книги из ГПНТБ / Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах

обороте капилляра образовывалось много капель, но по рабочей траектории (к мишени) двигалась только одна. Для определе­ ния изменения размера мишени после попадания в нее серин снарядов кроме фотографирования производилось взвешивание мишени. Исследования были проведены на воде, этиловом спир­ те, глицерине и водоглицериновых смесях. При этом параметры жидкостей менялись в широких пределах: молекулярный вес ме­ нялся от 18 до 92, плотность — от 737 до 1264 кг/м3, динамиче­ ская вязкость — от 0,4 10~3 до 1,5 кг/м-с, поверхностное натяже­ ние — от 0,017 до 0,074 Н/м и т. д. Тем не менее результаты экс­ периментов, проведенных на различных продуктах, описываются в безразмерном виде одними и теми же уравнениями.

при 2,5</у//у^12 и 1 5 ^ R eBr°’4':^70.

В эти формулы не входит угол встречи капель, так как здесь отражен интегральный эффект соударения серии капель. При течении в сопле картина в целом будет аналогичной. При этом, однако, следует иметь в виду, что процесс дробления при тече­ нии в сопле вследствие обдува будет более интенсивным, что приведет, по-видимому, к заметному снижению величин Фг>

§ 2. 5. Результаты расчетов

Многопараметрическое исследование движения двухфазной среды в сопле с учетом коагуляции проведено в работах [6, 4], 116] и некоторых других. С методической точки зрения, прежде всего, необходимо исследовать преимущества методов Эйлера и Лагранжа и найти оптимальное количество ступенек, на которое следует разбить функцию распределения частиц. Такие расчеты были проведены в работе [116]. Вычисления проводились для конического сопла с полууглами на входе и выходе соответствен­ но 45 и 15° и геометрической степенью расширения F = 6,25. В области горловины радиус скругления равнялся диаметру ми­ нимального сечения. Содержание частиц в смеси менялось в ши­ роком диапазоне — примерно от 0,1 до 0,9. Дробление частиц не учитывалось. В результате расчетов получено, что как средне­ массовый размер частиц на срезе сопла, так и потери из-за от­ ставания частиц, вычисленные методами Эйлера и Лагранжа, хорошо согласуются между собой. При этом неплохо согласуют­ ся между собой и расчеты, выполненные при разбиении функции распределения на 5, 10, 15 и 20 ступенек; при меньшем их ко­ личестве погрешность становится заметной. Поэтому разбиение на 5—10 ступенек можно считать близким к оптимальному. Учи­ тывая, что выполнение расчетов методом Лагранжа несколько проще, чем методом Эйлера, метод Лагранжа можно рекомендо­

77

вать для широкого использования при расчетах двухфазных те­ чений в соплах с коагуляцией.

В работе [116] проведены также исследования влияния дав­ ления торможения перед соплом, размеров сопла и содержания частиц в газе на их рост и на потери удельного импульса. Полу­ чено, что с ростом давления торможения и содержания частиц в газе коагуляция интенсифицируется, что приводит к интенсивно­ му росту размеров частиц и потерь из-за их отставаний. Из-за увеличения времени пребывания частиц в сопле, например, при увеличении размеров сопла (изменении масштаба) происходит их заметное укрупнение. Однако при этом потери из-за отстава­ ния в целом уменьшаются, так как с ростом размеров сопла уве­ личивается и время релаксации. Основной процесс коагуляции происходит в околокритической части сопла, где отставания и различия в скоростях частиц наибольшие. В расширяющейся части сопла кроме отставаний резко падает и концентрация час­ тиц в единице объема, что существенно уменьшабт коагуляцию, поэтому здесь роста частиц почти не происходит.

Учет дробления при взаимодействии частиц в процессе их коагуляции [6] позволяет более правильно найти размеры час­ тиц в сопле и потери из-за отставания.

соответствующая расчету без дробления. На рис. 2.2 изображено

наличии дробления размер частиц уменьшается почти втрое. Не­ которое снижение нижней кривой свидетельствует о том, что, начиная с некоторого сечения сопла, дробление преобладает над коагуляцией. При расчетах без учета дробления происходит очень быстрое истощение фракций, соответствующих мелким частицам, и весь поток частиц оказывается состоящим из трех наиболее крупных фракций со среднемассовым диаметром час­ тиц около 8 мкм.

Па рис. 2.3 показано изменение потерь удельного импульса, обусловленных отставанием частиц в зависимости от W. Пунк­ тирная кривая соответствует коагуляции без учета дробления, а сплошная — коагуляции с учетом дробления. При большом со­ держании частиц в газе потери могут различаться в несколько раз. (Потери при отсутствии учета взаимодействия частиц меж­ ду собой находятся в пределах 1%).

78

дттм'

Рис. 2.1. Изменение функций распреде­ ления частиц в сопле

79

Г л а в а III

ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИКИ КОНДЕНСАЦИИ

Одним из важных разделов теории двухфазных течений яв­ ляется кинетика конденсации. В данной главе изучаются про­ цессы образования, роста и испарения капель конденсата в па­ рогазовой смеси или чистом паре. Эти процессы являются важ­ ными в метеорологии, химической промышленности, атомной энергетике; их необходимо учитывать при проектировании паро­ вых турбин, аэродинамических труб, ракетных двигателей и т. д.

Конденсация может иметь место в том случае, когда парци­ альное давление пара одного из компонентов смеси в процессе расширения становится большим его давления насыщения. При этом, как правило, пересыщение s (отношение парциального давления к давлению насыщения над плоской поверхностью пе­ рехода), при котором конденсация становится заметной, намно­ го больше единицы. Например, для водяного пара s ä 4-^8, а для паров ртути пересыщение может превышать 2000.

Явление конденсации еще в прошлом веке исследовал Виль­ сон, который установил, что в чистом воздухе, насыщенном во­ дяным паром, при достаточно быстром расширении самопроиз­ вольно появляется облако, состоящее из очень мелких водяных капелек. При первоначальной температуре 20°С облако появля­ лось только в том случае, когда степень расширения превышала приблизительно 1,37 и когда создавалось почти восьмикратное пересыщение. Камера, в которой Вильсон изучал поведение сме­ си паров воды с различными газами, впоследствии стала назы­ ваться его именем.

Примером процесса конденсации, имеющим большое практи­ ческое значение, является конденсация в соплах Лаваля. Появ­ ление тумана в соплах, работающих на сильно пересыщенном паре, было обнаружено также еще в прошлом веке. Стодола [163] экспериментально исследовал конденсацию водяного пара в соплах паровых турбин, причем для обнаружения конденсации он использовал эффект рассеяния света, а для определения отклонения распределения давления от обычного, соответствую­ щего адиабатическому расширению, он измерял давление на бо­

81

ковых стенках сопла. Сопоставляя результаты экспериментов по расширению водяного пара, Стодола показал, что при медлен­ ном расширении пересыщения не происходит, так как в этом случае пар успевает конденсироваться на посторонних примесях (гетерогенная конденсация). Однако при быстром расширении посторонних частиц оказывается недостаточно и происходит увеличение пересыщения, приводящее к конденсации (гомоген­ ная конденсация). Этот факт свидетельствует о том, что в про­ цессе конденсации важную роль играет промежуток времени, в течение которого создается пересыщение.

Интересной иллюстрацией гетерогенной конденсации являет­ ся конденсация паров одного вещества на ядрах другого. Так, при наличии в потоке газа даже небольшого количества другого ве­ щества с более высокими температурой и давлением насыщения в первую очередь происходит гомогенная конденсация этого ве­ щества с образованием большого количества зародышей, на ко­ торых в дальнейшем конденсируется основной газ. При этом пе­ ресыщение газа почти или полностью отсутствует. В качестве примера можно привести конденсацию азота при наличии в нем около 0,05% водяного пара [24]. Эта конденсация оказывается практически равновесной.

В 1935 г. Прандтль обратил внимание на явление в соплах аэродинамических труб, напоминающее скачок уплотнения. Гер­ ман [149] показал, что это — скачок конденсации, обусловленный влажностью воздуха перед соплом. Практическим выводом этих исследований было создание систем осушения воздуха в аэроди­ намических трубах.

Фундаментальный теоретический анализ конденсации в соп­ лах был сделан Осватичем в 1942 г. [156], который первым ввел в аэродинамику теорию образования зародышей. Осватич соста­ вил уравнения, описывающие возникновение и рост частиц при движении двухфазной среды в сопле с учетом передачи тепла от частиц к газу, и решил их численным методом. Полученные ре­ зультаты свидетельствуют о росте статического давления в зоне конденсации и хорошо совпадают с экспериментальными данны­ ми Бинни и Вудса. Основные уравнения, упрощенно описываю­ щие гомогенную кондѳндсацию в рост капель при движении сме­ си воздуха и паров воды в сопле аэродинамической трубы, приве­ дены в работе Малюжинца [87].

Теоретическое описание течений с конденсацией, проведенное в работах [87 и 156], основано на использовании выражения для скорости образования зародышей. Вывод такого выражения яв­ ляется одной из наиболее сложных проблем кинетики конденса­ ции. Классическая теория образования зародышей (нуклеации), основанная на жидкокапельной модели определения концентра­ ций групп молекул, была предложена Фольмером и Вебером

[164]и развита в работах Беккера и Дёринга [139], Зельдовича

[56]и Френкеля [123]. Несмотря на некоторые недостатки жидко-

82

капельной теории, теоретическое описание процесса конденсации в камере Вильсона, основанное на этой теории, согласуется с экспериментом [122].

Джёрмати [145] на основании классической теории нуклеации предложил упрощенный аналитический метод оценки место­ положения точки, в которой конденсацию можно считать закон­ ченной, и точки Вильсона (в этой точке разница между факти­ ческим количеством конденсированного вещества и таковым для равновесного процесса является максимальной; вблизи точки Вильсона имеет место максимальное пересыщение). В работе Джёрмати и Мейера [147] представлены результаты экспери­ ментального исследования движения сухого и влажного водяно­ го пара в трех плоских соплах, характеризующихся различными градиентами давления и имеющих различные размеры. Наблю­ далось выпадение конденсата и повышение давления в зоне конденсации. Изменение давления вниз по потоку от зоны кон­ денсации происходило эквидистантно изменению давления для сухого пара. При расчете процесса нуклеации по классической теории имело место хорошее соответствие экспериментальных данных с результатами расчетов при условии увеличения поверх­ ностного натяжения на 13%. Такое завышение коэффициента поверхностного натяжения для совпадения теоретических и экс­ периментальных данных делал Осватич [156], отмечая, что для быстродвижущейся среды нельзя использовать поверхностное натяжение, измеренное в состоянии покоя.

Хилл [150] рассмотрел экспериментальные данные по скоро­ сти роста зародышей после нуклеации и сделал вывод, что ско­ рость роста для малых капель не зависит от их радиуса. Это поз­ волило ему описать процесс конденсации тремя обыкновенными дифференциальными уравнениями. На основании анализа теплоII массобмена капли с внешней средой Хилл вывел уравнение для скорости роста капли и уравнение теплового баланса, из которого определяется температура капли. В эти уравнения бы­ ли введены коэффициенты конденсации ак и термической акко­ модации ß. Был проведен расчет расширения паров воды в соп­ ле в одномерном приближении. Хорошее совпадение с экспери­ ментальными данными Вегенера и Пауринга [165] имело место при ß = 1 и ак = 0,04.

В работах Баханова и Буйкова [10 и 11] предложена система уравнений, описывающая течение смеси произвольного числа газов, один из которых может конденсироваться. В эту систему уравнений входит основное кинетическое уравнение для функ­ ции распределения капель по размерам. В случае, если скорость роста частиц не зависит от их размера, кинетическое уравнение можно проинтегрировать, а также получить из него три обыкно­ венных дифференциальных уравнения, которые использовал Хилл. Баханов и Буйков провели расчеты квазиодномерного расширения паров воды в сопле Лаваля и показали, что совпа­

83

дение результатов расчетов с экспериментальными данными Мейера [147] может иметь место в некоторой области изменения коэффициентов конденсации и термической аккомодации, вклю­ чающей значения ак и ß, полученные Хиллом.

Классическая (жидкокапельная) теория Беккера—Дёринга— Зельдовича—Френкеля неоднократно подвергалась критике за применение формулы Томсона к малым зародышам, состоящим из нескольких молекул. Тем не менее эта теория позволила довольно просто определить свободную энергию образования зародышей и тем самым избежать сложного подхода статистиче­ ской физики к проблеме конденсации. Однако определение энер­ гии образования зародыша через свободную энергию макрообъ­ ема и коэффициент поверхностного натяжения связано с прене­ брежением важным вкладом, обусловленным поступательным и вращательным движениями. Учет этого вклада, проведенный вначале Френкелем, а затем Родебушем, Бендом, Лоте, Паун­ дом и Хирсом (обзор этих трудов можно найти в работе [122]), показал, что скорость нуклеации увеличивается в ІО18 раз [153]. Такое увеличение приводит к рассогласованию с экспери­ ментальными данными, полученными в камере Вильсона и в соплах Лаваля. В работе [15] показано, что результаты прямых расчетов термодинамических функций небольших молекулярных комплексов (кластеров) методами статистической физики мало отличаются от данных, полученных по классической теории. По­ этому можно предполагать, что вклады от поступательного и вращательного движений зародыша компенсируются зависимо­ стью поверхностного натяжения зародыша от его размера. (При выводе формулы Беккера—Дёринга—Френкеля пренебрегалось энергией поступательного и вращательного движений, но исполь­ зовалось значение коэффициента поверхностного натяжения, соответствующее плоской поверхности перехода).

Еще одним недостатком классической теории нуклеации яв­ ляется обязательное выполнение условия квазистационарности, которое заключается в том, что время создания пересыщения в системе должно быть намного больше времени установления равновесного распределения зародышей по размерам. Кантровиц [152], Пробстин [158] и другие в результате приближенного решения кинетического уравнения, описывающего процесс нук­ леации, рассчитали поправку, обусловленную нестационарностью процесса. Наиболее точные результаты в этом направлении бы­ ли получены Куртни [143], который численным методом решил систему из 100 дифференциальных уравнений, описывающих не­ стационарную нуклеацию. Обзор исследований в этой области приведен в работе [79].

Процесс нуклеации является только составной частью про­ цесса конденсации. Образовавшиеся зародыши начинают расти. Результаты исследования процессов роста и испарения капель в покоящейся и движущейся средах, а также обзор работ по это­

84

му вопросу можно найти в монографии Фукса [124]. Расчетные формулы для размеров и температуры капли приведены в книге Амелина [2]. Кань Сан-вук [61] исследовал рост конденсирован­ ных частиц в пересыщенном паре и в инертном газе при наличии теплопередачи и диффузии. Исследование температуры капли методом разделяющей сферы дано в работе [3].

Ввиду большого влияния, которое оказывает конденсация на сверхзвуковые течения, были проведены многочисленные иссле­ дования течений в соплах и каналах. Результаты эксперимен­ тального и теоретического исследования конденсации в соплах аэродинамических труб можно найти в работах [23, 24, 25, 45, 113], а результаты изучения течений в паровых турбинах пред­ ставлены в работах [47 и 160]. Куртни [79] сделал обширный об­ зор исследований конденсации в соплах ракетных двигателей. В недавних работах [132, 133] изучалось влияние несущего газа и других факторов на изменение скорости потока и в конечном счете на удельный импульс. Предварительные результаты иссле­ дования Бейлиха [17] показали, что данные, полученные для од­ номерных потоков, следует с осторожностью применять для дву­ мерных потоков. Обзор исследований явления конденсации в ра­ кетных соплах можно также найти в работе [58].

Во многих случаях при расчете неравновесных процессов в соплах использование модели одномерного течения приводит к большим ошибкам. Это может иметь место, например, для тече­ ний в соплах с угловой точкой. В работе Р. А. Ткаленко [120] применительно к этому случаю теоретически исследуется кон­ денсация при сверхзвуковом обтекании выпуклого угла смесью воздуха и паров воды. Приведены уравнения характеристик для расчета сверхзвуковых течений с конденсацией. Основное кинети­ ческое уравнение для функции распределения капель по разме­ рам [11] заменяется системой из трех уравнений в частных производных, в которые не входит радиус капли. Получено рас­ пределение параметров вдоль линий тока и изменение функции распределения капель по размерам при переходе от одной линии тока к другой. Сравнение с экспериментальными данными по распределению статического дадвления и по местоположению зо­ ны скачка конденсации при расширении паров воды око.ло угло­ вой точки, проведенное в работе [80], свидетельствует о хорошем совпадении теории с экспериментом при значениях коэффициен­ та конденсации сск= 0,04 и коэффициента термической аккомода­ ции ß=l . Результаты экспериментального исследования конден­ сации в волне разрежения представлены также в работе [105].

Результаты исследования методом характеристик сверхзвуко­ вых течений в гладких плоских и осесимметричных соплах при­ ведены в работе [119], в которой установлено, что при больших степенях расширения передний фронт зоны конденсации сильно> искривлен: на стенке сопла конденсация наступает раньше, чем на оси. Расчеты показали, что после первого скачка конденсаций

85

пересыщение вдоль линий тока продолжает расти и на некотором расстоянии от него возникает второй скачок конденсации. При этом образуется еще одна система частиц, которая характеризу­ ется своей функцией распределения. Такая спонтанная конденса­ ция при наличии в потоке уже готовых жидких капель была ис­ следована в работах [34 и 160]. Результаты численных расчетов двумерного течения в соплах и струях (полученные без исполь­ зования функции распределения частиц по размерам) даны в ра­ боте Давыдова [44].

В данной главе подробно рассмотрен процесс нуклеации, сде­ ланы выводы и проведены сравнения формул Фольмера, Бекке­ ра—Дёринга и Френкеля—Зельдовича для скорости образования зародышей; описаны способы проверки условия квазистационарности. Кинетика конденсации описывается при помощи ос­ новного кинетического уравнения для функции распределения капель по размерам, решение которого в некоторых важных слу­ чаях сводится к квадратурам. Приведены метод и некоторые ре­ зультаты расчета в одномерном приближении течений многоком­ понентной смеси в сопле при наличии равновесных химических реакций и конденсации одной из компонент. В последнем пара­ графе главы помещен метод расчета конденсации при расшире­ нии в плоских и осесимметричных соплах.

§ 3. 1. Стационарное и нестационарное образование ядер конденсации

Формула Клапейрона-Клаузиуса. Рассмотрим безграничную плоскость, ко­ торая является поверхностью раздела между газообразной фазой А какоголибо вещества и его жидкой фазой В. Предположим, что обе фазы находятся в равновесном состоянии, т. е. параметры, характеризующие систему, не из­ меняются с течением времени. Пусть Фу — удельный термодинамический по­ тенциал, тогда условие равновесия запишем в виде

Здесь р — давление, а рл — плотность пара.

Из выражений (3.1) и (3.2) можно получить

L_

86