книги из ГПНТБ / Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах

где частная производная іу6= (g5—g7) (2АУы)~1.

В отличие от формулы (5.52) в формуле (5.54) коэффициент при lj/6 меньше единицы и погрешности затухают.

Д. Линия раздела близка к стенке. В областях, где линия раз­ дела 5—3 (рис. 5.10) близко подходит к стенке, возможен слу­ чай, когда характеристика второго семейства (отрезок 3—2) по­ падает не «а линию, где все параметры заданы (см. рис. 5.9), а на стенку (см. рис. 5.10). В этом случае использование схемы, рассмотренной в предыдущем пункте, потребовало бы уменьше­ ния шага по х. Если это нежелательно, то расчет проводим сле­ дующим образом. Значения у3 в первом и последующих прибли­ жениях Уі и ф4 вычисляем, как и- в предыдущем случае.

Величины х%, уг, £2, *зг, Уѵ и £3> определяем из следующих очевидных равенств:

167

Параметры в точке 3" вычисляем по методике, изложенной в п. «В». Аналогично этому определяем и параметры в точке 3', причем в первом приближении параметры в точке 3 полагаем совпадающими с соответствующими параметрами в точке 5.

Далее, по точкам 4', 3" и 3' квадратичной интерполяцией на­ ходим параметры в точке 2.

После этого все параметры в точке 3 вычисляем в соответ­ ствии с общим случаем (п. «А»), но при этом k33 следует умно­ жать не на Ах, а на Дх32. После определения всех величин в точке 3 производим уточнение параметров в точке 3'.

Точку 7, ненужную для расчетов параметров данного слоя, определяем квадратичной интерполяцией по х по точкам 4', 3" и 3 ' после того, как все итерации выполнены.

Е. Пересечение линии раздела со стенкой. В этом случае шаг

Ах заранее не задан, он определяется по последней формуле (5.30), которую в конечно-разностном виде можно представить следующим образом (рис. 5.11):

величине ух квадратичной интерполяцией (с использованием то­ чек 5, 6 и 7) определяем все параметры в точке 1.

После этого расчет ведем, как и в п. «В», с учетом условия, что в области, определяемой точками 4—3—5, частицы отсутст­ вуют.

Аналогичным образом могут быть решены и другие элемен­ тарные задачи.

Остановимся теперь на выборе шага Ах. Пусть Аух— шаг по у в области течения газа с частицами, а Аг/г — шаг в области те­ чения газа без частиц.

Значение Ах при счете нового слоя выбираем таким, чтобы искомые точки определялись по рассмотренным выше схемам.

Так, чтобы определить параметры в ближайшей к линии сим­ метрии точке в соответствии с п. «А» нужно, чтобы характеристи­ ка первого семейства, проведенная из нее в направлении преды­ дущего слоя, достигла его раньше, чем линии симметрии. Это

соответствует условию (см. рис. 5.7) Дхі^тІбДг/і.

168

Подобно этому, чтобы ближайшая к стенке точка, находясь в области, свободной от частиц, определялась в соответствии со­ схемой п. «А» (при 0S= 0) необходимо, чтобы характеристика второго семейства, выходящая из нее в направлении предыду­ щего слоя, не попала на стенку. Это соответствует условию (см.,

рис. 5.11)

Лх2< «47А'^2

т 47: 4 — 1

Аналогичным образом снизу от линии раздела получаем (см.

рис. 5.9)

Дх3 < т5чАУі mfgis — 1 ’

а сверху от линии раздела (см. рис. 5.9)

Дх4<

1 k s m 59

Для удобства расчета коэффициентов т, входящих в послед­ ние четыре неравенства, можно вычислять их на предыдущем слое, а затем величину Ах для гарантии несколько уменьшать,, введя множитель е < 1.

Таким образом, шаг Ах ограничен условием

Д х < Дхт = г min (дх4, дх2, дх3, дх4),

где 8 = 0,8н-0,9.

Для повышения точности расчетов шаг Ах целесообразна принимать меньшим Дхт , особенно при больших степенях рас­ ширения сопел, когда определенное по последней формуле зна­ чение Ахт оказывается существенно больше Аг/і и Ау2.

положительные константы, не превышающие единицы (в приво­

169

димых ниже расчетах пользовались значениями 6і~0,3 и 62~

»0,8 ).

Вопределенном сечении сопла возможно пересечение линии

раздела со стенкой (п. «Е»), После этого вся область течения оказывается заполненной двухфазным потоком. Однако при на­ личии интенсивного поворота стенки, если в некоторой точке 4 на стенке £4< £ 4, то пристеночная зона, свободная от частиц, об­ разуется вновь. Для возможности использования предыдущих формул в этом случае необходимо пересчитать константу Cs так, чтобы ка линии раздела ф„= 1.

Как показали расчеты в случаях, когда имеется перетекание газа из пристеночного слоя, где частицы отсутствуют, в цент­ ральную часть, неравномерность параметров перетекшего газа остается на большом участке почти такой же, как и в пристеноч­ ном слое. В этом случае равномерное разбиение по у зоны двух­ фазного течения нецелесообразно.

Для повышения точности расчетов здесь целесообразно вве­ сти третью зону с шагом Дг/3= Дг/2, ограниченную линией разде­ ла и линией тока газа фт , на которой в точке ее пересечения с линией раздела £ = |.

Таким образом, линией, при переходе через которую изменя­ ется шаг Ау, становится не граница раздела, а линия тока газа ф = фтПри этом записанные выше формулы для Ауі и Ау2 видо­ изменяются очевидным образом.

Введение третьей зоны особенно важно при большом содер­ жании частиц в смеси.

Необходимо также отметить, что если число точек на слое N мало, то удовлетворительную точность можно обеспечить при уменьшении шага Ах и одновременном повышении порядка ин­ терполяции. Это, однако, допустимо только в тех случаях, когда кривые распределения параметров в поперечных сечениях доста­ точно гладкие.

Расчеты выполняются в направлении от стенки к линии сим­ метрии. Точность расчета характеризуется отличием от нуля ве­ личин і|) и ifs в последней точке, причем их вычисление произво­ дят по формулам (5.48) вдоль вновь рассчитанного сечения (Д х = 0). Если частицы попадают на стенку, то контроль по рас­ ходу частиц производится вдоль контура у, состоящего из отрез­ ка стенки, на котором имеется выпадение частиц, и последнего сосчитанного сечения с применением формулы

Cs j* [QsuscJy1+', ~ y ',Qsv s(l-{-v)d x]= l + v .

т

Кроме этого, для контроля могут быть использованы усло­ вия сохранения энергии и количества движения, записанные в интегральном виде (5.25), (5.28) и (5.29) и примененные к замк­ нутому контуру, состоящему из начального сечения, стенки, вы­ ходного сечения и линии симметрии.

170

На стенке и линии симметрии криволинейные интегралы су­ щественно упрощаются. Так, например, в области чистого газа на стенке криволинейный интеграл (5.28) имеет вид

у

j y ' p d y -

Уо

На участке стенки, где имеется выпадение (поглощение) час­ тиц, как следует из уравнения (5.28), необходимо вычислять и интеграл

X

— U = ^{yQ ß ld y — y4QiUsvsdx) = ^ yQsUs(С — ?)dx<^0,

xs

где xs— сечение, в котором начинается выпадение частиц на стенку.

Импульс в некотором сечении, как следует из уравнения

(5.28), равен

/ = Л , + / 1- / а,

где /о— импульс в начальном сечении.

Отметим, что при поглощении частиц стенкой осевая состав­ ляющая их импульса, направленная по потоку, как при неупру­ гом ударе, воспринимается стенкой. Поэтому происходит умень­ шение реактивной силы, создаваемой стенкой (—/2-<0).

Рассмотрим случай движения частиц вдоль стенки после их удара об нее. При этом происходит потеря нормальной к стенке составляющей скорости, в результате чего осевая составляющая импульса частицы и сила, действующая на стенку, возрастают. Элементарный расход частиц, подходящих к стенке, с точностью

С учетом скольжения частиц вдоль стенки импульс в некото­ ром сечении x > x s равен

171

Если удар частиц абсолютно упругий, то входящую в последнее равенство величину / 4 следует удвоить. При этом -нужно учиты­ вать и воздействие отраженных частиц на основной поток.

В заключение отметим, что в отличие от прямой схемы мето­ да характеристик, сеточно-характеристический метод можно при­ менять и в тех случаях, когда в потоке имеется пересечение ха­ рактеристик одного семейства, т. е. возникают висячие ударные волны. Это объясняется тем, что при применении сеточно-харак­ теристического метода используются лишь элементы характери­ стик без полного их построения. Хотя при работе сеточно-харак­ теристическим методом ударные волны малой интенсивности не всегда удается обнаружить, в целом, при проведении массовых расчетов данное свойство следует рассматривать как достоинст­ во метода.

§ 5.4. Результаты расчетов сверхзвуковых течений в соплах

При выполнении расчетов рабочие формулы удобно предста­ вить в безразмерном виде, т. е. отнести размерные параметры к характерным постоянным величинам. В качестве таких харак­ терных величин удобно принять исходные значения параметров в начальном сечении (с индексом «н» внизу). Будем считать газ

мерные параметры чертой сверху и полагая, что в начальном се­ чении Ун = Рш= 0, uB = usн, TH= T SB, получим

Представляемые ниже расчетные данные получены при дви­ жении частиц в сопле, контур которого составлен из дуги окруж­ ности, прямолинейного участка и дуги .параболы, описываемых уравнениями (рис. 5.12)

172

Кроме того, приняты следующие значения безразмерных кон­ стант;

■V— 1; * = 1 , 3 ; Мн= 1 ,0 5 ; с в//? = 0 , 7 ; срх = 0 , 7 ; ср3 = 1 ,7 ,

что при обычно применяемых значениях размерных величин, вхо­ дящих в фі и ф2, соответствует диаметру частиц 2г = 2ч-6ц.

При проведении расчетов величины f D и Nu/Pr считались по­ стоянными.

На рис. 5.12 кроме контура сопла представлены две линии раздела (границы зон «чистого» газа), соответствующие W=3 п

Рис. 5.12. Контур сопла и линии раздела:

1—контур сопла; 2—линия разд ел а при №=3; 3—линия разд ел а при №=0,5

На рис. 5.13 для W = 3 иллюстрируется изменение числа Ма­ ха в сопле вдоль оси, линии раздела и стенки. Интересно отме­

этой точкой втекает в нее. Скорость и другие параметры на ли­ нии раздела определяются соответствующими величинами на ли­ ниях тока, подходящих к линии раздела. Поэтому до точки, в которой | = £, скорость на линии раздела отражает высокоэнтро­ пийное течение в ядре и сравнительно невелика. За этой точкой скорость увеличивается и характеризует низкоэнтропийное течение в периферийной зоне, свободной от частиц. Анало­ гичный характер носит и изменение числа Маха в сопле. На рис. 5.13 также представлена линия тока газа ф = фт , которая касает­ ся линии раздела в точке, где £ = £.

На рис. 5.14 изображено распределение числа Маха по ра­ диусу сопла для ряда поперечных сечений. Черные кружочки соответствуют линии раздела, светлые — линии тока газа фт , а светлые квадратики — стенке сопла. Хорошо видно, что в пери-

175

Рис. 5.13. Изменение числа Маха вдоль сопла:

/ —ю сь сопла; 2—линия тока \J)m ; 3—линия р а зд е л а ; 4—одно­ м ерная теория; 5—стенка

174

ферийной области параметры существенно меняются по у, в то время как в ядре потока это изменение сравнительно мало. Гра­ ницей резкого изменения производной по у от рассматриваемого параметра (числа Маха, скорости, температуры газа и т. д.) яв­ ляется — до точки, где | = £,— линия раздела, а за этой точ­ кой — линия тока газа ф = фт .

ф—линия раздела;

О-'Ч ’щ

X — гр=0,25

Аналогичный характер носят и изменения температуры и от­ ставаний (рис. 5.15).

Указанный факт должен быть использован при выборе шага интегрирования, ибо нецелесообразно задавать большое количе­ ство точек в ядре, где параметры близки к постоянным (см. пре­ дыдущий параграф).

На рис. 5.16 показано изменение профиля плотности q .s в д о л ь

где 71 и 7 — соответственно импульсы в выходном сечении, опре­ деляемые согласно одномерному приближению и сеточно-харак- теристичеоким методом, а Ѳ— угол наклона контура сопла в вы-

175

ходном сечении. При W = 3 дополнительные потери, связанные с неодномерностью, составляют около 3%, а при W = 0,5 — около

0 ,8 % .

Потери из-за двухфазности могут быть найдены, если известен ■импульс двумерного равновесного течения, т. е. течения без от­ ставаний по скорости и температуре. Как было отмечено в гл. I, равновесное двухфазное течение описывается теми же уравне­ ниями, что и течение газа без частиц, если ввести условные значения плотности ee = e(l + W), газовой постоянной Re=R( 1+ 4 - W) и показателя адиабаты

Рис. 5.16. Изменение распределенной плотности частиц в поперечных сечениях сопла:

□— стенка;

ф—»линия разд ел а;

X — ф =0,25

По программе, используемой для двухфазного неравновесно­ го течения, расчет равновесного течения может быть выполнен, если положить qs= 0, а вместо q , R я х ввести соответственно де, Re и хе. При этом необходимо, чтобы в начальном сечении сов­ падали размерные значения давления, температуры и скорости, т. е. Рл~~PeHt 'I'n—T<m=zTeYi\ Пн==uSH= ЦенПосле приведения к без­ размерному виду (роль рн теперь играет ден = ен(1 + ^ 7), a R —

176