

где d u /d t= u \ dp/dt= p' и т. д.

Для анализа корней уравнения (4.44) рассмотрим вначале случай u = u s. Тогда из уравнения (4.44) получим

х\ 2~ и ± b; x'34= us,

где b2 = a2(l +Q 2QiQ7 2Q-1) > a 2.

Таким образом, при м==м„ кроме траекторий имеется два се­ мейства действительных характеристик.

При u = u s решение уравнения (4.44) в явном виде получить нельзя. Однако можно найти разложение его корней по степе­ ням отношения Рг/Qb- Это отношение является весьма малой ве­ личиной ( 10~3ч -10-5) и зависит главным образом от давления в рассматриваемой точке.

Подставим разложение первых двух корней

1 ,2 ~ 01,2

в формулу (4.44) и выпишем коэффициенты при одинаковых сте­

138

Для других двух корней, произведя аналогичные операции, получим, что Хі=£0, при этом окончательный результат предста­ вим в форме

Третий и четвертый корни действительны лишь при | и—

—us\>a, т. е. когда относительная скорость превосходит ско­ рость звука. Оставляя в стороне этот случай, можно констатиро­ вать, что кроме траекторий всегда имеется два семейства дейст­

Уравнение (4.47) может быть использовано в качестве урав­ нения совместности вместо уравнения (4.45).

§ 4.5. Стационарные плоские и осесимметричные течения

Рассмотрим класс двумерных стационарных течений, облада­ ющих плоской или осевой симметрией. Тогда из уравнений (4.5), (4.6), (4.9), (4.12) и (4.15) получим

с 1 іѵ ( бІ 7) = 0 , d i v ( e s n s ) = 0;

Vs4es—q — Qs=Q-

В сочетании с условиями

139

из шести скалярных и двух векторных уравнений можно «анти

—► —►

восемь неизвестных — V, V*, е> Qs. 6г. й Р> es-

Если для плоского случая принять ѵ= 0, а для осесимметрич­ ного— ѵ=1, то систему уравнений (4.48) в проекциях на оси х и у декартовой системы координат можно записать в виде

уравнение системы (4.48) скалярно на V и сложим с пятым уравнением этой же системы.

Получим

из которых следует, что линии тока газа представляют собой ха­ рактеристики.

Из четвертого соотношения (4.48), скалярно умноженного на Ѵ„ можно получить

140

141

Из уравнения (4.62) следует, что характеристиками являют­ ся линии тока газа (Л = 0 ) и линии тока частиц (ß = 0 ), что бы­ ло уже получено выше, а также линии, удовлетворяющие урав­ нению

В2[(1+/ V - Л2]+e^Q-1erV(і+г/'а) л2=о. (4.63)

Условие совместности, выполняющееся вдоль характеристик

Соотношение (4.63) является уравнением четвертой степени относительно производной у' и для анализа его решений разло­ жим корни этого уравнения по степеням отношения рг/рв. (Это отношение, как отмечалось выше, является весьма малой вели­ чиной, т. е. 10~3-=-10“5) . Представим у' в виде

Подставим (4.65) в (4.63) и приравняем коэффициенты, не содержащие рг/рв, получим уравнение четвертой степени, из ко­ торого следует

142

Отсюда видно, что первые два корня действительны лишь тогда, когда нормальная к скорости частиц составляющая скоро­ сти газа превысит скорость звука а. Оставляя в стороне случаи, когда возможны столь большие отставания частиц, обратимся к исследованию третьего и четвертого корней.

В этом случае приравнивание коэффициентов при дг/дв при­

Ѵ > а и мнима при Ѵ<.а. Полученные два семейства характери­ стик аналогичны линиям Маха (характеристикам первого и вто­ рого семейств) обычной газовой динамики.

При ц-ѵа производная у'о 2->-°о и вместо последнего равен­ ства следует использовать разложение

то в последних двух равенствах штрих соответствует производ­ ным по у. Естественно, что корни х / и х2' действительны здесь также при Ѵ>а.

Подставляя первое слагаемое разложения (4.66) для треть­ его и четвертого корней в условие совместности (4.64), получим с точностью до QtIqb включительно

(4. 68)

где

Соотношения (4.66) и (4.68) являются равенствами, которые характеризуют изменение параметров вдоль характеристик с точностью до Рг/qb включительно.

143

Граница области существования действительных линий Ма­ ха, определяемая из разложений (4.66) и (4.67), не является точной, так как при Ѵ= а эти разложения несправедливы.

Разложим корни (4.63) по степеням sin б. (Этот угол во мно­ гих интересных для практики задачах сравнительно невелик).

Прежде всего перейдем от производной у' к параметру ^ = tga, где a — положительный или отрацительный угол между скоростью V и характеристикой. Очевидно, что

Подставляя у' из равенства (4.69) в выражения для А и В и учитывая, что vsu—wsu= KKssin б, получим

Будем искать решение этого уравнения в виде разложения t по степеням sin б

sin § —1~. . .

Подставляя это разложение в (4.70) и приравнивая коэффи­ циенты при одинаковых степенях sin б, окончательно получим

Итак, границей области гиперболичности является значение Ѵ=Ь. При Ѵ>Ь кроме линий тока имеется два семейства дейст­ вительных характеристик. Как видно из выражений (4.71) и (4.72), характеристики расположены не симметрично относитель­ но линий тока газа, а повернуты в сторону линий тока частиц, хотя поворот этот весьма мал.

144

§4. 6. Односкоростные двумерные течения

Взаключение рассмотрим случай, когда механическое взаимодействие между частицами и газом столь велико, что различием в скоростях можно

да объемом частиц не пренебрегается.

5* 3739

Г л а в а V

ДВУМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ МОНОДИСПЕРСНОЙ СРЕДЫ БЕЗ УЧЕТА ОБЪЕМА ЧАСТИЦ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ

Численное исследование двумерных и трехмерных течений аэрозолей даже без учета объема частиц является весьма слож­ ной задачей математической физики. Поэтому в 'настоящее вре­ мя точные численные решения имеются лишь для монодисперсных сверхзвуковых потоков. Расчет дозвуковых и трансзвуковых течений до последнего времени производился приближенными методами: или без учета влияния частиц на газ, или при допуще­ нии о равновесности течения, или с использованием каких-либо цругих грубых упрощающих предположений, например, усло­ вия постоянства отставания в трансзвуковой области (см. рабо­ ту [66]).

Первой работой, в которой был приведен пример численного расчета течения газа с частицами в осесимметричном сопле, яв­ ляется (опубликованная в 1961 г.) работа Клигеля и Никерсона [66], в которой выписана система уравнений, включающая урав­ нения характеристик для сверхзвукового течения монодисперс­ ной среды, при условии пренебрежения объемом частиц, и пред­ ставлены результаты расчетов. Исследования сверхзвуковых течений монодисперсмых потоков в осесимметричных соплах чис­

дена ниже, значительно прояснили характер течения двухфазной среды в сверхзвуковом сопле.

В работе [118] представлена двумерная линеаризованная тео­ рия плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений газа и частиц. Выведено исходное уравнение в частных производных четвертого порядка для потенциала возмущений и дается его об­ щее решение с помощью преобразования Лапласа. Эффектив­ ность теории иллюстрируется на ряде конкретных задач. В рабо­

146