книги из ГПНТБ / Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах

шинства моделей расчетов многофазных сред. Следует, однако, отметить, что в работе [94] использовались соотношения, эквива­ лентные допущению о баротропности газа, что неприемлемо для двухфазных течений в соплах, где неизэнтропичность течения иг­ рает существенную роль.

Одними из первых работ, посвященных исследованию течений газа с конденсированными частицами в соплах, были работы 1955—56 гг. Альтмана и Картера [1] и Гильберта, Дэвиса и Альтмана [144], в которых были рассмотрены предельные слу­ чаи— равновесное и полностью неравновесное (замороженное) течения, установлено большее влияние на тягу отставания час­ тиц по скорости, чем отставания по температуре, найдена зави­ симость потерь от размера частиц и т. д. Однако, в этих работах не учитывалось влияние частиц на параметры газа, а потери им­ пульса определялись лишь в зависимости от отставания. В рабо­ те Кэррье [142] с учетом влияния частиц на газ исследовались

влияние частиц на газ, показал, что скорости частиц и газа ме­ няются вдоль сопла по линейному закону. При этом уравнения энергии и теплообмена между газом и частицами одновременно удовлетворяются, если отставание по температуре связать с от­ ставанием по скорости. Температура газа и частиц при этом ме­ няется вдоль сопла по квадратичному закону. Окончательно оказалось, что при введении некоторых условных показателей адиабаты, газовой постоянной и числа Маха неизэнтропическое течение в сопле с постоянными запаздываниями по скорости и температуре подчиняется политропическому закону и может быть рассчитано как течение «чистого» газа. Кроме того, Кли­ гель показал, что в минимальном сечении сопла скорости газа меньше звуковых.

Идея использования постоянства отставаний при решении различных задач двухфазных течений использовалась многими авторами. Так Рудингер [98] изучал одномерные двухфазные по­ токи с учетом объема частиц при условии постоянства отстава­ ний, что позволило ему при достаточно больших содержаниях частиц свести решение задачи к системе алгебраических урав­ нений. Эта же идея использовалась и некоторыми авторами при расчетах трансзвуковых течений и т. д.

Первой работой, в которой были исследованы двухфазные те­ чения в соплах заданной формы с учетом отставания по скоро­ сти и температуре и с учетом влияния частиц на газ, была рабо­ та Бейли, Нильсона, Серра и Цупника [16], опубликованная в

ссылка на ее перевод (19Ѳ5 г.).

7

ванных еще Клигелем (65]: частицы представляют собой сферы одинакового радиуса и не взаимодействуют между собой, их от­ носительным объемом можно пренебречь, фазового перехода нет, потери массы и энергии отсутствуют, вязкость учитывается только при взаимодействии частиц с газом, теплообмен между частицами и газом осуществляется только конвективным пу­ тем, броуновское движение частиц давления не создает и т. д. Бейли и другие рассчитали траектории частиц в различных ти­ пах осесимметричных сопел (без учета влияния отставания час­ тиц на газ). Расчеты показали, что в сужающейся части сопла частицы сепарируют к оси, причем сепарация увеличивается с ростом размера частиц. Так, частицы размером 2 мкм содержат­ ся в плоскости минимального сечения сопла на 80% радиуса, частицы же размером 10 мкм •— лишь на 50% радиуса. Далее, если считать, что минимальное сечение диаметром 25,4 мм рав­ номерно заполнено частицами, то частицы размером более 2 мкм попадают в сверхзвуковой части сопла на стенку дальше точек, соответствующих соплам наименьшей длины и наименьшей мас­ сы. Рост размера частиц или уменьшение диаметра минималь­ ного сечения ведет к сдвигу точек встречи частиц со стенкой вниз по потоку. В работе [16] составлены также уравнения, определя­

ющие одномерные движения частиц и газа в сопле, и проведены серии расчетов. Получено, что при размере частиц 2 мкм потери в сопле с угловой точкой вследствие отставания — около 5% (при концентрации частиц 40%). При скруглении области мини­ мального сечения и удлинении всего сопла эти потери можно уменьшить до 3%. Для прохождения критической особой точки был использован метод корректировки площади околокритиче­ ской области.

Расчет трансзвукового потока даже для одномерных течений газа с частицами в заданном контуре сопла является весьма тру­ доемким процессом, особенно при больших содержаниях частиц. Это объясняется тем, что скорость звука достигается в расши­ ряющейся части сопла в точке, положение которой заранее неиз­ вестно. Особая точка является седловой и, как показывают рас­ четы, точности задания начальных условий, определяемой воз­ можностями ЭВМ, обычно недостаточно для ее прохождения. Работа Глауца (33] посвящена вопросу перехода через такую точку. Однако, введенная ГЛауцом замена переменных лишь иллюстрирует поведение интегральных кривых около особой точки, но по существу практической пользы для расчета транс­ звукового течения не дает. Некоторый интерес представляет собой метод, предложенный для химически неравновесных пото­ ков Эмануэлем в работе [136]. Согласно этому методу переход че­ рез седловую особую точку осуществляется с помощью аппрок­ симации решения в малой окрестности седловой точки линейной функцией, однакр с ростом содержания частиц в газе эта ап­

8

проксимация распространяется на большую область течения, что затрудняет решение задачи. Здесь, как и в работе [16], также требуется корректировка контура сопла.

Наиболее простым, надежным и удобным методом расчета трансзвуковых течений является нашедший широкое распростра­ нение обратный метод, позволяющий при заданном распределе­ нии параметров вдоль оси сопла строить его контур. Поскольку на практике в большинстве случаев задается форма контура, то применение обратного метода в этих случаях требует проведения нескольких итераций.

Хотя вопросы, связанные с двумерными течениями, рассмат­ риваются в других главах, попутно отметим, что еще более слож­ ной является прямая задача расчета двумерного трансзвуково­ го двухфазного потока. В этом направлении в настоящее время ведутся интенсивные исследования. В работе Ригена, Томсона и Хогланда [96] рассмотрен конечно-разностный метод расчета трансзвуковых двухфазных течений в осесимметричных соплах. Другой путь сопряжен с применением метода установления. Статья Хогланда [128] представляет собой обзор работ по весь­ ма важным вопросам, связанным с одномерными течениями га­ за с конденсированными частицами в соплах. Как и в работе [16], здесь отмечается, что у сопел с более плавным очертанием контура в районе минимального сечения потери тяги меньшие. В работе [128] весьма подробно изложен вопрос о коэффициенте сопротивления частиц в соплах и о возможности использования стандартной кривой сопротивления одиночной сферы. Отмеча­ ется, что надежно вычислить сопротивление сферы можно лишь при стоксовском режиме, когда влияние инерционных сил пре­ небрежимо мало (число Рейнольдса не более 0,1). При Re?»10 возникает отрыв. В точке отрыва линии тока скручиваются и об­ разуют стационарное вихревое кольцо в конце сферы. С ростом числа Рейнольдса интенсивность вихрей растет, при Reä; 150 система вихрей начинает колебаться, а при нижнем критическом числе Re»500 — отделяется от сферы и уносится; вместо нее зарождается другая система вихрей. Таким образом, возникают периодические силы, действующие на сферу. При отсутствии вихрей для определения сопротивления сферы может быть ис­ пользован метод Праудмана и Пирсона [159], совмещающий раз­ личные решения при Re < 4 . Обтекание отдельной сферы сущест­ венно отличается от движения облака частиц в сопле из-за наличия значительной турбулентности потока, создаваемой час­ тицами. Эта турбулентность при R e<30 может сильно изменить картину течения, сбив вихри и значительно уменьшив сопротив­ ление. При низких числах Re наличие турбулентности может уве­ личить диссипацию в следе и повысить сопротивление сферы.

Экспериментальные данные по сопротивлению сферических час­ тиц в турбулентных потоках при 2 0 ^ R e ^ l0 0 говорят о том, что

9

сопротивления, взятые по стандартной кривой, могут меняться от значений втрое больших до значений в 100 раз меньших. По­ нижение сопротивления, обусловленное турбулентностью, при­ водит к увеличению потерь из-за двухфазности. Отметим, что ошибка в сопротивлении на порядок эквивалентна изменению размера частиц примерно втрое.

В статье Карлсона и Хогланда [63] на базе обработки ре­ зультатов опытов других авторов приведены формулы, позволя­ ющие учитывать разреженность, инерционность (отличие стан­ дартной кривой сопротивления от стоксовской) и сжимаемость газа при его движении относительно частиц в соплах. Для боль­ ших частиц (10 мкм) уточнения, данные в работе [63], приводят к уменьшению отставаний на 50%; для малых же частиц, при введении указанных выше уточнений, в области горла отстава­ ния уменьшаются, а в конце сопла увеличиваются. Кроув в раработе [76] предложил формулы для коэффициента сопротивле­ ния частиц, лучше согласующиеся с экспериментом при М ^ З , чем формулы Карлсона [63] (М — число Маха движения газа от­ носительно частиц).

Тепловой поток от частиц к газу определяется по критериаль­ ной формуле Дрейка, несколько уточненной в работе [63]. Экспе­ риментальные исследования многих авторов показали, что тур­ булентность увеличивает теплоотдачу от частиц к газу. Посколь­ ку влияние теплового запаздывания на характеристики сопла на порядок слабее скоростного, то интерес к исследованию зависи­ мости коэффициента теплоотдачи от внешних факторов, естест­ венно, слабее, чем к исследованию аналогичных зависимостей для коэффициента сопротивления частиц.

Весьма интересной является работа Рудингера [99], в кото­ рой на базе экспериментальных исследований с применением ударной трубы установлено, что сопротивление частицы, находя­ щейся в облаке частиц, примерно на порядок больше сопротив­ ления, определенного по стандартной кривой. Это в работе [99] объясняется взаимодействием одних частиц со следами других, электростатическими силами и другими причинами. Кроме того, большое влияние на коэффициент сопротивления может оказы­ вать форма и состояние поверхности частиц. Селберг и Николлс [104] на основе проведенных ими экспериментов показали, что шероховатость поверхности может привести к значительному из­ менению коэффициента сопротивления для небольших сферичес­ ких частиц. На основании этого Селберг и Николлс сделали вывод, что коэффициент сопротивления частиц в соплах твердотоплив­ ных ракетных двигателей вследствие малых размеров частиц и их относительно большой шероховатости может быть значитель­ но больше коэффициента, определенного по стандартной кривой и ее модификациям (условия в экспериментах Селберга и Ни­ коллса были близки к условиям эксперимента Рудингера). Учи-

10

тывая это, Пробеги« и Фассио [93] считают, что шероховатость частиц могла быть причиной высоких значений коэффициента сопротивления в экспериментах Рудингера. На основании ска­ занного, результаты эксперимента Рудингера нуждаются в тща­ тельном анализе и дополнительной проверке. Ряд работ был по­ священ весьма важному вопросу взаимодействия частиц со стен­ ками сопла. Так, Брайтвизером [140] были изучены факторы, влияющие на величину и рост жидкого слоя, а Унгер [128] изме­ рил теплопередачу пристеночного слоя.

Образующийся твердый пристеночный слой, вследствие своей шероховатости, увеличивает потери на трение. Когда же разме­ ры шероховатости выходят за пограничный слой, то возникают волновые потери в сверхзвуковой части сопла [140]. Необходимо также отметить значительный рост теплопередачи к стенке при наличии частиц вблизи нее. Однако вследствие образования на стенке жидкой или твердой пленки, изолирующей поток от ме­ талла, теплопередача от газа к стенке в двухфазных потоках, по-видимому, будет ниже, чем в обычном случае. Кроме того, попадая на стенку, частицы оказывают на нее разрушающее воздействие и уменьшают реактивную силу, следовательно, этого необходимо избегать.

Анализ попадания частиц на стенку выполнен ів работе [155]

и др. (см. § 6.4).

Следует сказать, что весьма обширное описание явлений, связанных с взаимодействием частиц с газом, приведено в вы­ шедшей недавно монографии Соу [108], где рассмотрено также и влияние электрических сил на течение многофазных сред.

Большой экспериментальный и теоретический материал по взаимодействию частиц с газом и по вопросам конденсации со­ бран в монографии Г. А. Салтанова [102].

В работе Гильберта и других [32] описаны исследования рас­ ходных комплексов для сопел с диаметром минимального сече­ ния 6,35 мм и радиусом скругления сопла в районе этого сече­ ния 6,35 mm^ R ^ 400 мм. Рабочим телом была смесь азота со стеклянными шариками известного размера. Экспериментальные данные хорошо согласуются с расчетными. В работе [32] приведена также фотография двухфазного потока в сопле со стеклянными боковыми стенками, на которой видна сепарация частиц к оси в сужающейся части сопла. Область чистого газа начинается у стенки на некотором расстоянии перед минималь­ ным сечением.

Определенный теоретический интерес представляет статья Хассана [127], в которой показано, что если в стоксовском при-

*ближении принять известным изменение скорости частиц вдоль сопла, то из системы уравнений двухфазного одномерного пото­ ка можно получить (в квадратурах) изменения всех остальных функций вдоль сопла. Другими словами, здесь в аналитической

11

форме дается решение в одномерной постановке обратной зада­ чи о движении газа с частицами в сопле.

Большое влияние на величину потерь оказывает размер час­ тиц конденсата, который можно найти лишь экспериментально. В настоящее время имеется ряд работ, посвященных эксперимен­ тальному определению размеров частиц как методом проб, так и оптическими методами. Одной из первых работ по определе­ нию размеров частиц в РДТТ было экспериментальное исследо­ вание Брауна [20]. По данным этой работы среднемассовый раз­

в камере и за срезом сопла. Зависимость размера частиц от вре­

ненциальный, причем асимптота определяется давлением в каме­ ре. Констатируется также, что размеры конденсата не зависят от размеров исходных частиц алюминия в топливе. В ряде работ [18, 22, 49, 50, 52, 62, 82, 134] и других предлагается оптический метод определения размеров конденсированных частиц в атмо­ сфере, соплах и т. д. Этот метод применительно к соплам имеет преимущество перед методом отбора проб, поскольку в послед­ нем случае вопрос об их представительности остается, по суще­ ству, открытым. Однако определение функции распределения частиц оптическим путем, например, методом рассеяния света, весьма сложно, а как отмечается в работе [50], даже невозмож­

но, хотя средний размер d32 определялся успешно. В работе [49], кроме того, было проведено определение величины d32 наи­ более точным методом высокоскоростного микрофотографировавания. Определение d32 обеими методами дало близкие резуль­ таты. Все эксперименты в работе [50] проводились на модель­ ных шариках заданных размеров (25 и 145 мкм). В работах [49] и [62] показано, что, используя оптические методы для определе­ ния температуры частиц, можно в конечном счете найти и сред­ ние размеры частиц. В работе [52] с помощью метода рассеяния света сделаны четкие фотографии предельной линии тока час­ тиц. Экспериментально определенное положение этой линии хо­ рошо совпадает с расчетным.

Следует отметить, что определение размеров частиц оптиче­ скими методами является весьма сложной технической задачей, и часто эксперименты, проведенные одними исследователями, не удается повторить другим. Так, например, Ченг и Коэн [131] не сумели методом Доббинса [49] определить размер частиц и т. д. С развитием лазерной техники, позволяющей получить высокую интенсивность освещения, вопрос об определении размеров час­ тиц оптическим методом находит свое успешное разрешение.

12

Необходимо отметить также статьи Чена [130] и Моргенталлера [90], в которых с помощью замера наклона ударных волн предлагается определять параметры двухфазного потока и, в частности, коэффициент сопротивления частиц.

Некоторый практический интерес представляют собой рабо­ ты, посвященные линеаризованным течениям. Дополнительно к допущениям, принимаемым для одномерных течений, здесь пред­ полагается, что отставания частиц по скорости и температуре малы. В этом случае удается записать для течений в заданном канале (сопле) в квадратурах формулы для расчета параметров течения.

Одним из первых анализ линеаризованных течений двухфаз­ ных сред был произведен Рэнни [100]. В этой работе получены формулы для параметров потока; отмечается, что удельный им­ пульс не зависит от параметров в докритической части сопла, а запаздывание частиц обратно пропорционально корню квадрат­ ному из отношения радиуса кривизны контура сопла в мини­ мальном сечении к радиусу этого сечения (для стоксовского закона сопротивления частиц). В работе [100] исследованы так­ же отклонения от стоксовского закона и дано обобщение задачи на случай полидиспереных сред. В работах Марбла [89] и Л. Е. Стернина [112] метод линеаризации использовался для по­ становки и решения вариационных задач об оптимальных конту­ рах сопел, а в работе Марбла [88] — для решения серии разно­ образных задач.

Аналогичный подход полезен также и для решения задач в двумерном приближении.

Наряду с линеаризацией по отставанию при исследовании двухфазных потоков получил распространение и традиционный подход, при котором малым параметром является толщина обте­ каемого тела [95, 118],

Вкачестве еще одного малого параметра можно использо­ вать относительную массовую концентрацию частиц. В этом случае нулевое приближение соответствует течению газа без частиц. Подобные подходы нашли широкое применение в зада­ чах внешнего обтекания [93, 101].

Взаключение следует отметить, что весьма полный обзор работ по механике двухфазных потоков сделан в недавно вы­ шедшей работе [72], а довольно подробное рассмотрение общих вопросов, связанных со свойствами аэрозолей и их использова­ нием в промышленности, представлено в книге [40].

§1.1. Основные уравнения

Прежде чем составить уравнения, описывающие движение двухфазной среды, состоящей из газа и частиц одинаковых раз­ меров, остановимся на допущениях, позволяющих решать рас­

13

пература частиц). При этом совокупность частиц считается неп­ рерывно распределенной по всему объему с условной плотно­ стью «газа» частиц равной произведению численной концент­ рации частиц в единице объема на массу одной частицы.

2.Давление создается только газом; влиянием частиц пренебрегается.

3.Течение — стационарное.

4.Массовый расход газа и массовый расход частиц вдоль по течению постоянны.

5.В любом поперечном сечении все параметры постоянны.

6.Частицы, являясь сферами одного и того же радиуса, не взаимодействуют между собой и со стенками сопла.

7.Система теплоизолирована; обмен теплом имеет место лишь между частицами и газом и осуществляется только путем конвекции.

8.Вязкие силы проявляются только при взаимодействии час­ тиц с газом. Ускорение частиц обусловлено действием этих же сил.

9.Объемом, занимаемым частицами, можно пренебречь.

10.Вследствие высокой теплопроводности материала частип их температура по всему объему частиц постоянна.

11.Гравитационными и электрическими силами можно пре­ небречь.

Кроме этого, в ряде случаев для упрощения полагаем газ идеальным, химически не реагирующим, а теплоемкости газа и частиц—постоянными.

Уравнение движения частицы можно представить в виде

лг3о, d w s С д Л Г2 Q(W— WS)2 dt

где г — радиус частицы; рв — плотность вещества жидкой или твердой частицы; w и ws — соответственно скорость газа и час­

14

Число Маха при движении газа относительно частиц опреде­ ляется аналогично по формуле

I W— Ws I

М

а

I

В общем случае, когда энтальпия газа і і(р, Т), скорость звука

dx

где

4

D r2ga

Конвективный обмен теплом между частицами и газом опи­ сывается соотношением

к

где М — коэффициент теплопроводности газа. Тогда из соотношения (1.4) получим

15

Отметим, что размерность параметров <рі и <рг выражена в с-1. При постоянных значениях q>4, фг, w и Т из соотношений

(1.3) и (1.5) следует

соответствует А при ^ = 0. Отсюда ясен физический смысл пара­

где е и es— соответственно внутренняя энергия газа и частиц. Произведя тождественные преобразования и интегрирование,

получим

16