книги из ГПНТБ / Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах

Если продифференцировать выражения (3.1) и (3.2) и использовать вто­ рое начало термодинамики (3.3), то условие равновесия можно записать сле­ дующим образом:

Из этого соотношения с учетом соотношения (3.4) и уравнения состояния для совершенного газа Pa = R P a T, которое выполняется для паровой фазы, по­ лучим формулу Клапейрона—Клаузиуса

d^Poо_ _

(3.5)

• dT ~ R n '

Эта формула определяет линию насыщения и зависимость давления, называ­ емого давлением насыщенных паров над плоской поверхностью перехода, от температуры. Ниже давление насыщения будет обозначаться Роо(Т).

Если считать, что L не зависит от температуры, то после интегрирования формулы (3.5), получим

где «1» и «2 » — две произвольные точки линии насыщения.

Формула Томсона. Рассмотрим теперь случай, когда поверхностью раз­

дела между газообразной и жидкой фазами является сфера (равновесие кап­ ли радиуса гкѵ, ниже называемого критическим, с окружающим ее паром). Пусть капля состоит из g молекул, а давление пара — р, причем жидкость и пар находятся при одинаковой температуре Т. Минимальная работа, необхо­ димая для образования этой капли из молекул пара, состоит из двух слага­ емых

где масса молекулы /Лі равна отношению молекулярного веса к числу Авогадро, а рв — плотность жидкости. При помощи формулы (3.8) уравнение

87

(3.7) м ож но записать в виде

' кр

Используя соотношения

4A — kT \пр + у(Т ),

'Pßoo = VAo o =k T ln Ptx (T) + <f(T),

где k — постоянная Больцмана; cp (Г) — некоторая функция.

Учитывая, что k = mlP, из уравнения (3.9) получим формулу Томсона

Капли радиуса ткр, соответствующего формуле Томсона, называются каплями критического размера или зародышами. При заданных внешних условиях кап­ ли докритического размера находятся в среде ненасыщенного пара и испаря­

для мелких капель. Этот эффект сильно возрастает с уменьшением размеров капель. Так. например, для сравнительно крупных водяных капель — разме­ ром в микрон—давление насыщения лишь на 0 ,1 % больше давления над плос­ кой поверхностью, а при радиусе капли 6 -ІО- 4 микрона давление насыщения

ТLrкр0в

Равновесное распределение Гиббса. Рассмотрим равновесное состояние системы и обозначим через g Kp число молекул в капле критического размера. Пусть z —g / g KV, тогда, учитывая уравнения (3.6), (3.8) и (3.9), выражение для работы образования капли, содержащей g молекул, можно записать в виде

Из формулы (3.12) видно, что ДФ зависит от внешних условий (через коэффициент В) и относительного числа молекул в капле г. На рис. 3. 1 пред­ ставлены зависимости ДФ(г) при различных внешних условиях. Если пар

возрастающую функцию. Любое скопление молекул не сможет создать устой­ чивую каплю, так как критического размера капли в данном случае не суще­ ствует. Состояние насыщения (фл = фв, s = l) также будет устойчивым, так как радиус капли критического размера равен бесконечности. Если же пар на­

комплексов, содержащих большее количество молекул, увеличивается. Одна­ ко при z > l распределение Гиббса является неверным.

Стационарная нуклеация1. Формула Фольмера. Первый важный вклад в теорию образования ядер конденсации сделал Фольмер [164], который считал, что критический размер комплексов определяет «ворота в конденсацию». Он предположил, что все капли, достигшие критического размера, удаляются из рассматриваемой системы и заменяются эквивалентным числом молекул пара. Скорость образования зародышей /„ вычислялась Фольмером как произведе­ ние числа капель критического размера NKр в единице объема на количество молекул Ь, конденсирующихся при столкновении с единицей поверхности в единицу времени, и на поверхность зародыша

Iv = NKpb-4nrlp.

1 Термин «нуклеация» (образование ядер конденсации или зародышей)

употребляется в ряде работ [11, 15] и других и происходит от английского слова nudeation.

89

лекул пара к числу падающих на поверхность комплекса). Пользуясь выра­

сравнению с вероятностью столкновения с каплей одной молекулы. Это пред­ положение исключает возможность перехода капли докритического размера в каплю сверхкритического размера, минуя промежуточный этап. Формула Фольмера (3.16) обладает тем недостатком, что дает завышенное значение скорости образования зародышей, так как при ее выводе не учитывается ис­ парение капли и дальнейшая конденсация пара на зародышах.

Формула Беккера—Дёринга. Более точное выражение для скорости обра­ зования зародышей получили Беккер и Дёринг [139]. Они предположили, что образование зародышей происходит в результате реакций последовательного

денсация происходит в результате протекания следующей цепочки реакций

где индекс G > g KV. В процессе роста комплексов число молекул в газе долж­ но уменьшаться, однако, как и при выводе формулы Фольмера, предполагает­ ся, что комплексы, содержащие G молекул, удаляются из системы и заменя­ ются эквивалентным числом молекул. Если обозначить через fg 1 количество

комплексов класса g в единице объема, которые образуются в результате про­ текания реакций (3.17), то, очевидно, должно быть

/і = Na « Nь

(3.18)

/о = 0.

Последнее равенство говорит о том, что комплексы класса G удаляются из системы.

Количество комплексов, содержащих g молекул, образующихся в единице объема в единицу времени Ig в процессе реакции

S g_ 1 — площадь поверхности этого комплекса;

1 Если реакции (3.17) протекают равновесно, то fg= N g

90

которое иногда называют уравнением Беккера—Дёринга. Будем считать про­ цесс нуклеации квазистационарным, т. е. d{gl d t = 0. В этом случае из уравне­ ния (3.20) следует, что

Ig — Ig . j = / 2= const.

Таким образом, для квазистационарного процесса, описываемого цепочкой реакций (3.17), имеют место соотношения

I = äjS i / i — a2S2f 2 = • • • = і / г —і — agS g f g =

= • • •ba - i S G - i f o - i — a G S G ^ G -

Отсюда получаем последовательно

причем обращение в нуль этого выражения обусловлено равенством /с = 0 .

Поделим обе части этого равенства на коэффициент при SiNi и получим окончательно

Беккер и Дёринг сделали следующие допущения: 1) количество испаряю­ щихся молекул с поверхности комплекса пропорционально давлению насы­ щения для этого комплекса; 2) для капли, находящейося в равновесии, Ькр= = «кр; 3) bg= b не зависит от g [формула (3.15)]. Таким образом,

т. е. что малые комплексы обладают поверхностным натяжением (это являет­ ся недостатком жидкокапельной теории), получим выражение

91

ygKP

Интеграл в правой части характеризуется тем, что подынтегральное выраже­ ние имеет резкий максимум при 2 = 1 . Это объясняется большим значением

коэффициента В, который для паров воды равен приблизительно 50. Данный интеграл можно вычислить, например, методом Лапласа [46], основанным на разложении экспоненты вблизи максимума в ряд Тейлора —

Зг2/3 — 2г « 1— — (г — 1)2,

О

При обычных условиях эксперимента в камере Вильсона эта поправка (т. е. отношение/в_в//щ) имеет величину порядка ІО-2.

Формула Френкеля—Зельдовича. Зельдович [56] и Френкель [123] уточни­ ли формулу Беккера—Дёринга и предложили более простой ее вывод. Для

92

определения числа испаряющихся молекул они использовали принцип деталь­ ного равновесия [123]

т. e. считали ag для равновесного и неравновесного процессов одинаковыми.

^кр

Интеграл в правой части вычислим методом Лапласа, как и в случае вывода формулы (3.22). Значение S(g) ~ S ( g Kp) выносится из-под знака интеграла в процессе его вычисления и равно

S (£кР) = 4яг кр2 = (36 я^)Ѵ3^2/з = S i^2/3_

Формула Френкеля—Зельдовича окончательно запишется в следующем виде

Сравнивая формулы (3.26) и (3.24), получим

^Ф—3 = ёкр^В-О"

Таким образом, выражения для скорости образования зародышей, полу­ ченные Беккером и Дёрингом, а также Френкелем и Зельдовичем, различают­

ся множителем g , что слабо влияет на результаты в случае больших пе­ ресыщений.

Расчеты, проведенные по формулам Беккера—Дёринга и Френкеля— Зельдовича, свидетельствуют о согласовании расчетных и эксперимен­ тальных данных [14]. Результаты, полученные по теории Фольмера, явля­ ются несколько завышенными. Учет в энергии образования зародышей посту­ пательного и вращательного движений приводит, как уже отмечалось выше, к значительному завышению скорости образования зародышей.

На рис. 3.3 приведена зависимость скорости нуклеации от пересыщения. Кривая 1 рассчитана по формуле Беккера—Дёринга. Там же для сравнения

93

приведена кривая 2, соответствующая формуле Беккера—Дёринга с поправ­ кой Барнарда [138], который предложил не пренебрегать членами 3^ ~2/,э

и 2 ^ 1в формуле (3.23) по сравнению с единицей. Типичный расчет для ка­

Пусть т2 означает время, за которое устанавливается равновесное (соответст­ вующее заданному пересыщению) распределение докритических комплексов по размерам, получившее в литературе название времени задержки (time lag). По оценке ряда авторов [152, 158] для паров воды т2« 10-5-РІ0-в с. Условие квазистационарности, используемое в предыдущем параграфе при выводе фор­ мул для скорости нуклеации, является обоснованием только при

Это условие выполняется для камер Вильсона и сопел с умеренными степеня­ ми расширения. Однако, например, для сопел ракетных двигателей, характе­ ризующихся большими степенями расширения, условие (3.27) может не вы­ полняться. В этом случае расчет процесса нуклеации нельзя проводить по формулам Беккера—Дёринга — Френкеля—Зельдовича.

Рассмотрим систему, в которой пересыщение создается настолько быстро, что условие (3.27) может не выполняться. В этом случае также необходим! рассмотреть цепочку реакций (3.17), которую можно записать в виде

ятностью присоединения к комплексу класса g двух и более молекул будем пренебрегать. Скорость образования комплексов Ag в единице объема в ре­

94

зультате протекания одной реакции определяется выражением

Скорость изменения концентрации комплексов Ag определяется формулой

d f g

для g = 2, 3 ,..., G.

Система уравнений (3.30) определяет процесс нуклеации независимо от того, выполняется условие (3.27) или нет. При известных значениях скоро­

виях можно интегрировать численными методами (на ЭВМ). Однако G может быть довольно большим (например, для паров воды при 7"=233 К О'ягІОО, а для паров LiF при Г =2000 К G~ 1300 [79]. Таким образом, реше­ ние задачи о нестационарной конденсации по существу сводится к интегриро­ ванию системы уравнений, состоящий из 100 и более дифференциальных урав­ нений.

Куртни [143] решил на ЭВМ задачу о нестационарной конденсации, сде­ лав ряд упрощающих предположений: классическая жидко-капельная теория считается правильной для комплексов, состоящих ' не менее, чем из 19 моле­ кул; распределение комплексов при g< 19 мгновенно приходит в равновесное состояние; равновесные значения концентраций комплексов при g ^ 19 рас­ считаны по распределению Гиббса (3.14); скорость роста комплекса А й опре­ деляется частотой столкновений молекул с его поверхностью kg= aKbSg; ко­ личество молекул At и температура смеси считаются постоянными; константа реакции в обратном направлении определяется согласно закону действующих масс

распределение, близкое к равновесному, при Т= 233 К и s = 10 устанавливает­ ся за 10-6-М 0~5 с.

Обратимся теперь к приближенному решению рассматриваемой проблемы. Беккер и Дёринг [139], а затем Зельдович [56] и Френкель [123] свели систему (3.30) к одному уравнению в частных производных для концентрации комп­ лексов, решение которого близко к решению исходных уравнений.

Заменим в уравнении (3.2Э) константу скорости kg при помощи закона действующих масс (3.31). Используя распределение Гиббса (3.14), получим

где D — kg N 1 называется коэффициентом диффузии. Это название не

случайно. Запишем, например, выражение (3.29) в следующем виде

l g — N \kg f g —\ — N \kg+x f g + ( ^ i k g +l — k g ) f g .

95

Из уравнений (3.19) и (3.29) следует

kg —aSg, Nikg+1 = bSg.

Если каждый комплекс находится в равновесии с окружающей средой, то ко­ личество испаряющихся равно количеству конденсирующихся молекул, т. е. а = Ь. Из предыдущих равенств следует

kg_____я

N\kJ+i ь

т. е. выражение в круглых скобках в уравнении для 1g обращается в нуль. При этом получаем уравнение

h = N lkg U g - i - f g ) ~ - D d- £ ,

подобное уравнению диффузии.

Заменяя в уравнениях (3.30) конечную разность в правой части прибли­ женно частной производной, получим дf/d t= —dl/dg. Подставляя в это ра­ венство выражение (3.32) для /, получим

Это уравнение с определенной степенью точности эквивалентно системе урав­

96