книги из ГПНТБ / Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах

Хассаном [127] было замечено, что если в качестве независи­ мой переменной принять ws(x), то решение этой системы при Фі = const и ф2= const записывается в квадратурах. Действитель­

где 7,o — значение температуры частиц в сечении х—х0. При из­ вестных зависимостях ws(x), w(x) и Ts(x) по уравнению энергии (1.11) определяется 7 (х). Далее из (1.29) получим

Теперь площадь поперечного сечения вычисляется из соотноше­ ния (1.30).

27

Таким образом, интегрирование системы дифференциальных уравнений свелось к последовательному вычислению несколь­ ких квадратур. Однако обе эти задачи при численном их реше­ нии являются почти эквивалентными.

Учитывая, что метод Хассана дает решение лишь обратной задачи (контур сопла не задается, а получается в результате ре­ шения), преимущества, получаемые при использовании этого метода, весьма невелики.

При решении прямой задачи — определении течения в сопле заданной формы — приходится сталкиваться с трудностями, обусловленными с прохожде­ нием особой седловой точки.

Как отмечалось в конце §1. 1, начальное значение скорости газа определяется формой до­ критической части сопла. Ана­ лиз интегрирования уравнения

(1.12) показывает (рис. 1.7),

что при весьма малом откло­ нении от начального значения wо, соответствующего заданной форме сопла, произвести ин­ тегрирование не удается: при небольшом понижении началь­

ликом дозвуковому течению в сужающе-расширяющемся канале. При начальном значении w, несколько большем ш0, интеграль­ ная кривая физического смысла не имеет. Явления, происходя­ щие при прохождении седловой особой точки при двухфазном течении, аналогичны явлениям, имеющим место для обычного газа.

Чтобы избавиться от этой особенности Глауц [33] ввел следующую замену переменных: 7V='1/3(M2— I)2; при этом числитель левой части уравнения (1.13) становится равным dN и особенность пропадает.

28

сравнительно просто, то при W>5-i-6 для прохождения особой точки необхо­ димо весьма точно определить начальное значение скорости, что может ока­ заться вне возможностей машины: интегральные кривые, практически не от-' личающиеся по начальным данным, в окрестности особой точки могут уйти в разные стороны.

Казалось бы, что в дозвуковой области весьма обещающим является ме­ тод вычисления от особой точки в направлении, противоположном движению газа и частиц. Рассмотрим это на примере интегрирования уравнения (1.3). Подставим в это уравнение вместо ws сумму ws+ö, где б — малая величина.

Отсюда недопустимость интегрирования в направлении, противоположном движению газа, очевидна: при x<Zx0 ошибка нарастает по экспоненте.

Иной метод решения прямой задачи с прохождением седловой особой точки был предложен Эмануэлем [136] применительно к химически неравно­ весным течениям в соплах. Идея метода заключается в нахождении интеграль­ ной кривой, близкой к искомой, и в небольшой (иногда чисто символической) корректировке околокритической части сопла.

Запишем уравнение (1.13) в форме

Начальное условие следующее: M o=M (x0). Решение имеет вид М = М(х, М0). Пусть при М0 = М0* дифференциальное уравнение (1.32) имеет особую седло­

вую точку; при Моэ^Мо* интегральные кривые располагаются либо выше, ли­ бо ниже интегральной кривой М =М (х. Мо*), проходящей через особую точку

В (см. рис. 1.7).

Рассмотрим второй тип интегральных кривых. Эти кривые имеют макси­

Особая интегральная кривая в небольшой окрестности точки В имеет ли­ нейный участок, наклон которого определяется по правилу Лопиталя

шим образом аппроксимирует наклон интегральной кривой в особой точке. Исключим из уравнений (1.32) и (1.33) производную dM/dx\ß. Получим

соотношение, справедливое только в особой точке

при котором вычисляемое вдоль данной интегральной кривой значение Д до­ стигает минимума.

29

Расчет по формуле (1.34) осуществляется до точки хл, за которой произ­

(1.13) используется (1.34), то необходимо после определения всех параметров на этом участке с помощью соотношения (1.6) определить зависимость F(x). Выбор точки Хі осуществляется расчетным путем.

Нужно сказать, что при значительных содержаниях частиц в газе область,

В заключение отметим, что на практике в основном исполь­ зуются обратные методы расчета двухфазных течений в соплах, когда задается 1 распределение какого-либо параметра вдоль сопла (например, плотности, давления, скорости газа и т. д.), а форма сопла определяется в результате решения задачи. Этим методом можно опредетить и течение в сопле заданной формы, если сделать несколько приближений, подгоняя получаемый про­ филь под заданный. Преимущество обратных методов заключа­ ется в отсутствии трудностей, связанных с прохождением осо­ бых точек.

§1.4. Линеаризация уравнений и их решение

При небольших отставаниях частиц возможна линеаризация уравнений двухфазных течений по малому параметру е, пропор­ циональному отставанию частиц. При этом параметры потока в явном виде могут быть представлены через геометрические ха­ рактеристики сопла.

Система основных шести уравнений двухфазных течений мо­ жет быть записана в виде

1 Обычно задаются распределениями параметров по соплу, полученными

при расчетах равновесных течений в соплах заданной формы.

30

Представим шесть искомых функций w, ws, Т, Ts, р и р в ви­ де рядов, в которых членами второго порядка малости пренебре­ гаем:

w — we-\-ew1-\~.. . ,

Приравнивая в остальных четырех равенствах коэффициенты

Представленные здесь уравнения характеризуют равновесное течение двухфазной среды, которое рассматривалось в § 1.2.

31

7'(Х )=1—YXa;

Я (Х )= 1+ (2Л -1)уХ 2;

g — постоянная интегрирования.

Величина g выбирается либо из условия ограниченности па­ раметров в минимальном сечении сопла, что определяет связь между параметрами в начальном сечении, либо из условия их за­ дания в начальном сечении. Последний случай имеет место, на­ пример, при рассмотрении течения только в сверхзвуковой части сопла. При этом соотношение (1.40) удобнее представить в виде

W f CedTa + wa (dw — dwa)

32

и из выражения (1.43) при Т — Тн и р = рп получим

(1.44)

а из соотношения (1.42) получим

Другой случай выбора £ будет рассмотрен ниже.

Подставим теперь равенства (1.37) в равенство (1.39) и, вы­ полнив преобразования, получим

Исключим Ti/Te, Qi/ge и Wi/we с помощью соотношений

(1.38), (1.42), (1.43) и (1.45). Окончательно, пользуясь рядами

(1.36), придем к формуле

(1.47)

СJ '

Из выражений (1.45), (1.47) и (1.36) получ

Формулы (1.46), (1.47), (1.48) и первое соотношение (1.38)

совместно с третьим равенством (1.36) позволяют в явном виде найти зависимость между давлением, температурой, скоростью, плотностью газа и геометрическими параметрами сопла, харак­ теризуемыми величиной Я.

Скорость и температура частиц вычисляются на основании равенств (1.37) и двух последних соотношений (1.36) по фор­ мулам

w s ~ w — z w e — , dx

(1.51)

Плотность «газа» частиц qs может быть найдена из уравнения (1.7). Остановимся теперь на вычислении постоянного парамет­ ра |. Как следует из формул (1.46) — (1.48) при Х=1 знаменате­ ли коэффициентов, стоящих перед квадратными скобками, обра­ щаются в нули. Для того чтобы параметры, определяемые этими формулами, были конечны, необходимо обратить в нули при Х=1 и выражения, стоящие в квадратных скобках. Эти три усло­ вия сводятся к одному соотношению, которое имеет вид

ные значения параметров потока отличны от равновесных зна­ чений.

Интересно также отметить, что при наличии излома контура сопла производная dX/dx, а с нею и все параметры потока тер­ пят разрыв. В нелинеаризованной же одномерной теории при переходе частиц через излом контура параметры потока остают­ ся непрерывными, скачком меняются только их производные. Форма контура сопла, как следует из (1.46) — (1.48) и (1.51), влияет на параметры газа и частиц двояко. Во-первых — через

34

сопла. Пользуясь соотношением (1.52), получаем, что при опре­ делении параметров в расширяющейся части сопла разность (£—£) не зависит от формы сужающейся части, а определяется лишь расширяющейся частью сопла. Действительно, разность

и зависит только от формы расширяющейся части сопла и от производной (dX/dx) * в его минимальном сечении.

Таким образом, в линеаризованных сверхзвуковых течениях форма сужающейся части сопла, если не учитывать производ­ ную (dX/dx) „., не влияет на параметры потока за минимальным сечением сопла. Она определяет лишь параметры в сужающей­ ся части сопла и, в частности, — в начальном сечении.

§ 1.5. Примеры расчетов

В качестве примера ниже представлены результаты расчетов ф/s и fßS, проведенных по формулам (1.23) и (1.25) для слу­ чаев нелинеаризованного и линеаризованного течений [109]. При

этом в первом случае производилось численное интегрирование

Как следует из формулы (1.25), основная составляющая по­ терь определяется членом, стоящим в круглых скобках. При этом в соответствии с линеаризованной теорией получим

- i + r ^ ( 1 + r ) - I= 5 i+ £ s _ ^ _

где h и І2 — параметры, слабо зависящие от W. Минимум этого выражения1 достигается при \Ѵ= 2, следовательно, значение cp/s будет наименьшим вблизи W = 2. Физически наличие минимума объясняется следующим образом.

При малых W равновесное течение близко к течению чистого газа, а при больших — балластировка газа частицами настолько снижа-

Фі=х

ет скорость газа, что отставания уменьшаются и течение опять приближается к равновесному.

На рис. 1.8—1.10 представлены результаты расчетов <pjs и срр^ , проведенных для различных значений W и срі. При зтом по­

ред соплом.

Контур расширяющейся части сопла аналитически представ­ лен на стр. 172, а сужающейся — составлен из прямой линии, наклоненной к оси под углом Ѳ=arctgV 2, и дуги окружности ра­ диуса, равного диаметру минимального сечения. Отношение пло­ щади начального сечения сопла к площади минимального сече­ ния равно 4.

1 Факт существования минимума cpis является весьма примечательным.

Впервые он установлен в работе [109], где приведены и экспериментальные подтверждения.

36