книги из ГПНТБ / Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах

rKp до оо. Если вспомнить обозначения (3.53) и воспользоваться соотношениями

из которого ясно, что прирост массы конденсирующегося веще­ ства определяется как процессом образования зародышей, так

ипроцессом их роста.

Впоследующих параграфах кинетическое уравнение (3.56) будет использовано при исследовании стационарных одномерных, плоских и осесимметричных течений. Для общности результатов удобно при изучении двумерных течений вместо одной независи­ мой координаты ввести функцию тока ф. В переменных х, ф, г уравнение (3.56) запишется в виде [120]

или, раскрывая второй член левой части,

Это уравнение является линейным уравнением в частных про­ изводных первого порядка. Уравнения характеристик для него имеют вид

107

Решение уравнения (3.60) эквивалентно решению системы уравнений (3.61). Если известны первые интегралы системы (3.61), то решение основного кинетического уравнения опреде­ ляется как произвольная функция от этих интегралов.

§ 3.4. Случаи интегрирования основного кинетического уравнения

Континуальный режим роста капель. Систему уравнений

(3.61) можно проинтегрировать в некоторых практически важ­ ных случаях. Ниже будут рассмотрены два из них. Метод на­ хождения двух первых интегралов системы (3.61) был предло­ жен Бахановым и Буйковым в работе [11] для случая, когда ско­

здесь Хі •— значение координаты х, соответствующее началу нуклеации.

Интегрирование уравнения (3. 62) возможно при двух услови­ ях: ѵ = const и TS = T. Первое условие выполняется при не очень

сильном изменении температуры, так как v ~ D /]/7 \Второе усло­ вие можно несколько ослабить, если температура капли незначи­ тельно отличается от температуры газа. Как показали Баханов и Буйков [12], при T t t T s формулу (3.62) можно заменить экви­ валентной с эффективными значениями ѵЭф и Д,ф таким образом, что правая часть перестает зависеть от Ts.

Рассмотрим первое обыкновенное дифференциальное уравне­ ние системы (3.61)

dx dr

После подстановки в это уравнение выражения для скорости роста капли (3.62) придем к дифференциальному уравнению с

108

где С1 — произвольная постоянная.

Как видно из этого соотношения, оно определяет рост частиц вдоль координаты х, причем радиус частиц при некотором зна­ чении координаты £ может быть выражен через его значение в другой точке X

причем стоящие под знаком интеграла величины г и гкр соответ­ ствуют значению х = \.

Общее решение кинетического уравнения (3.60) можно запи­ сать в виде произвольной функции типа КДСі, С2)= 0, или С2 =

Для определения произвольной функции необходима задать граничное условие. Пусть в сечении х = х\ функция распределе­ ния задана

/0 * і. r) = f 0(г),

тогда из выражения (3.65) при х = хи получим

K(V + r)2 — Z (x)

109

Заменяя в уравнении (3.65) правую часть с помощью равен­ ства (3.67), а значения г и гкр, стоящие под интегралом, по фор­ муле (3.64), получим

У (Г + v)2 — Z (X)

Преобразуем 6 — функцию, стоящую под знаком интеграла, по следующему правилу [91]

Mg' (х,г, 5)]= 8 (г - X) dg

дг

где r = x(x, 1) является корнем уравнения g(x, г, £)=0. В рас­ сматриваемом случае

g (X, г, І )= Ѵ ( г + v)s— Z (х) + Z (6)— V — гкр (5),

Если граничное условие таково, что при х = Хі капли отсутст­ вуют, то /о=0 и уравнение (3.70) упрощается. Вычисление f(x, г) по формуле (3.70) обычно проводится без использования опе­ рации интегрирования. Воспользуемся основным свойством функции Дирака [91]

п о

где £о(/\ X) является корнем уравнения х — г>т- е-

раметра |о. определяемого двумя независимыми переменными х и г. Величина go представляет собой значение х, при котором произошло образование зародыша, имеющего для рассматривае­ мого X радиус г.

Чтобы получить формулу для массовой концентрации кон­ денсата, подставим выражение для функции распределения

(3.70) при /о=0 в уравнение (3.51)

00 X

■ X i

В левой части этого уравнения стоит частная производная по х, потому что, как уже отмечалось, можно пользоваться всеми формулами данного параграфа для расчета как одномерных, так и двумерных течений. В первом случае частную производную следует заменить полной, так как as = as(x). Для плоских и осе­ симметричных течений as= as{x, ф) и соотношение (3.72), как и все остальные в этом параграфе, выполняется вдоль любой ли­ нии тока ф = const.

Свободномолекулярный режим роста капель. Рассмотрим вто­ рой практически важный случай, когда основное кинетическое уравнение (3.60) может быть проинтегрировано. Это можно сде­

111

лать при г=ір(х), т. е. когда скорость роста капли не зависит от ее размера. Таким свойством обладает формула Кнудсена (3.43), которую для удобства запишем в следующем виде

6п J и У 2nRT

Здесь температура капли Ts может отличаться от температуры окружающего газа, причем вычислять ее можно по формуле

(3.48). Поскольку радиус капли не входит в формулу для г, то интегрирование уравнений характеристик выполняется при про­

X,

Общее решение кинетического уравнения запишем через произ­ вольную функцию в виде Сг= Р(Сі), тогда, используя граничное условие f(x1, г) =/о(г), получим

X

112

где 1о(х, г) является корнем уравнения

Интересно отметить, что в рассматриваемом случае расчет функции распределения капель по размерам выполняется неза­ висимо от способа решения задачи. При этом f(x, г) можно рас­ считывать отдельно по уже готовому решению. Например, мас­ совую концентрацию конденсата можно определять по формуле, вытекающей из соотношения (3.54)

где Q„ определяется соотношением (3.53).

Скорость изменения массовой доли конденсата находим из из уравнения (3.59), которое с учетом формул (3.53) и (3.73) за­ пишем в виде

Таким образом, в рассматриваемом случае, характеризую­ щемся тем, что скорость роста капли не зависит от ее размера, основное кинетическое уравнение можно заменить системой из трех уравнений в частных производных (3.79) (или из трех обыкновенных дифференциальных уравнений для одномерного течения), которая не зависит от функции распределения капель по размерам. Последняя может быть найдена по формуле (3.76) с использованием уже готового решения.

При одномерном течении П„ = П„(л:) частные производные в левой части уравнений (3.79) заменяются полными.

В заключение выведем формулу для й„. Из соотношений

(3.53) и (3.75) при /о= 0 получим

113

После интегрирования получим окончательно

X

§ 3.5. Одномерное течение в сопле при наличии химических реакций и конденсации

Как известно, изменение давления при адиабатическом рас­

Из сравнения уравнения (3.81) с уравнением Клапейрона—Кла­ узиуса (3.5) видно, что давление насыщения уменьшается быст­ рее, т. е. в соплах возможна конденсация.

Рабочая смесь в соплах аэродинамических труб и ракетных двигателей, как правило, характеризуется сложным и перемен­ ным от сечения к сечению составом, поэтому расчеты необходи­ мо проводить с учетом химических реакций и конденсации.

Пусть рассматриваемая смесь состоит из N газообразных ком­ понентов, которые могут реагировать между собой. Общую сис­ тему химических реакций в этом случае можно записать в виде

г=1, 2,. .., /;

Вк — компонента смеси (например, Н2, Н, Н20 и т. д.).

Будем считать, что все химические реакции протекают рав­ новесно, тогда количество реакций I должно совпадать с количе­ ством сложных веществ. Допустим, что одна из N компонент при рассматриваемых условиях работы сопла может конденсировать­ ся (как и ранее, параметрам конденсированной фазы будем придавать индекс «s»). Уравнения сохранения массы, импуль­ са и энергии для одномерного стационарного течения невязкого газа можно записать в виде

114

Система (3.83) имеет такой же вид, как и для течений без кон­ денсации и химических реакций, при наличии которых энтальпия

k=i

и законам действующих масс для системы равновесных химиче­ ских реакций (3.82), которые можно записать в следующем виде

где универсальная газовая постоянная До= 8,315 Д ж -К-1 моль-1.

компонентов), а р — суммарный молекулярный вес смеси

Вдальнейшем отношение ajpk удобно обозначить через Ah,

амассовую концентрацию газа 1—ots обозначить через а. Таким образом,

(3.88)

Остальные N—I массовых концентраций определяются из ус­ ловий сохранения (в процессе расширения в сопле при протека­ нии химических реакций и конденсации) количества молекул

115

(или массы) данного элементарного вещества. В принятых обоз­

получаем а^га) = 2). Постоянные в правой части уравнения (3.89) определяются по массовому составу смеси перед соплом. Важно отметить, что массовая концентрация конденсированного веще­ ства входит в уравнение (3.89) и таким образом влияет на сос­ тав газа.

Из системы 2N уравнений (3.85), (3.86) и (3.89) определяют­ ся N массовых концентраций газообразных компонентов и JV их парциальных давлений. Из уравнений (3.85) и (3.86) можно иск­

где Ik и Is—энтальпии компонентов, отнесенные к одному молю. Если при расширении в сопле газ можно считать калорически со­ вершенным (с постоянными удельными теплоемкостями), то

ды молекул газа возбуждены. В этом случае газ нельзя считать калорически совершенным и энтальпия сложным образом зави­ сит от температуры. Обычно такая зависимость заранее известна и задается в виде таблиц или аппроксимирующих многочленов.

Чтобы представленная система уравнений была замкнутой н полностью описывала течение с химическими реакциями и кон­ денсацией, необходимо добавить к ней уравнение для определе­

116